ریاضی, علوم پایه 2186 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به توابع برداری و اسکالر را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا مفهومی تحت عنوان میدان برداری را توضیح داده و مثال‌هایی از آن ارائه دهیم. البته پیشنهاد می‌شود به منظور درک بهتر، مطلب گرادیان را نیز مطالعه فرمایید.

فیلم آموزش میدان برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

میدان برداری

یک میدان برداری در فضای دو یا سه بعدی، تابعی همچون $$ \overrightarrow F $$ است که به هر نقطه‌ای همچون $$ \left ( { x , y } \right ) $$ یا $$ \left ( { x , y , z } \right ) $$ برداری مثل $$ \overrightarrow F \left ( { x , y } \right ) $$ یا $$ \overrightarrow F \left ( { x , y , z } \right ) $$ را به ما می‌دهد. شاید این توصیف از میدان برداری ملموس نباشد؛ اما با نگاهی در طبیعت به وجود چنین مفهومی بیشتر پی خواهید برد. برای نمونه شکل جریان آب یا گردباد نوعی میدان برداری محسوب می‌شوند. در شکل زیر میدانی برداری نشان داده شده است.

میدان مغناطیسی تولید شده در نتیجه سیملوله نوعی میدان برداری محسوب می‌شود.

معمولا میدان برداریِ $$ \overrightarrow F $$ به صورت زیر نشان داده می‌شود.

$$ \large \begin{align*} \overrightarrow F \left( { x , y } \right ) & = P \left ( { x , y } \right ) \overrightarrow i + Q \left ( { x , y } \right ) \overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { x , y , z } \right ) & = P \left ( { x , y , z } \right ) \overrightarrow i + Q \left ( { x , y , z } \right) \overrightarrow j + R \left ( { x , y , z } \right ) \overrightarrow k \end {align*} $$

توجه داشته باشید که اِلِمان‌های $$P,Q,R$$ اسکالر هستند. در ادامه مثال‌هایی در مورد میدان برداری ارائه خواهیم کرد و مفاهیم آن را بیشتر توضیح خواهیم داد.

مثال ۱

شکل میدان برداری زیر به چه صورت است.

$$ \large \begin{align*} \overrightarrow F \left ( { x , y } \right ) = – y \, \overrightarrow i + x \, \overrightarrow j \end {align*} $$

اگر هدف آن است که تصویری از میدان را در ذهنتان داشته باشید، در این صورت می‌توانید چند بردار تصادفی را از میدان‌ بدست آورده و آن‌ها را ترسیم کنید. برای نمونه در این مثال بردارهای زیر را می‌توان بدست آورد.

$$ \begin {align*} \overrightarrow F \left ( { \frac { 1 } { 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } } \right ) & = – \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow i + \frac{1}{2}\overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { \frac { 1 } { 2 } , – \frac { 1 } { 2 } } \right) & = – \left ( { – \frac { 1} {2 } } \right)\overrightarrow i + \frac{1}{2}\overrightarrow j = \frac{1}{2}\overrightarrow i + \frac{ 1 } { 2 } \overrightarrow j \\ \overrightarrow F\left( {\frac { 3 } { 2 } , \frac{ 1 } { 4 } } \right) & = – \frac { 1 }{ 4} \overrightarrow i + \frac { 3 } {2 } \overrightarrow j\end{align*}$$

حال شاید این سوال را در ذهن داشته باشید که اعداد فوق چه چیزی را نشان می‌دهند؟ برای نمونه خط اول نشان می‌دهد که میدان فوق، برداری برابر با $$ \begin {align*} – \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow i + \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow j \end{align*}$$ را در نقطه $$ \begin {align*} \left ( { \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2} } \right ) \end {align*}$$ ایجاد می‌کند. به همین صورت می‌توان گفت که این میدان، برداری به صورت $$ \begin {align*} – \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow i + \frac { 3 } { 2 } \overrightarrow j \end {align*}$$ را در نقطه $$ \begin {align*} \left( { \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } } \right ) \end {align*}$$ ایجاد می‌کند. در حقیقت می‌توان تصویری از این میدان را به صورت زیر در نظر گرفت.

vector-field

اگر نقاط بیشتری از میدان برداری فوق را بدست آوریم، در این صورت شکل میدان برداری نیز به صورت زیر بدست خواهد آمد.

vector-field

مثال ۲

شکل میدان برداری زیر به چه صورت خواهد بود.

$$ \large \begin {align*} \overrightarrow F \left ( { x , y } \right ) = \left ( { y – 1 } \right) \, \overrightarrow i + \left ( { x + y } \right ) \overrightarrow j \end {align*}$$

همانند مثال قبل، تعدادی از نقاط این تابع را می‌توان به صورت زیر در نظر بدست آورد.

$$ \begin{align*} \overrightarrow F \left ( { 0 , – 1 } \right ) & = – 2 \, \overrightarrow i – \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { 1 , 1 } \right ) & = 2 \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { – 1 , 0 } \right ) & = – \, \overrightarrow i – \overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { – 2, – 1 } \right ) & = – 2 \, \overrightarrow i – 3 \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { 1 , – 1 } \right ) & = – 2 \, \overrightarrow i & \hspace {0.25in} \overrightarrow F \left( {2,2} \right) & = \,\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \\ \overrightarrow F\left( { – 2,1} \right) & = – \overrightarrow j \end {align*}$$

در شکل زیر این بردار‌های نمونه ترسیم شده‌اند.

vector-field

همان‌طور که در بالا نیز ترسیم شده، اندازه بردار‌ها نیز در نظر گرفته شده است. دلیل این امر پیش‌بینی کردن روند تغییرات اندازه و جهت بردار‌ها است. شکل زیر میدان برداری ترسیم شده توسط رایانه را نشان می‌دهد.

vector-field

در بالا مثال‌هایی در مورد نحوه رسم یک میدان برداری توضیح داده شد. از طرفی همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، گرادیان مفهومی است که بیان کننده بردار عمود به رویه است. از این رو با محاسبه دیورژانس یک میدان اسکالر، میدانی برداری بدست خواهد آمد.

مثال ۳

در زیر میدان‌هایی اسکالر ارائه شده‌اند. با توجه به ضابطه آن‌ها، میدان‌های برداری عمود به آن‌ها را بدست آورید.

  1. $$ \large \begin{align*} f \left ( { x , y } \right ) = { x ^ 2 } \sin \left ( { 5 y } \right ) \end {align*}$$
  2. $$ \large \begin{align*} f \left ( { x , y , z } \right ) = z { { \bf { e } } ^ { – x y } } \end {align*}$$

(a): گرادیان میدان برداری برابر است با:

$$ \large \begin{align*} \nabla f = \left \langle { 2 x \sin \left ( { 5 y } \right),5{x^2}\cos \left( { 5 y } \right ) } \right \rangle \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید از هریک از بخش‌های میدان اسکالر، مشتق گرفته شده و مولفه‌ها‌ی بدست آمده به صورت یک بردار در نظر گرفته شده است.

(b): گرادیان این تابع نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \nabla f = \left \langle { – y z { { \bf { e } } ^ { – x y } } , – x z { { \bf{e } }^{ – x y } } , { { \bf { e } } ^ { – x y } } } \right\rangle \end {align*}$$

مثال ۴

شکل گرادیان میدان اسکالر زیر به چه صورت خواهد بود.

$$ \large \begin {align*} f\left( { x , y } \right) = { x ^ 2 } + { y^ 2 } \end {align*}$$

توجه داشته باشید که کانتور‌های این میدان اسکالر به صورت دایره‌هایی هم‌مرکز هستند. چرا که این کانتور مطابق با عبارت زیر و به ازای $$k$$های مختلف ایجاد می‌شود.

$$ \large \begin {align*} f \left ( { x ,y } \right) = k \end {align*}$$

از طرفی گرادیان میدان اسکالر برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \nabla f \left( { x , y } \right) = 2 x \, \overrightarrow i + 2 y \, \overrightarrow j \end {align*}$$

شکل زیر میدان‌های اسکالر یا همان خطوط قرمزرنگ و بردار‌های گرادیان مربوط به آن نشان داده شده است.

میدان برداری

همان‌طور که در شکل فوق نیز نشان داده شده، در هر نقطه، بردار‌های بدست آمده به خطوط عمود هستند. در حقیقت بردار‌های گرادیان همواره به کانتور‌ میدان اسکالرِ مرتبط با آن عمود هستند. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 7 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “میدان برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  1. واقعا عالی بود.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *