شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
مشتق کسینوس – اثبات و فرمول مشتق Cos + مثال و تمرین
۷۷۳۳ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۲۹ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مشتق کسینوس (مشتق cos) برابر با منفی سینوس (sin-) است. کسینوس، یکی از توابع مثلثاتی اصلی محسوب میشود که در بسیاری از محاسبات ریاضی مرتبط با علوم پایه و مهندسی مورد استفاده قرار میگیرد. این تابع، یکی از انواع توابع متناوب یا دورهای نیز به شمار میرود. خروجی کسینوس، با افزایش یا کاهش مقدار ورودی، در یک محدوده مشخص (برای کسینوس، محدوده ۱- تا ۱+) باقی میماند. مشتق cos، شیب مماس بر نمودار این تابع است. در سادهترین حالت، مشتق cos(x) برابر با −sin(x) میشود. مشتقگیری از دیگر انواع توابع کسینوسی نظیر کسینوس چندجملهای، کسینوس تواندار، ضرب کسینوس، تقسیم کسینوس، کسینوس وارون، کسینوس هیپربولیک و غیره، فرمولها و روشهای مخصوص به خود را دارد که در این مقاله از مجله فرادرس به معرفی آنها میپردازیم و چندین مثال و تمرین متنوع را حل میکنیم.
مشتق کسینوس یک زاویه برابر با منفی سینوس آن زاویه است. به این ترتیب، داریم:
dxdcosθ=−sinθ
θ=۳۰∘
dxdcos(۳۰∘)=sin(۳۰∘)
سینوس ۳۰ درجه برابر است با:
sin(۳۰∘)=−۲۱
در نتیجه:
dxdcos(۳۰∘)=−۲۱
در ادامه، به مرور اجمالی مشتق و معرفی فرمول کلی آن بر اساس تعریف حد میپردازیم. ابن مفاهیم در اثبات فرمول مشتق سینوس مورد استفاده قرار خواهند گرفت.
مشتق چیست؟
«مشتق» (Derivative)، شیب خط مماس بر منحنی تابع در یک نقطه مشخص را نمایش میدهد. این مفهوم، نرخ تغییرات نقطهای تابع بر حسب یک متغیر است. به عنوان مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرد. در این تصویر، بخشی از نمودار تابع f(x) (منحنی توپر) نمایش داده شده است. در نقطه x، خطی را بر نمودار مماس میکنیم.
مشتق تابع f(x) در نقطه x، شیب خط مماس در نقطه تماس با منحنی است. از آنجایی که امکان محاسبه دقیق شیب در یک نقطه وجود ندارد، از مفهوم حد استفاده میکنیم. بر اساس این مفهوم، فرمول کلی مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
تصویر زیر، منحنی تابع cos(x) را در بازه ۰ تا ۲π (۰ تا ۳۶۰ درجه) نمایش میدهد.
منحنی تابع کسینوس x
بر اساس تعریف، برای به دست آوردن مشتق cos در یک زاویه مشخص، باید شیب مماس بر منحنی تابع cos در آن زاویه را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، مشتق کسینوس در زاویه π را در نظر بگیرید.
مماس بر منحنی کسینوس (مفهوم مشتق کسینوس)
همانطور که مشاهده میکنید، خط مماس بر منحنی تابع cos(x) در نقطه x=π، یک خط افقی است. به این ترتیب میگوییم مشتق cos(π) برابر با صفر است. این نتیجه را با فرمول مشتق cos نیز بررسی میکنیم:
cos′(x)=−sin(x)
cos′(π)=−sin(π)
sin(π) یا همان سینوس ۱۸۰ درجه برابر با صفر است. بنابراین:
cos′(π)=۰
مثال ۲: مشتق کسینوس ۴π
نسبت مشتق کسینوس ۴π به کسینوس ۴π را به دست بیاورید.
برای حل این مثال، ابتدا مشتق ۴π را تعیین میکنیم. بر اساس فرمول مشتق کسینوس، داریم:
dxdcos(x)=−sin(x)
بنابراین:
dxdcos(۴π)=−sin(۴π)
سینوس ۴π یا همان سینوس ۴۵ درجه برابر با ۲۲ است. به این ترتیب داریم:
dxdcos(۴π)=−۲۲
از طرفی، کسینوس ۴π نیز با ۲۲ برابری میکند. از اینرو، برای نسبت مشتق کسینوس ۴π به کسینوس ۴π داریم:
تصویر زیر، نمودارهای دو تابع sin(x) و cos(x) را در بازه ۰ تا ۲π نمایش میدهد.
نمودار سینوس و کسینوس x
سینوس و کسینوس به اندازه ۲π با یکدیگر اختلاف فاز دارند. بنابراین:
sin(۲π+θ)=+cos(θ)
cos(۲π+θ)=−sin(θ)
cos(۲π−θ)=sin(θ)
sin(۲π−θ)=cos(θ)
روابط بالا در اثبات فرمول مشتق کسینوس کاربرد دارند.
مثال ۳: محاسبه مشتق سینوس
تابع f(x) را در نظر بگیرید:
f(x)=۲cos(x)+۳۱sin(x)
مشتق این تابع را در x=۶π به دست بیاورید.
تابع تابع f(x)، حاصل جمع دو تابع مثلثاتی (سینوس و کسینوس) است. با توجه به قوانین مشتقگیری، مشتق جمع دو تابع با مجموع مشتقهای آن دو تابع برابری میکند. به عبارت دیگر:
(u(x)+v(x))′=u′(x)+v′(x)
یکی از توابع مورد سوال را برابر با u(x) و دیگری را برابر با v(x) قرار میدهیم و از آنها مشتق میگیریم:
u(x)=cos(x)
v(x)=sin(x)
u′(x)=−sin(x)
v′(x)=cos(x)
به این ترتیب، داریم:
(u(x)+v(x))′=u′(x)+v′(x)
(cos(x)+sin(x))′=−sin(x)+cos(x)
صورت سوال، مشتق تابع در x=۶π را از ما میخواهد. این مقدار را درون رابطه بالا قرار میدهیم:
dxd[cos(۶π)+sin(۶π)]=−sin(۶π)+cos(۶π)
۶π، زاویه ۳۰ درجه را نمایش میدهد. سینوس این زاویه برابر با ۲۱ و کسینوس آن برابر ۲۳ است. بنابراین، داریم:
dxd[cos(۶π)+sin(۶π)]=−۲۱+۲۳
dxd[cos(۶π)+sin(۶π)]=۲۳−۱
در صورت تمایل به یادگیری بیشتر در رابطه با مشتق دیگر توابع مثلثاتی، مطالعه یکی دیگر از مطالب مجله فرادرس با عنوان «مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده» را به شما پیشنهاد میکنیم.
ΔxΔy، شیب خط مماس بر نمودار تابع y=f(x) در نقطه x یا همان f′(x) را نمایش میدهد. برای اثبات فرمول مشتق کسینوس، رابطه بالا را بر حسب y=cos(x) بازنویسی میکنیم:
به این ترتیب، اثبات کردیم که مشتق cos برابر با sin- است.
اثبات فرمول مشتق cos با استفاده از مشتق گیری زنجیره ای
یکی از روابط معروف در مبحث مشتقگیری، رابطه مشتق زنجیرهای است. قاعده مشتق زنجیرهای، به صورت زیر نوشته میشود:
dxdf[g(x)]=f′[g(x)]g′(x)
بر اساس قوانین مثلثات برای زوایای تناوبی، میدانیم:
sin(۲π−θ)=cos(θ)
بنابراین:
dxdcos(x)=dxdsin(۲π−x)
با توجه به رابطه بالا، فرض میکنیم:
۲π−x=g(x)
به این ترتیب:
sin(g(x))=f[g(x)]
برای استفاده از قاعده مشتق زنجیرهای، باید از توابع بالا مشتق بگیریم:
g′(x)=−۱
f′[g(x)]=sin′[g(x)]=cos[g(x)]=cos(۲π−x)
توابع و مشتقهایشان را درون فرمول مشتق زنجیرهای قرار میدهیم:
dxdf[g(x)]=f′[g(x)]g′(x)
dxdsin(۲π−x)=cos(۲π−x)×(−۱)
dxdsin(۲π−x)=−cos(۲π−x)
بر اساس قوانین مثلثات، داریم:
cos(۲π−θ)=sin(θ)
sin(۲π−θ)=cos(θ)
به این ترتیب:
dxdcos(x)=−sin(x)
در نتیجه اثبات کردیم که مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است.
اثبات فرمول مشتق cos با استفاده از قاعده مشتق تقسیم
آخرین روشی که در این مقاله از مجله فرادرس برای اثبات فرمول مشتق کسینوس به آن میپردازیم، استفاده از قاعده مشتق تقسیم دو تابع است. این قاعده به صورت زیر نوشته میشود:
b ،a و c، ضرایب ثابت هستند. با توجه به این فرم، رابطه مشتق کسینوس عبارت است از:
f′(x)=−absin(bx+c)
مثال ۵: محاسبه مشتق کسینوس دو ایکس
مشتق cos(۲x) را تعیین کنید.
برای به دست آوردن مشتق cos(۲x)، از فرمول کلی مشتق کسینوس استفاده میکنیم. بر اساس این فرمول، داریم:
dxd[acos(bx+c)]=−absin(bx+c)
با توجه صورت سوال، داریم:
a=۱
b=۲
c=۰
بنابراین، مشتق cos(۲x) برابر است با:
dxdcos(۲x)=−۲sin(۲x)
عبارت ۲x در cos(۲x)، تابعی از متغیر x است. بنابراین، cos(۲x) یک تابع تو در تو محسوب میشود. مشتق این نوع تابع از فرمولی معروف به قاعده زنجیرهای به دست میآید. در بخشهای بعدی به معرفی این فرمول و حل مثالهای مرتبط با آن خواهیم پرداخت.
مشتق کسینوس توان دار چیست ؟
تابع cosn(x) را در نظر بگیرید. n، توان تابع کسینوس را نمایش میدهد. این توان میتواند مثبت یا منفی باشد.
در صورت مثبت بودن n، مشتق cosn(x) با استفاده از قانون ضرب در مشتقگیری محاسبه میشود. با توجه به این قانون، برای دو تابع f(x) و g(x) داریم:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
به عنوان مثال، cos۲(x) را در نظر بگیرید. این تابع را میتوانیم به صورت ضرب کسینوس در کسینوس بنویسیم:
cos۲(x)=cos(x)cos(x)
به این ترتیب، امکان تعیین مشتق cos۲(x) توسط فرمول مشتق ضرب دو تابع فراهم میشود. اگر توان n در cosn(x) منفی باشد، مشتق کسینوس تواندار از قانون تقسیم در مشتقگیری به دست میآید. بر اساس این قانون داریم:
dxd[g(x)f(x)]=g۲(x)g(x)f′(x)−f(x)g′(x)
به عنوان مثال، cos−۱ را در نظر بگیرید. این تابع مثلثاتی را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:
cos−۱(x)=cos(x)۱
به این ترتیب، به دست آوردن مشتق cos−۱ به کمک فرمول مشتق تقسیم دو تابع امکانپذیر میشود. در ادامه، نحوه تعیین مشتق cos تواندار را با حل چند مثال توضیح میدهیم.
مثال ۶: مشتق کسینوس به توان دو
مشتق cos۲(x) را به دست بیاورید.
برای حل این مثال، ابتدا cos۲(x) را به صورت ضرب دو تابع کسینوس مینویسیم:
cos۲(x)=cos(x)cos(x)
اکنون میتوانیم مشتق cos۲(x) را با استفاده از فرمول مشتق ضرب توابع تعیین کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته میشود:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)
اگر یکی از کسینوسها را برابر با تابعی مانند f(x) و کسینوس دیگر را برابر با تابعی مانند g(x) در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
f(x)=cos(x)
g(x)=cos(x)
مشتق هر یک از توابع بالا عبارت است از:
f′(x)=−sin(x)
g′(x)=−sin(x)
توابع و مشتقهایشان را درون فرمول زیر قرار میدهیم:
به جای x، تابعی مانند g(x) را درون کسینوس در نظر بگیرید:
f(g(x))=cos(g(x))
به تابع بالا، یک تابع تو در تو میگویند. مشتق این تابع از فرمول زیر به دست میآید:
dxdf[g(x)]=f′(g(x))g′(x)
مثال ۸: محاسبه مشتق کسینوس به توان ۲ به روش زنجیرهای
dxdcos۲(x) را به کمک قاعده مشتق زنجیرهای به دست بیاورید.
بر اساس قاعده مشتق زنجیرهای داریم:
dxdf[g(x)]=f′(g(x))g′(x)
در مثال ۶، مشتق کسینوس به توان دو را با استفاده از قاعده ضرب تعیین کردیم. برای حل این مشتق توسط قاعده زنجیرهای، ابتدا تابعی مانند g(x) را در نظر میگیریم و آن برابر با تابع کسینوس ایکس قرار میدهیم:
g(x)=cos(x)
در مرحله بعد، تابعی مانند f(x) را در نظر میگیریم و آن را برابر با x۲ قرار میدهیم:
f(x)=x۲
اکنون، با توجه به فرضیات بالا، تابع تو در توی f[g(x)] را مینویسیم:
f[g(x)]=g۲(x)
از آنجایی که g(x)=cos(x)، داریم:
f[g(x)]=cos۲(x)
به عبارت دیگر، cos۲(x) یک تابع تو در تو است که میتوانیم مشتق آن را با استفاده از رابطه زیر به دست بیاوریم:
dxdf[g(x)]=f′[g(x)]g′(x)
مشتقهای درون رابطه بالا به صورت زیر تعیین میشوند:
g′(x)=cos′(x)=−sin(x)
f′(x)=(x۲)′=۲x
f′[g(x)]=۲g(x)=۲cos(x)
به این ترتیب:
dxdf[g(x)]=f′[g(x)]g′(x)
dxdcos۲(x)=۲cos(x)×[−sin(x)]
dxdcos۲(x)=−۲cos(x)sin(x)
dxdcos۲(x)=−sin(۲x)
همانطور که مشاهده میکنید، با استفاده از قاعده زنجیرهای نیز به جوابی مشابه جواب مثال ۶ رسیدیم.
مشتق کسینوس وارون چیست ؟
تابع وارون، توابعی هستند که معکوس توابع معمولی عمل میکنند. به عنوان مثال، تابع کسینوس و وارون آن (آرککسینوس) را در نظر بگیرید:
برای به دست آوردن مشتق تابع مورد سوال، از فرمول زیر کمک میگیریم:
dxdcosh[u(x)]=u′(x)sinh[u(x)]
بر اساس صورت سوال و رابطه بالا، داریم:
u(x)=x۴−۷x۲
u′(x)=۴x۳−۱۴x
بنابراین:
dxdcosh(x۴−۷x۲)=(۴x۳−۱۴x)sinh(x۴−۷x۲)
مشتق مراتب بالاتر کسینوس چیست ؟
به تکرار مشتقگیری از خروجیهای مشتق یک تابع، مشتق مراتب بالاتر گفته میشود. به عنوان مثال، مشتق اول و مراتب بالاتر تابعی مانند y=f(x) عبارت است از:
dxdy,dxd(dxdy),dxd(dxd(dxdy)),...
dxdy,dx۲d۲y,dx۳d۳y,...
f′(x),f′′(x),f′′′(x),...
y′(x),y′′(x),y′′′(x),...
در بخشهای قبلی با مشتق مرتبه اول کسینوس آشنا شدید. این مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
dxdcos(x)=−sin(x)
اگر از −sin(x) مشتق بگیریم، به مشتق مرتبه دوم کسینوس میرسیم:
dxd(dxdycos(x))=dxdy[−sin(x)]
میدانیم مشتق سینوس ایکس با کسینوس ایکس برابری میکند. بنابراین:
dxd(dxdycos(x))=−dxdy[sin(x)]
dxd(dxdycos(x))=−cos(x)
به عبارت دیگر، مشتق مرتبه دوم کسینوس با منفی کسینوس برابر است. اگر مشتقگیری را برای مرتبه سوم و چهارم تکرار کنیم، به ترتیب به sin(x) و cos(x) میرسیم. در واقع، مشتق چهارم کسینوس با خودش برابر خواهد شد. این نتایج به همین ترتیب برای مشتقهای مراتب بالاتر تکرار میشوند. بنابراین، مشتقهای مرتبه هشتم، دوازدهم و دیگر مشتقهای مرتبه ۴n از تابع cos(x) برابر با cos(x) خواهد بود.
مثال ۱۱: مشتق مرتبه دوم کسینوس
مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲) را به دست بیاورید.
مشتق مرتبه دوم یک تابع (dxd۲f(x))، در دو مرحله تعیین میشود. مرحله اول، به دست آوردن مشتق مرتبه اول تابع است. برای تابع مورد سوال، این مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
dxdcos(۵x۲)=−sin(۵x۲)⋅dxd(۵x۲)
dxdcos(۵x۲)=−sin(۵x۲)⋅۱۰x
dxdcos(۵x۲)=−۱۰xsin(۵x۲)
به منظور تعیین مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲)، عملیات مشتقگیری را بر روی خروجی مشتق مرتبه اول (جواب بالا) تکرار میکنیم:
dxd[−۱۰xsin(۵x۲)]
جواب این مشتق با استفاده از قانون مشتق ضرب دو تابع به دست میآید. بنابراین، فرض میکنیم:
u(x)=−۱۰x
u′(x)=−۱۰
v(x)=sin(۵x۲)
v′(x)=۱۰xcos(۵x۲)
dxd[u(x)v(x)]=u(x)v′(x)+u′(x)v(x)
dxd[−۱۰xsin(۵x۲)]=−۱۰x[۱۰xcos(۵x۲)]−۱۰sin(۵x۲)
dxd[−۱۰xsin(۵x۲)]=−۱۰[۱۰x۲cos(۵x۲)+sin(۵x۲)]
به این ترتیب، مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲) را به دست آوردیم.
انتگرال کسینوس و رابطه آن با مشتق کسینوس چیست ؟
انتگرال، مفهومی است که به منظور تعیین مساحت زیر منحنی یک تابع مورد استفاده قرار میگیرد.
این مفهوم ارتباط بسیار نزدیکی با مشتق دارد. انتگرال کسینوس از رابطه زیر به دست میآید:
∫cos(x)dx=sin(x)+C
اگر بازه انتگرالگیری معین باشد، ثابت عددی C از جواب انتگرال cos حذف میشود:
∫cos(x)dx=sin(x)
به منظور درک بهتر مفهوم انتگرال کسینوس، مشتقهای مرتبه اول تا سوم این تابع را در نظر بگیرید:
dxdcos(x)=−sin(x)
dxd۲cos(x)=−cos(x)
dxd۳cos(x)=sin(x)
انتگرال هر یک از عبارتهای بالا برابر است با:
∫−sin(x)=−(−cos(x))=cos(x)
∫−cos(x)=−sin(x)
∫sin(x)=−cos(x)
بر اساس نتایج به دست آمده میتوان مشاهده کرد که انتگرال هر مشتق با مشتق مرتبه پایینتر خود برابری میکند. به عنوان مثال، انتگرال مشتق مرتبه سوم کسینوس با مشتق مرتبه دوم کسینوس برابر است. به همین شکل، انتگرال مشتق مرتبه دوم کسینوس با مشتق مرتبه اول کسینوس برابر میشود. به انتگرال، پادمشتق نیز میگویند.
مثال ۱۲: انتگرال جز به جز کسینوس
انتگرال F(x)=excos(x) را تعیین کنید.
برای تعیین انتگرال تابع مورد سوال، از روش انتگرالگیری جز به جز استفاده میکنیم. این روش، در به دست آوردن انتگرال ضرب دو تابع کاربرد دارد و فرمول آن به صورت زیر نوشته میشود:
∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx
همانطور که مشاهده میکنید، در انتگرال جز به جز، فرض میکنیم تابعی مانند f(x) در مشتق تابع دیگری مانند g(x) ضرب شده است. بنابراین، برای استفاده از رابطه بالا، تابع f(x) باید مشتقپذیر و تابع g′(x) انتگرالپذیر باشد. با توجه به قوانین انتگرالگیری جز به جز، مشتقگیری از توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارد. از اینرو، در این مثال داریم:
f(x)=cos(x)
g′(x)=ex
برای تعیین تمام پارامترهای فرمول انتگرال جز به جز، از f(x) مشتق گرفته و از g′(x) انتگرال میگیریم:
f′(x)=dxdf(x)=dxdcos(x)=−sin(x)
f′(x)=−sin(x)
g(x)=∫g′(x)dx=∫exdx=ex
g(x)=ex
با جایگذاری عبارتها بالا در رابطه انتگرالگیری جز به جز خواهیم داشت:
∫cos(x)⋅exdx=cos(x)⋅ex−∫−sin(x)⋅exdx
∫cos(x)⋅exdx=exsin(x)+∫exsin(x)dx
همانطور که مشاهده میکنید، انتگرال از درون رابطه حذف نشده و با یک الگوی مشابه دوباره در جواب ظاهر میشود. اگر انتگرال جدید را دوباره به روش جز به جز حل کنیم، به جواب زیر میرسیم:
∫exsin(x)dx=exsin(x)−∫excos(x)dx
نتیجه این انتگرال را در جواب اولیه قرار میدهیم:
∫cos(x)⋅exdx=excos(x)+exsin(x)−∫excos(x)dx
در این مرحله از انتگرالگیری نیز مانند مرحله اول، انتگرال از درون جواب حذف نشده اما انتگرال سمت چپ معادله دقیقا در سمت راست تکرار میشود. بنابراین میتوانیم انتگرال سمت راست را به سمت چپ ببریم:
∫cos(x)⋅exdx+∫excos(x)dx=excos(x)+exsin(x)
۲∫cos(x)⋅exdx=excos(x)+exsin(x)
∫cos(x)⋅exdx=۲excos(x)+۲exsin(x)
به این ترتیب، انتگرال F(x)=excos(x) را به دست آوردیم. روشی که در این مثال توضیح دادیم، روش بسیار خوبی برای به تعیین انتگرال توابعی است که طی مراحل انتگرالگیری، در جواب تکرار میشوند.
f(x,y)، تابعی از دو متغیر مستقل x و y است. مشتق این تابع، با استفاده از اصول مشتقگیری جزئی به دست میآید. در این روش، مشتق تابع بر حسب تمام متغیرهای مستقل تعیین میشود. به عنوان مثال، مشتق جزئی cos(x−y) بر حسب x عبارت است از:
∂x∂[f(x,y)]=∂x∂cos(x−y)
∂x∂cos(x−y)=∂x∂(x−y)[−sin(x−y)]
در صورت محاسبه مشتق بر حسب x، پارامتر y به عنوان یک ثابت در نظر گرفته میشود. بنابراین:
∂x∂(x−y)=∂x∂x−∂x∂y=۱−۰=۱
در نتیجه:
∂x∂cos(x−y)=۱×[−sin(x−y)]
∂x∂cos(x−y)=−sin(x−y)
مشتق جزئی cos(x+y) بر حسب y نیز طی مراحل زیر به دست میآید:
برای به دست آوردن مشتق مورد سوال، از رابطه زیر استفاده میکنیم:
f(x)=acos(bx+c)
f′(x)=−absin(bx+c)
در cos(۵x)، داریم:
a=۱,b=۵,c=۰
f(x)=۱×cos(۵x+۰)
بنابراین:
f′(x)=−۱×۵sin(۵x+۰)
f′(x)=−۵sin(۵x)
dxdcos(۵x)=−۵sin(۵x)
تمرین ۲: مشتق کسینوس به توان ۳
مشتق تابع cos۳(x) چه میشود؟
برای حل این تمرین، چند روش وجود دارد. قاعده ضرب در مشتقگیری و قاعده مشتق زنجیرهای، دو روش رایج برای به دست آوردن dxdcos۳(x) و توابع مشابه آن محسوب میشوند. برای استفاده از قاعده زنجیرهای، تابع کسینوس را برابر با تابعی مانند g(x) در نظر میگیریم:
g(x)=cos(x)
بنابراین:
cos۳(x)=g۳(x)
حال فرض کنید تابعی مانند f(x) وجود دارد که:
f(x)=x۳
اگر g(x) را درون تابع بالا قرار دهیم، خواهیم داشت:
f[g(x)]=g۳(x)
از آنجایی که cos۳(x)=g۳(x)، داریم:
f[g(x)]=cos۳(x)
همانطور که مشاهده میکنید، cos۳(x) یک تابع تو در تو است. این تابع را برابر با تابع دیگری نظیر F(x) قرار میدهیم:
F(x)=f[g(x)]=cos۳(x)
مشتق F(x) با استفاده از رابطه زیر محاسبه میشود:
F′(x)=f′[g(x)]⋅g′(x)
فرض کردیم کسینوس برابر با g(x) است. بنابراین:
g′(x)=cos′(x)=−sin(x)
برای f′(x) داریم:
f′(x)=(x۳)′=۳x۲
به این ترتیب:
f′[g(x)]=۳g۲(x)=۳cos۲(x)
با جایگذاری این مشتقها درون رابطه F′(x) به نتیجه زیر میرسیم:
F′(x)=f′[g(x)]⋅g′(x)
F′(x)=۳cos۲(x)⋅[−sin(x)]
F′(x)=−۳cos۲(x)sin(x)
در نتیجه، مشتق کسینوس به توان ۳ را به دست آوردیم. روش دوم تعیین این مشتق، استفاده از قانون ضرب در مشتقگیری است. برای استفاده از این قانون، ابتدا cos۳(x) را به صورت زیر مینویسیم:
cos۳(x)=cos(x)cos۲(x)
cos(x) را برابر با u(x) و cos۲(x) را برابر با v(x) در نظر گرفته و از آنها مشتق میگیرم:
u(x)=cos(x)
v(x)=cos۲(x)
u′(x)=−sin(x)
v′(x)=−۲cos(x)sin(x)
نحوه تعیین مشتق cos۲(x) را در مثالهای ۶ و ۸ این مقاله توضیح دادهایم. عبارتهای بالا را در فرمول زیر قرار میدهیم:
همانطور که مشاهده میکنید، در این روش نیز به جواب روش اول رسیدیم. شاید در نگاه اول استفاده از این روش سادهتر به نظر برسد اما اگر بخواهیم مشتق توابع با توان بالاتر و پیچیدهتر را به کمک فرمول مشتق ضرب توابع تعیین کنیم، فرآیند حل طولانیتر خواهد شد.
تمرین ۳: مشتق تقسیم کسینوس بر چندجملهای
مشتق تابع زیر را به دست بیاورید:
f(x)=۴x۲cos(x)
مشتق تابع بالا استفاده قاعده تقسیم دو تابع قابل تعیین است. این قاعده به صورت زیر نوشته میشود:
dxd[v(x)u(x)]=v۲(x)u′(x)v(x)–v′(x)u(x)
برای حل این تمرین، صورت کسر را برابر با u(x) و مخرج کسر را برابر با v(x) قرار میدهیم و سپس از آنها مشتق میگیرم:
u(x)=cos(x)
v(x)=۴x۲
u′(x)=−sin(x)
v′(x)=۴×۲x۲−۱=۸x
روابط به دست آمده را درون فرمول مشتقگیری از تقسیم دو تابع جایگذاری میکنیم:
«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیتهای علمی او در زمینه تحلیل عددی سازههای مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.