انتگرال سطحی میدان برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های پیشین از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، با انتگرال سطحی و کاربردهای آن آشنا شدیم. همچنین، مفهوم میدان برداری را بیان کردیم. در این آموزش، انتگرال سطحی میدان برداری را بررسی می‌کنیم. این نوع انتگرال در زمینه‌های مختلفی مانند الکترومغناطیس کاربرد دارد.

انتگرال سطحی میدان برداری

میدان برداری $$\mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right )$$ و سطح $$S$$ را در نظر بگیرید که با بردار موقعیت زیر تعریف شده است:

$$\large { \mathbf { r } \left ( { u , v } \right ) } = { x \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { y \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { z \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } . }$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید توابع $$x\left( {u,v} \right)$$، $$y\left( {u,v} \right)$$ و $$z\left( {u,v} \right)$$ در دامنه $$D\left( {u,v} \right)$$ پیوسته و مشتق‌پذیر بوده و رتبه ماتریس زیر، $$2$$ باشد:

$$ \large \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }<br /> \end {array} } \right ] $$

نماد $$\mathbf{n}\left( {x,y,z} \right)$$ را به عنوان یک بردار واحد یا یکه عمود بر سطح $$S$$ در نقطه $$\left( {x,y,z} \right)$$ در نظر می‌گیریم. اگر سطح $$S$$ هموار بوده و تابع برداری $$\mathbf{n}\left( {x,y,z} \right)$$ پیوسته باشد، فقط دو انتخاب ممکن برای بردار یکه عمود وجود دارد:

$$\large  \mathbf { n } \left ( { x , y , z } \right )$$   یا   $$\large - \mathbf { n } \left ( { x , y , z } \right )$$

اگر $$S$$ یک سطح بسته باشد، طبق قرارداد، بردار عمود بر نقطه را برون‌سو یا به طرف بیرون در نظر می‌گیریم.

انتگرال سطحی میدان برداری $$\mathbf{F}$$ روی سطح جهت‌دار $$S$$ (یا شار میدان برداری $$\mathbf{F}$$ گذرنده از سطح $$S$$) را می‌توان به یکی از صورت‌های زیر نوشت:

• اگر سطح $$S$$ برون‌سو باشد، آنگاه:

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } } & = { \iint \limits _ S \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } \\ & = \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x \left ( { u , v } \right ) , y \left ( { u , v } \right ) , z \left ( { u , v } \right ) } \right ) \cdot } \kern0pt { \left [ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } } \right ] d u d v } ; } \end {align*}$$

• اگر سطح $$S$$ درون‌سو باشد، آنگاه:

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } } & = { \iint \limits _ S \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } \\ & = \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x \left ( { u , v } \right ) , y \left ( { u , v } \right ) , z \left ( { u , v } \right ) } \right ) \cdot } \kern0pt { \left [ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } } \right ] d u d v } . } \end {align*}$$

در اینجا، $$d\mathbf{S} = \mathbf{n}dS$$ المان برداری سطح نامیده می‌شود. نقطه، ضرب داخلی بردارها را نشان می‌دهد. مشتق‌های جزئی در فرمول‌ها، به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large \begin {align*} { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } } & = { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } , } \\ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } } & = { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } . } \end {align*}$$

اگر سطح $$S$$ صریحاً با معادله $$z = z\left( {x,y} \right)$$ داده شده باشد، که در آن $$z (x, y )$$ یک تابع مشتق‌پذیر در دامنه $$D (x,y)$$ است، آنگاه انتگرال سطحی میدان برداری $$\mathbf{F}$$ روی سطح $$S$$ با یکی از فرم‌های زیر تعریف می‌شود:

• اگر سطح $$S$$ برون‌سو باشد، یعنی مؤلفه $$k$$اُم بردار عمود، مثبت باشد، آنگاه داریم:

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } } & = { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } } \\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { – \frac { { \partial z } } { { \partial x } } \mathbf { i } – \frac { { \partial z } } { { \partial y } } \mathbf { j } + \mathbf { k } } \right ) d x d y } ; } \end {align*}$$

• اگر سطح $$S$$ درون‌سو باشد، یعنی مؤلفه $$k$$اُم بردار عمود، منفی باشد، آنگاه داریم:

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } } & = { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } } \\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } \mathbf { i } + \frac { { \partial z } } { { \partial y } } \mathbf { j } - \mathbf { k } } \right ) d x d y } ; } \end {align*}$$

همچنین می‌توانیم انتگرال سطحی میدان‌های برداری را به شکل مختصات بنویسیم.

فرض کنید $$P\left( {x,y,z} \right)$$، $$Q\left( {x,y,z} \right)$$ و $$R\left( {x,y,z} \right)$$ مؤلفه‌های میدان برداری $$\mathbf{F}$$ باشند. همچنین فرض کنید $$\cos \alpha$$، $$\cos \beta$$ و $$\cos \gamma$$ به ترتیب، زاویه‌های بین بردار عمود یکه خارجی $$\mathbf{n}$$ و محور $$x$$، محور $$y$$ و محور $$z$$ باشند. آنگاه ضرب داخلی $$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } & = { \mathbf { F } \left ( { P , Q , R } \right ) \cdot } \kern0pt { \mathbf { n } \left ( { \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma } \right ) } \\ & = { P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma . } \end {align*}$$

در نتیجه، انتگرال سطحی را می‌توان به فرم زیر نوشت:

$$\large { \iint \limits _ S { \left ( { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } \right ) d S } } = { \iint \limits _ S { \left ( { P \cos \alpha + Q \cos \beta } \right . } + { \left . { R \cos \gamma } \right ) d S } . }$$

از آنجایی که $$\cos \alpha \cdot dS = dydz$$ (شکل ۱) و به طور مشابه $$\cos \beta \cdot dS = dzdx$$ و $$\cos \gamma \cdot dS = dxdy$$، فرمول زیر برای محاسبه انتگرال سطحی به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} {\iint\limits_S {\left( {\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \right)dS} } & = {\iint\limits_S {\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta }\right.}+{\left.{ R\cos \gamma } \right)dS} }\\ & = { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x + R d x d y } } \end {align*}$$

اگر سطح $$S$$ به فرم پارامتری و با بردار $$\mathbf{r}\big( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right)},{z\left( {u,v} \right)} \big)$$ داده شده باشد، از فرمول زیر برای انتگرال سطحی استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> { \iint \limits _ S { \left ( { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } \right ) d S } }<br /> & = { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x + R d x d y } }<br /> \\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> P & Q & R \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }<br /> \end {array} } \right | d u d v} }<br /> \end {align*} $$

که در آن، مختصات $$(u, v )$$ در دامنه $$D\left( {u,v} \right)$$ تعریف شده‌ است.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

شار میدان برداری $$\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right)= \left( {x, – 1,z} \right)$$ گذرنده از سطح $$S$$ را که جهت آن به سمت پایین بوده و با معادله $$z = x\cos y$$ در $$0 \le x \le 1$$ و $${\large\frac{\pi }{4}\normalsize} \le y \le {\large\frac{\pi }{3}\normalsize}$$ داده شده است، محاسبه کنید.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { S } } \text { = } } \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \mathbf { F } \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } \mathbf { i } + \frac { { \partial z } } { { \partial y } } \mathbf { j } – \mathbf { k } } \right ) d x d y } }$$

روابط زیر را داریم:

$$\large \begin {align*} \frac { { \partial z } } { \partial x } & = \frac { \partial } { { \partial x } } \left ( { x \cos y } \right ) = { \cos y , \; \; \; } \kern0pt \\ \frac { \partial z } { \partial y } & = \frac { \partial } { { \partial y } } \left ( { x \cos y } \right ) = { – x \sin y } \end {align*}$$

بنابراین، شار میدان برداری را می‌توان به صورت زیر نوشت:‌

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} \iint \limits _ S { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { S } } & = \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \left [ { x \cdot \cos y } \right . } \kern0pt { + \left . { \left ( { – 1 } \right ) \cdot \left ( { – x \sin y } \right ) } \right . } \kern0pt { + \left . { z \cdot \left ( { – 1 } \right ) } \right ] d x d y } } \\ & = { { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \left ( { \cancel { x \cos y } } \right . } + { \left . { x \sin y } \right . } - { \left . { \cancel { x \cos y } } \right ) d x d y } } } \\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { x \sin y d x d y } . }<br /> \end {align*} $$

پس از چند تبدیل ساده، جواب به دست می‌آید:‌

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { S } } } & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x d x } \int \limits _ { \large \frac { \pi } { 4 } \normalsize } ^ { \large \frac { \pi } { 3 } \normalsize } { \sin y d y } } = { \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { x ^2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] \cdot \left [ { \left . { \left ( { – \cos y } \right ) } \right | _ { \large \frac { \pi }{ 4 } \normalsize } ^ { \large \frac { \pi } { 3 } \normalsize } } \right ] } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { – \cos \frac { \pi } { 3 } + \cos \frac { \pi } { 4 } } \right ) } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { – \frac { 1 } { 2 } + \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right ) } = { \frac { { \sqrt 2 – 1 } } { 4 } . } \end {align*}$$

مثال ۲

شار میدان برداری $$\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right)= \left( {y,x,z} \right)$$ گذرنده از سطح $$S$$ را که با بردار پارامتری $$\mathbf{r}\left( {u,v} \right) =\left( {\cos v,\sin v,u} \right)$$ برای $$0 \le u \le 2$$ و $${\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \le v \le \pi$$ تعریف شده است، به دست آورید.

حل: ابتدا مشتقات جزئی را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } = \left ( { 0 , 0 , 1 } \right) , \; \; \; } \kern0pt { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } = \left ( { – \sin v , \cos v , 0 } \right ) . }$$

ضرب برداری این مشتقات به صورت زیر است:‌

$$ \large \begin {align*}<br /> { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } }<br /> & = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> { – \sin v } & { \cos v } & 0<br /> \end {array} } \right | } \\ &<br /> = { – \cos v \cdot \mathbf { i } – \sin v \cdot \mathbf { j } . }<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، المان سطح برداری برابر است با:‌

$$\large { d \mathbf { S } = \left [ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } } \right ] d u d v } = { \left ( { – \cos v , – \sin v , 0 } \right ) d u d v . }$$

از آنجایی که $$x = \cos v$$، $$y = \sin v$$ و $$z = v$$، میدان برداری $$\mathbf{F}$$ را می‌توان به فرم زیر نمایش داد:

$$\large { \mathbf { F } \left ( { r , u , v } \right ) } = { \left ( { \sin v , \cos v , u } \right ) . }$$

در نهایت، انتگرال سطح $$S$$ برابر خواهد بود با:‌

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { S } } } & = { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left [ { \sin v \cdot \left ( { – \cos v } \right ) } \right . } } + { { \left . { \cos v \cdot \left ( { – \sin v } \right ) + 0 } \right ] d u d v } } \\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left ( { – 2 \sin v \cos v } \right ) d u d v } } = { – \int \limits _ 0 ^ 2 { d u } \int \limits _ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } ^ \pi { \sin 2 v d v } } \\ & = { – 2 \cdot \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos 2 v } } { 2 } } \right ) } \right | _ { \large \frac { \pi }{ 2 } \normalsize } ^ \pi } \right ] } = { \cos 2 \pi – \cos \pi } = { 2 . } \end {align*}$$

مثال ۳

شار میدان برداری $$\mathbf { F } = y \cdot \mathbf { i } – x \cdot \mathbf { j } + z \cdot \mathbf { k }$$ گذرنده از سطح مخروطی $$z= \sqrt {{x^2} + {y^2}}$$ را برای $$0 \le z \le 2$$ به دست آورید.

حل: سطح مخروط با بردار $$\mathbf{r}$$ تعریف می‌شود:

$$\large { \mathbf { r } \left ( { x , y } \right ) = x \cdot \mathbf { i } + y \cdot \mathbf { j } } + { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \cdot \mathbf { k } . }$$

دامنه انتگرال‌گیری $$D\left( {x,y} \right)$$، دایره‌ای با معادله زیر است:‌

$$\large { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \le 4 .$$

در ادامه، المان سطح برداری $$d\mathbf{S}$$ عمود بر سطح و به سمت بالا را پیدا می‌کنیم. مشتقات جزئی، به صورت زیر هستند:

$$\large { { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial x } } = 1 \cdot \mathbf { i } } + { \frac { x } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } \cdot \mathbf { k } , \; \; \; } } \kern0pt { { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial y } } = 1 \cdot \mathbf { j } } + { \frac { y } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } \cdot \mathbf { k } . } }$$

در نتیجه، داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial x } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial y } } }<br /> & = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\<br /> 1 & 0 & { \frac { x } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } } \\<br /> 0 & 1 & { \frac { y } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } }<br /> \end {array} } \right | } \\ &<br /> = { – \frac { x } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } \cdot \mathbf { i } } - { \frac { y } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } \cdot \mathbf { j } + \mathbf { k } }<br /> \end {align*} $$

بنابراین، المان سطح برداری برابر است با:

$$\large { d \mathbf { S } = \left ( { – \frac { x } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } , } \right . } \kern0pt { \left . { – \frac { y } { { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } } } , 1 } \right ) d x d y . }$$

میدان برداری $$\mathbf{F}$$ روی سطح مخروط، به صورت زیر است:

$$\large { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) } = { y \cdot \mathbf { i } – x \cdot \mathbf { j } } + { \sqrt { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \cdot \mathbf { k } . }$$

در نتیجه، شار میدان برداری گذرنده از $$S$$ (یا به عبارت دیگر، انتگرال سطحی میدان برداری)، برابر است با:

$$\large \begin {align*} I & = \iint\limits_S {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}} = {\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\Big[ {y \cdot \Big( { – \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \Big) }}}+{{{ \left( { – x} \right) \cdot \Big( { – \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \Big) }}} \\ & \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \,\, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, +{{{ \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cdot 1} \Big]dxdy} } = {\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy} .} \end {align*}$$

با تغییر مختصت دکارتی به قطبی، داریم:

$$\large { I = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \varphi } \int \limits _ 0 ^ 2 { { r ^ 2 } d r } } = { 2 \pi \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { r ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 2 } \right ] } = { \frac { { 16 \pi } } { 3 } . }$$

مثال ۴

شار میدان برداری $$\mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) = – y \cdot \mathbf { i } + x \cdot \mathbf { j } - z \cdot \mathbf { k }$$ گذرنده از کره واحد $${ x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 1$$ را که جهت آن رو به پایین است، به دست آورید.

حل: عبارت زیر، معادله پارامتری کره واحد را در دستگاه مختصات کروی نشان می‌دهد:

$$\large { \mathbf { r } \left ( { \psi , \theta } \right ) } = { \cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf { i } } + { \sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf { j } } + { \cos \theta \cdot \mathbf { k } }$$

که در آن $$0 \le \psi \le 2\pi$$ و $$0 \le \theta \le \pi$$ است. در نتیجه، میدان $$\mathbf{F}$$ روی این سطح به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large { \mathbf { F } \left ( { r , \psi , \theta } \right ) } = { – \sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf { i } } + { \cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf { j } } - { \cos \theta \cdot \mathbf { k } }$$

در ادامه، المان سطح برداری $$d\mathbf{S}$$ را محاسبه می‌کنسم. مشتقات جزئی به صورت زیر هستند:‌

$$\large \begin {align*} { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial \psi } } } & = { – \sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf { i } } + { \cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf { j } } + { 0 \cdot \mathbf { k } , } \\ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial \theta } } } & = { \cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf { i } } + { \sin \psi \cos \theta \cdot \mathbf { j } } - { \sin \theta \cdot \mathbf { k } . } \end {align*}$$

بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial \psi } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial \theta } } & = \kern0pt<br /> { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\<br /> { – \sin \psi \sin \theta } & { \cos \psi \sin \theta } & 0 \\<br /> { \cos \psi \cos \theta } & { \sin \psi \cos \theta } & { – \sin \theta }<br /> \end {array} } \right | \; } \\<br /> & = { – \cos \psi \, { \sin ^2 } \theta \cdot \mathbf { i } } - { \sin \psi \, { \sin ^ 2 } \theta \cdot \mathbf { j } }<br /> \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – { \left ( { { { \sin } ^ 2 } \psi \sin \theta \cos \theta }\right . } + { \left . { { { \cos } ^ 2 } \psi \sin \theta \cos \theta } \right ) \cdot \mathbf { k } } \\<br /> & = { – \cos \psi \, { \sin ^ 2 } \theta \cdot \mathbf { i } } - { \sin \psi \, { \sin ^ 2 } \theta \cdot \mathbf { j } }<br /> – { \sin \theta \cos \theta \cdot \mathbf { k } . }<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، المان سطح برداری $$d\mathbf{S}$$ برابر است با:‌

$$\large { d \mathbf { S } \text { = } } \kern0pt { \left ( { – \cos \psi \, { { \sin } ^ 2 } \theta , – \sin \psi \, { { \sin } ^ 2 } \theta , } \right . } \kern0pt { \left . { – \sin \theta \cos \theta } \right ) d \psi d \theta . }$$

در نهایت، انتگرال سطحی (شار میدان برداری) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} { \iint \limits _ S \mathbf { F } \left ( {r,\psi ,\theta } \right) \cdot d \mathbf { S } } & = \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { \psi , \theta } \right ) } { \left [ { \left ( { – \sin \psi \sin \theta } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { – \cos \psi \, { { \sin } ^ 2 } \theta } \right ) } \right . } } \\ & \, \, \, \, \, \, \, + { \cos \psi \sin \theta \cdot } \kern0pt { \left ( { – \sin \psi \, { { \sin } ^ 2 } \theta } \right ) } + { { \left . { \left ( { – \cos \theta } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { – \cos \theta \sin \theta } \right ) } \right ] d \psi d \theta } } \\ & = { { \int \limits _ { D \left ( { \psi , \theta } \right ) } { \left [ { \sin \psi \cos \psi \, { { \sin } ^ 3 } \theta } \right . } - { \left . { \sin \psi \cos \psi \, { { \sin } ^ 3 } \theta } \right . } } } \kern0pt { { \left . { + \sin \theta \, { { \cos } ^ 2 } \theta } \right ] d \psi d \theta } } \\ & = { \int \limits _ { D \left ( { \psi , \theta } \right ) } { \sin \theta \, { { \cos } ^ 2 } \theta d \psi d \theta } } = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d \psi } \int \limits _ 0 ^ \pi { \sin \theta \, { { \cos } ^ 2 } \theta d \theta } } = { – 2 \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \cos } ^ 2 } \theta d \left ( { \cos \theta } \right ) } } \\ & = { – 2 \pi \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } \theta } } { 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } \right ] } = { – \frac { { 2 \pi } } { 3 } \left ( { { { \cos } ^ 3 } \pi – { { \cos } ^ 3 } 0 } \right ) } = { \frac { { 4 \pi } } { 3 } . } \end {align*}$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۵

انتگرال سطحی $$\iint\limits_S {{\large\frac{{dydz}}{x}\normalsize} + {\large\frac{{dzdx}}{y}\normalsize} }+{ {\large\frac{{dxdy}}{z}\normalsize}}$$ را محاسبه کنید که در آن، $$S$$ بخشی از بیضی‌وار $$\mathbf{r}\left( {u,v} \right) =\big( {a\cos u\cos v,}{b\sin u\cos v,}{c\sin v} \big)$$ با جهت بالا است. پارامترهای $$u$$ و $$v$$ در بازه‌های $$0 \le u \le 1$$ و $$0 \le v \le {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}$$ قرار دارند.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x } + { R d x d y } } }<br /> = { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> P & Q & R \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }<br /> \end {array} } \right | d u d v } . } $$

مشتقات جزئی به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} \frac { { \partial x } } { { \partial u } } & = \frac{\partial }{{\partial u}}\left( {a\cos u\cos v} \right) ={ – a\sin u\cos v,} \\ \frac { { \partial y } } { { \partial u } } & = \frac { \partial }{ { \partial u } } \left ( { b \sin u \cos v } \right ) = { b \cos u \cos v , } \\ \frac { { \partial z } } { { \partial u } } & = \frac{\partial } { { \partial u } } \left ( { c \sin v } \right ) = { 0 , } \\ \frac { { \partial x } } { { \partial v } } & = \frac { \partial }{{\partial v}}\left( {a\cos u\cos v} \right) ={ – a\cos u\sin v,} \\ \frac { { \partial y } } { { \partial v } } & = \frac { \partial } { { \partial v } } \left ( { b \sin u \cos v } \right ) = { – b \sin u \sin v , } \\ \frac { { \partial z } } { { \partial v } } & = \frac { \partial } { { \partial v } } \left ( { c \sin v } \right ) = { c \cos v , } \end {align*}$$

دترمینان نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large \begin {align*}<br /> \left| { \begin {array} { * { 2 0 } { c} }<br /> { \frac { 1 } { x} } & { \frac { 1 } { y } } & { \frac { 1 }{ z } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }<br /> \end {array} } \right | & = \kern0pt<br /> { \left| { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { \frac { 1 } { { a \cos u \cos v } } } & { \frac { 1 } { { b \sin u \cos v } } } & { \frac { 1 }{ { c \sin v } } } \\<br /> { \text { – } { \small { a \sin u \cos v } \normalsize } } & { \small { b \cos u\cos v}\normalsize } & { \small { 0 } \normalsize } \\<br /> { \text { – } { \small { a\cos u\sin v}\normalsize}}&{\text{-}{ \small { b \sin u \sin v } \normalsize } } & { \small { c \cos v } \normalsize }<br /> \end{array} } \right | } \\ &<br /> = { { \frac { 1 } { { a \cos u \cos v } } \cdot } \kern0pt { b \cos u \cos v \cdot c \cos v } }<br /> + { { \frac { 1 } { { b \sin u \cos v } } \cdot } \kern0pt { a \sin u \cos v \cdot c\cos v }}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,<br /> + { { \frac { 1 } { { c \sin v } } \left ( { a \sin u \cos v \cdot } \kern0pt { b \sin u \sin v } \right . } }<br /> + { { \left . { a \cos u \sin v \cdot } \kern0pt { b \cos u \cos v } \right ) } } \\ &<br /> = { { \frac { { b c } } { a } \cos v + \frac { { a c } } { b } \cos v } + { \frac { { a b } } { c } \left ( { { { \sin } ^ 2 } u \cos v } \right . } } + { { \left . { { { \cos } ^ 2 } u \cos v } \right ) } } \\ &<br /> = { \left ( { \frac { { a b } } { c } + \frac { { a c } } { b } + \frac { { b c } } { a } } \right ) \cos v . }<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، انتگرال سطح برابر است با:

$$\large \begin {align*} I & = \kern0pt { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left ( { \frac { { a b } } { c } + \frac { { a c } } { b } + \frac { { b c } } { a } } \right ) \cos v d u d v } } \\ & = { \left ( { \frac {{ a b } } { c } + \frac { { a c } } { b } + \frac { { b c } } { a } } \right ) \cdot } \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ 1 { d u} \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \cos v d v } } \\ & = { \left ( { \frac { { a b } } { c } + \frac { { a c } } { b } + \frac { { b c } } { a } } \right ) \cdot } \kern0pt { \left [ { \left . { \left ( { \sin v } \right ) } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } \right ] } \\ & = { \frac { { a b } } { c } + \frac { { a c } } { b } + \frac { { b c } } { a } . } \end {align*}$$

مثال ۶

انتگرال سطحی $$\iint\limits_S {2xdydz}$$ را محاسبه کنید که در آن، $$S$$ سطح کره $${ x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = { a ^ 2 }$$ با جهت پایین‌سو است.

حل: ابتدا مؤلفه‌های میدان برداری $$\mathbf{F}$$ را می‌نویسیم:

$$\large \mathbf { F } \left ( { P , Q , R } \right ) = \left ( { 2 x , 0 , 0 } \right ) .$$

تبدیل معادله کره از مختصات دکارتی به مختصات کروی، محاسبات را ساده خواهد کرد. بنابراین، داریم:

$$\large { \mathbf { r } \left ( { \psi , \theta } \right ) } = { a \cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf { i } } + { a \sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf { j } } + { a \cos \theta \cdot \mathbf { k } }$$

که در آن $$0 \le \psi \le 2\pi$$ و $$0 \le \theta \le \pi$$ هستند. در ادامه، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large { { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x } + { R d x d y } } }<br /> = { \iint \limits _ { D \left ( {\psi , \theta } \right ) } { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> P & Q & R \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial \psi } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial \psi } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial \psi } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial \theta } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial \theta } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial \theta } } }<br /> \end {array} } \right | d \psi d \theta } . } $$

مشتقات جزئی فرمول بالا، به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} \frac { { \partial x } } { { \partial \psi } } & = \frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {a\cos \psi \sin \theta } \right) = – a\sin \psi \sin \theta , \\ \frac{{\partial y}}{{\partial \psi }} & = \frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {a\sin \psi \sin \theta } \right) ={ a\cos \psi \sin \theta ,} \\ \frac{{\partial z}}{\partial \psi } & = \frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {a\cos \theta } \right) ={ 0,} \\ \frac { { \partial x } } { { \partial \theta } } & = \frac { \partial } { { \partial \theta } } \left ( { a \cos \psi \sin \theta } \right ) = { a \cos \psi \cos \theta , } \\ \frac { { \partial y } } { { \partial \theta } } & = \frac { \partial } { { \partial \theta } } \left ( { a \sin \psi \sin \theta } \right ) = { a \cos \psi \cos \theta , } \\ \frac { { \partial z } } { { \partial \theta } } & = \frac { \partial }{ { \partial \theta } } \left ( { a \cos \theta } \right ) = { – a \sin \theta } \end {align*}$$

دترمینان انتگرال دوگانه نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*}<br /> \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> P & Q & R \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial \psi } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial \psi } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial \psi } } } \\<br /> { \frac { { \partial x } } { { \partial \theta } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial \theta } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial \theta } } }<br /> \end {array}} \right | & = \kern0pt<br /> { \small { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { 2 a \cos \psi \sin \theta } & 0 & 0 \\<br /> { – a \sin \psi \sin \theta } & { a \cos \psi \sin \theta } & 0 \\<br /> { a \cos \psi \cos \theta } & { a \sin \psi \cos \theta } & { – a \sin \theta }<br /> \end{array} } \right | \; } \normalsize } \\ &<br /> = { { 2 a \cos \psi \sin \theta \cdot}\kern0pt { a \cos \psi \sin \theta \cdot \left ( { – a \sin \theta } \right ) } } \\ &<br /> = { – 2 { a ^ 3 } { \cos ^ 2 } \psi \, { \sin ^ 3 } \theta . }<br /> \end {align*} $$

این مقدار، متناظر با جهت رو به پایین سطح است.

انتگرال نخست، برابر است با:

$$\large \begin {align*} I & = \iint \limits _ S { x d y d z } = { – 2 \iint \limits _ S { { a ^ 3 } { { \cos } ^ 2 } \psi \, { { \sin } ^ 3 } \theta d \psi d \theta } } \\ & = { – 2 { a ^ 3 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \cos } ^ 2 } \psi d \psi } \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 3 } \theta d \theta } . } \end {align*}$$

دو انتگرال اخیر را به صورت جداگانه محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \cos } ^ 2 } \psi d \psi } & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 1 + \cos 2 \psi } \right ) d \psi } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { \psi + \frac { { \sin 2 \psi } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } = { \pi , } \\ \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 3 } \theta d \theta } & = { \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } \theta \sin \theta d \theta } } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { { \cos ^ 2 } \theta – 1 } \right ) d \left ( { \cos \theta } \right ) } } \\ & = { \left . { \left ( { \frac { { { \cos ^ 3 } \theta } } { 3 } – \cos \theta } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { \left ( { \frac { { { \cos ^ 3 } \pi } } { 3 } – \cos \pi } \right ) – \left ( { \frac {{ { \cos ^ 3 } 0 } } { 3 } – \cos 0 } \right ) } \\ & = { \left ( { – \frac { 1 } { 3 } + 1 } \right ) } - { \left ( { \frac { 1 } { 3 } – 1 } \right ) } = { \frac { 4 } { 3 } . } \end {align*}$$

در نتیجه، مقدار انتگرال سطحی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { I = – 2 { a ^ 3 } \cdot \pi \cdot \frac { 4 } { 3 } } = { – \frac { { 8 { a ^ 3 } \pi } } { 3 } . }$$

اگر مطلب بالای برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه آن هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• کرل (Curl) در ریاضی — به زبان ساده
• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^