کاربرد بهینه سازی در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در هندسه، مسائل مختلفی وجود دارد که در آن‌ها می‌خواهیم بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنیم. برای مثال، می‌توانیم محیط یا مساحت یک شکل یا حجم یک جسم را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم. در این‌گونه مسائل بهینه سازی در هندسه می‌توانیم یکی از پارامترهای شکل یا جسم هندسی (مثلاً طول یک ضلع یا زاویه بین دو ضلع) را به عنوان یک متغیر مستقل در نظر بگیریم. بعد از تشکیل تابع، باید مقادیر اکسترمم را با استفاده از مشتق‌گیری پیدا کنیم. باید توجه کنیم که توابع چنین مسائلی معمولاً در یک بازه کراندار تعریف می‌شوند که با هندسه سیستم و یا شرایط مسئله تعیین می‌گردند.

مثال‌های بهینه سازی در هندسه

در این بخش، مثال‌های متنوعی را درباره کاربرد بهینه‌سازی در هندسه ارائه می‌کنیم.

فیلم آموزش بهینه سازی توپولوژی با آباکوس ABAQUS در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

نقطه $$A\left( {a,b} \right)$$ در ربع اول صفحه مختصات داده شده است. یک خط مستقیم رسم می‌کنیم که از این نقطه می‌گذرد و محورهای مختصات را در ربع اول قطع می‌کند. محل‌های برخورد با محورها را به گونه‌ای بیابید که مساحت مثلث تشکیل شده کمترین مقدار ممکن را داشته باشد (شکل ۱).

حل: مثلث‌های $$OBC$$ و $$MBA$$ را در نظر می‌گیریم. این مثلث‌ها متشابه هستند. در نتیجه، رابطه زیر برقرار است:

$$\large { \frac { { O C } } { { M A } } = \frac { { O B } }{ { M B } } \; \; } \kern0pt { \Rightarrow \; \; \frac { y } { b } = \frac { x } { { x – a } } }$$

که در آن، مختصات $$x$$ و $$y$$ در نامعادلات $$x > a$$ و $$y > b$$ صدق می‌کنند. با استفاده از معادله آخر می‌توانیم $$y$$ را بر حسب $$x$$ بیان کنیم:

$$\large y = \frac { { b x } } { { x – a } } .$$

مساحت مثلث را با تابع $$S\left( x \right)$$ بیان می‌کنیم:

$$\large { S \left ( x \right ) = \frac { { x y } } { 2 } = \frac { x } { 2 } \cdot \frac { { b x } } { { x – a } } } = { \frac { { b { x ^ 2 } } } { { 2 \left ( { x – a } \right ) } } . }$$

مشتق تابع مساحت به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} S ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { b { x ^ 2 } } }{ { 2 \left ( { x – a } \right ) } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { b } { 2 } { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { { x – a } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { b } { 2 } \cdot \frac { { 2 x \left ( { x – a } \right ) – { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { b } { 2 } \cdot \frac { { 2 { x ^ 2 } – 2 a x – { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { b x \left ( { x – 2 a } \right ) } } { { { { 2 \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

تابع $$S\left( x \right)$$ سه نقطه بحرانی $$x = 0$$، $$x = a$$ و $$x = 2a$$ دارد. از آنجایی که $$x > a$$ است، جواب نقطه $$x = 2 a$$ است. وقتی از این نقطه بگذریم، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند؛ یعنی $$x = 2a$$ نقطه مینیمم تابع $$S (x )$$ است.

ارتفاع مثلث برابر است با:

$$ \large \require {cancel} y = \frac { { b x } } { { x – a } } = \frac { { b \cdot 2 a } } { { 2 a – a } } = \frac { { 2 \cancel { a } b } } { \cancel { a } } = 2 b . $$

بنابراین، برای آنکه مساحت مثلث، کوچکترین مقدار باشد، باید ساق‌های آن $$2a$$ و $$2b$$ باشند.

مثال ۲

یک ذوزنقه متساوی الساقین، درون دایره‌ای به شعاع $$R$$ محاط شده است (شکل ۲). زاویه $$\alpha$$ باید چقدر باشد تا مساحت ناحیه سایه زده شده حداقل شود؟

حل: مساحت یک ذوزنقه متساوی الساقین، با رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\large  { S _ T } = \frac { { a + b } } { 2 } \cdot h$$

که در آن، $$a$$ و $$b$$ قاعده‌ها و $$h$$ ارتفاع ذوزنقه هستند. واضح است که $$h = 2 R$$. مساحت دایره برابر با $${S_K} = \pi {R^2}$$ است. در نتیجه، مساحت ناحیه سایه زده شده به صورت زیر است:

$$\large { S = { S _ T } – { S _ K } } = { \frac { { a + b } } { 2 } \cdot 2 R – \pi { R ^ 2 } } = { \left ( { a + b } \right ) R – \pi { R ^ 2 } . }$$

از آنجایی که ذوزنقه توسط دایره محاط شده است، مجموع دو ساق کناری برابر با مجموع قاعده‌ها است:

$$\large { a + b = 2 \ell \; \; \text {or} \; \; } \kern0pt { a + b = 2 \cdot \frac { { 2 R } } { { \sin \alpha } } } = { \frac { { 4 R } } { { \sin \alpha } } . }$$

که در آن، $$l$$ ساق ذوزنقه را نشان می‌دهد. با جایگذاری $$\left( {a + b} \right)$$ در رابطه قبلی، داریم:

$$\large {S = S\left( \alpha \right) = \frac{{4R}}{{\sin \alpha }} \cdot R – \pi {R^2} } = {{R^2}\left( {\frac{4}{{\sin \alpha }} – \pi } \right).}$$

اکنون مشتق $$S\left( \alpha \right)$$ را برای محاسبه مقدار اکسترمم آن محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} S’ \left ( \alpha \right ) & = { \left [ { { R ^ 2 } \left ( { \frac { 4 } { { \sin \alpha } } – \pi } \right ) } \right ] ^ \prime } \\ & = { 4 { R ^ 2 } \left ( { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } } \right ) \cdot \cos \alpha } = { – \frac { { 4 { R ^ 2 } \cos \alpha } } { { { { \sin } ^ 2 } \alpha } } . } \end {align*}$$

مشتق فوق، در حالت زیر برابر با صفر است:

$$\large \cos \alpha = 0 , \; \; \Rightarrow \alpha = \frac { \pi }{ 2 }$$

وقتی از این نقطه عبور کنیم (زاویه زیاد شود)، مشتق از منفی به مثبت تغییر خواهد کرد. در نتیجه، $$\alpha = \large\frac{\pi }{2}\normalsize$$‌ زاویه‌ای است که در آن، تابع $$S\left( \alpha \right)$$ حداقل می‌شود. در این حالت، ذوزنقه به مربع تبدیل می‌شود. حداقل مقدار مساحت برابر است با:

$$\large { S _ { \min } } = { R ^ 2 } \left ( { 4 – \pi } \right ) .$$

مثال ۳

پنجره‌ای از یک مستطیل و نیم‌دایره تشکیل شده است (شکل ۳). محیط پنجره برابر با $$P$$ است. شعاع $$R$$ نیم‌‌دایره را برای حالتی تعیین کنید که بیشترین مقدار نور از پنجره وارد شود.

حل: واضح است که یک ضلع مستطیل برابر با $$2R$$ است. ضلع دیگر را با $$y$$ مشخص می‌کنیم. محیط پنجره برابر است با:

$$\large P = \pi R + 2 R + 2 y .$$

از رابطه بالا، $$y$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large y = \frac { 1 } { 2 } \left [ { P – \left ( { \pi + 2 } \right ) R } \right ] .$$

مساحت پنجره نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} S & = \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + 2 R y = { \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + 2 R \cdot \frac { 1 } { 2 } \left [ { P – \left ( { \pi + 2 } \right ) R } \right ] } \\ & = { \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } + P R – \pi { R ^ 2 } – 2 { R ^ 2 } } = { P R – \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } – 2 { R ^ 2 } . } \end {align*}$$

مساحت فوق، تابعی به صورت $$S\left( R \right)$$ است. برای محاسبه مقدار اکسترمم این تابع، از آن مشتق می‌گیریم: