دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن با ضرایب ثابت — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. همچنین، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. در این آموزش دستگاه معادلات ناهمگن خطی را معرفی و برخی از روش‌های حل آن را بیان می‌کنیم.

یک دستگاه ناهمگن خطی معمولی شامل $$n$$ معادله با ضرایب ثابت را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large { \frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { x ’ _ i } } = { \sum \limits _ { j = 1 } ^ n { { a _ { i j } } { x _ j } \left ( t \right ) } + { f _ i } \left ( t \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { i = 1 , 2 , \ldots , n }$$

که در آن $$t$$ یک متغیر مستقل (اغلب زمان)، $$x_i(t)$$ توابع نامعلوم پیوسته و مشتق‌پذیر در بازه حقیقی $$\left[ {a,b} \right]$$ روی محور $$t$$، $${a_{ij}}\left( {i,j = 1, \ldots ,n} \right)$$ ضرایب ثابت و $$f_i(t)$$ توابعی از متغیر مستقل $$t$$ هستند. فرض می‌کنیم توابع $$x_i(t)$$ و $$f_i(t)$$ و ضرایب $$a_{ij}$$ می‌توانند مقادیر حقیقی و مختلط اختیار کنند.

بردارهای زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large { \mathbf { X } \left ( t \right ) = \left[ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { x _ 1 } \left ( t \right ) } \\<br /> { { x _ 2 } \left ( t \right ) } \\<br /> \vdots \\<br /> { { x _ n } \left ( t \right ) }<br /> \end {array} } \right] , \; \; } \kern0pt<br /> { \mathbf { f } \left ( t \right ) = \left[ { \begin {array} {*{20}{c}}<br /> { { f _ 1 } \left ( t \right ) } \\<br /> { { f _ 2 }\left ( t \right ) } \\<br /> \vdots \\<br /> { { f _ n } \left ( t \right ) }<br /> \end {array}} \right] } $$

همچنین ماتریس زیر را تعریف می‌کنیم:

$$ \large A = \left[ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { a _ { 1 1 } } } & {{ a _ { 1 2 } } } & \vdots & { { a _ { 1 n } } }\\<br /> { {a _ { 2 1 } } } & {{ a_ { 2 2 } } } & \vdots & { { a _ { 2 n} } } \\<br /> \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\<br /> { { a _ { n 1 } } }& { {a _ { n 2 } } } & \vdots & { { a _ { n n } }}<br /> \end{array}} \right]. $$

آن‌گاه دستگاه معادلات را می‌توان به فرم فشرده ماتریسی زیر نوشت:

$$\large \mathbf { X } ’ \left ( t \right ) = A \mathbf { X } \left ( t \right ) + \mathbf { f } \left ( t \right ) .$$

مشابه دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی همگن، قضیه زیر برای دستگاه معادلات غیرهمگن برقرار است.

قضیه: جواب عمومی $$\mathbf{X}\left( t \right)$$ دستگاه ناهمگن، برابر با مجموع جواب عمومی $${\mathbf{X}_0}\left( t \right)$$ متناظر با دستگاه همگن و یک جواب خصوصی $${\mathbf{X}_1}\left( t \right)$$ دستگاه ناهمگن است:

$$\large \mathbf { X } \left ( t \right ) = { \mathbf { X } _ 0 } \left ( t \right ) + { \mathbf { X} _ 1 } \left ( t \right ) .$$

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، روش‌های حل دستگاه همگن را بیان کردیم. بنابراین، در اینجا به روش یافتن جواب خصوصی می‌پردازیم.

یک ویژگی مهم دیگر از دستگاه ناهمگن خطی، اصل برهم‌نهی یا جمع آثار است که به صورت زیر بیان می‌شود:

اگر $${\mathbf{X}_1}\left( t \right)$$ یک جواب برای دستگاهی با بخش ناهمگن $${\mathbf{f}_1}\left( t \right)$$، و $${\mathbf{X}_2}\left( t \right)$$ جواب همان دستگاه با بخش ناهمگن $${\mathbf{f}_2}\left( t \right)$$ باشد، آن‌گاه تابع برداریِ

$$\large \mathbf { X } \left ( t \right ) = { \mathbf { X } _ 1 } \left ( t \right ) + { \mathbf { X } _ 2 } \left ( t \right )$$

یک جواب برای دستگاه با بخش ناهمگن زیر است:

$$\large \mathbf { f } \left ( t \right ) = { \mathbf { f } _ 1 } \left ( t \right ) + { \mathbf { f } _ 2 } \left ( t \right ) .$$

روش‌های حل دستگاه معادلات ناهمگن خطی  با ضرایب ثابت

متداول‌ترین روش‌های حل دستگاه‌های ناهمگن، روش حذفی، روش ضرایب نامعین (در حالتی که $$\mathbf{f}\left( t \right)$$ یک بردار شبه‌چندجمله‌ای است) و روش تغییر پارامتر هستند. در ادامه، این روش‌ها را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

روش حذفی

با استفاده از این روش می‌توان یک دستگاه ناهمگن خطی معمولی شامل $$n$$ معادله با ضرایب ثابت را با یک معادله مرتبه $$n$$ کاهش داد. این روش برای حل دستگاه‌های مرتبه دوم مفید است.

روش ضرایب نامعین

روش ضرایب نامعین برای حل دستگاه‌ معادلاتی که بخش ناهمگن آن‌ها یک شبه‌چندجمله‌ای است، کاربرد دارد.

یک شبه‌چندجمله‌ای برداری حقیقی، تابعی برداری به فرم زیر است:

$$\large { \mathbf { f } \left ( t \right ) } = { { e ^ { \alpha t }} \left[ { \cos \left ( { \beta t } \right ) { \mathbf { P } _ m } \left ( t \right ) } \right . } + { \left . { \sin \left ( { \beta t } \right ){ \mathbf { Q } _ m } \left ( t \right ) } \right] }$$

که در آن $$\alpha$$ و $$\beta$$ اعدادی حقیقی و $${{\mathbf{P}_m}\left( t \right)}$$ و $${{\mathbf{Q}_m}\left( t \right)}$$ چندجمله‌ای‌های برداری درجه $$m$$ هستند. برای مثال، چندجمله‌ای برداری $${{\mathbf{P}_m}\left( t \right)}$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large { { \mathbf { P } _ m } \left ( t \right ) } = { { \mathbf { A } _ 0 } + { \mathbf { A } _ 1 } t + { \mathbf { A } _ 2 } { t ^ 2 } + \cdots } + { { \mathbf { A } _ m } { t ^ m } }$$

که در آن $${\mathbf{A}_0}$$، $${\mathbf{A}_2}$$، $$\ldots$$ و $${\mathbf{A}_m}$$ بردارهایی به طول $$n$$ هستند ($$n$$ تعداد معادلات دستگاه است).

در حالتی که بخش ناهمگن $$\mathbf{f}\left( t \right)$$، یک شبه‌چندجمله‌ای برداری باشد، جواب عمومی نیز یک شبه‌چندجمله‌ای برداری با ساختار مشابه $$\mathbf{f}\left( t \right)$$ خواهد بود.

برای مثال، اگر تابع ناهمگن به صورت زیر باشد:

$$\large \mathbf { f } \left ( t \right ) = { e ^ { \alpha t } }{ \mathbf { P } _ m } \left ( t \right )$$

جواب خصوصی به فرم زیر خواهد بود:

$$\large { \mathbf { X } _ 1 } \left ( t \right ) = { e ^ { \alpha t } } { \mathbf { P } _ { m + k } } \left ( t \right )$$

که در آن، در حالت غیر رزونانسی، $$k=0$$ است؛ یعنی وقتی اندیس $$\alpha$$ با یک مقدار ویژه $$\lambda _i$$ منطبق باشد، یعنی در حالت رزونانس باشیم، مقدار $$k$$ برابر با طول زنجیره جردن برای مقدار ویژه $$\lambda _i$$ قرار داده می‌شود. در عمل، می‌توان $$k$$ را به‌ عنوان کثرت جبری $$\lambda _i$$ در نظر گرفت.

برای تعیین درجه شبه‌چندجمله‌ای‌های زیر، از قاعده‌های مشابه مربوط به چندجمله‌ای‌ها استفاده می‌شود:

$$\large { { e ^ { \alpha t } } \cos \left ( { \beta t } \right ) , \; \; } \kern0pt { { e ^ { \alpha t } } \sin \left ( { \beta t } \right ) . }$$

در اینجا، حالت رزونانس زمانی رخ می‌دهد که $$\alpha + \beta i$$ با مقدار ویژه مختلط $$\lambda _i$$ ماتریس $$A$$ برابر باشد.

بعد از انتخاب ساختار جواب خصوصی $${\mathbf{X}_1}\left( t \right)$$، ضرایب برداری نامعلوم $${A_0},{A_1}, \ldots ,{A_m}, \ldots ,{A_{m + k}}$$ با جایگزینی عبارت $${\mathbf{X}_1}\left( t \right)$$ در دستگاه اصلی و برابر قرار دادن ضرایب جملات برای توان‌های یکسان $$t$$ به دست می‌آید.

روش تغییر ضرایب

روش تغییر ضرایب (روش لاگرانژ) یک روش رایج برای حل دستگاه با تابع دلخواه $$\mathbf{f}\left( t \right)$$ در سمت راست آن است.

فرض کنید جواب عمومی دستگاه همگن محاسبه شده و به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { X } _ 0 } \left ( t \right ) = \Phi \left ( t \right ) \mathbf { C }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

که در آن $$\Phi \left( t \right)$$ یک دستگاه اساسی از جواب‌ها است؛ یعنی ماتریسی با اندازه $$n \times n$$ که ستون‌های آن، جواب‌های مستقل خطی دستگاه همگن  هستند و $${\left( {{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}} \right)^T}$$ بردار اعداد ثابت دلخواه $${C_i}\left( {i = 1, \ldots ,n} \right)$$‌ است.

ثابت‌های $${C_i}$$ را با توابع نامعلوم $$C_i (t)$$ جایگزین کرده و تابع $$\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)$$ را در دستگاه معادلات ناهمگن قرار می‌دهیم: