فرادرسعایق حرارتی – به زبان ساده
پیش از این، در مجله فرادرس انواع روش‌های انتقال حرارت را معرفی و معادلات آنها را بررسی کردیم. در این مقاله، به دنبال بررسی روش‌هایی هستیم که انتقال حرارت از سطوح مختلف را کاهش دهد. عایق حرارتی به ماده یا ترکیبی از ماده‌های مختلف گفته می‌شود که به منظور ایجاد مقاومت در مسیر انتقال حرارت، به کار می‌رود. اصول عمکلرد عایق حرارتی، کاربردهای آن، اَبَرعایق‌ها و برخی روابط محاسباتی، مطالبی هستند که در ادامه پوشش داده خواهد شد. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.
احتمالاً در زندگی روزمره به برخی از انواع عایق حرارتی برخورد کرده‌اید. بیشتر این عایق‌ها، از جنس ماده‌های ناهمگونی هستند که هدایت حرارتی بسیار پایینی دارند و در درون آنها، کیسه‌های هوا وجود دارد. وجود کیسه‌های هوا، دور از انتظار نیست. چرا که هوا یکی از پایین‌ترین ضرایب هدایت حرارتی را داشته و همیشه نیز در دسترس است. فومِ پلی استایرن (Styrofoam) که عموماً برای بسته‌بندی تلویزیون، کامپیوتر و لوازم برقی به کار می‌رود، در نقش عایق هم عملکرد مناسبی دارد.
نیروی محرکه‌ای که منجر به انتقال حرارت می‌شود، اختلاف دما است. هرچه اختلاف دما بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت نیز بزرگتر خواهد بود. اگر بتوانیم موانعی (Barriers) در سر راه جریان انتقال گرما قرار دهیم، ممکن است موفق شویم انتقال حرارت بین دو محیط با دماهای مختلف را کُندتر کنیم. ایفای نقش این موانع، به عهده عایق حرارتی است و این عایق‌ها در طراحی و ساخت تمام تجهیزاتی که صرفه‌جویی انرژی در آنها اهمیت دارد، بسیار تأثیرگذار هستند. در سال ۱۹۹۱ میلادی، مطالعه‌ای در دانشگاه درکسل (Drexel University) پیرامون مصرف انرژی در صنایع ایالات متحده صورت گرفت. این مطالعه نشان داد که استفاده از عایق حرارتی قادر است تا حدود ۲ میلیارد بشکه نفت را در سال ذخیره کند. سود این صرفه‌جویی در حدود ۶۰ میلیارد دلار در سال تخمین زده شد. عددی که می‌تواند با ارتقای تکنولوژی و بهبود روش‌های عایق‌کاری، از این هم فراتر برود.
حرارت و گرما در کوره با سوزاندن یک سوخت مانند زغال‌سنگ، نفت یا گاز طبیعی یا در هیتر و با عبور جریان الکتریکی از میان یک هیتر مقاومتی (Resistance Heater)، تولید می‌شود. استفاده از الکتریسیته، به دلیل بالا بودن قیمت واحد آن، به صرفه نیست و به ندرت مورد استفاده قرار می‌گیرد. گرمای تولید شده، توسط محیط داخل کوره و دیواره‌های آن جذب می‌شود تا دمای آن نسبت به دمای محیط افزایش یابد. این اختلاف دما باعث می‌شود نیروی محرکه‌ای بین محیط داغ و محیط اطراف آن ایجاد شود. در نتیجه، انتقال حرارت اتفاق می‌افتد. با کمک عایق حرارتی می‌توان از اتلاف این گرما جلوگیری و در هزینه و مصرف سوخت صرفه‌جویی کرد.
به عبارت دیگر می‌توان این‌طور برداشت کرد که هزینه خرید و نصب عایق حرارتی با صرفه‌جویی در مصرف و کم شدن هزینه سوخت، جبران می‌شود. به طوری که تمام هزینه اولیه، ممکن است در فاصله کمتر از یک سال، از طریق کاهش هزینه‌ها برگردد. از سوی دیگر، استفاده از عایق حرارتی به محیط زیست نیز کمک کرده و با آلودگی هوا و اثرات گل‌خانه‌ای مقابله می‌کند. زیرا حجم سوخت مصرفی کاهش یافته و میزان گازهای سوزانده شده در اتمسفر به حداقل می‌رسد.
بهینه‌سازی مصرف انرژی، تنها محدود به سطوح داغ نمی‌شود. با استفاده از عایق حرارتی برای سطوح سرد نیز می‌توان انرژی و سرمایه را حفظ کرد. سطوح سرد، به سطوحی گفته می‌شود که دمای آنها از دمای محیط کمتر باشد. خطوط آب سرد، مخزن ماده مبرد، اتومبیل‌های یخچال‌دار و داکت‌های تهویه هوا، نمونه‌هایی از سطوح سرد هستند. مولد سرما، تبرید (Refrigeration) است. تبرید نیاز به انرژی ورودی دارد که این انرژی معمولاً به شکل الکتریسیته است. در این حالت، انتقال حرارت از محیط به سطوح سرد انجام می‌شود. اگر یک قوطی نوشابه را درون پتو بپیچیم، مدت زمان بیشتری خنک خواهد ماند! اگر دیواره‌های یخچال، به درستی عایق‌بندی شده باشد، انرژی مصرفی به میزان قابل توجهی کاهش می‌یابد. عایق‌کاری خانه می‌تواند حجم سرمایش کولر را کاهش داده و مصرف برق را کمتر کند.
عایق حرارتی یک مفهوم ذاتی است که همه ما با آن آشنا هستیم. نوزاد وقتی در پتوی مخصوصش پیچیده شده باشد، احساس بهتری دارد. کودک وقتی در هوای سرد از خانه بیرون می‌رود، نیاز به کاپشن دارد. فردی که از استخر بیرون آمده، بلافاصله خود را در حوله می‌پیچد. اگر در تاریخ به عقب برگردیم، انسان اولیه با پوشیدن پوست حیوانات، خود را گرم نگه می‌داشت و خانه خود را از جنس چوب یا بلوک‌های گِلی می‌ساخت. تا مدت‌های زیادی از چوب پنبه در ساختن سقف خانه‌ها استفاده می‌شد. با پیشرفت تبرید مکانیکی در قرن نوزدهم میلادی، اهمیت استفاده از عایق حرارتی بیش از پیش روشن شد. در فاصله بین سال‌های 1910 تا 1920، تحقیقات گسترده‌ای در دانشگاه‌ها و آزمایشگاه‌ها بدین منظور صورت گرفت.
بحران انرژی در دهه 1970، تأثیر گسترده‌ای در آگاهی عمومی نسبت به محدود بودن منابع انرژی و لزوم حفاظت از آنها داشت. امروزه، عایق حرارتی بیش از آنچه تصور شود، مورد استفاده قرار می‌گیرد. ضخامت دیواره‌های یخچال، به دلیل داشتن لایه‌هایی ساندویچی است که نقش عایق را دارند. همچنین در بسیاری از کاربردها، لوله‌های آب گرم نسبت به لوله‌های آب سرد، قطر بیشتری دارند.
کاربردهای عایق حرارتی
اگر موتور اتومبیل خود را بازرسی کنید، متوجه وجود یک فایروال (Firewall) بین موتور و اتاق اتومبیل خواهید شد. همین‌طور سطح داخلی کاپوت جلوی اتومبیل نیز عایق‌بندی شده است. دلیل این کار، نه برای جلوگیری از اتلاف انرژی، که برای ایمن ساختن بدنه اتومبیل و جلوگیری از آسیب دیدن افراد است. چرا که اگر از عایق حرارتی استفاده نشود، دمای بدنه، بسیار بالا خواهد رفت. از این رو، استفاده از عایق حرارتی محدود به حفاظت از انرژی نیست. دلایل متنوع استفاده از عایق را می‌توان به صورت موارد زیر بیان کرد.
جلوگیری از اتلاف انرژی: حفاظت از منابع انرژی با کاهش نرخ انتقال حرارت، اصلی‌ترین و مهم‌ترین دلیل استفاده از عایق حرارتی است. ماده‌های زیادی در دسترس هستند که می‌توان از آنها در بازه $$\large -268 ^\circ C$$ تا $$\large +1000 ^\circ C$$ ($$\large -450 ^\circ F$$ تا $$\large 1800 ^\circ F$$) به عنوان عایق استفاده کرد.
حفاظت از افراد در برابر سوختگی: وجود یک سطح داغ، افرادی را که در آن نزدیکی مشغول کار هستند، در معرض خطر سوختگی قرار می‌دهد. به منظور جلوگیری از چنین مخاطراتی، استانداردهایی برای محیط‌های صنعتی تعریف می‌شود که اجازه نمی‌دهد دمای سطوح داغ، از $$\large 60^ \circ C$$ ($$\large 140^ \circ F$$) فراتر رود. این کار با کمک عایق حرارتی امکان پذیر است.
ثابت نگه داشتن دمای فرآیند: در برخی از فرآیندهای شیمیایی، واکنش‌ها نسبت به دما حساس هستند. عایق‌کاری مخازن و قسمت‌های مربوطه، اثر زیادی در حفظ دما و کیفیت عملکرد این صنایع خواهد گذاشت.
کاهش نوسان‌های دما: اگر محفظه‌ای عایق‌بندی نشده باشد، دما در قسمت‌های میانی و لبه‌ها، تفاوت زیادی با هم خواهد داشت. به عنوان مثال، خانه‌ای را در فصل زمستان در نظر بگیرید که دیوارهایش به خوبی عایق‌بندی نشده باشد. به دلیل استفاده از لوازم گرمایشی، دمای محیط داخل اتاق، بالا بوده ولی دیوارها سرد هستند. همین عامل موجب می‌شود دمای داخل اتاق با تغییر دمای بیرون، تغییر کند و ثابت نباشد. استفاده از عایق حرارتی، این اختلاف دما و نوسان‌ها را به حداقل می‌رساند.
جلوگیری از تقطیر و خوردگی: بخار آب موجود در هوا، با برخورد به سطوحی که دمای آنها پایین‌تر از نقطه شبنم است، تقطیر می‌شود. سطح بیرونی مخازن و لوله‌های آب سرد، مرتباً به کمتر از دمای نقطه شبنم رسیده و در درازمدت موجب خوردگی فلزات می‌شود. با عایق‌کاری حرارتی می‌توان از بروز چنین اتفاقی جلوگیری کرد.
حفاظت در برابر آتش‌سوزی: اگر تمام تجهیزات اشتعال‌زا و گران‌قیمت در داخل یک جعبه ایمنِ عایق‌کاری شده قرار بگیرد، در هنگام وقوع آتش‌سوزی، کمترین خسارت را متحمل خواهند شد. عایق‌کاری، نرخ انتقال حرارت را به گونه‌ای پایین می‌آورد تا دمای داخل جعبه هیچ‌وقت از سطح غیرایمن بیشتر نشود.
حفاظت در برابر یخ‌زدگی: اگر آب درون لوله یا مجرا، مدت زمان طولانی در معرض دماهای پایین‌تر از انجماد قرار بگیرد، احتمال یخ‌زدگی آب و ترکیدگی لوله بالا می‌رود. استفاده از عایق مناسب در این مورد، می‌تواند ضمن پایین آوردن سرعت انتقال حرارت آب، از یخ‌زدگی آن جلوگیری کند. مثلاً پوشاندن گیاهان در شب‌های سرد زمستان با نایلون و دفن کردن لوله‌های آب در عمق مناسبی از زمین، از یخ‌زدگی جلوگیری می‌کند.
کاهش نویز و ارتعاشات
یکی دیگر از کاربردهای جالب عایق حرارتی، قابلیت آن در کاهش نویز و ارتعاشات است. نمونه‌ای از این کاربرد را در شکل زیر مشاهده می‌کنید. یکی از تفاوت‌هایی که ماده‌های عایق با یکدیگر دارند، قابلیت آنها در کاهش نویز و ارتعاشات است و برای استفاده برای چنین کاری، باید مناسب‌ترین نوع آن انتخاب شود.
اَبَر عایق‌ها
شاید این‌گونه به نظر برسد که مؤثرترین راه برای کاهش انتقال حرارت، استفاده از ماده‌ایست که کمترین ضریب رسانش گرمایی را دارد. چنین ماده‌ای می‌تواند اورتان ($$\large k=0.026 W/m. ^\circ C$$) یا فایبرگلس ($$\large k=0.035 W/m. ^\circ C$$) باشد. این مواد به وفور یافت می‌شوند، قیمتشان پایین است و قابلیت نصب آسانی دارند.
همچنین، این ضریب برای هوا نیز برابر $$\large k=0.026 W/m. ^\circ C$$ است که مقدار کمتری را نسبت به ماده‌های دیگر نشان می‌دهد. ولی نتایج استفاده از یک لایه هوای حبس شده به عنوان عایق، به اندازه ماده‌های دیگر با همان ضخامت، رضایت‌بخش نیست. دلیل اول، جریان‌های جابجایی هستند که به طور طبیعی در هوا وجود دارند. علاوه بر این، شکل دیگر انتقال حرارت، یعنی تشعشع نیز اتفاق می‌افتد. در عمل، رسانش گرمایی هوا به فشار وابسته نیست و فقط در فشارهای خیلی زیاد و خیلی کم، تحت تأثیر آن قرار می‌گیرد.
بنابراین یکی از راه‌های کاهش رسانش گرمایی هوا و پایین آوردن نرخ انتقال حرارت از طریق آن، تخلیه هواست. در حالتی که خلأ مطلق برقرار شود، رسانش گرمایی هم به صفر می‌رسد. زیرا دیگر ذره‌ای وجود ندارد که عمل رسانش گرما را از صفحه‌ای به صفحه دیگر انجام دهد. ولی انجام چنین کاری نمی‌تواند به عنوان نهایتِ عایق‌کاری تلقی شود. زیرا هدف استفاده از عایق حرارتی به حداقل رساندن انتقال حرارت کل است؛ نه فقط انتقال حرارت هدایتی. خلأ می‌تواند هدایت گرمایی را به صفر برساند. اما از سوی دیگر، مقاومت در برابر تشعشع نیز صفر شده است و میزان انتقال حرارت از این طریق با سایر روش‌ها قابل مقایسه است. به همین دلیل، ایجاد خلأ تأثیر چندانی در کاهش انتقال حرارت نخواهد داشت.
برای جلوگیری از انتقال حرارت به شیوه تشعشع بین دو صفحه، باید موانعی بین آن دو صفحه قرار داد. این موانع باید صفحاتی نازک از جنس فلز بوده و ضریب انعکاس بالایی داشته باشند. انتقال حرارت تشعشعی بین دو صفحه، با تعداد این صفحه‌ها نسبت معکوس دارد. بدین منظور از ساختاری استفاده می‌شود که در آن، حدوداً ۲۵ صفحه نازک از جنس آلومینیوم در هر سانتیمتر به صورت لایه لایه قرار گرفته است. این لایه‌ها با کمک ماده‌های عایق، مانند فایبرگلاس از هم جدا شده‌اند.
سپس برای اینکه انتقال گرما از طریق هدایت و جابجایی به حداقل برسد، هوای موجود در فضای بین لایه‌ها تا فشار $$\large 0.000001\: \text {atm}$$ تخلیه می‌شود. نتیجه این کار، یک عایق حرارتی است که رسانش گرمایی آن به کمتر از $$\large 2\times 10 ^{-5} \:W/m. ^\circ C$$ می‌رسد. چنین ضریبی، هزار برابر از هوا یا هر ماده عایق دیگری کوچکتر است. این نوع عایق حرارتی که به شیوه خاصی ساخته می‌شود، اَبَرعایق (Super-insulator) نام دارد. ابرعایق‌ها در کاربردهای فضانوردی و برودتی مورد استفاده قرار می‌گیرند.
ضریب مقاومت گرمایی در عایق حرارتی
برخی سازندگان، عملکرد ماده عایق را با شاخصی تحت عنوان ضریب مقاومت گرمایی (R-value) می‌سنجند. ضریب مقاومت گرمایی عبارت است از مقاومت حرارتی ماده در واحد سطح. در عایق‌های مسطح، برای به دست آوردن این شاخص، کافیست ضخامت عایق را به ضریب هدایت حرارتی تقسیم کنیم.
$$\large R-\text {value} \:=\: \frac {L} {k}$$
در رابطه بالا، $$\large L$$ ضخامت عایق حرارتی و $$\large k$$ نیز ضریب هدایت حرارتی آن است. اگر عایق به شکل لوله باشد، ضریب مقاومت گرمایی به صورت زیر محاسبه می‌شود.
$$\large R-\text {value} \:=\: \frac {r_2} {k} \ln \frac {r_2} {r_1}$$
در اینجا، $$\large r_1$$ و $$\large r_2$$ به ترتیب شعاع درونی و بیرونی لوله عایق است. اگر مقدار ضریب مقاومت گرمایی مشخص باشد، نرخ انتقال حرارت از طریق عایق، با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.
$$\large \dot{Q} \:=\: \frac {\Delta T} {R-\text {value}} \times A$$
اختلاف دما با $$\large \Delta T$$ و مساحت بیرونی عایق لوله‌ای با $$\large A$$ نشان داده شده است. در سیستم انگلیسی، مقادیر ضریب مقاومت گرمایی بدون واحد اندازه‌گیری و مانند $$\large R-19$$ و $$\large R-30$$ بیان می‌شود. در محاسبه این مقادیر، ضخامت ماده برحسب $$\large ft$$ و هدایت حرارتی با واحد $$\large Btu/ h.ft.\: ^\circ F$$ وارد شده‌اند. از این رو واحد سنجش ضریب مقاومت گرمایی، برابر $$\large h.ft^2.\: ^\circ F/Btu$$ است. به عنوان مثال، ضریب مقاومت گرمایی برای عایقی از جنس فایبرگلس و ضخامت $$\large 6\: in$$، که ضریب هدایت حرارتی آن برابر $$\large 0.025\: Btu/ h.ft.\: ^\circ F$$ است، به صورت زیر به دست می‌آید.
$$\large R-\text {value} \:=\: \frac {L} {k} \:=\: \frac {0.5\: ft} {0.025\: Btu/ h.ft. \:^\circ F} \:=\: 20\: h.ft^2. \:^\circ F/Btu$$
از این رو، چنین عایقی با شاخص R-20 معرفی می‌شود. واحد اندازه‌گیری ضریب مقاومت گرمایی در سیستم SI برابر با $$\large m^2. \:^\circ C/W$$ است و برای تبدیل واحد می‌توان از رابطه زیر کمک گرفت.
$$\large 1\:m^2. \:^\circ C/W \:=\: 5.678\: h.ft^2. ^\circ F/Btu$$
ضخامت بهینه در عایق حرارتی
این نکته را در نظر داشته باشید که عایق حرارتی قادر نیست انتقال حرارت را به صورت کامل، صفر کند. بلکه فقط آن را کاهش می‌دهد. هرچه ضخامت عایق بیشتر باشد، نرخ انتقال حرارت نیز کُندتر می‌شود ولی در عوض، هزینه هم بالاتر می‌رود. بنابراین، باید به دنبال ضخامت بهینه‌ای باشیم که تعادلی بین هزینه و نرخ انتقال حرارت ایجاد کند.
برای تعیین ضخامت بهینه عایق حرارتی نمودار زیر را در نظر بگیرید. هرچه ضخامت عایق بیشتر شود، هزینه عایق هم به صورت خطی افزایش می‌یابد. ولی در طرف مقابل، هزینه‌ای که قبلاً برای اتلاف گرما صرف می‌شد، به صورت نمایی در حال کاهش است.
مجموع این دو هزینه، با هزینه کل نشان داده شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هزینه کل ابتدا کاهش می‌یابد تا به مقدار مینیمم برسد و پس از آن، مقدارش زیاد می‌شود. ضخامت متناظر با مینیمم هزینه کل، ضخامت بهینه نامیده می‌شود. اگر بتوانیم معادله‌ای برای هزینه کل بیابیم، با مشتق‌گیری از آن و حل معادله به دست آمده، ضخامت بهینه به دست می‌آید. ضخامت بهینه عایق حرارتی به عواملی همچون هزینه سوخت وابسته است و هرچه هزینه سوخت بالاتر رود، ضخامت بهینه نیز افزایش خواهد داشت. از این رو با توجه به این نکته که هر عایق حرارتی به مدت چند سال کارایی دارد و در طول این چند سال، هزینه سوخت ممکن است با افزایش مواجه شود، بهتر است در هنگام نصب، ضخامت بیشتری نسبت به ضخامت بهینه در نظر گرفته شود. در غیر این صورت، عایقی که امسال به عنوان ضخامت بهینه نصب شده، ممکن است چند سال بعد، ناکافی باشد.
بحث‌هایی که تا اینجا کردیم، مربوط به زمانی است که نوع ماده عایق تعیین شده و تنها قسمت مجهول مسئله، اقتصادی‌ترین ضخامت برای آن است. ولی در بیشتر موارد، چندین عایق مختلف برای یک کار مناسب است و فرآیند انتخاب از بین آنها می‌تواند گمراه‌کننده باشد. زیرا هریک از آنها ممکن است ضریب هدایت حرارتی، هزینه نصب و عمر متفاوتی داشته باشند. در چنین مواردی، باید مطابق شکل زیر، ابتدا نمودار هزینه سالانه هریک از عایق‌ها برحسب ضخامت رسم شود تا عایقی که حداقل هزینه را دارد، تعیین شود. هر عایق حرارتی که کمترین هزینه سالانه را به همراه دارد، اقتصادی‌ترین گزینه است و ضخامت متناظر با آن باید به عنوان ضخامت بهینه انتخاب شود.
اگر ضخامت بهینه‌ای که بدین طریق به دست می‌آید، بین دو ضخامت استاندارد موجود در بازار باشد، بهتر است محافظه‌کار باشیم و ضخامت بیشتر را انتخاب کنیم. ضخامت اضافه، این اطمینان را فراهم می‌کند که در صورت افت کیفیت و تنزل عملکرد عایق به مرور زمان، حاشیه امنیتی ایجاد شده و هنوز هم عملکرد مورد انتظار برآورده شود. در این وضعیت، حتی نگرانی خاصی بابت افزایش تولید گازهای گل‌خانه‌ای نیز وجود نخواهد داشت.
مثال: تأثیر عایق حرارتی در دمای سطح
سؤال: آب داغ با دمای $$\large T_i\:=\:120 ^\circ C$$ در یک لوله فولادی ($$\large k\:=\:15 W/m.\:^\circ C$$) با قطر درونی $$\large 1.6 cm$$ و ضخامت $$\large 0.2 cm$$ جریان دارد. لوله به خوبی عایق شده و دمای سطح بیرونی عایق و محیط، به ترتیب برابر $$\large 40 ^\circ C$$ و $$\large T_o=25 ^\circ C$$ است. ضرایب انتقال حرارت را در داخل و خارج لوله به ترتیب برابر $$\large h_i= 70 W/m^2.\:^\circ C$$ و $$\large h_o=20 W/m^2.\:^\circ C$$ فرض کنید. ضخامت عایقی از جنس فایبرگلس ($$\large k= 0.038\: W/m.\:^\circ C$$) را تعیین کنید که باید روی لوله نصب شود.
پاسخ: شبکه مقاومت حرارتی برای این مسئله، شامل چهار مقاومت است که به مطابق شکل بالا، به صورت سری به یکدیگر متصل شده‌اند. شعاع داخلی لوله، برابر $$\large r_1= 0.8\: cm$$ بوده و شعاع خارجی آن که برابر شعاع داخلی عایق نیز می‌شود، $$\large r_1= 1.0\: cm$$ است. اگر شعاع بیرونی عایق را با $$\large r_3$$ نشان دهیم، سطحی از لوله که در معرض هدایت جابجایی قرار می‌گیرد، برای طول واحد ($$\large L=1\:m$$) به شیوه زیر محاسبه می‌شود.
$$\large A_1\:=\: 2\pi r_1 L\:=\: 2\pi (0.008\:m) (1\:m) \:=\: 0.0503 \:m^2 \\~\\
\large A_3\:=\: 2\pi r_3 L\:=\: 2\pi r_3 (1\:m) \:=\: 6.28\: r_3\: m^2$$
از این رو، هریک از مقاومت‌های حرارتی به دست می‌آید.
$$\large R_i\:=\: R_{\text{conv}, \:1} \:=\: \frac {1} {h_iA_1}\:=\: \frac {1} {(70\: W/m^2.\: ^\circ C) (0.0503 \:m^2)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ R_i\:=\: 0.284\: ^\circ C/W \\~\\
\large R_1\:=\: R_{\text{pipe}} \:=\: \frac {\ln (r_2 /r_1)} {2\pi k_1L} \:=\: \frac {\ln (0.01/ 0.008)} {2\pi (15\: W/m. \:^\circ C) (1\:m)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ R_1\:=\: 0.0024 \:^\circ C/W \\~\\
\large R_2 \:=\: R_{\text{insulation}} \:=\: \frac {\ln (r_3/r_2)} {2\pi k_2L} \:=\: \frac {\ln (r_3 /0.01)} {2\pi (0.038\: W/m. \:^\circ C) (1\:m)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ R_2\:=\: 4.188 \: \ln (r_3 /0.01) \:^\circ C/W \\~\\
\large R_o\:=\: R_{\text{conv}, \:2} \:=\: \frac {1} {h_o A_3} \:=\: \frac {1} {(20\: W/m^2. \:^\circ C) (6.28 \:r_3 m^2)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ R_o \:=\: \frac {1} {125.6 \:r_3} \:^\circ C/W $$
می‌دانیم تمام مقاومت‌ها به صورت سری به هم متصل شده‌اند. اکنون، مقاومت کل را محاسبه می‌کنیم.
$$\large R_{\text{total}} \:=\: R_i \:+\: R_1 \:+\: R_2 \:+\: R_o \\~\\
\large R_{\text{total}} \:=\: [0.284 + 0.0024+ 4.188\: \ln (\frac {r_3} {0.01})+ \frac {1} {125.6\:r_3}] \:^\circ C/W$$
به این ترتیب، نرخ پایدار افت حرارت از بخار به دست می‌آید.
$$\large \dot{Q} \:=\: \frac {T_i \:-\: T_o} {R_{\text{total}}} \\~\\
\large \Rightarrow \dot{Q} \:=\: \frac {(120 \:-\: 125) \:^\circ C} {[0.284 + 0.0024+ 4.188\: \ln (\frac {r_3} {0.01})+ \frac {1} {125.6\:r_3}] \:^\circ C/W}$$
همچنین می‌دانیم دمای سطح بیرونی عایق، برابر $$\large 40\: ^\circ C$$ است. بنابراین نرخ افت حرارت را می‌توانیم به صورت رابطه زیر نیز بنویسیم.
$$\large \dot{Q} \:=\: \frac {T_3 \:-\: T_o} {R_o} \:=\: \frac {(40 \:-\: 25) \:^\circ C} {(\frac {1} {125.6 \:r_3}) \: ^\circ C/W} \:=\: 1884 \:r_3$$
اگر دو رابطه اخیر را مساوی هم قرار دهیم، مقدار $$\large r_3\:=\: 0.0170\:m$$ به دست می‌آید. اکنون، ضخامت حداقل برای عایق فایبرگلس محاسبه می‌شود.
$$\large t\:=\: r_3 \:-\: r_2 \:=\: 0.0170 \:-\: 0.0100 \:=\: 0.0070\:m \:=\: 0.70\: cm$$
همان‌طور که می‌بینیم، نصب عایق حرارتی از جنس فایبرگلس و با ضخامت $$\large 0.70\:cm$$ می‌تواند دمای سطح بیرونی را در حدود $$\large 40\: ^\circ C$$ حفظ کند.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
- مجموعه آموزشی نرم‌افزارهای مهندسی مکانیک
- آموزش ترمودینامیک 2
- ترمودینامیک — از صفر تا صد
- نقطه بحرانی (Critical Point) در ترمودینامیک — به زبان ساده
- تعریف گرما و دما در ترمودینامیک — به زبان ساده
^^
