متغیر تصادفی و توزیع پواسون — به زبان ساده

۱۶۹۶۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۰ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
متغیر تصادفی و توزیع پواسون — به زبان ساده

اگر یک آزمایش تصادفی به شکلی باشد که وقوع یک پیشامد، مرتبط با واحد مکان یا زمان باشد،‌ یک آزمایش پواسن تشکیل شده است. این نام به علت تحقیقات دانشمند فرانسوی، «سیمون پواسن» (Simone Poisson) در این زمینه انتخاب شده است.

997696

آزمایش پواسن باید شرط‌های زیر را دارا باشد:

  1. بین هر دو فاصله مجزای مکانی مثل (d1,d2)(d_1,d_2) و (d3,d4)(d_3,d_4) رخداد پیشامد مستقل از هم باشند. این قانون برای هر دو فاصله زمانی مثل (t1,t2)(t_1,t_2) و (t3,t4)(t_3,t_4) نیز باید وجود داشته باشد.
  2. در هر واحد فاصله مکانی یا زمانی کوچک، وقوع بیش از یک پیشامد صفر است. یعنی اگر پیشامد مورد نظر ما A باشد، برای هر فاصله کوچک Δt\Delta t داشته باشیم: P(tP(t
  3. احتمال رخداد یک پیشامد با طول فاصله مکانی یا زمانی متناسب باشد. یعنی مثلا اگر طول یک فاصله مکانی برابر با d باشد، احتمال رخداد یک پیشامد در این فاصله برابر با λd\lambda d باشد. P(DP(D که در آن λ\lambda ضریب تناسب یک عدد حقیقی مثبت است.

همانطور که دیده شد،‌ وقوع یا عدم وقوع یک پیشامد در این آزمایش ملاک است. پس می‌توان نتایج آزمایش پواسن را به شکلی مرتبط با آزمایش و توزیع دو جمله‌ای دانست. برای اطلاع از آزمایش دو جمله‌ای و توزیع آن می‌توانید به مطلب متغیر تصادفی و توزیع دو جمله‌ای --- به زبان ساده مراجعه کنید.

تعداد زدگی‌ها در یک قواره پارچه، تعداد قطعی در ارسال پیام‌های رایانه‌ای در یک فاصله زمانی و ... مثال‌هایی از فرآیند پواسن هستند، زیرا:

  1. پیشامد وجود زدگی در هر متر مربع از پارچه مستقل از یکدیگر است. همینطور قطع ارتباط در میلی ثانیه اول از قطع ارتباط در میلی ثانیه‌ دوم هنگام ارسال پیام مستقل است.
  2. در هر واحد مکان، پیشامد مشاهده بیش از یک زدگی پارچه یا قطع ارتباط بیش از یک بار در هر میلی ثانیه تقریبا صفر است.
  3. تعداد زدگی‌ها به مساحت پارچه و تعداد قطع ارتباط با طول زمان ارسال پیام بستگی دارد.
تصویر تزئینی مطلب متغیر و توزیع پواسون

فرض کنید در یک آزمایش دو جمله‌ای، احتمال موفقیت به تعداد آزمایش‌ها وابسته باشد یعنی توزیع به شکل B(n,pn)B(n,p_n) باشد. همچنین حالتی را در نظر بگیرید که با بزرگ شدن  n, مقدار pnp_n کوچک شود. آنگاه می‌توان گفت که تعداد موفقیت‌ها از توزیع پواسن با پارامتر npn=λnp_n=\lambda پیروی می‌کند.

نکته: اگر احتمال موفقیت ثابت باشد، تعداد موفقیت‌ها دارای توزیع دو جمله‌ای است.

اگر متغیر تصادفی مربوط به تعداد موفقیت‌ها را در این حالت X بنامیم، خواهیم دید که:

P(X=x)(xn)(λn)x(1λn)nxP(X=x)\approx (^n_x)(\tfrac{\lambda}{n})^x(1-\tfrac{\lambda}{n})^{n-x}

در این حالت اگر n به سمت بینهایت میل کند، خواهیم داشت:

limnn!(nx)!nx=1  ;        limn(1λn)nx=eλ×1=eλ\lim_{n\to \infty}\dfrac{n!}{(n-x)!n^x}=1\; ;\;\;\;\; \lim_{n\to \infty} (1-\dfrac{\lambda}{n})^{n-x}=e^{-\lambda}\times 1= e^{-\lambda}

پس می‌توان نوشت:

P(X=x)=eλλxx!P(X=x)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda ^x}{x!}

به این ترتیب با توجه به ویژگی‌های آزمایش پواسون،‌ متغیر تصادفی و توزیع پواسون معرفی می‌شوند.

متغیر تصادفی پواسون و توزیع احتمال آن

فرض کنید متغیر تصادفی X تعداد موفقیت در یک آزمایش پواسون باشد، آنگاه تابع احتمال آن به صورت زیر خواهد بود:

P(X=x)=eλλxx!;        λ>0,      x=0,1,2,P(X=x)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda ^x}{x!};\;\;\;\;\lambda >0, \;\;\;x=0,1,2,\dots

به این ترتیب می‌نویسیم XP(λ)X\sim P(\lambda) و می‌خوانیم X دارای توزیع پواسون با پارامتر لاندا است. مشخص است که تکیه‌گاه این متغیر تصادفی مقادیر نامنفی است زیرا از طریق شمارش تعداد موفقیت بدست می‌آید.

نکته: اگر متوسط تعداد رخدادها در و احد زمان برابر با λ\lambda‌ در نظر بگیرم، عاقلانه است که متوسط تعداد رخدادها را در t برابر واحد زمانی نیز tλt\lambda محاسبه کنیم.

اگر تابع احتمال مربوط به متغیر تصادفی پواسون را برای λ=1,4,10\lambda = 1,4,10 براساس تکیه‌گاه آن ترسیم کنیم نمودار مربوطه به صورت زیر در خواهد آمد.

همانطور که دیده می‌شود با افزایش مقدار λ\lambda منحنی به سمت توزیع نرمال با میانگین و واریانس λ\lambda نزدیک می‌شود. مقدار نما (نقطه‌ای از تکیه‌گاه متغیر تصادفی با حداکثر مقدار برای تابع احتمال) برای هر یک از این حالت‌ها برابر با λ\lambda و λ1\lambda-1 است.

مثال ۱

در یک کارخانه تولید خودرو، احتمال اینکه خودرو به علت نقض فنی در قسمت کنترل کیفیت بازگشت داده شود،‌ برابر 1٪ است. احتمال آنکه در بین ۳۰۰ دستگاه تولیدی ۵ دستگاه برگشت داده شود چقدر است؟

در اینجا متوسط تعداد برگشتی‌ها همان پارامتر توزیع پواسون است. یعنی λ=300×0.01=3\lambda=300\times 0.01=3.

پس برای محاسبه احتمال به صورت زیر عمل می‌کنیم:

P(X=5)=e3355!=0.1008P(X=5)= \dfrac{e^{-3}3^5}{5!}=0.1008

مثال 2

یک کارگزار بیمه، به طور متوسط در هفته سه قرار داد بیمه نامه را با مشتری امضاء می‌کند. احتمال اینکه در طول یک هفته حداقل یک بیمه نامه بفروشد، چقدر است؟

از آنجایی که در هر واحد زمان بیش از یک بیمه نامه فروخته نمی‌شود و تعداد فروش بیمه نامه در هر واحد زمانی مستقل از زمان‌های دیگر است، کافی است که تعداد فروش بیمه نامه هم متناسب با زمان در نظر گرفته شود تا شرایط آزمایش پواسون برای کارگزار بیمه محقق شود.

برای محاسبه احتمال نیز کافی است، عملیات زیر را انجام دهیم:

P(X>0)=1P(X=0)=1e3300!=10.0498=0.9502P(X>0)=1-P(X=0)=1-\dfrac{e^{-3}3^0}{0!}=1-0.0498=0.9502

نکته: متوسط تعداد بیمه فروخته شده در هفته همان پارامتر توزیع پواسون است. یعنی λ=3\lambda =3.

تصویر تزئینی مطلب متغیر و توزیع پواسون

امید-ریاضی و واریانس متغیر تصادفی پواسون

فرض کنید Xp(λ)X\sim p(\lambda). براساس تابع احتمال متغیر تصادفی پواسون می‌توان امید-ریاضی این متغیر تصادفی را به شکل زیر بدست آورد:

E(X)=x=0xeλλxx!=λeλx=1λ(x1)(x1)!=E(X)=\sum_{x=0}^{\infty} x\dfrac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty} \dfrac{\lambda^{(x-1)}}{(x-1)!}=

λeλy=0λyy!=λ\lambda e^{-\lambda} \sum_{y=0}^\infty \dfrac{\lambda^{y}}{y!}=\lambda

زیرا: y=0λyy!=eλ \sum_{y=0}^\infty \dfrac{\lambda^y}{y!}=e^\lambda.

به طریق مشابه نیز می‌توان نشان داد که واریانس متغیر تصادفی پواسون به صورت زیر محاسبه می‌شود:

Var(X)=E(X2)E2(X)=λVar(X)=E(X^2)-E^2(X)=\lambda

پس امید-ریاضی و واریانس برای متغیر تصادفی پواسون با هم برابر هستند.

مثال ۳

در مثال 2، مسئول بیمه به طور متوسط در سال چند بیمه نامه را به قرار داد می‌رساند؟

نکته: با توجه به اینکه طول زمان در این مثال ۵۲ هفته است،‌ می‌توان گفت که توزیع پواسون با پارامتر 523=15652*3=156 خواهد بود.

E(X)=λ=156E(X)=\lambda =156

مثال ۴

فرض کنید ۲ درصد جمعیت دارای گروه خونی AB هستند. یک نمونه ۶۰ تایی از جمعیت به طور تصادفی انتخاب شده است. اگر متغیر تصادفی X را تعداد افرادی که دارای گروه خونی AB هستند در نظر بگیریم، احتمال اینکه هیچ یک دارای گروه خونی AB‌ نباشند چقدر است؟

مشخص است که در اینجا X یک متغیر تصادفی با توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای ۶۰ و 0.02 است، یعنی XB(60,0.02)X\sim B(60,0.02). برای محاسبه این احتمال از روی توزیع دو جمله‌ای باید محاسباتی نظیر !۶۰ را انجام بدهیم که زمان زیادی صرف خواهد شد. ولی اگر از تقریب پواسون استفاده کنیم، می‌توانیم به سرعت به جواب تقریبا مناسبی برسیم.

در این حالت برای تقریب توزیع دو جمله‌ای از توزیع پواسون استفاده می‌کنیم و می‌گوییم XP(60×0.02=1.2)X\sim P(60 \times 0.02=1.2). پس مقدار λ=1.2\lambda=1.2. حال احتمال (P(X=0 را بدست می‌آوریم.

P(X=0)=eλλxx!=e1.2×1.200!=0.3012P(X=0)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}=\dfrac{e^{-1.2}\times 1.2^0}{0!}=0.3012

ولی اگر این محاسبات را براساس توزیع دو جمله‌ای انجام دهیم با صرف زمان زیاد به جواب زیر خواهیم رسید. این جواب با تقریب پواسون حدود 0.003 تفاوت دارد.

P(X=0)=(060)0.0200.9860=0.2975P(X=0)=(^{60}_0)0.02^00.98^{60}=0.2975

مثال ۵

با توجه به مثال ۴، اگر هدف پیدا کردن احتمال آن باشد که در نمونه ۶۰ تایی حداکثر ۵ نفر گروه خونی AB داشته باشند، محاسبه احتمال به صورت زیر خواهد بود:

P(X5)=x=05P(X=x)=0.998P(X\leq 5)=\sum_{x=0}^5 P(X=x)=0.998

برای پیدا کردن این احتمال می‌توان از جدول‌های توزیع احتمال پواسون کمک گرفت. در زیر یک نمونه از این گونه جدول‌ها دیده می‌شود:

سطر اول این جدول بیانگر مقدار λ\lambda و ستون اول نیز مقدار x را نشان می‌دهد. اعداد درون جدول نیز مقدار تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی پواسون یعنی P(Xx)P(X\leq x) را بیان می‌کنند.

بر اساس رای ۹۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
۱۲ دیدگاه برای «متغیر تصادفی و توزیع پواسون — به زبان ساده»

سلام و عرض ادب خدمت دکتر ری بد ،
از مقالات بسیاز زیبا و کاربردی شما بسیار تشکر می کنم و آرزوی سلامتی برای شما دارم،
در خصوص مثال 1 که نمونه ای از یک مثال توزیع دوجمله ای بود که n = 300 , p = 0.01 و x = 5 بود، شما از توزیع پواسن برای حل مساله استفاده کردید،
خوشحال می شم اگر علت را دقیق متوجه شوم (هر چند می دانم که توزیع پواست تقریبی از توزیع دوجمله ای است).
همچنین خوشحال می شم اگر مقاله در خصوص ارتباط توزیع دو جمله ای و توزیع پواسن از شما ببینیم.
با تشکر فراوان

سلام
امید ریاضی و واریانس توزیع پواسن دقیق تربرای بنده توضیح میدهید (چرا ۱-p اینجا بدون e*منفی لاندا هست و چرا فاکتوریل مخرج دیگر نیست)
تشکر

سلام ممنون از مطالب خوبتون

در مثال ۲ اگر یکی از بیمه نامه ها منجر به پرداخت خسارت شود، با چه احتمالی در هفته ی آینده شرکت، بیمه نامه ای امضا می کند که منجر به پرداخت خسارت نشود؟

سلام و درود،

به نظر می‌رسد که باید تعداد متوسط بیمه نامه‌های منجر به خسارت را برابر با یک سوم بگیریم. پس لاندا ۰٫۳۳ است. و شما به دنبال P(X=0) هستید بطوری که X~P(0.3) است. این مقدار توسط جدول پواسن، تقریبا برابر با ۰.۷۴ است.
این مقدار نشان می‌دهد که با احتمال قوی، شرکت در هفته آینده پرداختی نخواهد داشت.

پیروز و سربلند باشید.

سلام.کارهاتون روز به روز بهتر میشه و براتون آرزوی موفقیت دارم.
ی نکته که برای من خیلی آزاردهنده و حواس پرت کننده بوده و هست این موزیک بک گرانده ویویوهای آموزشی هستش. به نظرم نه تنها کمکی نمی کنه بلکه به شدت تاثیر منفی برای مخاطب داره و حواسش رو از توضیحات اصلی پرت می کنه.

با سلام ببخشید من هنوز Median یا میانه را برای تابع توزیع پواسن متوجه نشدم در هیچکدام از مثال ها این متغییر محاسبه نشده با تشکر

جناب فاطمی، سلام؛

همانطور که می‌دانید، میانه (Median) نقطه ای است که ۵۰٪ از مشاهدات از آن کمتر (با بیشتر) هستند. بنابراین اگر به جدول‌های توزیع پواسن مراجعه کرده و برای لاندای ثابت (مثلا ۵) به دنبال تابع توزیع احتمال تجمعی نزدیک ۰٫۵ بگردید، مقدار x متناظر، میانه را نشان می‌دهد. برای مثال در جدولی که در متن به آن اشاره شده، برای لاندای ۱٫۲، میانه تقریبا برابر با ۱ خواهد بود.
ولی به طور کلی فرمول محاسباتی برای میانه به صورت تقریبی در توزیع پواسن به صورت زیر است.

λ+1/30.02/λ\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor
به این معنی که مقدار جزء صحبح رابطه بالا، میانه را تقریبا نشان می‌دهد. امیدوارم که با این راهنمایی بتوانید به پاسخ مناسب برسید.

از توجه شما به مجله فرادرس سپاسگزاریم.
تندرست و پیروز باشید.

سلام خسته نباشید
X تعریف دقیقش در اینجا چیه؟
تعداد موفقیت؟؟!!!

درود بر همراه مجله فرادرس؛

همانطور که اشاره شد، در یک آزمایش پواسن، تعداد موفقیت‌ها یک متغیر تصادفی است که توزیع احتمالی آن، توزیع پواسن نامیده می‌شود. برای آشنایی بیشتر با توزیع پواسن بهتر است نوشتار فرآیند پواسون و توزیع آن — مفاهیم و کاربردها را بخوانید.

تندرست و پیروز باشید.

52*3=75؟؟؟؟؟؟

سلام ممنون از مطالب خوبتون

در مثال ۲ اگر یکی از بیمه نامه ها منجر به پرداخت خسارت شود، احتمال اینکه در هفته ی آینده شرکت بیمه، بیمه نامه امضا کند ولی منجر به پرداخت خسارت نشود چقدر است؟

با سلام و تشکر از توجه شما به مجله فرادرس
اشکال محاسباتی در متن، مطابق با نظر شما اصلاح شد.

از شما بابت همراهی با مجله فرادرس، متشکریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *