مشتق کسینوس – اثبات و فرمول مشتق Cos + مثال و تمرین

۷۷۳۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۹ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مشتق کسینوس – اثبات و فرمول مشتق Cos + مثال و تمرینمشتق کسینوس – اثبات و فرمول مشتق Cos + مثال و تمرین

مشتق کسینوس (مشتق cos) برابر با منفی سینوس (sin-) است. کسینوس، یکی از توابع مثلثاتی اصلی محسوب می‌شود که در بسیاری از محاسبات ریاضی مرتبط با علوم پایه و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این تابع، یکی از انواع توابع متناوب یا دوره‌ای نیز به شمار می‌رود. خروجی کسینوس، با افزایش یا کاهش مقدار ورودی، در یک محدوده مشخص (برای کسینوس، محدوده ۱- تا ۱+) باقی می‌ماند. مشتق cos، شیب مماس بر نمودار این تابع است. در ساده‌ترین حالت، مشتق cos(x)\cos ( x ) برابر با sin(x)- \sin ( x ) می‌شود. مشتق‌گیری از دیگر انواع توابع کسینوسی نظیر کسینوس چندجمله‌ای، کسینوس توان‌دار، ضرب کسینوس، تقسیم کسینوس، کسینوس وارون، کسینوس هیپربولیک و غیره، فرمول‌ها و روش‌های مخصوص به خود را دارد که در این مقاله از مجله فرادرس به معرفی آن‌ها می‌پردازیم و چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته
نمایش همه
997696

فرمول مشتق کسینوس چیست ؟

مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است. فرمول مشتق کسینوس، به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

ddx[cos(x)]=sin(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) ] = - \sin( x )

cos(x)=sin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

مثال ۱: محاسبه مشتق کسینوس ۳۰ درجه

مشتق cosθ\cos \theta را در θ=۳۰\theta = ۳۰ ^ {\circ } به دست بیاورید.

مشتق کسینوس یک زاویه برابر با منفی سینوس آن زاویه است. به این ترتیب، داریم:

ddxcosθ=sinθ\frac { d } { d x } \cos \theta = - \sin \theta

θ=۳۰\theta = ۳۰ ^ {\circ }

ddxcos(۳۰)=sin(۳۰)\frac { d } { d x } \cos ( ۳۰ ^ { \circ } ) = \sin ( ۳۰ ^ { \circ } )

سینوس ۳۰ درجه برابر است با:

sin(۳۰)=۱۲\sin ( ۳۰ ^ { \circ } ) = - \frac { ۱ } { ۲ }

در نتیجه:

ddxcos(۳۰)=۱۲\frac { d } { d x } \cos ( ۳۰ ^ { \circ } ) = - \frac { ۱ } { ۲ }

در ادامه، به مرور اجمالی مشتق و معرفی فرمول کلی آن بر اساس تعریف حد می‌پردازیم. ابن مفاهیم در اثبات فرمول مشتق سینوس مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

مشتق چیست؟

«مشتق» (Derivative)، شیب خط مماس بر منحنی تابع در یک نقطه مشخص را نمایش می‌دهد. این مفهوم، نرخ تغییرات نقطه‌ای تابع بر حسب یک متغیر است. به عنوان مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرد. در این تصویر، بخشی از نمودار تابع f(x)f ( x )‌ (منحنی توپر) نمایش داده شده است. در نقطه xx، خطی را بر نمودار مماس می‌کنیم.

شیب مماس بر منحنی تابع (مفهوم مشتق)
شیب مماس بر منحنی تابع (مفهوم مشتق)

مشتق تابع f(x)f ( x ) در نقطه xx، شیب خط مماس در نقطه تماس با منحنی است. از آنجایی که امکان محاسبه دقیق شیب در یک نقطه وجود ندارد، از مفهوم حد استفاده می‌کنیم. بر اساس این مفهوم، فرمول کلی مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ΔyΔx=limΔx۰f(x+Δx)f(x)Δx\frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }

مشتق کسینوس چگونه به دست می آید ؟

مشتق کسینوس، شیب خط مماس بر منحنی این تابع مثلثاتی است. منحنی تابع کسینوس، همواره در بازه ۱- تا ۱ نوسان می‌کند.

تصویر زیر، منحنی تابع cos(x)\cos ( x) را در بازه ۰ تا ۲π۲ \pi (۰ تا ۳۶۰ درجه) نمایش می‌دهد.

منحنی تابع کسینوس x
منحنی تابع کسینوس x

بر اساس تعریف، برای به دست آوردن مشتق cos در یک زاویه مشخص، باید شیب مماس بر منحنی تابع cos در آن زاویه را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، مشتق کسینوس در زاویه π\pi را در نظر بگیرید.

مماس بر منحنی کسینوس (مفهوم مشتق کسینوس)
مماس بر منحنی کسینوس (مفهوم مشتق کسینوس)

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، خط مماس بر منحنی تابع cos(x)\cos ( x ) در نقطه x=πx = \pi، یک خط افقی است. به این ترتیب می‌گوییم مشتق cos(π)\cos ( \pi ) برابر با صفر است. این نتیجه را با فرمول مشتق cos نیز بررسی می‌کنیم:

cos(x)=sin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

cos(π)=sin(π)\cos ^ { \prime } ( \pi ) = - \sin ( \pi )

sin(π)\sin ( \pi ) یا همان سینوس ۱۸۰ درجه برابر با صفر است. بنابراین:

cos(π)=۰\cos ^ { \prime } ( \pi ) = ۰

مثال ۲: مشتق کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ }

نسبت مشتق کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } به کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } را به دست بیاورید.

برای حل این مثال، ابتدا مشتق π۴\frac { \pi } { ۴ } را تعیین می‌کنیم. بر اساس فرمول مشتق کسینوس، داریم:

ddxcos(x)=sin(x)\frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin( x )

بنابراین:

ddxcos(π۴)=sin(π۴)\frac { d } { d x } \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) = - \sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right )

سینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } یا همان سینوس ۴۵ درجه برابر با ۲۲\frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ } است. به این ترتیب داریم:

ddxcos(π۴)=۲۲\frac { d } { d x } \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) = - \frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ }

از طرفی، کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } نیز با ۲۲\frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ } برابری می‌کند. از این‌رو، برای نسبت مشتق کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } به کسینوس π۴\frac { \pi } { ۴ } داریم:

ddxcos(π۴)cos(π۴)=۲۲۲۲=۱\frac { \frac { d } { d x } \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) }{ \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) } = \frac { - \frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ } }{ \frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ } } = -۱

مقایسه مشتق کسینوس و سینوس

سینوس، یکی از توابع مثلثاتی اصلی است. مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxsin(x)=cos(x)\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مشتق سینوس برابر با کسینوس است. به عنوان مثال، مشتق تابع y=sin(x)y = \sin ( x ) در نقطه x=πx = \pi به صورت زیر محاسبه می‌شود:

ddxsin(π)=cos(π)\frac { d } { d x } \sin ( \pi ) = \cos ( \pi )

cos(π)\cos ( \pi ) یا همان کسینوس زاویه ۱۸۰ درجه برابر با ۱ است. بنابراین داریم:

sin(π)=۱\sin ^ { \prime } ( \pi ) = ۱

تصویر زیر، نمودارهای دو تابع sin(x)\sin ( x ) و cos(x)\cos ( x ) را در بازه ۰ تا ۲π۲ \pi نمایش می‌دهد.

نمودار سینوس و کسینوس x
نمودار سینوس و کسینوس x

سینوس و کسینوس به اندازه π۲\frac { \pi } { ۲ } با یکدیگر اختلاف فاز دارند. بنابراین:

sin(π۲+θ)=+cos(θ)\sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } + \theta \right ) = + \cos ( \theta )

cos(π۲+θ)=sin(θ)\cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } + \theta \right ) = - \sin ( \theta )

cos(π۲θ)=sin(θ)\cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta \right ) = \sin ( \theta )

sin(π۲θ)=cos(θ)\sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta \right ) = \cos ( \theta )

روابط بالا در اثبات فرمول مشتق کسینوس کاربرد دارند.

مثال ۳: محاسبه مشتق سینوس

تابع f(x)f ( x ) را در نظر بگیرید:

f(x)=۲cos(x)+۱۳sin(x)f ( x ) = ۲ \cos ( x ) + \frac { ۱ } { ۳ } \sin ( x )

مشتق این تابع را در x=π۶x = \frac { \pi } { ۶ } به دست بیاورید.

تابع تابع f(x)f ( x )، حاصل جمع دو تابع مثلثاتی (سینوس و کسینوس) است. با توجه به قوانین مشتق‌گیری، مشتق جمع دو تابع با مجموع مشتق‌های آن دو تابع برابری می‌کند. به عبارت دیگر:

(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)( u ( x ) + v ( x ) ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) + v ^ { \prime } ( x )

یکی از توابع مورد سوال را برابر با u(x)u ( x ) و دیگری را برابر با v(x)v ( x ) قرار می‌دهیم و از آن‌ها مشتق می‌گیریم:

u(x)=cos(x)u ( x ) = \cos ( x )

v(x)=sin(x)v ( x ) = \sin ( x )

u(x)=sin(x)u ^ { \prime } ( x ) = - \sin( x )

v(x)=cos(x)v ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )

به این ترتیب، داریم:

(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)( u ( x ) + v ( x ) ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } ( x ) + v ^ { \prime } ( x )

(cos(x)+sin(x))=sin(x)+cos(x)( \cos ( x ) + \sin ( x ) ) ^ { \prime } = - \sin ( x ) + \cos ( x )

صورت سوال، مشتق تابع در x=π۶x = \frac { \pi } { ۶ } را از ما می‌خواهد. این مقدار را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

ddx[cos(π۶)+sin(π۶)]=sin(π۶)+cos(π۶)\frac { d } { d x } \left [ \cos \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) + \sin \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) \right ] = - \sin \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) + \cos \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right )

π۶\frac { \pi } { ۶ }، زاویه ۳۰ درجه را نمایش می‌دهد. سینوس این زاویه برابر با ۱۲\frac { ۱ } { ۲ } و کسینوس آن برابر ۳۲\frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ } است. بنابراین، داریم:

ddx[cos(π۶)+sin(π۶)]=۱۲+۳۲\frac { d } { d x } \left [ \cos \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) + \sin \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) \right ] = - \frac { ۱ } { ۲ } + \frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ }

ddx[cos(π۶)+sin(π۶)]=۳۱۲\frac { d } { d x } \left [ \cos \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) + \sin \left ( \frac { \pi } { ۶ } \right ) \right ] = \frac { \sqrt { ۳ } -۱ } { ۲ }

در صورت تمایل به یادگیری بیشتر در رابطه با مشتق دیگر توابع مثلثاتی، مطالعه یکی دیگر از مطالب مجله فرادرس با عنوان «مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

اثبات فرمول مشتق کسینوس

روش‌های مختلفی برای اثبات فرمول مشتق cos وجود دارد که در این بخش، به توضیح هر یک از آن‌ها خواهیم پرداخت.

اثبات فرمول مشتق cos با استفاده از تعریف حدی مشتق

تعریف حدی مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ΔyΔx=limΔx۰f(x+Δx)f(x)Δx\frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }

ΔyΔx\frac { \Delta y } { \Delta x }، شیب خط مماس بر نمودار تابع y=f(x)y = f ( x ) در نقطه x یا همان f(x)f ^ { \prime } ( x )‌ را نمایش می‌دهد. برای اثبات فرمول مشتق کسینوس، رابطه بالا را بر حسب y=cos(x)y = \cos ( x ) بازنویسی می‌کنیم:

cos(x)=limΔx۰cos(x+Δx)cos(x)Δx\cos ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( x + \Delta x ) - \cos ( x ) } { \Delta x }

عبارت cos(x+Δx)\cos ( x + \Delta x )، کسینوس جمع دو زاویه است. قوانین جمع و تفریق زوایا در مثلثات، می‌توان این عبارت را به صورت زیر نوشت:

cos(x+Δx)=cos(x)cos(Δx)sin(x)sin(Δx)\cos ( x + \Delta x ) = \cos ( x ) \cos ( \Delta x ) − \sin ( x ) \sin ( \Delta x )

عبارت‌های سمت راست را درون فرمول حدی جایگزین کرده و حد را به صورت زیر بازنویسی:

cos(x)=limΔx۰cos(x)cos(Δx)sin(x)sin(Δx)cos(x)Δx\cos ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( x ) \cos ( \Delta x ) − \sin ( x ) \sin ( \Delta x ) - \cos ( x ) } { \Delta x }

cos(x)=limΔx۰cos(x)cos(Δx)cos(x)ΔxlimΔx۰sin(x)sin(Δx)Δx\cos ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( x ) \cos ( \Delta x ) - \cos ( x ) } { \Delta x } - \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin ( x ) \sin ( \Delta x ) } { \Delta x }

cos(x)=limΔx۰cos(Δx)۱Δxcos(x)limΔx۰sin(Δx)Δxsin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱} { \Delta x } \cos ( x ) - \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin ( \Delta x ) } { \Delta x } \sin ( x )

با توجه به قواعد حدگیری از توابع مثلثاتی، داریم:

limΔx۰cos(Δx)۱Δx=۰\lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱} { \Delta x } = ۰

limΔx۰sin(Δx)Δx=۱\lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin ( \Delta x ) } { \Delta x } = ۱

این نتایج را درون فرمول قرار می‌دهیم:

cos(x)=۰×cos(x)۱×sin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = ۰ \times \cos ( x ) - ۱ \times \sin ( x )

cos(x)=۰sin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = ۰ - \sin ( x )

cos(x)=sin(x)\cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

به این ترتیب، اثبات کردیم که مشتق cos برابر با sin- است.

اثبات فرمول مشتق cos با استفاده از مشتق گیری زنجیره ای

یکی از روابط معروف در مبحث مشتق‌گیری، رابطه مشتق زنجیره‌ای است. قاعده مشتق زنجیره‌ای، به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] =f' [ g ( x ) ] g' (x )

بر اساس قوانین مثلثات برای زوایای تناوبی، می‌دانیم:

sin(π۲θ)=cos(θ)\sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta \right ) = \cos ( \theta )

بنابراین:

ddxcos(x)=ddxsin(π۲x)\frac { d } { d x } \cos ( x ) = \frac { d } { d x } \sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right )

با توجه به رابطه بالا، فرض می‌کنیم:

π۲x=g(x)\frac { \pi } { ۲ } - x = g ( x )

به این ترتیب:

sin(g(x))=f[g(x)]\sin ( g ( x ) ) = f [ g ( x ) ]

برای استفاده از قاعده مشتق زنجیره‌ای، باید از توابع بالا مشتق بگیریم:

g(x)=۱g ^ { \prime } ( x ) = - ۱

f[g(x)]=sin[g(x)]=cos[g(x)]=cos(π۲x)f ^ { \prime } [ g ( x ) ] = \sin ^ { \prime } [ g ( x ) ] = \cos [ g ( x ) ] = \cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right )

توابع و مشتق‌هایشان را درون فرمول مشتق زنجیره‌ای قرار می‌دهیم:

ddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] =f' [ g ( x ) ] g' (x )

ddxsin(π۲x)=cos(π۲x)×(۱)\frac { d } { d x } \sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right ) = \cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right ) \times ( - ۱ )

ddxsin(π۲x)=cos(π۲x)\frac { d } { d x } \sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right ) = - \cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } - x \right )

بر اساس قوانین مثلثات، داریم:

cos(π۲θ)=sin(θ)\cos \left ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta \right ) = \sin ( \theta )

sin(π۲θ)=cos(θ)\sin \left ( \frac { \pi } { ۲ } - \theta \right ) = \cos ( \theta )

به این ترتیب:

ddxcos(x)=sin(x)\frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin ( x )

در نتیجه اثبات کردیم که مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است.

اثبات فرمول مشتق cos با استفاده از قاعده مشتق تقسیم

آخرین روشی که در این مقاله از مجله فرادرس برای اثبات فرمول مشتق کسینوس به آن می‌پردازیم، استفاده از قاعده مشتق تقسیم دو تابع است. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)g(x)f(x)g۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ^ ۲ ( x ) }

کلاس ریاضی

بر اساس روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، داریم:

cos(θ)=۱sec(θ)\cos ( \theta ) = \frac { ۱ } { \sec ( \theta ) }

بنابراین:

ddxcos(x)=ddx[۱sec(x)]\frac { d } { d x } \cos ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sec ( x ) } \right ]

برای مشتق‌گیری از ۱sec(x)\frac { ۱ } { \sec ( x ) }، صورت و مخرج را به عنوان دو تابع مجزا در نظر می‌گیریم:

f(x)=۱f ( x ) = ۱

g(x)=sec(x)g ( x ) = \sec ( x )

مشتق این توابع عبارت هستند از:

f(x)=۰f ^ { \prime } ( x ) = ۰

g(x)=sec(x)tan(x)g ^ { \prime } ( x ) = \sec ( x ) \tan ( x )

توابع f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) را به همراه مشتق‌هایشان درون فرمول مشتق تقسیم قرار می‌دهیم:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)g(x)f(x)g۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ^ ۲ ( x ) }

ddx(۱sec)=۰×sec(x)sec(x)tan(x)×۱sec۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sec } \right ) = \frac { ۰ \times \sec ( x ) – \sec ( x ) \tan ( x ) \times ۱}{ \sec ^ ۲ ( x ) }

ddx(۱sec)=۰sec(x)tan(x)sec۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sec } \right ) = \frac { ۰– \sec ( x ) \tan ( x )}{ \sec ^ ۲ ( x ) }

ddx(۱sec)=tan(x)sec(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sec } \right ) = - \frac { \tan ( x )}{ \sec ( x ) }

ddx(۱sec)=sin(x)cos(x)۱cos(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sec } \right ) = - \frac { \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } }{ \frac { ۱ } { \cos ( x ) } }

ddx(۱sec)=sin(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sec } \right ) = - \sin ( x )

به این ترتیب اثبات کردیم که مشتق cos برابر با sin است.

مثال ۴: اثبات مشتق تانژانت

با استفاده از مشتق سینوس و کسینوس، رابطه زیر را اثبات کنید:

ddxtan(x)=sec۲(x)\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )

بر اساس روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، می‌دانیم که:

tan(x)=sin(x)cos(x)\tan ( x ) = \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) }

بنابراین:

ddxtan(x)=ddx[sin(x)cos(x)]\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ]

به این ترتیب، برای تعیین مشتق تانژانت می‌توانیم از تقسیم سینوس بر کسینوس مشتق بگیریم. بر اساس قاعده مشتق تقسیم دو تابع، داریم:

ddx[sin(x)cos(x)]=cos(x)ddxsin(x)sin(x)ddxcos(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \frac { \cos ( x ) \frac { d } { d x } \sin ( x ) - \sin ( x ) \frac { d } { d x } \cos ( x ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx[sin(x)cos(x)]=cos(x)cos(x)sin(x)(sin(x))cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \frac { \cos ( x ) \cos ( x ) - \sin ( x ) ( - \sin ( x ) ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx[sin(x)cos(x)]=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \frac { \cos ( x ) \cos ( x ) + \sin ( x ) \sin ( x ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx[sin(x)cos(x)]=cos۲(x)+sin۲(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \frac { \cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }

مجموع مربعات سینوس و کسینوس برابر با ۱ می‌شود. از این‌رو:

ddx[sin(x)cos(x)]=۱cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx[sin(x)cos(x)]=sec۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ] = \sec ^ ۲ ( x )

در نتیجه:

ddxtan(x)=sec۲(x)\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )

فرمول کلی مشتق کسینوس چیست ؟

فرم کلی تابع کسینوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=acos(bx+c)f ( x ) = a \cos( b x + c )

b ،a و c، ضرایب ثابت هستند. با توجه به این فرم، رابطه مشتق کسینوس عبارت است از:

f(x)=absin(bx+c)f ^ { \prime } ( x ) = - a b \sin ( b x + c )

مثال ۵: محاسبه مشتق کسینوس دو ایکس

مشتق cos(۲x)\cos ( ۲ x ) را تعیین کنید.

برای به دست آوردن مشتق cos(۲x)\cos ( ۲ x )، از فرمول کلی مشتق کسینوس استفاده می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

ddx[acos(bx+c)]=absin(bx+c)\frac { d } { d x } [ a \cos ( b x + c ) ] = - a b \sin ( b x + c )

با توجه صورت سوال، داریم:

a=۱a = ۱

b=۲b = ۲

c=۰c = ۰

بنابراین، مشتق cos(۲x)\cos ( ۲ x ) برابر است با:

ddxcos(۲x)=۲sin(۲x)\frac { d } { d x } \cos ( ۲ x ) = - ۲ \sin ( ۲ x )

عبارت ۲x۲ x در cos(۲x)\cos ( ۲ x )، تابعی از متغیر x است. بنابراین، cos(۲x)\cos ( ۲ x ) یک تابع تو در تو محسوب می‌شود. مشتق این نوع تابع از فرمولی معروف به قاعده زنجیره‌ای به دست می‌آید. در بخش‌های بعدی به معرفی این فرمول و حل مثال‌های مرتبط با آن خواهیم پرداخت.

مشتق کسینوس توان دار چیست ؟

تابع cosn(x)\cos ^ { n } ( x ) را در نظر بگیرید. n، توان تابع کسینوس را نمایش می‌دهد. این توان می‌تواند مثبت یا منفی باشد.

در صورت مثبت بودن n، مشتق cosn(x)\cos ^ { n } ( x ) با استفاده از قانون ضرب در مشتق‌گیری محاسبه می‌شود. با توجه به این قانون، برای دو تابع f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) داریم:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+g(x)f(x)\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x )

به عنوان مثال، cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را در نظر بگیرید. این تابع را می‌توانیم به صورت ضرب کسینوس در کسینوس بنویسیم:

cos۲(x)=cos(x)cos(x)\cos ^ ۲ ( x ) = \cos ( x ) \cos ( x )

نمونه متن ریاضی

به این ترتیب، امکان تعیین مشتق cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) توسط فرمول مشتق ضرب دو تابع فراهم می‌شود. اگر توان n در cosn(x)\cos ^ { n } ( x ) منفی باشد، مشتق کسینوس توان‌دار از قانون تقسیم در مشتق‌گیری به دست می‌آید. بر اساس این قانون داریم:

ddx[f(x)g(x)]=g(x)f(x)f(x)g(x)g۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { g ( x ) f' ( x ) - f ( x ) g' ( x ) } { g ^ { ۲ } ( x ) }

به عنوان مثال، cos۱\cos ^ { - ۱ } را در نظر بگیرید. این تابع مثلثاتی را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

cos۱(x)=۱cos(x)\cos ^ { - ۱ } ( x ) = \frac { ۱ } { \cos ( x ) }

به این ترتیب، به دست آوردن مشتق cos۱\cos ^ { - ۱ } به کمک فرمول مشتق تقسیم دو تابع امکان‌پذیر می‌شود. در ادامه، نحوه تعیین مشتق cos توان‌دار را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۶: مشتق کسینوس به توان دو

مشتق cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را به دست بیاورید.

برای حل این مثال، ابتدا cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را به صورت ضرب دو تابع کسینوس می‌نویسیم:

cos۲(x)=cos(x)cos(x)\cos ^ ۲ ( x ) = \cos ( x ) \cos ( x )

اکنون می‌توانیم مشتق cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را با استفاده از فرمول مشتق ضرب توابع تعیین کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) + f ^ { \prime } ( x ) g ( x )

اگر یکی از کسینوس‌ها را برابر با تابعی مانند f(x)f ( x ) و کسینوس دیگر را برابر با تابعی مانند g(x)g ( x ) در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

f(x)=cos(x)f ( x ) = \cos ( x )

g(x)=cos(x)g ( x ) = \cos ( x )

مشتق هر یک از توابع بالا عبارت است از:

f(x)=sin(x)f ^ { \prime } ( x ) = - \sin( x )

g(x)=sin(x)g ^ { \prime } ( x ) = - \sin( x )

توابع و مشتق‌هایشان را درون فرمول زیر قرار می‌دهیم:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) + f ^ { \prime } ( x ) g ( x )

ddx[cos(x)cos(x)]=cos(x)[sin(x)]+cos(x)[sin(x)]\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ( x ) ] = \cos ( x ) [ - \sin ( x ) ] + \cos ( x ) [ - \sin ( x ) ]

ddx[cos(x)cos(x)]=cos(x)sin(x)cos(x)sin(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ( x ) ] = - \cos ( x ) \sin ( x ) - \cos ( x ) \sin ( x )

ddx[cos(x)cos(x)]=۲cos(x)sin(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ( x ) ] = - ۲ \cos ( x ) \sin ( x )

بر اساس روابط بین نسبت‌های مثلثاتی، داریم:

sin(۲θ)=۲sin(θ)cos(θ)\sin ( ۲ \theta ) = ۲ \sin ( \theta ) \cos ( \theta )

بنابراین:

ddx[cos(x)cos(x)]=sin(۲x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ( x ) ] = - \sin ( ۲ x )

در نتیجه:

ddxcos۲(x)=sin(۲x)\frac { d } { d x } \cos ^ ۲ ( x ) = - \sin ( ۲ x )

مثال ۷: مشتق تقسیم کسینوس

مشق تابع زیر را تعیین کنید:

f(x)=xcosxf ( x ) = \dfrac { x } { \cos x }

برای حل این مثال، دو روش وجود دارد. در روش اول، ابتدا فرمول مشتق تقسیم دو تابع را می‌نویسیم و پس از تعیین توابع نظیر، از آن‌ها مشتق می‌گیریم:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

u(x)=xu ( x ) = x

v(x)=cos(x)v ( x ) = \cos ( x )

u(x)=۱u ^ { \prime } ( x ) = ۱

v(x)=sin(x)v ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

ddx(xcosx)=۱×cos(x)(sin(x))×xcos۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \dfrac { x } { \cos x } \right ) = \frac { ۱ \times \cos ( x ) – ( - \sin ( x ) ) \times x }{ \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx(xcosx)=cos(x)+xsin(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \dfrac { x } { \cos x } \right ) = \frac { \cos ( x ) + x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) }

می‌وانیم جواب بالا را به صورت زیر ساده‌سازی کنیم:

ddx(xcosx)=cos(x)cos۲(x)+xsin(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \dfrac { x } { \cos x } \right ) = \frac { \cos ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) } +\frac { x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx(xcosx)=۱cos(x)+xsin(x)cos(x)×۱cos(x)\frac { d } { d x } \left ( \dfrac { x } { \cos x } \right ) = \frac { ۱ }{ \cos ( x ) } +\frac { x \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \times \frac { ۱ }{ \cos ( x ) }

ddx(xcosx)=sec(x)+xtan(x)sec(x)\frac { d } { d x } \left ( \dfrac { x } { \cos x } \right ) = \sec ( x ) + x \tan ( x ) \sec ( x )

روش دوم برای حل این مثال، تبدیل عبارت xcosx\dfrac { x } { \cos x } به xsec(x)x \sec ( x ) و مشتق‌گیری از آن با کمک قانون مشتق ضرب دو تابع است.

مشتق زنجیره ای کسینوس چیست ؟

ساده‌ترین فرم تابع کسینوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=cos(x)f ( x ) = \cos ( x )

به جای xx، تابعی مانند g(x)g ( x ) را درون کسینوس در نظر بگیرید:

f(g(x))=cos(g(x))f ( g ( x ) ) = \cos ( g ( x ) )

به تابع بالا، یک تابع تو در تو می‌گویند. مشتق این تابع از فرمول زیر به دست می‌آید:

ddxf[g(x)]=f(g(x))g(x)\frac { d } { d x } f \left [ g ( x ) \right ] = f ' \left ( g ( x ) \right ) g ' (x )

مثال ۸: محاسبه مشتق کسینوس به توان ۲ به روش زنجیره‌ای

ddxcos۲(x)\frac { d } { d x } \cos ^ ۲ ( x ) را به کمک قاعده مشتق زنجیره‌ای به دست بیاورید.

بر اساس قاعده مشتق زنجیره‌ای داریم:

ddxf[g(x)]=f(g(x))g(x)\frac { d } { d x } f \left [ g ( x ) \right ] = f ' \left ( g ( x ) \right ) g ' (x )

در مثال ۶، مشتق کسینوس به توان دو را با استفاده از قاعده ضرب تعیین کردیم. برای حل این مشتق توسط قاعده زنجیره‌ای، ابتدا تابعی مانند g(x)g ( x ) را در نظر می‌گیریم و آن برابر با تابع کسینوس ایکس قرار می‌دهیم:

g(x)=cos(x)g ( x ) = \cos ( x )

کلاس ریاضی

در مرحله بعد، تابعی مانند f(x)f ( x ) را در نظر می‌گیریم و آن را برابر با x۲x ^ ۲ قرار می‌دهیم:

f(x)=x۲f ( x ) = x ^ ۲

اکنون، با توجه به فرضیات بالا، تابع تو در توی f[g(x)]f [ g ( x ) ] را می‌نویسیم:

f[g(x)]=g۲(x)f [ g ( x ) ] = g ^ ۲ ( x )

از آنجایی که g(x)=cos(x)g ( x ) = \cos ( x )، داریم:

f[g(x)]=cos۲(x)f [ g ( x ) ] = \cos ^ ۲ ( x )

به عبارت دیگر، cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) یک تابع تو در تو است که می‌توانیم مشتق آن را با استفاده از رابطه زیر به دست بیاوریم:

ddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f \left [ g ( x ) \right ] = f ' [ g ( x ) ] g ' (x )

مشتق‌های درون رابطه بالا به صورت زیر تعیین می‌شوند:

g(x)=cos(x)=sin(x)g ^ { \prime } ( x ) = \cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

f(x)=(x۲)=۲xf ^ { \prime } ( x ) = ( x ^ ۲ ) ^ { \prime } = ۲ x

f[g(x)]=۲g(x)=۲cos(x)f ' [ g ( x ) ] = ۲ g ( x ) = ۲ \cos ( x )

به این ترتیب:

ddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f \left [ g ( x ) \right ] = f ' [ g ( x ) ] g ' ( x )

ddxcos۲(x)=۲cos(x)×[sin(x)]\frac { d } { d x } \cos ^ ۲ ( x ) = ۲ \cos ( x ) \times [ - \sin ( x ) ]

ddxcos۲(x)=۲cos(x)sin(x)\frac { d } { d x } \cos ^ ۲ ( x ) = - ۲ \cos ( x ) \sin ( x )

ddxcos۲(x)=sin(۲x)\frac { d } { d x } \cos ^ ۲ ( x ) = - \sin ( ۲ x )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با استفاده از قاعده زنجیره‌ای نیز به جوابی مشابه جواب مثال ۶ رسیدیم.

مشتق کسینوس وارون چیست ؟

تابع وارون، توابعی هستند که معکوس توابع معمولی عمل می‌کنند. به عنوان مثال، تابع کسینوس و وارون آن (آرک‌کسینوس) را در نظر بگیرید:

y=cos(x)y = \cos ( x )

arccos(y)=x\arccos ( y ) = x

همان‌‌طور که می‌بینید، تابع وارون یا معکوس، با گرفتن خروجی تابع اصلی، ورودی را مشخص می‌کند. آرک‌کسینوس با cos۱(y)=x\cos ^ { - ۱ } ( y ) = x نیز نمایش داده می‌شود.

مشتق کسینوس وارون عبارت است از:

ddxarccos۱(x)=۱۱x۲\frac { d } { d x } \arccos ^ { - ۱ } ( x ) = - \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }

مشتق وارون کسینوس u نیز از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxcos۱(u(x))=u(x)۱u۲(x)\frac { d } { d x } \cos ^ { - ۱ } ( u ( x ) ) = - \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ \sqrt { ۱ - u ^ ۲ ( x ) } }

اثبات فرمول مشتق کسینوس وارون

به منظور اثبات فرمول مشتق کسینوس معکوس، ابتدا فرض می‌کنیم:

y=arccos(x)y = \arccos ( x )

بر اساس تعریف توابع وارون، داریم:

cos(y)=x\cos ( y ) = x

از دو طرف رابطه بالا بر حسب x مشتق می‌گیریم:

ddxcos(y)=ddxx\frac { d } { d x } \cos ( y ) = \frac { d } { d x } x

ddxcos(y)=۱\frac { d } { d x } \cos ( y ) = ۱

y تابعی از x است. بنابراین، با توجه به قاعده زنجیره‌ای، حاصل عبارت سمت چپ رابطه بالا برابر خواهد بود با:

sin(y)ddxy=۱- \sin ( y ) \cdot \frac { d } { d x } y = ۱

بنابراین:

dydx=۱sin(y)\frac { d y } { d x } = - \frac { ۱ }{ \sin ( y )}

بر اساس قوانین مثلثات، جمع مربعات سینوس و کسینوس برابر با ۱ می‌شود:

sin۲(y)+cos۲(y)=۱\sin ^ ۲ ( y ) + \cos ^ ۲ ( y ) = ۱

رابطه بالا را بر حسب sin(y)\sin ( y ) بازنویسی می‌کنیم:

sin۲(y)=۱cos۲(y)\sin ^ ۲ ( y ) = ۱ - \cos ^ ۲ ( y )

sin(y)=۱cos۲(y)\sin ( y ) = \sqrt { ۱ - \cos ^ ۲ ( y ) }

در ابتدای اثبات، دیدیم که:

cos(y)=x\cos ( y ) = x

از این‌رو:

sin(y)=۱x۲\sin ( y ) = \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }

dydx=۱sin(y)\frac { d y } { d x } = - \frac { ۱ }{ \sin ( y )}

dydx=۱۱x۲\frac { d y } { d x } = - \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }

از آنجایی که y=arccos(x)y = \arccos ( x )، خواهیم داشت:

ddxarccos(x)=۱۱x۲\frac { d } { d x } \arccos ( x ) = - \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }

به این ترتیب، فرمول مشتق کسینوس وارون را اثبات کردیم.

مثال ۹: مشتق کسینوس اینورس

مشتق تابع زیر را تعیین کنید:

f(x)=cos۱(۳x۱)f ( x ) = \cos ^ { - ۱ } ( ۳ x - ۱ )

اگر ۳x۱۳ x - ۱ را برابر با u(x)u ( x ) در نظر بگیریم، مشتق تابع بالا از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxarccosu(x)=u(x)۱u۲(x)\frac { d } { d x } \arccos u ( x ) = - \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ \sqrt { ۱ - u ^ ۲ ( x ) } }

ddxarccos(۳x۱)=ddx(۳x۱)۱(۳x۱)۲\frac { d } { d x } \arccos ( ۳ x - ۱ ) = - \frac { \frac { d } { d x } ( ۳ x - ۱ ) }{ \sqrt { ۱ - ( ۳ x - ۱ ) ^ ۲ } }

ddxarccos(۳x۱)=۳۱(۹x۲+۱۶x)\frac { d } { d x } \arccos ( ۳ x - ۱ ) = - \frac {۳ }{ \sqrt { ۱ - ( ۹ x ^ ۲ + ۱ - ۶ x ) } }

ddxarccos(۳x۱)=۳۱۹x۲+۱+۶x\frac { d } { d x } \arccos ( ۳ x - ۱ ) = - \frac {۳ }{ \sqrt { ۱ - ۹ x ^ ۲ + ۱ + ۶ x } }

ddxarccos(۳x۱)=۳۶x۹x۲\frac { d } { d x } \arccos ( ۳ x - ۱ ) = - \frac {۳ }{ \sqrt { ۶ x - ۹ x ^ ۲} }

f(x)=۳۶x۹x۲f ^ { \prime } ( x ) = - \frac {۳ }{ \sqrt { ۶ x - ۹ x ^ ۲} }

مشتق کسینوس هیپربولیک چیست ؟

تابع کسینوس هیپربولیک عبارت به صورت زیر نوشته می‌شود:

cosh(x)\cosh ( x )

بیان این تابع بر اساس عدد اویلر عبارت است از:

cosh(x)=ex+ex۲\cosh ( x ) = \frac { e ^ x + e ^ { - x } }{ ۲ }

مشتق کسینوس هیپربولیک با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxcosh(x)=sinh(x)\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \sinh ( x )

ddxcosh(x)=exex۲\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { e ^ x - e ^ { - x } }{ ۲ }

به عبارت دیگر، مشق cosh برابر با sinh است. اگر به جای x، تابعی از x مانند u(x)u ( x ) را درون کسینوس هیپربولیک قرار دهیم، فرمول مشتق به شکل زیر درمی‌آید:

ddxcosh[u(x)]=u(x)sinh[u(x)]\frac { d } { d x } \cosh [ u ( x ) ] = u ^ { \prime } ( x ) \sinh [ u ( x ) ]

مشتق کسینوس هیپربولیک وارون نیز با استفاده فرمول‌های زیر تعیین می‌شود:

ddxcosh۱(x)=۱x۲۱\frac { d } { d x } \cosh ^ { - ۱ } ( x ) = \frac { ۱ }{ \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } }

ddxcosh۱[u(x)]=u(x)u۲(x)۱\frac { d } { d x } \cosh ^ { - ۱ } [ u ( x ) ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ \sqrt { u ^ ۲ ( x ) - ۱ } }

اثبات فرمول مشتق کسینوس هیپربولیک

به منظور اثبات فرمول cosh، ابتدا فرم اویلری آن را می‌نویسیم:

cosh(x)=ex+ex۲\cosh ( x ) = \frac { e ^ x + e ^ { - x } }{ ۲ }

سپس، از دو طرف رابطه بالا مشتق می‌گیریم:

ddxcosh(x)=ddx(ex+ex۲)\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ x + e ^ { - x } }{ ۲ } \right )

مشتق‌گیری را در سمت راست رابطه ادامه می‌دهیم:

ddxcosh(x)=۱۲[ddx(ex+ex)]\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { ۱ }{ ۲ } \left [\frac { d } { d x } \left ( e ^ x + e ^ { - x }\right ) \right ]

ddxcosh(x)=۱۲[ddxex+ddxex]\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { ۱ }{ ۲ } \left [\frac { d } { d x } e ^ x + \frac { d } { d x } e ^ { - x } \right ]

مشتق تابع نمایی، از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxef(x)=f(x)ef(x)\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }

بنابراین:

ddxcosh(x)=۱۲(exex)\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { ۱ }{ ۲ } \left ( e ^ x - e ^ { - x } \right )

ddxcosh(x)=exex۲\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \frac { e ^ x - e ^ { - x } }{ ۲ }

سمت راست رابطه بالا، همان sinh(x)\sinh ( x ) است. در نتیجه:

ddxcosh(x)=sinh(x)\frac { d } { d x } \cosh ( x ) = \sinh ( x )

مثال ۱۰: مشتق کسینوس هیپربولیک

مشتق cosh(x۴۷x۲)\cosh ( x ^ ۴ - ۷ x ^ ۲ ) را تعیین کنید.

برای به دست آوردن مشتق تابع مورد سوال، از فرمول زیر کمک می‌گیریم:

ddxcosh[u(x)]=u(x)sinh[u(x)]\frac { d } { d x } \cosh [ u ( x ) ] = u ^ { \prime } ( x ) \sinh [ u ( x ) ]

بر اساس صورت سوال و رابطه بالا، داریم:

u(x)=x۴۷x۲u ( x ) = x ^ ۴ - ۷ x ^ ۲

u(x)=۴x۳۱۴xu ^ { \prime } ( x ) = ۴ x ^ ۳ - ۱۴ x

بنابراین:

ddxcosh(x۴۷x۲)=(۴x۳۱۴x)sinh(x۴۷x۲)\frac { d } { d x } \cosh ( x ^ ۴ - ۷ x ^ ۲ ) = \left ( ۴ x ^ ۳ - ۱۴ x \right ) \sinh \left ( x ^ ۴ - ۷ x ^ ۲ \right )

مشتق مراتب بالاتر کسینوس چیست ؟

به تکرار مشتق‌گیری از خروجی‌های مشتق یک تابع، مشتق مراتب بالاتر گفته می‌شود. به عنوان مثال، مشتق اول و مراتب بالاتر تابعی مانند y=f(x)y = f ( x ) عبارت است از:

dydx,  ddx(dydx),  ddx(ddx(dydx)),  ...\frac { d y } { d x } , \; \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right ) , \; \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right ) \right ) , \; ...

dydx,  d۲ydx۲,  d۳ydx۳,  ...\frac { d y } { d x } , \; \frac { d ^ ۲ y } { d x ^ ۲ } , \; \frac { d ^ ۳ y } { d x ^ ۳ } , \; ...

f(x),  f(x),  f(x),  ...f ^ { \prime } ( x ) , \; f ^ { \prime \prime } ( x ) , \; f ^ { \prime \prime \prime} ( x ) , \; ...

y(x),  y(x),  y(x),  ...y ^ { \prime } ( x ) , \; y ^ { \prime \prime } ( x ) , \; y ^ { \prime \prime \prime} ( x ) , \; ...

در بخش‌های قبلی با مشتق مرتبه اول کسینوس آشنا شدید. این مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxcos(x)=sin(x)\frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin ( x )

کلاس ریاضی

اگر از sin(x)- \sin ( x ) مشتق بگیریم، به مشتق مرتبه دوم کسینوس می‌رسیم:

ddx(dydxcos(x))=dydx[sin(x)]\frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \cos ( x ) \right ) = \frac { d y } { d x } [ - \sin ( x ) ]

می‌دانیم مشتق سینوس ایکس با کسینوس ایکس برابری می‌کند. بنابراین:

ddx(dydxcos(x))=dydx[sin(x)]\frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \cos ( x ) \right ) = - \frac { d y } { d x } [ \sin ( x ) ]

ddx(dydxcos(x))=cos(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \cos ( x ) \right ) = - \cos ( x )

به عبارت دیگر، مشتق مرتبه دوم کسینوس با منفی کسینوس برابر است. اگر مشتق‌گیری را برای مرتبه سوم و چهارم تکرار کنیم، به ترتیب به sin(x)\sin ( x ) و cos(x)\cos ( x ) می‌رسیم. در واقع، مشتق چهارم کسینوس با خودش برابر خواهد شد. این نتایج به همین ترتیب برای مشتق‌های مراتب بالاتر تکرار می‌شوند. بنابراین، مشتق‌های مرتبه هشتم، دوازدهم و دیگر مشتق‌‌های مرتبه ۴n از تابع cos(x)\cos ( x ) برابر با cos(x)\cos ( x )‌ خواهد بود.

مثال ۱۱: مشتق مرتبه دوم کسینوس

مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲)\cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) را به دست بیاورید.

مشتق مرتبه دوم یک تابع (d۲dxf(x)\frac { d ^ ۲ } { d x } f ( x ))، در دو مرحله تعیین می‌شود. مرحله اول، به دست آوردن مشتق مرتبه اول تابع است. برای تابع مورد سوال، این مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxcos(۵x۲)=sin(۵x۲)ddx(۵x۲)\frac { d } { d x } \cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) = - \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \cdot \frac { d } { d x } \left ( ۵ x ^ ۲ \right )

ddxcos(۵x۲)=sin(۵x۲)۱۰x\frac { d } { d x } \cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) = - \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \cdot ۱۰ x

ddxcos(۵x۲)=۱۰xsin(۵x۲)\frac { d } { d x } \cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) = - ۱۰ x \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right )

به منظور تعیین مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲)\cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right )، عملیات مشتق‌گیری را بر روی خروجی مشتق مرتبه اول (جواب بالا) تکرار می‌کنیم:

ddx[۱۰xsin(۵x۲)]\frac { d } { d x } \left [ - ۱۰ x \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \right ]

جواب این مشتق با استفاده از قانون مشتق ضرب دو تابع به دست می‌آید. بنابراین، فرض می‌کنیم:

u(x)=۱۰xu ( x ) = -۱۰ x

u(x)=۱۰u ^ { \prime } ( x ) = -۱۰

v(x)=sin(۵x۲)v ( x ) = \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right )

v(x)=۱۰xcos(۵x۲)v ^ { \prime } ( x ) = ۱۰ x \cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right )

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)\frac { d } { d x } [ u ( x ) v ( x ) ] = u ( x ) v ^ { \prime } ( x ) + u ^ { \prime } ( x ) v ( x )

ddx[۱۰xsin(۵x۲)]=۱۰x[۱۰xcos(۵x۲)]۱۰sin(۵x۲)\frac { d } { d x } \left [ - ۱۰ x \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \right ] = -۱۰ x \left [۱۰ x \cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \right ] -۱۰ \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right )

ddx[۱۰xsin(۵x۲)]=۱۰[۱۰x۲cos(۵x۲)+sin(۵x۲)]\frac { d } { d x } \left [ - ۱۰ x \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \right ] = -۱۰ \left [۱۰ x ^ ۲\cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) + \sin \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) \right ]

به این ترتیب، مشتق مرتبه دوم cos(۵x۲)\cos \left ( ۵ x ^ ۲ \right ) را به دست آوردیم.

انتگرال کسینوس و رابطه آن با مشتق کسینوس چیست ؟

انتگرال، مفهومی است که به منظور تعیین مساحت زیر منحنی یک تابع مورد استفاده قرار می‌گیرد.

این مفهوم ارتباط بسیار نزدیکی با مشتق دارد. انتگرال کسینوس از رابطه زیر به دست می‌آید:

cos(x)dx=sin(x)+C\int \cos ( x ) d x = \sin ( x ) + C

اگر بازه انتگرال‌گیری معین باشد، ثابت عددی C از جواب انتگرال cos حذف می‌شود:

cos(x)dx=sin(x)\int \cos ( x ) d x = \sin ( x )

به منظور درک بهتر مفهوم انتگرال کسینوس، مشتق‌های مرتبه اول تا سوم این تابع را در نظر بگیرید:

ddxcos(x)=sin(x)\frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin ( x )

d۲dxcos(x)=cos(x)\frac { d ^ ۲ } { d x } \cos ( x ) = - \cos ( x )

d۳dxcos(x)=sin(x)\frac { d ^ ۳ } { d x } \cos ( x ) = \sin ( x )

انتگرال هر یک از عبارت‌های بالا برابر است با:

sin(x)=(cos(x))=cos(x)\int - \sin ( x ) = - ( - \cos ( x ) ) = \cos ( x )

cos(x)=sin(x)\int - \cos ( x ) = - \sin ( x )

sin(x)=cos(x)\int \sin ( x ) = - \cos ( x )

بر اساس نتایج به دست آمده می‌توان مشاهده کرد که انتگرال هر مشتق با مشتق مرتبه پایین‌تر خود برابری می‌کند. به عنوان مثال، انتگرال مشتق مرتبه سوم کسینوس با مشتق مرتبه دوم کسینوس برابر است. به همین شکل، انتگرال مشتق مرتبه دوم کسینوس با مشتق مرتبه اول کسینوس برابر می‌شود. به انتگرال، پادمشتق نیز می‌گویند.

مثال ۱۲: انتگرال جز به جز کسینوس

انتگرال F(x)=excos(x)F ( x ) = e ^ x \cos ( x ) را تعیین کنید.

برای تعیین انتگرال تابع مورد سوال، از روش انتگرال‌گیری جز به جز استفاده می‌کنیم. این روش، در به دست آوردن انتگرال ضرب دو تابع کاربرد دارد و فرمول آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در انتگرال جز به جز، فرض می‌کنیم تابعی مانند f(x)f ( x ) در مشتق تابع دیگری مانند g(x)g ( x ) ضرب شده است. بنابراین، برای استفاده از رابطه بالا، تابع f(x)f ( x ) باید مشتق‌پذیر و تابع g(x)g ^ { \prime } ( x )‌ انتگرال‌پذیر باشد. با توجه به قوانین انتگرال‌گیری جز به جز، مشتق‌گیری از توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارد. از این‌رو، در این مثال داریم:

f(x)=cos(x)f ( x ) = \cos ( x )

g(x)=exg ^ { \prime } ( x ) = e ^ x

برای تعیین تمام پارامترهای فرمول انتگرال جز به جز، از f(x)f ( x ) مشتق گرفته و از g(x)g ^ { \prime } ( x )‌ انتگرال می‌گیریم:

f(x)=ddxf(x)=ddxcos(x)=sin(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } f ( x ) = \frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin ( x )

f(x)=sin(x)f ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

g(x)=g(x)dx=exdx=exg ( x ) = \int g ^ { \prime } ( x ) d x = \int e ^ x d x = e ^ x

g(x)=exg ( x ) = e ^ x

با جایگذاری عبارت‌ها بالا در رابطه انتگرال‌گیری جز به جز خواهیم داشت:

cos(x)exdx=cos(x)exsin(x)exdx\int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x = \cos ( x ) \cdot e ^ x - \int - \sin ( x ) \cdot e ^ x d x

cos(x)exdx=exsin(x)+exsin(x)dx\int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x = e ^ x \sin ( x ) + \int e ^ x \sin ( x ) d x

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، انتگرال از درون رابطه حذف نشده و با یک الگوی مشابه دوباره در جواب ظاهر می‌شود. اگر انتگرال جدید را دوباره به روش جز به جز حل کنیم، به جواب زیر می‌رسیم:

exsin(x)dx=exsin(x)excos(x)dx\int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - \int e ^ x \cos ( x ) d x

نتیجه این انتگرال را در جواب اولیه قرار می‌دهیم:

cos(x)exdx=excos(x)+exsin(x)excos(x)dx\int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x = e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x ) - \int e ^ x \cos ( x ) d x

در این مرحله از انتگرال‌گیری نیز مانند مرحله اول، انتگرال از درون جواب حذف نشده اما انتگرال سمت چپ معادله دقیقا در سمت راست تکرار می‌شود. بنابراین می‌توانیم انتگرال سمت راست را به سمت چپ ببریم:

cos(x)exdx+excos(x)dx=excos(x)+exsin(x)\int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x + \int e ^ x \cos ( x ) d x= e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x )

۲cos(x)exdx=excos(x)+exsin(x)۲ \int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x = e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x )

cos(x)exdx=excos(x)۲+exsin(x)۲\int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x = \frac { e ^ x \cos ( x ) } { ۲ } + \frac { e ^ x \sin ( x ) } { ۲ }

به این ترتیب، انتگرال F(x)=excos(x)F ( x ) = e ^ x \cos ( x ) را به دست آوردیم. روشی که در این مثال توضیح دادیم، روش بسیار خوبی برای به تعیین انتگرال توابعی است که طی مراحل انتگرال‌‌گیری، در جواب تکرار می‌شوند.

مشتق جزئی کسینوس

تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x,  y)=cos(xy)f ( x , \; y ) = \cos ( x - y )

f(x,  y)f ( x , \; y )، تابعی از دو متغیر مستقل xx و yy است. مشتق این تابع، با استفاده از اصول مشتق‌گیری جزئی به دست می‌آید. در این روش، مشتق تابع بر حسب تمام متغیرهای مستقل تعیین می‌شود. به عنوان مثال، مشتق جزئی cos(xy)\cos ( x - y ) بر حسب xx عبارت است از:

x[f(x,  y)]=xcos(xy)\frac { \partial } { \partial x } [ f ( x , \; y ) ] = \frac { \partial } { \partial x } \cos ( x - y )

xcos(xy)=x(xy)[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x - y ) = \frac { \partial } { \partial x } ( x - y ) [ - \sin ( x - y ) ]

در صورت محاسبه مشتق بر حسب xx، پارامتر yy به عنوان یک ثابت در نظر گرفته می‌شود. بنابراین:

x(xy)=xxxy=۱۰=۱\frac { \partial } { \partial x } ( x - y ) = \frac { \partial } { \partial x } x - \frac { \partial } { \partial x } y = ۱ - ۰ = ۱

در نتیجه:

xcos(xy)=۱×[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x - y ) = ۱ \times [ - \sin ( x - y ) ]

xcos(xy)=sin(xy)\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x - y ) = - \sin ( x - y )

مشتق جزئی cos(x+y)\cos ( x + y ) بر حسب yy نیز طی مراحل زیر به دست می‌آید:

ycos(xy)=y(xy)[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x - y ) = \frac { \partial } { \partial y } ( x - y ) [ - \sin ( x - y ) ]

برای y(xy)\frac { \partial } { \partial y } ( x - y ) داریم:

y(xy)=yxyy=۰۱=۱\frac { \partial } { \partial y } ( x - y ) = \frac { \partial } { \partial y } x - \frac { \partial } { \partial y } y = ۰ - ۱ = - ۱

در نتیجه:

ycos(xy)=۱×[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x - y ) = - ۱ \times [ - \sin ( x - y ) ]

ycos(xy)=sin(xy)\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x - y ) = \sin ( x - y )

حل تمرین مشتق Cos

در این بخش، به منظور آشنایی بهتر و بیشتر با نحوه تعیین مشتق توابع کسینوسی، به حل چند تمرین متنوع می‌پردازیم.

تمرین ۱: مشتق cos۵x

مشتق cos(۵x)cos ( ۵ x ) را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتق مورد سوال، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

f(x)=acos(bx+c)f ( x ) = a \cos ( b x + c )

f(x)=absin(bx+c)f ^ { \prime } ( x ) = - a b \sin ( b x + c )

در cos(۵x)\cos ( ۵ x )، داریم:

a=۱,  b=۵,  c=۰a = ۱ , \; b = ۵ , \; c = ۰

f(x)=۱×cos(۵x+۰)f ( x ) = ۱ \times \cos ( ۵ x + ۰ )

بنابراین:

f(x)=۱×۵sin(۵x+۰)f ^ { \prime } ( x ) = - ۱ \times ۵ \sin ( ۵ x + ۰ )

f(x)=۵sin(۵x)f ^ { \prime } ( x ) = - ۵ \sin ( ۵ x )

ddxcos(۵x)=۵sin(۵x)\frac { d } { d x } \cos ( ۵ x ) = - ۵ \sin ( ۵ x )

تمرین ۲: مشتق کسینوس به توان ۳

مشتق تابع cos۳(x)\cos ^ ۳ ( x ) چه می‌شود؟

برای حل این تمرین، چند روش وجود دارد. قاعده ضرب در مشتق‌گیری و قاعده مشتق زنجیره‌ای، دو روش رایج برای به دست آوردن ddxcos۳(x)\frac { d } { d x } \cos ^ ۳ ( x ) و توابع مشابه آن محسوب می‌شوند. برای استفاده از قاعده زنجیره‌ای، تابع کسینوس را برابر با تابعی مانند g(x)g ( x ) در نظر می‌گیریم:

g(x)=cos(x)g ( x ) = \cos ( x )

بنابراین:

cos۳(x)=g۳(x)\cos ^ ۳ ( x ) = g ^ ۳ ( x )

حال فرض کنید تابعی مانند f(x)f ( x ) وجود دارد که:

f(x)=x۳f ( x ) = x ^ ۳

اگر g(x)g ( x ) را درون تابع بالا قرار دهیم، خواهیم داشت:

f[g(x)]=g۳(x)f [ g ( x ) ] = g ^ ۳ ( x )

از آنجایی که cos۳(x)=g۳(x)\cos ^ ۳ ( x ) = g ^ ۳ ( x )، داریم:

f[g(x)]=cos۳(x)f [ g ( x ) ] = \cos ^ ۳ ( x )

تصویر تزئینی

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، cos۳(x)\cos ^ ۳ ( x ) یک تابع تو در تو است. این تابع را برابر با تابع دیگری نظیر F(x)F ( x ) قرار می‌دهیم:

F(x)=f[g(x)]=cos۳(x)F ( x ) = f [ g ( x ) ] = \cos ^ ۳ ( x )

مشتق F(x)F ( x ) با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

F(x)=f[g(x)]g(x)F ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] \cdot g ^ { \prime } ( x )

فرض کردیم کسینوس برابر با g(x)g ( x ) است. بنابراین:

g(x)=cos(x)=sin(x)g ^ { \prime } ( x ) = \cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

برای f(x)f ^ { \prime } ( x ) داریم:

f(x)=(x۳)=۳x۲f ^ { \prime } ( x ) = \left ( x ^ ۳ \right ) ^ { \prime } = ۳ x ^ ۲

به این ترتیب:

f[g(x)]=۳g۲(x)=۳cos۲(x)f ^ { \prime } [ g ( x ) ] = ۳ g ^ ۲ ( x ) = ۳ \cos ^ ۲ ( x )

با جایگذاری این مشتق‌ها درون رابطه F(x)F ^ { \prime } ( x ) به نتیجه زیر می‌رسیم:

F(x)=f[g(x)]g(x)F ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] \cdot g ^ { \prime } ( x )

F(x)=۳cos۲(x)[sin(x)]F ^ { \prime } ( x ) = ۳ \cos ^ ۲ ( x ) \cdot [ - \sin ( x )]

F(x)=۳cos۲(x)sin(x)F ^ { \prime } ( x ) = - ۳ \cos ^ ۲ ( x ) \sin ( x )

در نتیجه، مشتق کسینوس به توان ۳ را به دست آوردیم. روش دوم تعیین این مشتق، استفاده از قانون ضرب در مشتق‌گیری است. برای استفاده از این قانون، ابتدا cos۳(x)\cos ^ ۳ ( x ) را به صورت زیر می‌نویسیم:

cos۳(x)=cos(x)cos۲(x)\cos ^ ۳ ( x ) = \cos ( x ) \cos ^ ۲ ( x )

cos(x)\cos ( x ) را برابر با u(x)u ( x ) و cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را برابر با v(x)v ( x ) در نظر گرفته و از آن‌ها مشتق می‌گیرم:

u(x)=cos(x)u ( x ) = \cos ( x )

v(x)=cos۲(x)v ( x ) = \cos ^ ۲ ( x )

u(x)=sin(x)u ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

v(x)=۲cos(x)sin(x)v ^ { \prime } ( x ) = - ۲ \cos ( x ) \sin ( x )

نحوه تعیین مشتق cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) را در مثال‌های ۶ و ۸ این مقاله توضیح داده‌ایم. عبارت‌های بالا را در فرمول زیر قرار می‌دهیم:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)\frac { d } { d x } [ u ( x ) v ( x ) ] = u ( x ) v ^ { \prime } ( x ) + u ^ { \prime } ( x ) v ( x )

ddx[cos(x)cos۲(x)]=cos(x)[۲cos(x)sin(x)]+[sin(x)]cos۲(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ^ ۲ ( x ) ] = \cos ( x ) [ - ۲ \cos ( x ) \sin ( x ) ] + [ - \sin ( x ) ] \cos ^ ۲ ( x )

ddx[cos(x)cos۲(x)]=۲cos۲(x)sin(x)sin(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ^ ۲ ( x ) ] = - ۲ \cos ^ ۲ ( x ) \sin ( x ) - \sin ( x ) \cos ^ ۲ ( x )

ddx[cos(x)cos۲(x)]=۳cos۲(x)sin(x)\frac { d } { d x } [ \cos ( x ) \cos ^ ۲ ( x ) ] = - ۳ \cos ^ ۲ ( x ) \sin ( x )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در این روش نیز به جواب روش اول رسیدیم. شاید در نگاه اول استفاده از این روش ساد‌ه‌تر به نظر برسد اما اگر بخواهیم مشتق توابع با توان بالاتر و پیچیده‌تر را به کمک فرمول مشتق ضرب توابع تعیین کنیم، فرآیند حل طولانی‌تر خواهد شد.

تمرین ۳: مشتق تقسیم کسینوس بر چندجمله‌ای

مشتق تابع زیر را به دست بیاورید:

f(x)=cos(x)۴x۲f ( x ) = \dfrac { \cos ( x ) } { ۴ x ^ ۲ }

مشتق تابع بالا استفاده قاعده تقسیم دو تابع قابل تعیین است. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

برای حل این تمرین، صورت کسر را برابر با u(x)u ( x ) و مخرج کسر را برابر با v(x)v ( x )‌ قرار می‌دهیم و سپس از آن‌ها مشتق می‌گیرم:

u(x)=cos(x)u ( x ) = \cos ( x )

v(x)=۴x۲v ( x ) = ۴ x ^ ۲

u(x)=sin(x)u ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

v(x)=۴×۲x۲۱=۸xv ^ { \prime } ( x ) = ۴ \times ۲ x ^ { ۲ - ۱ } = ۸ x

روابط به دست آمده را درون فرمول مشتق‌گیری از تقسیم دو تابع جایگذاری می‌کنیم:

f(x)=ddx[cos(x)۴x۲]=sin(x)×۴x۲۸x×cos(x)(۴x۲)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \dfrac { \cos ( x ) } { ۴ x ^ ۲ } \right ] = \frac { - \sin ( x ) \times ۴ x ^ ۲ – ۸ x \times \cos ( x ) }{ \left ( ۴ x ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

f(x)=۴x۲sin(x)۸xcos(x)۱۶x۴f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ۴ x ^ ۲ \sin ( x ) – ۸ x \cos ( x ) }{ ۱۶ x ^ ۴ }

f(x)=۴x[xsin(x)۲cos(x)]۱۶x۴f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۴ x [- x \sin ( x ) – ۲ \cos ( x ) ] }{ ۱۶ x ^ ۴ }

f(x)=xsin(x)۲cos(x)۴x۳f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - x \sin ( x ) – ۲ \cos ( x ) }{ ۴ x ^ ۳ }

تمرین ۴: مشتق تابع توان دار

مشتق تابع زیر را تعیین کنید:

y=(xcos۲x)۴y = \left ( x - \cos ^ ۲ x \right ) ^ ۴

به منظور مشتق‌گیری از yy بر حسب x (به دست آوردن ddxy\frac { d } { d x } y)، تغییر متغیر زیر را اعمال می‌کنیم:

u(x)=xcos۲(x)u ( x ) = x - \cos ^ ۲ ( x )

بر اساس این تغییر متغیر، خواهیم داشت:

y=u۴(x)y = u ^ ۴ ( x )

از u(x)u ( x ) بر حسب xx مشتق می‌گیریم:

ddxu(x)=ddx[xcos۲(x)]\frac { d } { d x } u ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ x - \cos ^ ۲ ( x ) \right ]

ddx[xcos۲(x)]=۱[۲sin(x)cos(x)]\frac { d } { d x } \left [ x - \cos ^ ۲ ( x ) \right ] = ۱ - [ - ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) ]

ddxu(x)=۱+۲sin(x)cos(x)\frac { d } { d x } u ( x ) = ۱ + ۲ \sin ( x ) \cos ( x )

نحوه محاسبه مشتق cos۲(x)\cos ^ ۲ ( x ) در مثال ۶ و ۸ توضیح داده شده است. اکنون به سراغ تعیین ddxy\frac { d } { d x } y می‌رویم. به این منظور، ابتدا از yy بر حسب uu مشتق می‌گیریم:

dduy=dduu(x)۴\frac { d } { d u } y = \frac { d } { d u } u ( x ) ^ ۴

dduu(x)۴=۴u۳(x)\frac { d } { d u } u ( x ) ^ ۴ = ۴ u ^ ۳ ( x )

هدف ما، مشتق‌گیری از yy بر حسب xx است. این مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxy\frac { d } { d x } y

تا به اینجا، حاصل ddxu(x)\frac { d } { d x } u ( x ) و dduy\frac { d } { d u } y را به دست آوردیم. برای تعیین عبارت بالا می‌توانیم آن به صورت زیر بازنویسی کنیم:

ddxy=dydx×dudu\frac { d } { d x } y = \frac { d y } { d x } \times \frac { d u } { d u }

با جابجا کردن صورت کسرها، خواهیم داشت:

ddxy=dydu×dudx\frac { d } { d x } y = \frac { d y } { d u } \times { d u } { d x }

به این ترتیب، داریم:

ddxy=۴u۳(x)[۱+۲sin(x)cos(x)]\frac { d } { d x } y = ۴ u ^ ۳ ( x ) \left [ ۱ + ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) \right ]

به جای u(x)u ( x ) معادل آن را قرار می‌دهیم:

ddxy=۴[xcos۲(x)]۳[۱+۲sin(x)cos(x)]\frac { d } { d x } y = ۴ \left [ x - \cos ^ ۲ ( x ) \right ] ^ ۳ \left [ ۱ + ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) \right ]

تمرین ۵: مشتق ضرب کسینوس

مشتق arccos(۴x)cos(x۲+x)\arccos ( ۴ x ) \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right ) را به دست بیاورید.

مشتق تابع مورد سوال از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+g(x)f(x)\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x )

بر اساس این رابطه، داریم:

f(x)=arccos(۴x)f ( x ) = \arccos ( ۴ x )

g(x)=cos(x۲+x)g ( x ) = \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right )

مشتق توابع بالا عبارت است از:

f(x)=۴۱(۴x)۲=۴۱۱۶x۲f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { ۴ } { ۱ - ( ۴ x ) ^ ۲ } = - \frac { ۴ } { ۱ - ۱۶ x ^ ۲ }

g(x)=(۲x+۱)sin(x۲+x)g ^ { \prime } ( x ) = - ( - ۲ x + ۱ ) \sin \left ( - x ^ ۲ + x \right )

به این ترتیب:

ddx[arccos(۴x)cos(x۲+x)]=arccos(۴x)(۲x+۱)sin(x۲+x)+cos(x۲+x)(۴۱۱۶x۲)\frac { d } { d x } [ \arccos ( ۴ x ) \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right ) ] = - \arccos ( ۴ x ) ( - ۲ x + ۱ ) \sin \left ( - x ^ ۲ + x \right ) + \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right ) \left ( - \frac { ۴ } { ۱ - ۱۶ x ^ ۲ } \right )

ddx[arccos(۴x)cos(x۲+x)]=(۲x۱)arccos(۴x)sin(x۲+x)۴cos(x۲+x)۱۱۶x۲\frac { d } { d x } [ \arccos ( ۴ x ) \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right ) ] = ( ۲ x - ۱ ) \arccos ( ۴ x ) \sin \left ( - x ^ ۲ + x \right ) - \frac { ۴ \cos \left ( - x ^ ۲ + x \right ) } { ۱ - ۱۶ x ^ ۲ }

تمرین ۶: مشتق ضمنی کسینوس

تابع زیر را در نظر بگیرید:

y=cos(۵x۳y)y = \cos ( ۵ x - ۳ y )

اگر yy، تابعی از xx باشد، ddxy\frac { d } { d x } y چه خواهد بود؟

برای حل این تمرین، از مفهوم مشتق ضمنی استفاده می‌کنیم. به این منظور، از هر دو طرف رابطه yy بر حسب xx مشتق می‌گیریم:

ddxy=ddxcos(۵x۳y)\frac { d } { d x } y = \frac { d } { d x } \cos ( ۵ x - ۳ y )

سمت چپ معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

ddxy=dydx\frac { d } { d x } y = \frac { d y } { d x }

برای سمت راست معادله، از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:

ddxcos(۵x۳y)=sin(۵x۳y)(۵۳dydx)\frac { d } { d x } \cos ( ۵ x - ۳ y ) = - \sin ( ۵ x - ۳ y ) \left ( ۵ - ۳ \frac { d y } { d x } \right )

بنابراین:

dydx=sin(۵x۳y)(۵۳dydx)\frac { d y } { d x } = - \sin ( ۵ x - ۳ y ) \left ( ۵ - ۳ \frac { d y } { d x } \right )

اکنون، کافی است رابطه بالا را بر حسب dydx\frac { d y } { d x } حل کنیم. با این کار، خواهیم داشت:

dydx=۵sin(۵x۳y)+۳sin(۵x۳y)dydx\frac { d y } { d x } = - ۵ \sin ( ۵ x - ۳ y ) + ۳ \sin ( ۵ x - ۳ y )\frac { d y } { d x }

dydx۳sin(۵x۳y)dydx=۵sin(۵x۳y)\frac { d y } { d x } - ۳ \sin ( ۵ x - ۳ y )\frac { d y } { d x } = - ۵ \sin ( ۵ x - ۳ y )

dydx[۱۳sin(۵x۳y)]=۵sin(۵x۳y)\frac { d y } { d x } [ ۱ - ۳ \sin ( ۵ x - ۳ y ) ] = - ۵ \sin ( ۵ x - ۳ y )

dydx=۵sin(۵x۳y)۱۳sin(۵x۳y)\frac { d y } { d x } = \frac { - ۵ \sin ( ۵ x - ۳ y ) } { ۱ - ۳ \sin ( ۵ x - ۳ y ) }

به این ترتیب، مشتق تابع y=cos(۵x۳y)y = \cos ( ۵ x - ۳ y ) را به دست آوردیم.

تمرین ۷: مشتق جزئی کسینوس xy

مشتقات جزئی cos(xy)\cos ( x y ) را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتقات جزئی cos(xy)\cos ( x y )، مشتق‌گیری را یک بار بر حسب xx و yy انجام می‌دهیم. برای شروع، مشتق تابع بر حسب xx را در نظر بگیرید:

xcos(xy)=x(xy)[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x y ) = \frac { \partial } { \partial x } ( x y ) [ - \sin ( x y ) ]

به دلیل ثابت بودن yy در هنگام محاسبه مشتق بر حسب xx، داریم:

 x(xy)=y\frac { \partial } { \partial x } ( x y ) = y

در نتیجه:

xcos(xy)=y[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x y ) = y [ - \sin ( x y ) ]

xcos(xy)=ysin(xy)\frac { \partial } { \partial x } \cos ( x y ) = - y \sin ( x y )

مشتق تابع بر حسب yy‌ نیز به همین صورت حل می‌شود. برای این حالت، داریم:

ycos(xy)=y(xy)[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x y ) = \frac { \partial } { \partial y } ( x y ) [ - \sin ( x y ) ]

 y(xy)=x\frac { \partial } { \partial y } ( x y ) = x

ycos(xy)=x[sin(xy)]\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x y ) = x [ - \sin ( x y ) ]

ycos(xy)=xsin(xy)\frac { \partial } { \partial y } \cos ( x y ) = - x \sin ( x y )

سوالات متداول در رابطه با مشتق کسینوس

در بخش آخر این مقاله از مجله فرادرس، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مشتق cos به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف مشتق cos چیست ؟

مشتق cos، شیب خط مماس بر منحنی تابع کسینوس در یک نقطه زاویه است.

مشتق cos چه می شود ؟

مشتق cos برابر با sin- می‌شود.

فرمول مشتق cos چیست ؟

فرمول مشتق cos، یا همان cos'(x) برابر با sin(x)- است.

مشتق مرتبه دوم cos چیست ؟

مشتق مرتبه دوم cos برابر با cos- است.

مشتق مرتبه چندم cos با خودش برابر می شود؟

مشتق مرتبه ۴n ام (مشتق مرتبه چهارم، هشتم، دوازدهم و غیره) تابع کسینوس برابر با خودش می‌شود.

مشتق کسینوس یو چیست ؟

مشتق کسینوس u، برابر با حاصل‌ضرب مشتق u یا همان 'u در منفی سینوس u است. در اینجا، u، تابعی از متغیر x در نظر گرفته می‌شود.

مشتق کسینوس به توان دو چیست ؟

مشتق کسینوس ایکس به توان دو برابر با دو سینوس ایکس در کسینوس ایکس یا دو سینوس دو ایکس است.

مشتق کسینوس به توان سه چیست ؟

مشتق کسینوس به توان سه ایکس برابر با منفی سه کسینوس به توان دو ایکس در سینوس ایکس است.

بر اساس رای ۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *