ریشه واحد – از صفر تا صد

تعریف ریشه واحد

تعریف: برای هر عدد صحیح مثبت $$n$$، ریشه‌های $$n$$اُم واحد جواب‌های مختلط معادله $$x ^ n = 1$$ هستند، و $$n$$ جواب برای معادله وجود دارد.

مثال: ریشه‌های سوم واحد را به دست آورید.

حل: طبق تعریف، ریشه‌های سوم واحد همان جواب‌های معادله $$x ^ 3 = 1$$ هستند. در نگاه اول، می‌بینیم که $$x = 1$$ یکی از جواب‌های این معادله است. بنابراین، می‌توان گفت که $$1$$ یک ریشه سوم واحد است. با این حال، دو جواب مختلط نیز داریم که لازم است آن‌ها را به دست آوریم. این جواب‌ها $$x = \large { \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } }$$ و $$x = \large { \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 } }$$ هستند.

بنابراین، به صورت مجموعه، ریشه‌های سوم واحد به شکل زیر هستند:

$$\large U _ 3 = \left \{ 1 , \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 } \right \} .$$

جواب‌ها را می‌توان با استفاده از محاسبات اعداد مختلط تأیید کرد. برای مثال، می‌توانیم بنویسیم:

$$\large \begin {align*} \left ( \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } }{ 2 } \right ) ^ 3 & = \frac { ( - 1 + i \sqrt { 3 } ) ^ 3 } { 2 ^ 3 } = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) ^ 3 \\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( 1 - 2 i \sqrt { 3 } - 3 \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( - 2 - 2 i \sqrt { 3 } \right ) \left ( - 1 + i \sqrt { 3 } \right ) \\ & = \frac { 1 } { 8 } \left ( 2 - 2 i \sqrt { 3 } + 2 i \sqrt { 3 } + 6 \right ) = \frac { 1 } { 8 } ( 8 ) = { 1 } \end {align*}$$

محاسبه ریشه‌های nاُم واحد

$$\large e ^ { i x } = \text {cis} ( x ) = \cos ( x ) + i \sin ( x )$$

قضیه: $$n$$ را به عنوان یک عدد صحیح مثبت و $$U _ n$$ را به عنوان همه ریشه‌های $$n$$اُم واحد در نظر بگیرید. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large U _ n = \left \{ e ^ { 2 k \pi i / n } { \Large \mid } k \in \{ 1 , 2 , \ldots , n \} \right \} .$$

لازم به ذکر است که مجموعه همه ریشه‌های $$n$$اُم واحد همیشه شامل $$n$$ عضو هستند. هر یک از این چند ریشه‌های واحد را می‌توان با تغییر مقدار $$k$$ در عبارت $$e ^ { 2 k \pi i / n }$$ به دست آورد.

اثبات: طبق فرمول اویلر، داریم:

$$\large e ^ { 2 \pi i } = \cos ( 2 \pi ) + i \sin ( 2 \pi ) = 1 .$$

فرض کنید $$k$$ یک عدد صحیح مثبت باشد. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$\large \big ( e ^ { 2 \pi i } \big ) ^ k = e ^ { 2 k \pi i } = 1 ^ k = 1 .$$

که نتیجه آن، $$x ^ n = 1$$ خواهد بود و $$x$$ یک عدد مختلط و $$n$$ یک عدد صحیح مثبت است. اکنون، داریم:

$$\large x ^ n = 1 = e ^ { 2 \pi i } = e ^ { 4 \pi i } = e ^ { 6 \pi i } = \ldots = e ^ { 2 k \pi i } .$$

با به توان $$\frac {1}{n}$$ رساندن عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$\large \left ( x ^ n \right ) ^ { 1 / n } = x = e ^ { 2 \pi i / n } = e ^ { 4 \pi i / n } = e ^ { 6 \pi i / n } = \ldots = e ^ { 2 k \pi i / n } .$$

توجه کنید که اگر $$k> n$$ باشد، آنگاه زاویه $$\frac { 2 k \pi } { n }$$ متقابل به رأس $$\frac { 2 ( k - n ) \pi } { n }$$ خواهد بود.

بنابراین، $$n$$ جواب مجزا برای $$x ^ n = 1$$ وجود دارد که هر کدام با $$x = e ^ { 2 k \pi i / n }$$ برای $$k = 1 , 2 , 3 , \ldots , n$$ مشخص می‌شود.

مثال ۱: معادله $$x ^ 3 = 1$$ را برای همه $$x$$ها به دست آورید.

حل: طبق قضیه بالا، جواب‌ها به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {array} { c } & x = e ^ { 2 i \pi / 3 } , & e ^ { 4 i \pi / 3 } , & e ^ { 6 i \pi / 3 } \end {array} .$$

طبق فرمول اویلر، این جواب‌ها، به ترتیب، برابرند با:

$$\large \begin {aligned} x & = \cos { \left ( \frac { 2 \pi }{ 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 2 \pi } { 3 } \right ) } = \frac { - 1 } { 2 } + i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ x & = \cos { \left ( \frac { 4 \pi } { 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 4 \pi } { 3 } \right ) } = \frac { - 1 } { 2 } - i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ x & = \cos { \left ( \frac { 6 \pi }{ 3 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 6 \pi } { 3 } \right ) } = 1 \end {aligned}$$

مثال ۲: فرض کنید $$z$$ هفتمین ریشه هفتم واحد باشد. به عبارت دیگر، $$z$$ یک عدد مختلط است که در معادله $$z ^ 7 = 1$$ صدق می‌کند. اگر $$z = a + b i$$ باشد، که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعدادی حقیقی هستند، آنگاه حداکثر مقدار $$a + b$$ چقدر خواهد بود؟‌ جواب را تا سه رقم اعشار بنویسید.

حل: ریشه‌های هفتم واحد را می‌توان به صورت زیر به دست آورد:

$$\large z = e ^ { 2 k \pi i / 7 } \text{, }\;\;\; k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7$$

هدف، بیشینه کردن $$a + b$$ است، به طوری که زاویه $$\frac { 2 k \pi } { 7 }$$ باید در ربع اول صفحه مختلط، روی محور حقیقی مثبت یا روی محور موهومی مثبت باشد. تنها زاویه‌هایی که در این معیار صدق می‌کنند، $$2 \pi$$ و $$\frac {2 \pi } { 7 }$$ هستند.

با استفاده از فرمول اویلر، داریم:

$$\large \begin {align*} e ^ { 2 \ pi i } & = \cos ( 2 \pi ) + i \sin ( 2 \pi ) = 1 + 0 i \\ e ^ { 2 \pi i / 7 } & = \cos { \left ( \frac { 2 \pi }{ 7 } \right ) } + i \sin { \left ( \frac { 2 \pi } { 7 } \right ) } \approx 0.62349 + 0.78183 i \end {align*}$$

واضح است که ریشه واحد متناظر با زاویه $$\frac {2 \pi} {7 }$$ مقدار $$a + b$$ را بیشینه خواهد کرد.

حداکثر مقدار به صورت زیر خواهد بود:

$$\large a + b \approx 0.62349 + 0.78183 = \boxed {1.40532}$$

حل معادلات به فرم $$\Large x ^ n = a$$

ریشه واحد را می‌توان برای حل هر معادله به فرم $$x ^ 2 = a$$ به کار برد که $$a$$ یک عدد حقیقی است.

مثال ۱: همه جواب‌های مختلط معادله $$x ^ 4 = 2$$ را بیابید.

حل: روش حل این معادله بسیار شبیه حل $$x ^ 4 = 1$$ است:‌

$$\large x ^ 4 = 2 ( 1 ) = 2 e ^ { 2 i \pi } =2 e ^{ 4 i \pi } = 2 e ^ { 6 i \pi }= 2 e ^ { 8 i \pi } .$$

مثال ۲: با گرفتن ریشه چهارم، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} x & = \sqrt [4] { 2 } e ^ { 2 k \pi i / 4 } \ \text{, }\ k = 1 , 2 , 3 , 4 \\ x & = \sqrt [ 4 ] { 2 } i , ~ - \sqrt [ 4 ] { 2 } i , ~ - \sqrt [ 4 ] { 2 } , ~ ~ \sqrt [ 4 ] { 2 } . \end {aligned}$$

چه تعداد از ریشه‌های معادله $$x ^ 8 = 16$$ به فرم $$a - b i$$ هستند که در آن، $$( a , b ) \in \mathbb { Z }$$ است؟

حل: از رابطه اویلر به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} x ^ 8 & = 1 6 = 1 6 ( 1 + 0 i ) = 1 6 ( \color {#3D99F6} { \cos 2 \color {#D61F06} { n } \pi + i \sin 2 \color {#D61F06} { n } \pi } ) = 1 6 \color {#3D99F6}{ e ^ { 2 \color {#D61F06} { n } \pi i } } & \small \color {#3D99F6}{ \text {} } ( \color{#D61F06}{n = 0,1,...,7} ) \\ \implies x & = 16^{\frac{1}{8}} e^{\frac{2n\pi}{8}i} = \sqrt{2} e^{\frac{n\pi}{4}i} = \sqrt{2}(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac { n \pi } { 4 } ) \\ & = \begin {cases} \sqrt { 2 } ( \cos 0 + i \sin 0 ) & = \color {#D61F06} { \sqrt { 2 } } & \color {#D61F06} { \text {}}\\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { \pi } { 4 } + i \sin \frac { \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { 1 + i } & \color {#3D99F6} { \text { } } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { \pi } { 2 } + i \sin \frac { \pi } { 2 } ) & = \color {#D61F06}{ \sqrt { 2 } i } & \color {#D61F06} { \text {} } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 3 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { - 1 + i } & \color {#3D99F6} { \text { } } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \pi + i \sin \pi ) & = \color {#D61F06} { -\sqrt { 2 } } & \color {#D61F06}{\text {}} \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 5 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { - 1 - i } & \color {#3D99F6} { \text {} } \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } ) & = \color {#D61F06} { - \sqrt { 2 } i } & \color {#D61F06}{ \text{}} \\ \sqrt { 2 } ( \cos \frac { 7 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 7 \pi } { 4 } ) & = \color {#3D99F6} { 1 - i } & \color {#3D99F6} { \text {} } \end {cases} \end {aligned}$$

همان‌طور که می‌بینیم، ۴ مورد قابل قبول هستند.

ریشه واحد و چندضلعی‌های منتظم

ریشه واحد رابطه‌ای قوی با هندسه دارد. با رسم ریشه واحد، در صفحه مختلط، می‌توان از آن برای تولید رئوس یک چندضلعی منتظم استفاده کرد.

برای هر عدد صحیح $$n \ge 3$$، ریشه‌های $$n$$اُم واحد، وقتی روی صفحه مختلط رسم شوند، رئوس یک $$n$$ضلعی منتظم را تشکیل می‌دهند.

حل: نقطه $$( 1 , 0 )$$ متناظر با عدد مختلط $$1 + 0 i$$ روی صفحه مختلط است. این عدد ریشه سوم واحد است. ریشه‌های سوم دیگر رئوس باقیمانده مثلث در صفحه مختلط هستند:‌

$$\large \frac { - 1 + i \sqrt { 3 } } { 2 } \text { , } \;\;\;\; \frac { - 1 - i \sqrt { 3 } } { 2 }$$

این اعداد مختلط متناظر با نقاط زیر روی صفحه مختصات هستند:

$$ \large \left ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right ) \text{, } \;\;\; \left ( - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right ) . \ $$