در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس نحوه بدست آوردن معادله خمش تیر توضیح داده شد. اما همان‌طور که می‌دانید این روش‌ها بسیار وقت‌گیر و خارج از حوصله هستند. از این رو در این مطلب قصد داریم تا با استفاده از روش برهم نهی نحوه بدست آوردن معادله تیر را توضیح دهیم.

روش برهم نهی

این روش بیان می‌کند که شیب و جابجایی یک نقطه از نمودار در نتیجه وارد شدن چندین نیرو به آن، برابر با جابجایی و شیب، ناشی از هریک از نیروها به تنهایی است. از این رو در اولین گام حالت‌های مختلف وارد شدن نیرو به تیر را توضیح می‌دهیم.

حالت اول: وارد شدن نیرو به انتهای تیر

مطابق با شکل زیر تیری را در نظر بگیرید که نیرویی به انتهای آن وارد می‌شود.

superposition

در این صورت ماکزیمم گشتاور خمشی برای این تیر برابر است با:

$$ \large M = − P L $$

هم‌چنین شیب تیر در انتها مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \theta = \dfrac { P L ^ 2 } { 2 E I } $$

در این صورت بیشترین میزان انحراف تیر در انتها برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { P L ^ 3 } { 3 E I } $$

بنابراین معادله خمش تیر نیز برابر می‌شود با (توجه داشته باشید که جهت $$ y $$ به سمت پایین مثبت در نظر گرفته شده):

$$ \large E I \, y = \dfrac { P x ^ 2 } { 6 } ( 3 L – x ) $$

حالت دوم: نیروی متمرکز در نقطه‌ای از تیر

مورد دوم زمانی است که نیرویی به نقطه مشخصی از تیر وارد می‌شود. در شکل زیر این حالت نشان داده شده است.

superposition

در این حالت نیز بیشترین مقدار گشتاور در نقطه اتصال به دیوار بوده و اندازه آن نیز برابر است با:

$$ \large M = – P a $$

هم‌چنین بیشترین میزان زاویه خمش در انتهای تیر است. اندازه این زاویه نیز برابر است با:

$$ \large \theta = \dfrac { P a ^ 2 } { 2 E I } $$

در نتیجه بیشترین میزان جابجایی نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید:

$$ \large \delta = \dfrac { P a ^ 2 } { 6 E I } ( 3 L – a ) $$

توجه داشته باشید که در این حالت معادله خمش باید برای دو بخش از تیر به صورت جداگانه نوشته شده است؛ دلیل این امر صفر بودن گشتاور در محل‌های با $$ x > a $$ است. معادله تیر در این حالت برابر است با:

$$ \large E I \, y = \dfrac { P x ^ 2 } { 6 } ( 3 a – x ) \text { for } 0 \lt x \lt a $$

$$ \large E I \, y = \dfrac { P a ^ 2 } { 6 } ( 3 x – a ) \text { for } a \lt x \lt L $$

حالت سوم: بار یکنواختِ توزیع شده روی تیر

مطابق با شکل زیر فرض کنید بار گسترده‌ای به تیر وارد می‌شود.

superposition

در این حالت بیشترین میزان گشتاور برابر است با:

$$ \large M = – \frac { w _ o L ^ 2 } { 2 } $$

هم‌چنین شیب در انتهای تیر مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \theta = \dfrac { w _ o L ^ 3} { 6 E I } $$

در این حالت، بیشترین میزان جابجایی تیر نیز برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { w _ o L ^ 4 } { 8 E I } $$

در نتیجه معادله خمش تیر دارای سه ترم بوده و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$ \large E I \, y = \dfrac { w _ o x ^ 2}  { 1 2 0L }  ( 6 L ^ 2 – 4 L x + x ^ 2 ) $$

حالت چهارم: بار مثلثی وارد شده به تیر

در حالت قبلی بار به صورت یکنواخت به تیر وارد می‌شد؛ حال توزیعی از بار را در نظر بگیرید که به صورت مثلثی بوده و به تیر وارد می‌شود.

superposition

در این حالت بیشترین میزان گشتاور برابر است با:

$$ \large M = – \frac{ {w_o} L^ 2 } { 6 } $$

از این رو بیشترین میزان انحراف تیر در انتهای آن بوده و اندازه آن نیز برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { w _ o L ^ 4 } { 30 E I } $$

در نتیجه معادله خمش تیر نیز برابر است با:

$$ \large E I \, y = \dfrac { w _ o x ^ 2 } { 12 0 L } ( 1 0 L ^ 3 – 10 L ^ 2 x + 5 L x ^ 2 – x ^ 3 ) $$

حالت پنجم: گشتاور وارد شده به انتهای تیر

مطابق با شکل زیر تیری را در نظر بگیرید که گشتاور $$ M $$ به انتهای آن وارد می‌شود.

superposition

در این حالت اندازه گشتاور در تمامی طول تیر عددی ثابت بوده و مقدار آن برابر با $$ – M $$ است. هم‌چنین بیشترین میزان زاویه خمش در انتهای تیر بوده و اندازه آن برابر است با:

$$ \large \theta = \dfrac { M L } { E I } $$

در نتیجه ماکزیمم میزان جابجایی تیر نیز برابر می‌شود با:

$$ \large \delta = \dfrac { M L ^ 2 }{ 2 E I } $$

نهایتا معادله خمش تیر تنها با یک ترم و برابر با معادله زیر بدست می‌آید.

$$ \large E I \, y = \dfrac { M x ^ 2 } { 2 } $$

حالت ششم: نیروی وارد شده به مرکز تیر

در حالتی که نیرویی به مرکز یک تیر وارد می‌شود، شکل تیر کاملا به صورت متقارن در خواهد آمد. در ادامه این حالت نشان داده شده است.

superposition

در این حالت از بارگذاری، ماکزیمم مقدار گشتاور برابر است با:

$$ \large M = \dfrac {  P L } { 4 } $$

شیب تیر نیز در انتها به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \theta _ L = \theta _ R = \dfrac { P L ^ 2 } { 16 E I } $$

در نتیجه بیشترین میزان انحراف تیر برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { P L ^ 3 } { 48 E I } $$

بنابراین معادله خمش تیر مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large E I \, y = \dfrac { P x } { 12 } ( \frac { 3 } { 4 } L ^ 2 – x ^ 2 ) \text{ for } 0 \lt x \lt \frac { 1 } { 2 } L $$

حالت هفتم: بارگذاری گسترده روی تیر با دو تکیه‌گاه

یکی از حالت‌های پرکاربرد در حل مسائل، زمانی است که باری به صورت گسترده روی یک تیر اعمال می‌شود. این حالت در شکل زیر نشان داده شده است.

superposition

در این حالت از بارگذاری، بیشترین مقدار گشتاور خمشی برابر می‌شود با:

$$ \large M = \dfrac { w _ o L ^ 2 } { 8 } $$

بدیهی است که بارگذاری، متقارن است؛ بنابراین اندازه شیب افقی تیر در دو سمت با هم برابر است. اندازه این شیب برابر است با:

$$ \large \theta _ L = \theta _ R = \dfrac { w _ o L ^ 3 } { 24 E I } $$

ماکزیمم میزان جابجایی نیز در مرکز تیر بوده و اندازه آن برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { 5 w _ o L ^ 4} { 384 E I } $$

در نتیجه معادله خمش مطابق با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$ \large E I \, y = \dfrac { w _ o x } { 24 } ( L ^ 3 – 2 L x ^ 2 + x ^ 3 ) $$

حالت هشتم: نیروی نامتقارن وارد شده به تیر

نیروی وارد شده به مرکز یک تیر را می‌توان حالت خاصی از بارگذاری زیر در نظر گرفت.

superposition

در این حالت نیرو در فاصله $$ a $$ از تکیه‌گاه سمت چپ و در فاصله $$ b $$ از تکیه‌گاه سمت راست قرار می‌گیرد. هم‌چنین بیشترین میزان گشتاور وارد شده به تیر معادل با ضرب دو طولِ $$ a , b $$ بوده و مقدار آن نیز برابر است با:

$$ \large M = \dfrac { P a b } { L } \text { at } x = a $$

هم‌چنین شیب تیر در دو سمت برابر است با:

$$ \large \theta _ L = \dfrac { P b ( L ^ 2 – b ^ 2 ) } { 6 E I L }‌ $$

$$ \large \theta _ R = \dfrac { P a ( L ^ 2 – a ^ 2 ) } { 6 E I L } $$

بیشترین میزان انحراف تیر و محل آن نیز برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { P b ( L ^ 2 – b ^ 2 ) ^ { 3 / 2 } } { 9 \sqrt { 3 } \, E I L } \text { at } x = \sqrt { \left( \dfrac { L ^ 2 – b ^ 2 } { 3 } \right) } $$

هم‌چنین میزان انحراف تیر در مرکز، مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \delta = \dfrac { P b } { 48 E I } ( 3 L ^ 2 – 4 b ^ 2 ) \text { when } a \gt b $$

توجه داشته باشید که معادله تیر در نقطه‌ای که نیرو به آن وارد می‌شود، تغییر می‌کند. در حقیقت این معادله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large E I \, y = \dfrac { P b x } { 6 L } ( L ^ 2 – x ^ 2 – b ^ 2 ) \text { for } 0 \lt x \lt a $$

$$ \large E I \, y = \dfrac { P b } { 6 L } \left[ \dfrac { L } { b } ( x – a ) ^ 3 + ( L ^ 2 – b ^ 2 ) x – x ^ 3 \right] \text{ for } a \lt x \lt L $$

در بالا حالت‌های مهم بارگذاری توضیح داده شدند. حال با توجه به این بارگذاری‌ها قصد داریم تا در قالب چندین مثال، روش برهم نهی را توضیح دهیم.

حالت نهم: گشتاور وارد شده به یکی از تکیه‌گاه‌ها

حالتی را در نظر بگیرید که در آن به یکی از تکیه‌گاه‌ها گشتاور $$ M $$ وارد شود.

superposition

در این حالت اندازه گشتاور خمشی در تمامی طول تیر ثابت بوده و اندازه آن برابر با $$ M $$ است. زوایای بدست آمده در دو سمت تیر نیز برابرند با:

$$ \large \theta _ L = \dfrac { M L } { 6 E I } $$

$$ \large \theta _ R = \dfrac { M L } { 3 E I } $$

هم‌چنین بیشترین میزان از خیز تیر مطابق با رابطه زیر بدست می‌‌آید.

$$ \large \delta = \dfrac { M L ^ 2 } { 9 \sqrt { 3 } \, E I } \text{ at } x = \dfrac { L } { \sqrt { 3 } } $$

مثال ۱

تیر زیر را در نظر بگیرید. این تیر در وسطش به چه میزان تغییر شکل می‌دهد. مقادیر $$E = 10 GPa$$ و $$ I = 20 × 106 \ m m ^ 4 $$ را در نظر بگیرید.

superposition

طبق اصل برهم نهی می‌توان در ابتدا موارد خواسته شده را در نتیجه تک‌نیروی وارد شده به تیر بدست آورد. در قدم بعدی همین خواسته‌ها را در نتیجه بارگذاری بدست می‌آوریم. با توجه به حالت هفتم می‌توان خمش را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \large \delta = \dfrac { 5 w _ o L ^ 4 } { 384 E I } $$

از طرفی مقدار تغییر شکل در وسط تیر در نتیجه بارگذاری گسترده نیز برابر است با:

$$ \large \delta = \dfrac { P b } { 48 E I }( 3 L ^ 2 – 4 b ^ 2 ) \text { when } a \gt b $$

حال کافی است حالتِ وارد شدن نیرو و بارگذاری گسترده را به صورت جداگانه تصور کرده و آن‌ها را با هم جمع کرد. بنابراین خیز کلی تیر در این حالت از بارگذاری برابر است با:

$$ E I \, \delta = \dfrac { P b } { 4 8 } ( 3 L ^ 2 – 4 b ^ 2 ) + \dfrac { 5 w _ o L ^ 4 } { 384 } $$
$$ \large EI \, \delta = \dfrac { 2 ( 1) } {4 8 } [ \, 3(4^2) – 4 ( 1 ^ 2 ) \, ] + \dfrac{ 5( 1 ) ( 4 ^ 4 ) } { 384 } $$
$$ E I \, \delta = \frac {11} { 6 } + \frac { 10 } { 3 } $$
$$ E I \, \delta = \frac { 3 1 } { 6 } \text{ kN}\cdot\text{m}^3 $$
$$ \delta = \dfrac{\frac { 3 1} { 6} } { E I } $$
$$ \delta = \dfrac { \frac { 3 1} { 6 }( 10 0 0^4) } { 10000 ( 20 \times 10^6} $$
$$ \delta = 25.83 \text{ mm} $$

مثال ۲

مقداری از نیروی $$ P $$ را تعیین کنید که به ازای آن جابجایی نقطه‌ای که نیروی $$ P $$ به آن وارد می‌شود، برابر با صفر باشد.

superposition

شاید در نگاه اول این تصور را داشته باشید که نیرو خارج از محل دو تکیه‌گاه به تیر وارد شده، بنابراین در اولین گام نیروی $$ P $$ و لنگر مرتبط با آن را به تکیه‌گاه سمت راست منتقل می‌کنیم. در حقیقت سیستم معادل، تیری است که گشتاور $$ 3 P $$ به تکیه‌گاه سمت راست آن وارد می‌شود.

superposition

در این صورت زاویه $$ \theta $$ در تکیه‌گاه سمت راست، در نتیجه بارگذاری $$ \omega $$ برابر است با:

$$ \large \theta = \dfrac { w _ o L ^ 3 } { 2 4 E I } – \dfrac { M L } { 3 E I } $$

$$ \large \theta = \dfrac { 80 ( 9 ^ 3 ) } { 2 4 E I } – \dfrac { 3 P ( 9 ) } { 3 E I } $$

$$ \theta = \dfrac { 2430 } { E I } – \dfrac { 9 P } { E I } $$

$$ \large 3 \theta = \dfrac { 7290 } { E I } – \dfrac { 2 7 P} { E I } $$

با استفاده از روابط بیان شده برای حالت اول، می‌توان خیز ناشی از وارد شدن نیروی $$ P $$ را به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large \delta = \dfrac { P L ^ 3 } { 3 E I } $$

$$ \large \delta = \dfrac { P ( 3 ^ 3 ) } { 3 E I } $$

$$ \large \delta = \dfrac { 9 P } { E I } $$

از طرفی خیز ناشی از بارگذاری گسترده $$ \omega $$ نیز وابسته به فاصله تکیه‌گاه تا نیرو است. در حقیقت این خیز با ضرب شیبِ تیر در تکیه‌گاه سمت راست در فاصله بین تکیه‌گاه و نیرو بدست می‌آید. بنابراین خیز ناشی از بارگذاری برابر با $$ \delta = 3 \theta $$ است. نهایتا می‌توان گفت:

$$ \large \begin {align*} \large 3 \theta & = \dfrac { 7290 } { E I } – \dfrac { 2 7 P } { E I } = \delta = \dfrac { 9 P } { E I } \end {align*} $$

$$ \large \Rightarrow \dfrac { 36 P } { E I } = \dfrac { 7290 } { E I } \\ \\ P = 202.5 \, \text { lb} $$

مثال ۳

خیز تیر در نقطه میانی آن را برای تیری با بارگذاری زیر بیابید.

superposition

با توجه به حالت هشتم، خیزِ وسط تیر ناشی از وارد شدن نیروی $$ P $$ به آن (مطابق با شکل زیر) برابر است با:

superposition

$$ \large \delta = \dfrac { P b } { 4 8 E I } ( 3 L ^ 2 – 4 b ^ 2 ) \text { when } a \gt b $$

برای تیر ارائه شده در این سوال، مقدار $$ P $$ برابر است با:

$$ \large P = w _ o d x $$
$$ \large b = x $$

برای بدست آوردن خیز، کافی است از دو ناحیه اعمال بار به صورت مجزا انتگرال گرفت. اما با توجه به متقارن بودن بارگذاری می‌توان یکی از انتگرال‌ها را محاسبه کرده و آن را در $$ 2 $$ ضرب کرد. بنابراین خیز تیر در وسط آن برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \displaystyle \delta & = 2 \int _ 0 ^ a \dfrac { ( w _ o d x )x } { 4 8 E I } ( 3 L ^ 2 – 4 x ^ 2 ) \\ \displaystyle \delta & = \dfrac { w _ o} { 2 4 E I} \int _ 0 ^ a ( 3 L ^ 2 x – 4 x ^ 3 ) d x \\ \displaystyle \delta & = \dfrac { w _ o } { 24 E I } \left[ \dfrac { 3 L ^ 2 x ^ 2 } { 2 } – x ^ 4 \right] _ 0 ^ a \\ \displaystyle \delta & = \dfrac { w _ o a^ 2 } { 4 8 E I }( 3 L ^ 2 – 2 a ^ 2 ) \end {align*} $$

مثال ۴

خیز تیری با بارگذاری زیر را در انتهای سمت چپ آن بدست آورید.

برهم نهی

همچون مثال ۲، در اولین گام ناحیه بدون تکیه‌گاه (سمت چپ) که بارگذاری نیز روی آن وجود دارد را به صورت گشتاور وارد به تکیه‌گاه سمت چپ معادل‌سازی می‌کنیم. در این صورت این گشتاور، زاویه‌ای برابر با $$ \theta $$ را در تکیه‌گاه مذکور ایجاد می‌کند. از طرفی خودِ بارگذاری نیز، خیزی به اندازه $$ \delta $$ را بوجود خواهد آورد. در این صورت خیز کلی در سمت چپِ تیر برابر است با:

$$ \large \delta = 2 \theta + \delta _ 1 $$

superposition

میزان شیب در تکیه‌گاه سمت چپ، در نتیجه وارد شدن نیروی گسترده و گشتاور ایجاد می‌شود. اشکال زیر اندازه زاویه ایجاد شده در این حالات را نشان می‌دهند.

superposition

خیز ناشی از گشتاور وارد شده به تکیه‌گاه سمت چپ برابر است با:

$$ \large \begin {align*} E I \, \theta & = \dfrac {800 ( 4 ) } { 3 } – \displaystyle \int _ 0 ^ 2 \dfrac { 400 d x ( 4 – x ) [ \, 4^2 – (4 – x ) ^ 2 \, ] } { 6 ( 4 ) } \\ E I \, \theta & = \dfrac { 3200 } { 3 } – \displaystyle \dfrac { 5 0 } { 3 } \int _ 0 ^ 2 [ \,16(4 – x) – ( 4 – x ) ^ 3 \, ] d x \\ EI \, \theta & = \dfrac { 3200 } { 3 } – \dfrac { 50 } { 3 } \left[ -8(4 – x)^2 + \dfrac { ( 4 – x ) ^ 4 } { 4 } \right] _ 0 ^ 2 \\ EI \, \theta & = \dfrac { 3200 } { 3 } + \dfrac { 1400 } { 3 } – \dfrac { 3200 } { 3 } \\ EI \, \theta & = \dfrac { 1400 } { 3 } \, \text{ N } \cdot \text {m} ^ 2 \end {align*} $$

با اعمال حالت سوم، اندازه خیز وسط تیر که ناشی از بخش راست بارگذاری است، برابر می‌شود با:

$$ \large \delta = \dfrac { w _ o L ^ 4 } { 8 E I } $$

$$ \large E I \, \delta _ 1 = \dfrac { 400 (2  ^ 4 ) } { 8 } $$

حال به منظور بدست آوردن خیز کلی، کافی است خیز ناشی از شیب ایجاد شده را با خیز ناشی از بخش راست بارگذاری جمع زد. بنابراین خیز کلی تیر برابر است با:

$$ \large E I \, \delta = 2 EI \, \theta + E I \, \delta _ 1 $$

$$ \large E I \, \delta = 2 \left ( \dfrac { 1400 } { 3 } \right ) + 8 0 0 $$

$$ \large E I \, \delta = \dfrac { 5200 } { 3 } \, \text { N } \cdot \text {m} ^ 3 $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک و عمران، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 4 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *