پاسخ پله — از صفر تا صد

یکی از مهم‌ترین ورودی‌های تست سیستم، تابع پله واحد (Unit Step Function) است. پاسخ یک سیستم با شرایط اولیه صفر یا به عبارت دیگر، پاسخ حالت صفر (Zero State Response) یک سیستم به ورودی پله واحد را پاسخ پله واحد می‌گویند. البته اگر سیستم مورد بررسی دارای شرایط اولیه غیر صفر باشد، نیاز است که برای به دست آوردن پاسخ کامل، پاسخ ورودی صفر را نیز محاسبه کرد. در این مطلب می‌خواهیم به بررسی پاسخ پله (Unit Step Response) برای سیستم درجه یک، سیستم درجه دو و سیستم‌های درجه بالاتر بپردازیم.

حل عمومی

در تصویر زیر می‌توان تصویر تابع پله واحد را مشاهده کرد.

می‌توان ورودی پله یک سیستم را به سادگی با استفاده از تابع انتقال (Transfer Function) آن به دست آورد.

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

اگر در یک سیستم ورودی برابر با $$x(t)$$، خروجی برابر با $$y(t)$$ و تابع انتقال $$H(S)$$ باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

$$H(S) = \frac {Y(S)} {X(S)}$$

در این سیستم، خروجی با شرایط اولیه صفر یا به عبارت دیگر خروجی حالت صفر، به سادگی با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$Y(S) = X(S) H(S)$$

بنابراین، پاسخ پله واحد $$Y _ \gamma (S)$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$Y _ \gamma (S) = \frac {1} {S} H(S)$$

حال با اعمال قضیه مقدار اولیه و مقدار نهایی، می‌توانیم دو مشخصه بسیار مهم از پاسخ پله واحد، یعنی مقادیر اولیه و نهایی آن را تعیین کنیم. بر همین اساس، مقدار اولیه تابع برابر است با:

$$\lim_{t \rightarrow 0 ^+} f(t) = \lim_{S \rightarrow \infty} S F(S)$$

مقدار نهایی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{S \rightarrow 0} S F(S)$$

بنابراین داریم:

$$\lim_{t \rightarrow 0 ^+} Y _ \gamma (t) = \lim_{S \rightarrow \infty} S Y _ \gamma (S) = \lim_{S \rightarrow \infty} S \frac {1} {S} H(S) = \lim_{S \rightarrow \infty} H(S)$$

$$\lim_{t \rightarrow \infty} Y _ \gamma (t) = \lim_{S \rightarrow 0} S Y _ \gamma (S) = \lim_{S \rightarrow 0} S \frac {1} {S} H(S) = \lim_{S \rightarrow 0} H(S)$$

معمولا این معادله‌ها را ساده می‌کنیم و می‌نویسیم:

$$Y _ \gamma (0^+) = H ( \infty )$$

$$Y _ \gamma (\infty) = H ( 0 )$$

پاسخ پله سیستم مرتبه اول

ابتدا یک سیستم عمومی را در نظر می‌گیریم و پاسخ پله را برای آن محاسبه می‌کنیم. در ادامه مثال‌های بیشتری را از سیستم‌های درجه یک حل می‌کنیم.

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

یک تابع انتقال مرتبه اول عمومی را در نظر بگیرید که توسط رابطه زیر توصیف می‌شود:

$$H(S) = \frac {b.S + c} {S+ a}$$

در این سیستم، $$a$$ و $$b$$ و $$c$$  اعداد حقیقی هستند و یکی از مقادیر $$b$$ یا $$c$$ ممکن است برابر با صفر باشند، اما هر دو با هم صفر نمی‌شوند. برای به دست آوردن پاسخ پله واحد، $$H(S)$$ را در $$\frac {1} {S}$$ ضرب می‌کنیم:

$$Y_ \gamma (S) = \frac {1} {S} H(S) = \frac {1} {S} \frac {b.S + c} {S+ a}$$

با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس و بسط کسرهای جزئی می‌توان نوشت:

$$Y_ \gamma (S) = \frac {1} {S} H(S) = \frac {1} {S} \frac {b.S + c} {S+ a} \\ Y_ \gamma (S) = \frac{A} {S } + \frac{B} {S+ a} \\ = \frac{c} {a }\frac{1} {S } + \frac{ba - c} { a} \frac{1} {S+ a}\\ = \frac{c} {a }\frac{1} {S } + (b - \frac{ c} { a}) \frac{1} {S+ a}$$

بنابراین:

$$Y_ \gamma ( t) = \frac{ c} { a} + (b - \frac{ c} { a}) e^ {-at}\; ,\;\;\;t>0$$

حال می‌توان مشخصه‌های بسیاری را از این معادله به دست آورد:

$$Y_ \gamma (0^ +) = H(\infty ) = b$$

$$Y_ \gamma ( \infty ) = H( 0 ) = \frac{ c} { a}$$

$$\tau = \frac{1} { a}$$

بنابراین می‌توان فرم عمومی پاسخ پله واحد سیستم را به صورت زیر نوشت:

$$\large Y_ \gamma (t) = Y_ \gamma (\infty) + (Y_ \gamma (0 ^ +) - Y_ \gamma (\infty)) e^ {- \frac {t} {\tau}}$$

$$\large = H (0 ) + ( H ( \infty) - H( 0) ) e ^ {\frac {- t} {\tau} }$$

معادلات فوق از اهمیت بالایی برخوردارند. بر اساس این معادلات می‌توان نتیجه گرفت که اگر بتوان مقادیر اولیه یک سیستم مرتبه اول را در $$t = 0 ^ +$$ تعیین کرد، آن‌گاه می‌توان مقدار نهایی و نیز ثابت زمانی سیستم را به دست آورد و برای این کار به حل هیچ معادله‌ای نیاز نداریم. به طریق مشابه، اگر بتوانیم مقادیر اولیه سیستم را از راه تجربی به دست آوریم و سپس مقدار نهایی و ثابت زمانی را تعیین کنیم، آن‌گاه می‌توانیم تابع انتقال کلی سیستم را محاسبه کرد.

ثابت زمانی سیستم مرتبه اول

محاسبه ثابت زمانی سیستم مرتبه اول معمولا ساده است. ثابت زمانی برخی از سیستم‌های متداول در جدول زیر آورده شده‌اند.

مثال ۱

اگر نیروی ورودی سیستم زیر برابر با پله واحد باشد، آن‌گاه $$v(t)$$ را محاسبه کنید.