فرمول محیط و مساحت دایره چیست؟ – به زبان ساده + حل مثال

فرمول محیط و مساحت دایره با استفاده از اندازه شعاع یا قطر و عدد پی نوشته می‌شود. فرمول محیط دایره برابر «قطر × عدد پی» یا «شعاع × عدد پی × 2» است. مساحت دایره نیز از فرمول «شعاع × شعاع × عدد پی» به دست می‌آید. در این مطلب از مجله فرادرس انواع فرمول محیط و مساحت دایره و روش استفاده از آن‌ها را با حل چند مثال متنوع و کاربردی معرفی می‌کنیم. علاوه بر این، فرمول‌های مربوط به محیط و مساحت قطاع دایره را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم. 

محیط دایره چیست؟

محیط دایره، اندازه دور آن است. اگر منحنی بسته تشکیل دهنده دایره را اندازه‌گیری کنیم، محیط آن به دست می‌آید.

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، اگر نشانه‌ای را روی یک دایره در نظر بگیریم، پس از یک دور دوران کامل دایره، این نشانه مجددا به مکان اولیه خود بازمی‌گردد. این یک دور دوران معادل است با محیط دایره که در ادامه توضیح می‌دهیم مقدار آن چقدر است.

فرمول محیط دایره چیست ؟

فرمول محیط دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

قطر × عدد پی = محیط دایره

قطر دایره، دو برابر شعاع آن است. به همین دلیل، می‌توانیم فرمول محیط دایره را بر حسب شعاع نیز بنویسیم:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره

عدد پی در فرمول‌های بالا، همواره عددی ثابت و برابر 3/14 است. این عدد، نسبت محیط دایره به قطر آن را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط دایره به زبان ریاضی

در ریاضیات، محیط دایره را با حرف C، نمایش می‌دهند. فرمول ریاضی محیط دایره برابر است با:

$$C = \pi d$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

محیط دایره بر حسب شعاع نیز از فرمول ریاضی زیر به دست می‌آید:

$$C = 2 \pi r$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

مثال 1: محاسبه محیط آهنربای تخته سفید

بسیاری از اجسامی که در اطراف خود می‌بینیم، به شکل دایره هستند. به عنوان مثال، ما در مجله فرادرس، برای مشخص کردن نکات مهم نوشته شده روی تخته سفید، از آهنرباهای دایره‌ای شکل استفاده می‌کنیم. تصویر زیر، یکی از این آهنرباها را نمایش می‌دهد.

می‌خواهیم محیط دور آهنربا را به دست بیاوریم. برای این کار، قطر یا شعاع آهنربا نیاز داریم.

بر اساس اندازه‌گیری با خط‌کش، قطر آهنربا برابر با ۲۵ میلی‌متر شد. به این ترتیب، محیط دور آهنربا برابر است با:

قطر آهنربا × عدد پی = محیط آهنربا

$$C = \pi d$$

• C: محیط آهنربا
• π: عدد ثابت ۳/۱۴
• d: قطر آهنربا برابر ۲۵ میلی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$C = ۳/۱۴ \times ۲۵$$

$$C = ۷۸/۵$$

در نتیجه، محیط آهنربای مورد استفاده ما در مجله فرادرس، برابر ۷۸/۵ میلی‌متر است.

مساحت دایره چیست ؟

مساحت دایره، اندازه سطح درون آن است. برای نمایش مساحت دایره می‌توان پس از رسم آن، فضای درون محیط را رنگ کرد. سطح رنگ شده، مساحت دایره را نمایش می‌دهد.

همچنین تصویر زیر، نشان می‌دهد چگونه می‌توانیم مساحت یک دایره (Area) را با تبدیل آن به یک مثلث به‌صورت تقریبی محاسبه کنیم. در بخش بعد فرمول مساحت دایره معرفی می‌شود.

فرمول مساحت دایره چیست ؟

فرمول مساحت دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

البته به دلیل رابطه بین قطر و شعاع، امکان نوشتن فرمول بالا بر حسب قطر نیز وجود دارد. با این وجود، به منظور محاسبه مساحت دایره معمولا از اندازه شعاع استفاده می‌شود؛ فرمول مساحت دایره با شعاع، ساده‌تر از فرمول مساحت دایره با قطر است.

فرمول ریاضی مساحت دایره

علامت ریاضی مساحت دایره در ریاضی، حرف انگلیسی A است. مساحت دایره با فرمول ریاضی زیر به دست می‌آید:

$$A = \pi \times r^2$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

فرمول ریاضی مساحت دایره بر حسب قطر نیز برابر است با:

$$A = \pi \times \frac {d^2} {4}$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

مثال 2: محاسبه مساحت سطح لیوان

بسیاری از لیوان‌ها، با مقطع دایره‌ای شکل ساخته می‌شوند. به عنوان مثال، لیوان زیر را در نظر بگیرید. این لیوان دایره‌ای، بر روی سطح یک میز چوبی قرار دارد.

می‌خواهیم ببینیم لیوان بالا، چه سطحی از میز را پوشانده است. به عبارت دیگر، قصد داریم مساحت سطح مقطع لیوان را به دست بیاوریم. برای این کار، به قطر یا شعاع سطح مقطع لیوان نیاز داریم. به منظور اندازه‌گیری قطر یا شعاع می‌توانیم از خط‌کش استفاده کنیم.

دقت داشته باشید که مقطع بالایی و پایینی لیوان برابر هستند. با استفاده از خط‌کش، اندازه قطر لیوان را برابر با ۷ سانتی‌متر به دست آوردیم. بنابراین، با توجه به فرمول محاسبه مساحت دایره، داریم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

$$A = \pi \times r^۲$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت ۳/۱۴
• r: شعاع دایره برابر با نصف قطر دایره برابر با ۳/۵ سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$A = ۳/۱۴ \times ۳/۵^۲$$

$$A = ۳/۱۴ \times ۳/۵ \times ۳/۵$$

$$A = ۳/۱۴ \times ۱۲/۲۵$$

$$A = ۳۸/۴۸$$

در نتیجه، کف لیوان، ۳۸/۴۸ سانتی‌متر مربع از سطح میز را پوشش می‌دهد.

فرمول محیط و مساحت قطاع دایره

قطاع، بخشی از دایره است که از یک کمان و دو شعاع تشکیل می‌شود و در مطالب پیشین مجله فرادرس نیز به قطاع اشاره کردیم. محیط و مساحت قطاع دایره به اندازه شعاع و زاویه بین دو شعاع (زاویه مقابل کمان) بستگی دارد.

فرمول محیط قطاع دایره

فرمول محیط قطاع دایره برابر است با:

شعاع + شعاع + طول کمان = محیط قطاع

$$C_{ s } = l_{ a } + 2r$$

• C_s: محیط قطاع دایره
• l_a: طول کمان
• r: شعاع دایره

طول کمان قطاع، به زاویه مقابل آن بستگی دارد و از رابطه زیر به دست می‌آید:

زاویه × شعاع = طول کمان

$$l_a = r \theta$$

• l_a: طول کمان
• r: شعاع قطاع
• θ: زاویه بین دو شعاع (بر حسب رادیان)

زاویه بین دو شعاع باید بر حسب رادیان باشد. در صورت بیان زاویه بر حسب درجه، باید آن را توسط رابطه زیر به رادیان تبدیل کرد:

180 ÷ (عدد پی × درجه) = رادیان

فرمول مساحت قطاع

فرمول مساحت قطاع دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × شعاع × (2 ÷ زاویه) = مساحت قطاع

$$A_s=\frac{ \theta}{2} r^2$$

• A_s: مساحت قطاع دایره
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه رو به روی کمان قطاع بر حسب رادیان

فرمول محیط و مساحت نیم دایره و ربع دایره

نیم دایره و ربع دایره، از شناخته‌شده‌ترین و پرکاربردترین قطاع‌های دایره هستند. اگر دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم، نیم دایره تشکیل می‌شود. در صورت تقسیم کردن دایره به چهار قسمت مساوی، شکل‌های به وجود آمده، ربع دایره خواهند بود.

فرمول محیط نیم‌دایره و مساحت نیم‌دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

قطر + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

نصف مساحت دایره = مساحت نیم دایره

فرمول محیط ربع‌دایره و مساحت ربع‌دایره نیز به صورت زیر است:

شعاع + شعاع + یک چهارم محیط دایره = محیط ربع دایره

یک چهارم مساحت دایره = مساحت ربع دایره

توجه داشته باشید که ربع دایره، نصف نیم دایره و نیم دایره، نصف دایره محسوب می‌شود.

مثال 3: محاسبه محیط و مساحت نیم دایره

دایره‌ای به قطر ۱۱ سانتی‌متر را به گونه‌ای در دفترچه خود کشیده‌ایم که نصف آن در یک برگه و نصف دیگر آن در برگه دیگر قرار دارد (خط وسط دفترچه از مرکز دایره عبور می‌کند).

بخشی از دایره که در صفحه سمت چپ قرار دارد را هاشور می‌زنیم.

اکنون دو نیم‌دایره داریم. می‌خواهیم مساحت نیم‌دایره هاشور خورده و محیط نیم‌دایره توخالی را به دست بیاوریم. برای سادگی محاسبات، عدد پی را برابر با ۳ در نظر می‌گیریم. این محاسبات، با استفاده از اندازه قطر (۱۱ سانتی‌متر) و شعاع (نصف قطر برابر با ۵/۵ سانتی‌متر) انجام می‌شوند. محیط نیم‌دایره توخالی، از جمع نصف محیط دایره با قطر دایره به دست می‌آید.

به این ترتیب، داریم:

قطر + نصف محیط دایره = محیط نیم‌دایره

محیط دایره از رابطه زیر به دست می‌آید:

قطر × عدد پی = محیط دایره

۳۳ = ۱۱ × ۳ = محیط دایره

محیط دایره برابر با ۳۳ سانتی‌متر است. به این ترتیب، نصف محیط دایره برابر می‌شود با:

۱۶/۵ = ۲ ÷ ۳۳ = نصف محیط دایره

این عدد را در رابطه محیط نیم‌دایره قرار می‌دهیم:

۱۱ + ۱۶/۵ = محیط نیم‌دایره

۲۷/۵ = محیط نیم‌دایره

در نتیجه، محیط نیم‌دایره توخالی برابر با ۲۷/۵ سانتی‌متر است. اکنون، به سراغ محاسبه مساحت نیم‌‌دایره توپر می‌رویم. برای این کار، کافی است نصف مساحت دایره کامل را به دست بیاوریم. مساحت دایره کامل عبارت است از:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

۵/۵ × ۵/۵ × ۳ = مساحت دایره

۹۰/۷۵ = مساحت دایره

مساحت دایره کامل برابر با ۹۰/۷۵ سانتی‌متر مربع است. بنابراین، داریم:

۲ ÷ مساحت دایره کامل = مساحت نیم‌دایره

۲ ÷ ۹۰/۷۵ = مساحت نیم‌دایره

۴۵/۳۷۵ = مساحت نیم‌دایره

در نتیجه، مساحت نیم‌دایره هاشورخورده برابر با ۴۵/۳۷۵ سانتی‌متر مربع است.

حل مثال های فرمول محیط و مساحت دایره

در این بخش، به حل چند مثال بیشتر برای آشنایی بهتر با نحوه استفاده و کاربرد فرمول محیط و مساحت دایره می‌پردازیم.

مثال 4: محاسبه قطر لیوان

با استفاده از متر نواری، دور یک لیوان دایره‌ای شکل را اندازه گرفته‌ایم. این اندازه برابر 24 سانتی‌متر است. قطر لیوان و مساحت کف لیوان را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

دور لیوان، محیط آن را نمایش می‌دهد. بنابراین، محیط لیوان دایره‌ای برابر 24 سانتی‌متر است. فرمول محیط به صورت زیر نوشته می‌شود:

قطر × عدد پی = محیط

قطر × 3 = 24

3 ÷ 24 = قطر

8 = قطر

قطر دایره (قطر لیوان) برابر 8 سانتی‌متر است. برای محاسبه مساحت کف آن می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت

اگر قطر دایره برابر با 8 سانتی‌متر باشد، شعاع آن برابر 4 سانتی‌متر است. عدد شعاع را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

4 × 4 × × 3 = مساحت

16 × 3 = مساحت

48 = مساحت

مساحت کف لیوان برابر 48 سانتی‌متر مربع است.

مثال 5: محاسبه محیط و مساحت دایره محیطی

تصویر زیر، یک دایره محیط بر یک مربع را نمایش می‌دهد. جمع محیط بخش‌های رنگی و جمع مساحت بخش‌های رنگی را به دست بیاورید. (وتر مربع را برابر 11، ضلع مربع را برابر 8 و عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

محیط بخش‌های رنگی در شکل بالا برابر است با:

مجموع ضلع‌های مربع + مجموع کمان‌های دایره = محیط بخش رنگی

مجموع ضلع‌های مربع، همان محیط مربع و مجموع کمان‌های دایره، همان محیط دایره است. در نتیجه، می‌توان رابطه بالا را به صورت زیر ساده کرد:

محیط مربع + محیط دایره = محیط بخش رنگی

محیط مربع از فرمول زیر به دست می‌آید:

اندازه یک ضلع × 4 = محیط مربع

۸ × 4 = محیط مربع

32 = محیط مربع

محیط دایره نیز با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

قطر × عدد پی = محیط دایره

اندازه وتر مربع محاطی، برابر اندازه قطر دایره محیطی است. بنابراین، داریم:

11 × 3 = محیط دایره

33 = محیط دایره

به این ترتیب، محیط بخش‌های رنگی برابر است با:

32 + 33 = محیط بخش رنگی

65 = محیط بخش رنگی

مساحت بخش‌های رنگی را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد:

مساحت مربع - مساحت دایره = مساحت بخش رنگی

مساحت مربع، از فرمول زیر به دست می‌آید:

خودش × یک ضلع = مساحت مربع

8 × 8 = مساحت مربع

64 = مساحت مربع

مساحت دایره نیز توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع، برابر 5/5 (نصف قطر) است. به این ترتیب، داریم:

5/5 × 5/5 × 3 = مساحت دایره

۹۰/75 = مساحت دایره

در نتیجه، مساحت بخش رنگی برابر است با:

64 - 90/75 = مساحت بخش رنگی

26/75 = مساحت بخش رنگی

آزمون سنجش یادگیری فرمول محیط و مساحت دایره

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث فرمول محیط و مساحت دایره را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.