ضرب چند جمله ای ها — به زبان ساده

یک چند جمله‌ای می‌تواند به عنوان الگو یا رابطه‌ای بین درجه‌های مختلف یک متغیر تعبیر شود. در یک چند جمله‌ای ساده، یک متغیر (مثلا $$x$$) دخالت دارد در حالیکه به صورت کلی یک چند جمله‌ای می‌تواند از چندین متغیر تشکیل شده باشد. در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس با مفهوم چند جمله‌ای آشنا شده‌اید ولی در این مطلب قصد داریم در مورد نحوه ضرب چند جمله ای ها بحث کرده و نحوه انجام محاسبات مربوطه را فرا گیریم.

برای آشنایی بیشتر با چند جمله‌ای‌ها خواندن مطالب چند جمله‌ای‌ها — به زبان ساده و  تقسیم چند جمله ای ها — به زبان ساده پیشنهاد می‌شود. همچنین خواندن کاربرد فاکتورگیری در حل معادلات ریاضی — به زبان ساده و اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده خالی از لطف نیست.

ضرب چند جمله ای ها در ریاضیات

چند جمله‌ای ها، نوع خاصی از عبارت‌های جبری محسوب می‌شوند که در آن‌ها فقط یک متغیر نقش دارد. همانطور که گفته شد، «چند جمله‌ای» (Polynomial) یک رابطه بین توان‌های مختلف یک متغیر است. به یاد دارید که یک چند جمله‌ای برحسب $$x$$ از درجه $$n$$ را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$ \large P_n (x) = a_0 \; + \; a_1 x\; + \;a_2 x^2 \;+\; a_3x^3\; +\; \ldots\; +\; a_nx^n $$

البته عبارت بالا را برای راحتی با استفاده از نماد جمع (Summation) یا $$\Sigma$$، به شکل زیر نیز نشان می‌دهند:

$$ \large P_n (x) = \sum_{ i = 0} ^ n a_i x^i $$

واضح است که یک چند جمله‌ای درجه $$n$$ یا با مرتبه $$n$$، دارای $$n+1$$ جمله است. از آنجایی که بزرگترین درجه متغیر در $$P_n(x)$$ برابر با $$n$$ است، آن را یک چند جمله‌ای درجه $$n$$ نامیدیم. در این متن، می‌خواهیم عمل ضرب را برای چنین چندجمله‌ای‌ هایی به کار بریم.

نکته: توجه داشته باشید که چون توان‌های هر یک $$x$$ها در این چند جمله‌ای با یکدیگر تفاوت دارد، نمی‌توان عبارت را ساده‌تر کرد زیرا در این حالت، جمله‌ها، مشابه نیستند. به یاد دارید که جملات مشابه، عبارت‌هایی است که در آن متغیرها دارای توان یکسانی باشند. به این ترتیب $$5x$$ و $$-10x$$ مشابه بوده ولی با $$3x^2$$ مشابه نیستند.

در ادامه حالت‌های مختلف عمل ضرب را در بین چند جمله‌ای‌ها دنبال خواهیم کرد. به این موضوع نیز توجه داشته باشید که ضرب چند جمله ای ها باز هم یک چند جمله‌ای خواهد شد.

ضرب چند جمله ‌ای در یک عدد

در دروس دبستان با خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع آشنا شده‌اید. برای مثال اگر لازم باشد که $$10+2$$ را در $$3$$ ضرب کنیم، به ترتیب زیر عمل خواهیم کرد.

$$ \large 3 \times (10 + 2 )  =  ( 3 \times 10 )  + ( 3 \times 2 ) = 30 + 6 = 36 $$

البته شاید این کار برایتان کمی عجیب به نظر برسد، ولی در ادامه همین عمل را برای چند جمله‌ای‌ها هم انجام خواهیم داد. حال فرض کنید قرار است یک جمله‌ای درجه ۱ را در یک مقدار ثابت مثلا ۵ ضرب کنیم. این کار را درست به مانند حالت بالا انجام خواهیم داد.

$$ \large 5 \times (a_0  + a_1 x )  =  ( 5 \times a_0 )  + ( 5 \times a_1 x ) = 5 a_0 + 5 a_1 x$$

مثال ۱

چند جمله‌ای درجه 2 را به صورت $$5 + 3x – 4 x^2 $$ در نظر بگیرید. می‌خواهیم حاصل ضرب این چند جمله‌ای را در عدد ۱۰ محاسبه کنیم. طبق رابطه بالا، خواهیم داشت.

$$ \large 10 \times ( 5 + 3 x – 4 x^2 ) = (10 \times 5) + (10 \times 3 x) + (10 \times (-4 x^2) ) = 50 + 30 x – 40 x^2 $$

بطوری کلی می‌توان ضرب یک مقدار ثابت مثل $$k$$ را در یک چند جمله‌ای درجه $$n$$ را به صورت زیر تصور و محاسبه کرد.

$$ \large k \times (a_0 \;+\; a_1 x\; + \;a_2 x^2 \;+ \; \ldots\;  +\;  a_n x^n)  = k a_0 \; +\; k a_1 x \;+\; k a_2 x^2 \;+\; \ldots \;+\; k a_n x^n $$

مثال ۲

در رابطه بالا، فرض کنید $$k=\sqrt{2}$$ باشد، آنگاه حاصل ضرب این مقدار در چند جمله‌ای کامل درجه $$5$$ به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$ \large \sqrt{2} \times (2 + 4 x + 6 x^2 + \sqrt{2} x^3 + x^4 – x^5)  = \\ \large 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} x + 6 \sqrt{2} x^2 + ( \overbrace{ 2}^{ \sqrt{2} \times \sqrt{2} }) x^3 + \sqrt{2} x^4 – \sqrt{2} x^5 $$

عبارت مربوط به آخرین تساوی، ساده‌تر از این نخواهد شد، زیرا جملات مشابه برای ساده‌سازی در آن وجود ندارد.

نکته: از آنجایی که مقدار ثابت مثل $$k$$ را هم به صورت یک چند جمله‌ای فرض کرد، در مثال ۱ و ۲، در حقیقت عمل ضرب دو چند جمله‌ای را به کار برده‌ایم. برای مثال $$k$$ را می‌توان به صورت یک چند جمله‌ای در نظر گرفت که برای همه عبارت‌هایی که شامل $$x$$ هستند، ضریب صفر دارد.

$$ \large k = k \;+\; 0 \times x \;+\; 0 \times x^2 \;+\; 0 \times x^3 \;+\; \ldots \;+\; 0 \times x^n $$

ضرب چند جمله ای در چند جمله ای

این بار برای ضرب چند جمله ای ها، باز هم از الگوی پخشی عملگر ضرب نسبت به جمع استفاده می‌کنیم. البته این کار را برحسب تعداد جملات هر یک از چند جمله‌ای‌ها تکرار خواهیم کرد. تصور کنید که عدد ۱۰ را به صورت 5 – 15 نوشته‌ایم. همچنین عدد ۹ را هم به صورت 2 + 7 در نظر گرفته‌ایم. واضح است که ضرب این دو عدد برابر با ۹۰ خواهد بود ولی می‌خواهیم با استفاده از خاصیت پخشی ضرب نسبت به جمع محاسبات را پی‌گیری کنیم.

ابتدا جمله اول (یعنی 15) از عبارت ابتدایی را در تک تک جملات عبارت دوم ضرب کرده و نتایج را با یکدیگر جمع می‌کنیم. سپس این کار را برای عبارت دوم و سوم مربوط به جمله اول تکرار خواهیم کرد.

$$ \large ( 15  – 5) \times ( 7 + 2 ) = (15 \times 7 + 15 \times 2) + ( -5 \times 7 + (-5) \times 2 ) = \\ \large ( 105 + 30 -35 – 10) = 135 –  45 = 90 $$

این بار هم از همین الگو استفاده کرده، حاصل ضرب دو چند جمله‌ای مرتبه اول را بدست می‌آوریم.

چند جمله‌ای اول را با $$P_1(x)$$ و دومی با $$Q_1(x)$$ مشخص کرده‌ایم. واضح است که برای هر دو، متغیر مورد نظر $$x$$ است.

$$ \large P_1 (x) = a_0 + a_1 x , \;\;\;\; Q_1 (x) = b_0 + b_1 x $$

به این ترتیب ضرب چند جمله ای ها را به صورت زیر محاسبه خواهیم کرد.

$$ \large P_1 (x) \times Q_1 (x) = (a_0 + a_1 x) (b_0 + b_1 x) = \\ \large (a_0 \times b_0 + a_0 \times b_1 x) + ( a_1 x \times b_0 + a_1 x \times b_1 x ) = \\ \large (a_0) (b_0) + (a_0 \times b_1) x + (b_0 \times a_1) x + (a_1 \times b_1) x^2 = \\ \large (a_0) (b_0) + [(a_0) (b_1)+ (b_0) (a_1)] x + (a_1) (b_1) x^2 $$

نکته: توجه داشته باشید که در این حالت جملات مشابه، باید دارای توان‌های یکسانی از $$x$$ باشند. به این ترتیب فقط جمع جبری برای ضرایب چنین عبارت‌هایی امکان‌پذیر است.

مثال ۳

فرض کنید که $$P_1(x) = 5 + 3x$$ و $$Q_1(x) = 10 – 4x$$ باشد. در این صورت مشخص است که $$a_0 = 5 , a_1 = 3$$ و $$b_0 = 10 , b_1 = -4$$ است. به این ترتیب از تساوی آخر رابطه بالا استفاده خواهیم کرد.

$$ \large (5 + 3x ) \times (10 – 4x) = \\ \large (5 \times 10)  + [ \left( 5 \times (-4) \right) +  \left( 10 \times 3 \right) ] x + (3)(-4) x^2 = \\ \large  50 + 10 x – 12 x^2 $$

این بار دو چند جمله‌ای درجه ۲ را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. البته توجه داشته باشید که چند جمله‌ای درجه ۲، دارای سه جمله است. اجازه دهید ابتدا یک مثال عددی بزنیم. قرار است. عدد ۱۰ را در ۹ ضرب کنیم و هر یک از آن‌ها را به شکل ۱۰ = 5 + 6 – 1 و 4 + 3 + 2 = 9 نوشته‌ایم. به این ترتیب حاصل ضرب سه جمله‌ای‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$ \large ( 5 + 6 – 1) \times ( 4 + 3 + 2 ) = \\ \large (5 \times 4 + 5 \times 3 + 5 \times 2) + \\ \large ( 6 \times 4 + 6 \times 3 + 6 \times 2) + \\ \large ( -1 \times 4 + (-1) \times 3 + (-1) \times 2 ) = \\ \large ( 20 + 15 + 10 + 24 + 18 + 12 – 4 – 3 – 2) = 99 –  9 = 90 $$

حال همین عمل را براساس چند جمله‌ای‌ها و به صورت پارامتری انجام می‌دهیم. چند جمله‌ای اول را با $$P_2(x)$$ و دومی با $$Q_2(x)$$ مشخص کرده‌ایم. واضح است که برای هر دو، متغیر مورد نظر $$x$$ است.

$$ \large P_2 (x) = a_0 + a_1 x + a_2x^2,\\ \large \;\;\;\; Q_2 (x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2$$

برای ضرب آن‌ها درست به مانند ضرب عددی عمل می‌کنیم.

$$ \large P_2 (x) \times Q_2 (x) = \\ \large (a_0 + a_1 x + a_2x^2) (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 ) = \\ \large (a_0 b_0 + a_0 b_1 x + a_0 b_2 x^2) + \\ \large ( a_1 x b_0 + a_1 x b_1 x + a_1 x b_2 x^2 ) + \\ \large ( a_2 x^2 b_0 + a_2 x_2 b_1 x + a_2 x^2 b_2 x^2) = \\ \large (a_0) (b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0 )x + \\ \large (a_1 b_1 + a_0 b_2 + a_2 b_0) x^2 + \\ \large (a_1 b_2 + a_2 b_1) x^3 + \\ \large(a_2) (b_2 ) x^4 $$

نکته: توجه داشته باشید که مجموع اندیس جملات ضرب چند جمله ای نتیجه ضرب مانند $$a$$ و $$b$$ها با توان $$x$$ در هر جمله برابر است.

مثال ۴

دو چند جمله‌ای مرتبه ۲ به صورت $$P_2 (x) = 2 + 3x – x^2$$ و $$Q_2 (x) = 10 – 4x + 5x^2$$ در نظر بگیرید. حاصل‌ضرب آن‌ها را مطابق با آخرین تساوی در رابطه بالا به صورت زیر محاسبه می‌کنیم. توجه داشته باشید که در این جا برای چند جمله‌ای اول داریم، $$a_0 = 2, a_1 = 3, a_2 = -1$$ و برای چند جمله‌ای دوم نیز خواهیم داشت $$b_0 = 10 , b_1 = -4 , b_2 = 5$$.

$$ \large P_2 (x) \times Q_2 (x) = \\ \large (2 + 3 x – x^2) (10  – 4 x + 5 x^2 ) =  \\ \large (2)(10) + [(2 \times (-4)  + (3 \times 10) ] x + \\ \large [(3 \times (- 4) + (2 \times 5) + (-1 \times 10) ] x^2 + \\ \large [(3 \times 5 + (-1 \times (-4) )] x^3 +  (-1 \times 5 ) x^4 = \\ \large 20 + 22 x -12 x^2 + 19 x^3 -5 x^2  $$

مثال ۵

این بار دو چند جمله‌ای با درجه‌های متفاوت را در یکدیگر ضرب خواهیم کرد. توجه داشته باشید که باز هم می‌توان از الگوی قبلی استفاده کنیم و برای چند جمله‌ای که درجه کوچکتری دارد، ضرایب جملات ناموجود را صفر در نظر بگیریم.

در این مثال، چند جمله‌ای $$P_2 (x) = 2 – 3x + 4x^2 $$ را در $$ Q_1 (x) = x + 1 $$ ضرب خواهیم کرد. همانطور که می‌بینید اولین چند جمله‌ای از درجه ۲ بوده و دومی از چند جمله‌ای‌های درجه ۱ است. برای اولی ضرایب به صورت $$a_0 = -2 , a_1 = 3 , a_2 = 4$$ و برای دومی $$b_0= 1 , b_1 = 1$$ است. ولی برای آنکه رابطه اخیر، قابل استفاده باشد، ضریب $$b_2$$ را هم برابر با صفر در نظر می‌گیریم. به این ترتیب خواهیم داشت.

$$ \large P_2 (x) \times Q_1 (x) = \\ \large (2 – 3 x + 4 x^2) (1 + x + 0 x^2 ) =  \\ \large (2)(1) + [(2 \times 1  + (- 3 \times 1) ] x + [ (-3 \times 1 ) + 4 \times 1] x^2 + \\ \large (-3 \times  0 + 4 \times 1 ) x^3 + (4 \times 0 ) x^4 = \\ \large 2 – x + x^2 + 4 x^3  $$

همانطور که گفته شد به طور کلی می‌توان چند جمله‌ای مرتبه $$m$$ که به صورت $$P_m(x)$$ مشخص شده و یک چند جمله‌ای مرتبه $$n$$ با نام $$Q_n(x)$$ را به صورت زیر نشان دهیم.

$$ \large P_m (x) = \left( \sum_{i = 0}^m a_i x^i \right) $$

$$ \large Q_n (x) = \left( \sum_{i = 0}^n b_i x^i \right) $$

در این صورت ضرب چند جمله ای ها طبق رابطه زیر قابل محاسبه خواهد بود.

$$ \large \left( \sum_{i = 0}^m a_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^n a_j x^j \right) = \sum_{k = 0}^{m + n} \left( \sum_{i + j = k} a_i b_j \right) x^k $$

توجه داشته باشید که منظور $$ i + j = k $$ در جمع داخلی (علامت دوم $$\Sigma$$)، همه اندیس‌هایی مثل $$i$$ و $$j$$ است که مجموعشان برابر با $$k$$ باشد. رابطه بالا را به شکل ساده‌تر زیر نیز می‌توان نوشت.

$$\large P_m (x) \times Q_n (x) = \sum_{i = 0}^{n + m} \left( \sum_{ j = 0}^i a_{j} b_{i – j} \right) x^i $$

البته مشخص است که برای زمانی که $$i > n $$ یا $$i >m$$ باشد، ممکن است بعضی از ضرایب $$a_i$$ یا $$b_i$$ صفر باشند. مشخص است که چند جمله‌ای حاصل از ضرب، از مرتبه $$m + n$$ خواهد بود. این موضوع در اندیس بالای علامت $$\Sigma$$‌ دیده می‌شود.

ضرب چند جمله ای در بیش از یک چند جمله ای

شاید از اینکه قرار است بیش از دو ضرب چند جمله ای را تجربه کنید، نگران باشید. ولی در اینجا هم یکی از خصوصیات جالب ضرب به نام شرکت‌پذیری در عمل ضرب اعداد به کمک می‌آید. می‌‌دانیم که رابطه زیر برای ضرب چهار عدد ۳ و ۵ و ۷ و ۱۰ برقرار است.

$$ \large 3 \times 5 \times 7 \times 10 = (3 \times 5) \times ( 7 \times 10 ) = 15 \times  70 = 1050 $$

بنابراین اگر قرار باشد که سه یا چهار چند جمله ای را در یکدیگر ضرب کنیم از همین قاعده استفاده خواهیم کرد. به این ترتیب مسئله به ضرب‌های مربوط به دو چند جمله‌ای تبدیل شده که براساس متن بخش‌های قبلی به راحتی میسر است.

$$ \large P_m (x)  \times Q_n (x) \times R_k (x)  \times S_l (x) = [P_m (x)  \times Q_n (x) ] \times [R_k (x)  \times S_l (x)] $$

البته برای اینکه جملات مشابه به دست آمده و قادر به اجرای عمل ضرب باشیم، هر کدام از چند جمله‌ای‌ها را با متغیر $$x$$ در نظر گرفته‌ایم. در غیر این صورت بهتر است نگاهی به عبارت‌های جبری و نحوه ضرب آن‌ها بیاندازید.

نکته: بسیاری از اتحادهای ریاضی مربوط به ضرب چند جمله ای ها هستند. اگر این اتحادها را به خاطر داشته باشید، در انجام محاسبات و عملیات ریاضی، سرعت و دقت بیشتری خواهید داشت. به اتحادهای زیر دقت کنید. همگی آن‌ها براساس ضرب چند جمله‌ای‌ها ساخته شده‌اند.

$$ \large (a + b )^2 = (a + b ) (a + b)  = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ \large (a – b )^2 = (a – b ) (a – b)  = a^2 – 2a b + b^2 $$

$$ \large (a + b ) (a – b) =  a^2 – b^2 $$

$$ \large (a + x ) (b + x)  = a b + (a + b) x + x^2 $$

اکنون، با توجه به مطالب گفته شده در این متن،‌ باید بتوانید علت تساوی‌ها و نحوه محاسبه حاصل‌ضرب را در این اتحادها، توضیح دهید.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با عمل ضرب چند جمله ای ها در یکدیگر آشنا شدید. با ذکر چندین مثال، حالت‌های مختلف برای ضرب چند جمله ای ها در ریاضیات مورد بررسی قرار گرفت. از آنجایی که بسیاری از توابع ریاضی را می‌توان به واسطه چند جمله‌های تقریب زد، ضرورت آشنایی با آن‌ها و همچنین انجام عملیات جبری روی آن‌ها احساس می‌شود. به این ترتیب با ذکر مثال‌هایی متنوع سعی کردیم که فراگیران را با ضرب چند جمله‌ای ها بیشتر آشنا کنیم. در این بین درک صحیح از عبارت‌های مشابه بسیار کارساز است. در نوشتار دیگری از مجله فرادرس، به جمع و تفریق و همچنین تقسیم چند جمله‌ای‌ها پرداخته‌ایم.