پاسخ سیستم مرتبه دوم — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در ادامه مجموعه آموزش‌های سیستم‌های کنترل در مجله فرادرس، در این آموزش پاسخ سیستم مرتبه دوم را بررسی می‌کنیم. همچنین با اثر افزودن صفر و قطب بر سیستم آشنا خواهیم شد.

قبلاً با نمایش توابع تبدیل در سیستم‌های کنترل آشنا شدیم. دیدیم که توابع تبدیل قطب‌های حقیقی یا مختلط دارند. شکل کلی تابع تبدیل یک سیستم مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} H ( s ) & = \frac { \omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 \zeta \omega _ n s + \omega ^ 2 _ n } , \end {align*}$$

که در آن:

• $$\zeta > 0$$ و $$\omega_n > 0$$ پارامترهایی در $$\mathscr {R } _{>0}$$ هستند.
• مخرج تابع تبدیل، یک چندجمله‌ای یکین (Monic) است. پارامتر $$\zeta$$، میرایی یا ضریب میرایی، و $$\omega_n$$ فرکانس طبیعی نامیده می‌شوند.
• بهره DC تابع تبدیل $$H(s)$$ (اگر وجود داشته باشد) برابر با $$1$$ است.

فیلم آموزش کنترل خطی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

ریشه‌های معادله درجه دوم مخرج تابع تبدیل، به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} s & = - \zeta \omega _ n \pm \omega _ n \sqrt { \zeta ^ 2 - 1 } \\ & = - \omega _ n \left ( \zeta \pm \sqrt { \zeta ^ 2 - 1 } \right ) . \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، با تغییر $$\zeta$$، طبیعت قطب‌ها نیز تغییر خواهد کرد:

• اگر $$\zeta > 1$$، هر دو قطب حقیقی و منفی هستند.
• اگر $$\zeta = 1$$، دو قطب تکراری منفی وجود دارد.
• اگر $$\zeta < 1$$، با دو قطب مختلط $$s = -\sigma \pm j \omega_d$$ مواجه خواهیم بود که بخش حقیقی آن منفی است و تساوی‌های $$\sigma = \zeta \omega_n$$ و $$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$$ را داریم.

سه حالت بالا، به ترتیب، تُندمیرا (Overdamped)، میرای بحرانی (Critically Damped) و کُندمیرا (Underdamped) نامیده می‌شوند. اگر $$\zeta = 0$$ باشد، میرایی در سیستم نخواهد بود ($$\omega_d = \omega_n$$).

تابع تبدیل سیستم کُندمیرای زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large \begin {align*}<br /> H ( s ) & = \frac { \omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 \zeta \omega _ n s + \omega ^ 2 _ n } , \mbox { } \, \, \, \, \, \, \, \, \zeta < 1 .<br /> \end{align*} $$

قطب‌های این سیستم، به صورت زیر هستند:‌

$$\large \begin {align*} s & = - \zeta \omega _ n \pm j \omega _ n \sqrt { 1 - \zeta ^ 2 } \\ & = - \sigma \pm j \omega _ d \end{align*}$$

اگر مجذور قسمت‌های حقیقی و موهومی قطب‌ها را با هم جمع کنیم، به معادله یک دایره خواهیم رسید:

$$\large \begin {align*} \text {Re} ^ 2 + \text {Im} ^ 2 & = \omega _ n ^ 2 \left ( \zeta ^ 2 + \left ( \sqrt { 1 - \zeta ^ 2 } \right ) ^ 2 \right ) \\ & = \omega _ n ^ 2 . \end{align*}$$

در شکل ۱، رابطه $$\cos\varphi = \frac{\zeta\omega_n}{\omega_n} = \zeta$$ نیز برقرار است.

پاسخ ضربه سیستم به صورت زیر قابل محاسبه است:‌

\begin{align*} \large
h(t) & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \{ H ( s ) \} \hspace{5.5cm} \\
& = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 \zeta \omega _ n s + \omega ^ 2 _ n } \right\} \\
& = \mathscr { L } ^{ - 1 } \left\{ \frac { \omega ^ 2 _ n } { ( s + \sigma ) ^ 2 + \omega ^ 2 _ d } \right\} \hspace{3cm} \\
& = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { ( \omega ^ 2 _ n /\omega _ d ) \omega _ d } { ( s + \sigma ) ^ 2 + \omega ^ 2 _ d } \right\} \\
& = \frac { \omega ^ 2 _ n } { \omega _ d } e ^ { -\sigma t } \sin ( \omega _ d t ) . \hspace {4.5cm}
\end{align*}

به طور مشابه، می‌توان پاسخ پله را به صورت زیر محاسبه کرد:‌

$$\large \begin {align*} y ( t ) & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ Y ( s ) \right\} \\ & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { H ( s ) } { s } \right\} \hspace {6cm} \\ & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac{\sigma ^ 2 + \omega ^ 2 _ d } { s [ ( s + \sigma ) ^ 2 + \omega ^ 2 _ d ] } \right \} \hspace {3.5cm} \\ & = 1 - e ^ { - \sigma t } \left ( \cos ( \omega _ d t ) + \frac { \sigma } { \omega _ d } \sin ( \omega _ d t ) \right ) . \qquad \end{align*}$$

نمودار پاسخ پله سیستم مرتبه دوم کُندمیرا، برای مقادیر مختلف $$\zeta$$ در شکل زیر نشان داده شده است.

با توجه به شکل بالا، نرخ میرایی نمایی پاسخ پله، به بخش حقیقی قطب‌های مختلط $$\Re(s) = - \sigma = -\zeta \omega_n$$ بستگی دارد؛ در حالی که بخش موهومی، نوسانی بودن پاسخ را نشان می‌دهد. به همین دلیل است که $$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$$ فرکانس طبیعی میرا نامیده می‌شود.

همان‌طور که گفتیم، پاسخ پله تابع تبدیل سیستم مرتبه دوم کُندمیرایِ

$$\large H ( s ) = \frac { \omega ^ 2 _ n } { s ^ 2 + 2 \zeta \omega _ n s + \omega ^ 2 _ n } = \frac { \omega ^ 2 _ n }{ ( s + \sigma ) ^ 2 + \omega ^ 2 _ d }$$

به صورت زیر است:

$$\large y ( t ) = 1 - e ^ { - \sigma t } \left ( \cos ( \omega _ d t ) + \frac { \sigma } { \omega _ d } \sin ( \omega _ d t ) \right )$$

که در آن، $$\sigma = \zeta \omega_n$$ و $$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$$ فرکانس طبیعی میرا است.

در ادامه، خواهیم دید که ضریب میرایی $$\zeta$$ و فرکانس طبیعی $$\omega _ n$$ ویژگی‌های مهمی از بخش گذرای پاسخ پله را تعیین می‌کنند.

مشخصات پاسخ سیستم در حالت گذرا

در این بخش، برخی ویژگی‌های مهم پاسخ گذرا را بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش سیستم های کنترل خطی در فرادرس

کلیک کنید

زمان صعود

ابتدا یک سیستم مرتبه اول را در نظر بگیرید:

$$\large \begin {align*} H ( s ) = \frac { a } { s + a } , \,\, \, \, \, \, a > 0 . \end {align*}$$

سیستم بالا، یک قطب پایدار $$s = -a$$ دارد. با استفاده از قضیه مقدار نهایی، بهره DC سیستم، برابر با $$1$$ به دست می‌آید.

پاسخ پله این سیستم را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:‌

$$\large \begin {align*} y ( t ) & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \{ Y ( s ) \} \\ & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ H ( s ) \frac { 1} { s } \right\} \\ & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { a } { s ( s + a ) } \right \} \\ & = \mathscr { L } ^ { - 1 } \left \{ \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { s+ a } \right \} \\ & = 1 ( t ) - e ^ { - a t } . \end{align*}$$

زمان صعود (Rise Time) را به عنوان مدت زمانی تعریف می‌کنیم که طول می‌کشد تا پاسخ سیستم از $$10 \%$$ به $$90 \%$$ مقدار حالت ماندگار (پاسخ پله) برسد. زمان صعود را با $$t _ r$$‌ نشان می‌دهند. شکل زیر، زمان صعود پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول را نشان می‌دهد.

زمان صعود $$t _ r$$ پاسخ پله $$y(t) =1(t) - e^{-at}$$ را می‌توان به صورت تحلیلی و با استفاده از تعریف به دست آورد. فرض می‌کنیم $$t_{0.1}$$ و $$t_{0.9}$$، لحظاتی هستند که در پاسخ در آن‌ها، به ترتیب، به $$10 \%$$ و $$90 \%$$ مقدار حالت ماندگار می‌رسد (برای نخستین بار). در نتیجه، زمان صعود به صورت زیر به دست می‌آید: