پیچش و تنش برشی — به زبان ساده

۱۰۹۲۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۰ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
پیچش و تنش برشی — به زبان ساده

در این مطلب قصد داریم تا مفهوم پیچش و تنش برشی ایجاد شده در نتیجه آن را توضیح دهیم. البته پیشنهاد می‌شود در ابتدا مطالب تنش‌ و تنش برشی و کرنش برشی را مطالعه فرمایید.

997696

پیچش و تنش

به‌منظور توضیح مفهوم پیچش، در ابتدا میله‌ای را همان‌طور که ادامه ارائه شده در نظر بگیرید. مطابق با شکل فرض کنید که نیروی F F تلاش دارد که میله‌ را در جهت ساعتگرد به حرکت در آورد. توجه داشته باشید که این میله در انتهای دیگرش به دیوار متصل شده است. بنابراین در انتهای دیگرِ میله، نیرویی برابرِ F F وجود دارد که در تلاش است تا میله را در جهتی عکس دوران دهد.

torsion

همان‌طور که می‌دانید، تنش برشی را با نماد τ \tau نشان می‌دهند. این صورت اندازه تنش برشی در نتیجه پیچشِ یک میله برابر است با:

τ=TρJ \large \tau = \dfrac { T \rho } { J }

در رابطه فوق، T T ، گشتاور پیچشی وارد شده به میله، ρ\rho، فاصله محل محاسبه تنش از مرکز میله و J J نشان دهنده گشتاور اینرسی قطبی سطح مقطع میله حول مرکز است. بنابراین برای سطوح‌ مختلف باید گشتاور قطبی مربوط به آن‌ها محاسبه شوند. برای نمونه میله‌ای با سطح مقطع دایره‌ای به قطر D D را همان‌طور که در ادامه ارائه شده، در نظر بگیرید.

torsion

برای مقطع فوق، گشتاور قطبی و تنش برشی ماکزیمم برابرند با:

J=π32D4 , τmax=16TπD3 \large J = \dfrac { \pi } { 32 } D ^ 4 \ , \ \tau _ { max } = \dfrac { 16 T }{ \pi D ^ 3 }

همین مقادیر برای شکل زیر (استوانه‌‌ای توخالی با قطر خارجیِ D D و قطر داخلی d d ) نیز برابرند با:

torsion

J=π32(D4d4) , τmax=16TDπ(D4d4) \large J = \dfrac { \pi } { 32 } ( D ^ 4 - d ^ 4 ) \ , \ \tau _ { max } = \dfrac { 16 T D } { \pi ( D ^ 4 - d ^ 4 ) }

زاویه پیچش

فرض کنید میله‌ای به طول L L به یک نقطه ساکن (مثلا دیوار) متصل شده و به سر دیگر آن گشتاور پیچشی T T وارد می‌شود. در این صورت میزان زاویه پیچش در این میله برابر است با:

θ=TLJGin radians \large \theta = \dfrac { T L } { J G } \, \text {in radians}

توجه داشته باشید که در رابطه فوق، T T ، گشتاور پیچشی بر حسب N.mm N . m m و G G برابر با مدول برشی است که بر حسب MPa M P a بیان می‌شود. بنابراین L L بر حسب mm m m بوده و J J نیز بر حسب mm 4 { m m  } ^ 4 در رابطه قرار داده می‌شود. هم‌چنین دقت کنید همان‌طور که در بالا نیز نشان داده شده، زاویه محاسبه شده بر حسب رادیان است.

توان منتقل شده توسط شفت

شفتی که با سرعت زاویه‌ای ثابتِ ω \omega در حال دوران است، گشتاور پیچشی ثابتی برابر با T T به آن وارد می‌شود. در این صورت توان منتقل شده توسط این شفت برابر است با:

P=Tω=2πTf \large P = T \omega = 2 \pi T f

در رابطه فوق T T برابر با گشتاور بر حسبِ N.m N . m و f f فرکانس نوسان یا تعداد دوران در هر ثانیه است. با توجه به این ابعاد، توانِ PP نیز بر حسب وات بدست خواهد آمد. به‌منظور درک بهترِ مفاهیمِ ارائه شده در بالا، مثال‌هایی در ادامه طرح شده‌اند که مطالعه آن‌ها می‌توانند در درک مطلب کمک‌کننده باشند.

مثال ۱

شفتی فولادی به طول 3 ft 3 \ ft ، دارای قطری برابر با 4 in 4 \ in است. فرض کنید به این شفت گشتاوری پیچشی برابر با 15 kipft 15 \ kip·ft وارد شود. در این صورت با فرض این‌که مدول برشی میله برابر با G=12×106  psi G = 12 × 106 \ \ p s i باشد، تنش برشی ماکزیمم و میزان زاویه پیچیده‌شده در میله را بیابید.

تنش برشی ماکزیمم برابر است با:

τmax=16TπD3=16(15)(1000)(12)π(43) \large \tau _ { m a x } = \dfrac { 16 T } { \pi D ^ 3 } = \dfrac { 16 ( 15 ) ( 1000 ) ( 12 ) } { \pi ( 4 ^ 3 ) }

τmax=14324psi \large \tau _ { max } = 14 324 \, \text {psi}

در مرحله بعد، میزان زاویه منحرف شده نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید:

θ=TLJG=15(3)(1000)(122)132π(44)(12×106) \large \theta = \dfrac { T L } { J G } = \dfrac { 15 ( 3 ) ( 1000 ) ( 1 2^ 2 ) } {\frac { 1 } { 32 } \pi ( 4 ^ 4 ) ( 12 \times 10 ^ 6 ) }

θ=0.0215rad \large \theta = 0.0215 \, \text {rad}

البته می‌توان زاویه پیچش بدست آمده را بر حسب درجه نیز بیان کرد. میزان زاویه پیچش برابر است با:

θ=1.23 \large \theta = 1.23 ^ \circ

مثال فوق نمونه‌ای عادی از نحوه بدست آوردن تنش و کرنش زاویه‌ای بود. در ادامه مثال‌هایی را ارائه خواهیم داد که در آن‌‌ها شفت‌ از چندین بخش تشکیل شده یا این‌که مسئله از جنس انتقال توان باشد.

مثال ۲

شفتی به طولِ 5m5 m را در نظر بگیرید که تحت گشتاوری پیچشی به اندازه 4 4 ^ \circ پیچیده شده است. با فرض این‌که ماکزیمم تنش برشی ایجاد شده در این شفت برابر با 80 MPa80 \ MPa بوده و مدول برشی آن برابر با G=83 GPa G = 83 \ G P a باشد، میزان توان منتقل شده در هنگام چرخش شفت با فرکانسِ 20 Hz20 \ Hz را بدست آورید.

در اولین قدم با استفاده از رابطه بدست آمده برای زاویه، مقدار گشتاور وارد شده به میله بر حسب قطر، مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

θ=TLJG \large \theta = \dfrac { T L } { J G }

4(π180)=T(5)(1000)132πd4(83000) \large 4 ^ \circ \left ( \dfrac { \pi } {1 8 0 ^\circ} \right ) = \dfrac { T ( 5 )( 1000 ) } { \frac { 1 } { 32 } \pi d ^ 4 ( 83 \, 000 ) }

T=0.1138d4 \large T = 0.1138 d ^ 4

از طرفی می‌توان با استفاده از فرمول تنش ماکزیمم، اندازه قطر را بدست آورد.

τmax=16Tπd3 \large \tau _ { max } = \dfrac { 16 T } { \pi d ^ 3 }

80=16(0.1138d4)πd3 \large 80 = \dfrac { 16 ( 0.1138 d ^ 4 ) } { \pi d ^ 3 }

با بدست آمدن قطر، از رابطه ارائه شده برای محاسبه توان استفاده می‌کنیم و توان را بدست می‌آوریم.

T=P2πf \large T = \dfrac { P } { 2 \pi f }

0.1138d4=P2π(20) \large 0.1138 d ^ 4 = \dfrac { P } { 2 \pi ( 20 ) }

P=14.3d4=14.3(1384) \large P = 14.3 d ^ 4 = 14.3 ( 1384 )

P=5186237285Nmm/sec \large P = 5 \,186 \, 237 \, 285 \, \text {N} \cdot \text {mm/sec}

P=5186237.28W \large P = 5 \,186 \, 237.28 \, \text {W}

بنابراین نهایتا توان منتقل شده توسط شفت برابر با P=5.19 MW P = 5.19 \, \text { MW} بدست می‌آید.

مثال ۳

شفتی فولادی به قطر 5 m5 \ m را در نظر بگیرید. چرخ‌دنده‌ای به فاصله‌ 2 m2 \ m از انتهای سمت چپ، توان 70 kw70 \ kw را به سیستم تحویل می‌دهد و دیگر چرخ‌دنده‌ها مطابق با شکل زیر این توان را مصرف می‌کنند. در این صورت موارد خواسته شده را بدست آورید.

torsion

  1. ضخامتی یکنواخت از قطر که به ازای آن تنش برشی بیشتر از 60 MPa 60 \ M P a نشود.
  2. اگر ضخامت یکنواخت شفت برابر با 100 mm100 \ m m باشد، میزان زاویه منحرف شده یک سمت از شفت را نسبت به سمت دیگر آن بیابید. مدول برشی را برابر با G=83GPa G = 83 G P a در نظر بگیرید.

(a): در ابتدا باید گشتاور تولید شده یا وارد شده به هریک از شفت‌ها را یافت. در حقیقت گشتاور وارد شده یا خارج شده از هریک از شفت‌ها برابرند با:

T=P2πf \large T = \dfrac { P } { 2 \pi f }

TA=TC=20(1000)2π(2)=1591.55Nm \large T _ A = T _ C = \dfrac {-20 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 2 ) } = -1591.55 \, \text {N} \cdot \text {m}

TB=70(1000)2π(2)=5570.42Nm \large T _ B = \dfrac { 70 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 2 ) } = 5570.42 \, \text {N} \cdot \text {m}

TD=30(1000)2π(2)=2387.32 N m \large T _ D = \dfrac { -30 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 2 ) } = -2387 . 32 \, \text { N } \cdot\text {m}

به منظور بدست آوردن قطر، می‌توان از رابطه تنش برشی ماکزیمم استفاده کرده و آن را در هریک از مقاطع بدست آورد.

برای قسمت AB:

60=16(1591.55)(1000)πd3 60 = \dfrac { 16 ( 1591 . 5 5 ) ( 1000 ) } { \pi d ^ 3 }

d=51.3mm d = 51 . 3 \, \text {mm}

برای قسمت BC:

60=16(3978.87)(1000)πd3 60 = \dfrac { 16 (3978.87) ( 1000 ) } { \pi d ^ 3 }

d=69.6mm d = 69.6 \, \text {mm}

برای قسمت CD:

60=16(2387.32)(1000)πd3 \large 60 = \dfrac { 16 ( 2387 . 32 ) ( 1000 ) } { \pi d ^ 3 }

d=58.7mm \large d = 58.7 \, \text {mm}

ما می‌خواهیم قطر شفت، در تمامی قسمت‌ها عددی یکنواخت باشد؛ بنابراین از میان مقادیر فوق باید ماکزیمم مقدار را در نظر گرفت. ماکزیمم مقدار قطر مربوط به قسمت BC است. بنابراین قطر یکنواخت شفت برابر است با:

d=69.6  mm \large d=69.6 \ \ mm

(b): میزان زاویه منحرف شده در یک بخش از شفت را می‌توان با استفاده از اختلاف گشتاور دو سر آن بدست آورد. بنابراین میزان اختلاف نقطه D نسبت به A برابر است با:

θD/A=1JGΣTL \large \theta _ { D / A } = \dfrac { 1 } { J G } \Sigma T L

در نتیجه نهایتا پیچش نسبی دو سر شفت، برابر می‌شود با:

θD/A=1132π(1004)(83000)[1591.55(2)+3978.87(1.5)+2387.32(1.5)](10002) \large \theta _ {D / A } = \dfrac { 1 } { \frac { 1 } { 32 } \pi ( 100 ^ 4 )( 83 \, 000 ) } \, [ \, -1591.55 ( 2 ) + 3978.87 ( 1.5 ) + 2387.32 ( 1.5 ) \, ] \, ( 1000 ^ 2 )

θD/A=0.007813rad \theta _ { D / A } = 0 . 0 0 7 \, 8 1 3 \, \text {rad}

مثال ۴

مطابق با شکل زیر شفتی فولادی را در نظر بگیرید که با فرکانس 4 Hz4 \ Hz دوران می‌کند. گشتاور 35kW35 kW از نقطه A A گرفته می‌شود. هم‌چنین 20kW20 kW از نقطه BB گرفته می‌شود. از طرفی از نقطه CC مقدارِ 55Kw55 Kw اعمال می‌شود. با توجه به این توصیفات بیشترین میزان تنش برشی و همچنین بیشترین میزان انحراف زاویه‌ای نقطه AA نسبت به CC را بدست آورید.

torsion

در هریک از نقاط شفت مقداری از توان وارد یا خارج می‌شود. بنابراین در هریک از نقاط شفت مقداری گشتاور اعمال شده یا از شفت گرفته شده است. به‌منظور بدست آوردن مقدار گشتاور، کافی است از رابطه بین گشتاور و توان استفاده کرد. نهایتا گشتاور در هریک از نقاطِ شفت برابر می‌شود با:

TA=35(1000)2π(4)=1392.6 Nm \large T _ A = \dfrac { -35 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 4 ) } = -1392.6 \, \text{ N} \cdot \text {m}

TB=20(1000)2π(4)=795.8Nm \large T _ B = \dfrac { -2 0 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 4 ) } = -795 . 8 \, \text{N} \cdot \text {m}

TC=55(1000)2π(4)=2188.4Nm \large T _ C = \dfrac { 55 ( 1000 ) } { 2 \pi ( 4 ) } = 2188.4 \, \text {N} \cdot \text {m}

شکل زیر نحوه اعمال شدن گشتاور‌ها به نقاط مختلف شفت را نشان می‌دهد.

torsion

با توجه به گشتاور‌های بدست آمده، تنش در نقاط مختلف شفت به‌صورت زیر بدست می‌آیند.

τmax=16Tπd3 \large \tau _ { max } = \dfrac { 16 T } { \pi d ^ 3 }

τAB=16(1392.6)(1000)π(553)=42.63 MPa \large \tau _ { A B } = \dfrac { 16 ( 1392.6 ) ( 1000 ) } { \pi ( 55 ^ 3 ) } = 42.63 \, \text { MPa}

τBC=16(2188.4)(1000)π(653)=40.58 MPa  \large \tau _ { B C } = \dfrac { 16 ( 2188.4 ) ( 1000 ) } { \pi ( 65 ^ 3 ) } = 40.58 \, \text { MPa }

بنابراین بیشترین تنش در شفت برابر با τmax=τAB=42.63 MPa \tau _ { ma x } = \tau _ { A B }= 42.63 \, \text { MPa} است. مقدار زاویه منحرف شده نیز مشابه با مثال قبل برابر با برآیند انحرافِ ناشی از تمامی گشتاور‌ها بدست می‌آیند.

θ=TLJG \large \theta = \dfrac { T L } { J G }

θA/C=1GΣTLJ \large \theta _ { A / C } = \dfrac { 1 } { G } { \Large \Sigma } \dfrac { T L }{ J }

θA/C=183000[1392.6(4)132π(554)+2188.4(2)132π(654)](10002) \large \theta _ { A / C } = \dfrac { 1 } { 8 3 \, 000 } \left[ \dfrac {1392.6 ( 4) } { \frac{ 1 } { 32 } \pi ( 55 ^ 4 ) } + \dfrac { 2188.4 ( 2 ) } { \frac { 1 }{ 3 2 } \pi (65^4)} \right]\,(1000 ^ 2 )

θA/C=0.104796585rad \large \theta _ { A / C } = 0.104 \,796\,585 \, \text {rad}

توجه داشته باشید که در برخی از موارد ممکن نیروی برشی نیز به تیر وارد شود که در این موارد باید تاثیر تمامی نیرو‌های برشی در نظر گرفته شوند. در مطالب آینده، بیشتر در این مورد بحث خواهیم کرد.

^^

بر اساس رای ۲۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathalino
۴ دیدگاه برای «پیچش و تنش برشی — به زبان ساده»

با سلام
برای محاسبه تعداد و قطر پیچ هنگام اعمال نیروی خمشی چکار میشه کرد؟
لطفا راهنمایی کنید.

فونت هاش برای من بهم ریخته است و بصورت $ است اصلا مفید نبود

با سلام؛

پیشنهاد می‌کنیم صفحه را مجدد refresh کنید چراکه به احتمال قوی، صفحه برای شما به طور کامل بارگذاری نشده است.

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

متن خوبي بود به خصوص مثال ها
اي كاش اين مباحث عمقي تر بررسي ميشد
ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *