مفاهیم آماری – شاخص‌های توصیفی

در این نوشته قصد داریم برخی از مهمترین مفاهیم آماری که شامل شاخص‌های توصیفی می‌شود را معرفی کنیم. برای توصیف جامعه یا نمونه‌ی آماری به طور معمول از سه نوع شاخص یا معیار استفاده می‌شود.

1. شاخص‌های تمایل به مرکز
2. شاخص‌های پراکندگی
3. شاخص‌های تقارن توزیع

شاخص‌های تمایل به مرکز

میانگین

میانه

نما

نما برای داده‌های کمی و کیفی قابل محاسبه است و داده‌ای است که بیشتری تکرار یا فراوانی را داشته باشد. در حقیقت نما را می‌توان نماینده اکثریت جامعه دانست. از آنجایی که فقط تعداد تکرار (نه ترتیب و نه مقدار داده‌ها) در محاسبه نما نقش دارد، نسبت به مقادیر بزرگ و کوچک حساس نیست و مقدار نما تحت تاثیر مقادیر بزرگ و کوچک نخواهد بود.

شاخص‌های پراکندگی

تغییرات و پراکندگی داده‌ها توسط شاخص یا معیارهای پراکندگی قابل اندازه‌گیری است. با انجام محاسباتی، معیاری عددی برای میزان پراکندگی داده‌ها به دست می‌آید. هرچه مقدار این معیار بزرگتر باشد، نمایانگر پراکندگی بیشتر داده‌ها خواهد بود. و برعکس با کوچک بودن این معیار، متوجه می‌شویم که داده‌ها به یکدیگر نزدیک هستند.

دامنه تغییرات

حداکثر میزان تغییرات توسط این شاخص محاسبه می‌شود. اختلاف بین بزرگترین و کوچکترین مقدار، دامنه تغییرات Range را نشان می‌دهد. این شاخص به راحتی قابل محاسبه است ولی فقط بر اساس دو مقدار از داده‌ها محاسبه می‌شود.

میانگین انحرافات نسبت به میانگین

برای سنجش پراکندگی بهتر است، بهتر است نقطه‌ای را به عنوان نقطه اصلی در نظر گرفت و پراکندگی داده‌ها را نسبت به آن سنجید. در محاسبه میانگین انحرافات نسبت به میانگینAbsolute Difference to mean (A.D) ، نقطه تمرکز میانگین در نظر گرفته شده و از قدرمطلق اختلاف داده‌ها نسبت به میانگین، یک میانگین گرفته می‌شود. وجود قدرمطلق، محاسبه آن را کمی سخت می‌کند ولی در عوض همه داده‌ها در محاسبه شاخص پراکندگی نقش دارند.

واریانس و انحراف معیار

ضریب تغییرات

معیارهای پراکندگی معرفی شده قبل، همگی به واحد اندازه‌گیری داده‌ها بستگی دارند. اگر می‌خواهید میزان پراکندگی را بدون واحد اندازه‌گیری با به صورت درصدی بیان کنید، از ضریب تغییرات استفاده کنید. تعریف ضریب تغییرات برای داده‌های نامنفی به صورت نسبت انحراف معیار به میانگین خواهد بود. به این صورت میزان پراکندگی به ازای یک واحد از میانگین محاسبه می‌شود. این معیار پراکندگی برای مقایسه بین دو جامعه یا دو متغیر که از لحاظ واحد اندازه‌گیری متفاوت هستند به کار می‌رود. برای مثال اگر می‌خواهید بین محصول دو کارخانه، کالای بادوام‌تر را انتخاب کنید، کالای با میانگین بیشتر و پراکندگی کمتر (ضریب تغییرات کوچکتر) را انتخاب خواهید کرد.

شبیه‌ساز شاخص‌های آماری

این شبیه‌ساز آموزشی که در دانشگاه کلورادو طراحی شده است، به بررسی مفاهیم مهم آمار توصیفی مانند میانگین، میانه، دامنه، نمودار جعبه‌ای، انحراف مطلق میانگین (MAD) و دامنه بین چارکی (IQR) می‌پردازد. کاربران می‌توانند نحوه محاسبه و تفسیر میانگین و میانه را یاد بگیرند و تأثیر داده‌های پرت را بر هر یک از این شاخص‌ها مشاهده کنند. همچنین امکان مقایسه معیارهای پراکندگی مختلف و بررسی میزان تغییرپذیری داده‌ها در توزیع‌های گوناگون فراهم شده است. این شبیه‌ساز به درک بهتر مرکز و پراکندگی داده‌ها کمک کرده و مهارت تحلیل و ارزیابی منطقی مجموعه‌های آماری را تقویت می‌کند.

شاخص‌های تقارن در توزیع

اطلاع از شاخص‌های تمرکز و پراکندگی و تقارن در توزیع، به درک شکل و الگوی جامعه آماری کمک فراوانی می‌کند.

شاخص‌های تقارن مقایسه‌ای بین شکل توزیع داده‌ها با توزیع نرمال استاندارد ارائه می‌دهد. هرچه مقادیر شاخص‌های تقارن از صفر دور باشند، وجود عدم تقارن در جامعه مورد بررسی مشهودتر است. عدم وجود تقارن به صورت افقی و عمودی با دو معیار چولگی و برجستگی اندازه‌گیری می‌شود.

میعار چولگی

میزان عدم تقارن افقی نسبت به منحنی توزیع نرمال استاندارد را چولگی می‌نامند و به صورت کسری است که صورت آن اختلاف میانگین با نما و مخرج آن انحراف استاندارد است. در نتیجه این معیار به صورت بدون واحد یا درصدی بیان می‌شود. مقدار مثبت نشانگر چولگی به راست و مقدار منفی نشانگر چولگی به چپ است. مقدار صفر نشانگر وجود تقارن افقی در داده‌ها است. در این حالت نما، میانه و میانگین بر یکدیگر منطبق خواهند شد.

• در حالتی که چولگی به راست باشد ترتیب معیارهای تمرکز از کم به زیاد – نما، میانه و سپس میانگین خواهد بود
• در حالتی که چولگی به چپ باشد، ترتیب معیارهای تمرکز از کم به زیاد- میانگین، میانه و سپس نما خواهد بود.

معیار برجستگی

میزان عدم تقارن عمودی نسبت به منحنی توزیع نرمال استاندارد، برجستگی نامیده می‌شود و به مرتبط با کسری است که صورت آن توان چهارم میانگین اختلاف داده‌ها نسبت به میانگین و مخرج آن توان چهارم انحراف معیار است. برای محاسبه معیار برجستگی این کسر را از عدد 3 که میزان برجستگی برای منحنی نرمال استاندارد است کم می‌کنیم. اگر این تفاضل منفی باشد عدم تقارن به صورت پخی برای داده‌ها در نظر گرفته می‌شود و در صورتی که معیار برجستگی مثبت باشد، نشانگر وجود عدم تقارن به صورت برجستگی نسبت به منحنی نرمال استاندارد خواهد بود.

برای مطالعه‌ی بیشتر در این زمینه می‌توانید از مطالب زیر استفاده کنید:

• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزار SPSS
• آموزش آمار استنباطی برای مدیریت و علوم انسانی
• مجموعه آموزش‌های آمار، احتمالات و داده‌کاوی
• مجموعه مطالب آمار وبلاگ فرادرس ویژه مهندسین صنایع
• روش‌ های نمونه‌گیری (Sampling) در آمار — به زبان ساده
• تقلب نامه (Cheat Sheet) آمار توصیفی و احتمال — راهنمای کامل و سریع
• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزارهای آماری

==