محاسبه تانژانت معکوس – به زبان ساده + مثال

تانژانت معکوس یا آرک تانژانت، یکی از توابع وارون مثلثاتی است که روش‌های مختلفی برای محاسبه آن وجود دارد. از متداول‌ترین روش‌های محاسبه تانژانت معکوس می‌توان به استفاده از ماشین‌حساب مهندسی، ماشین‌حساب ویندوز، تخمین از روی مقادیر معلوم، سری تیلور، ترسیم مثلث قائم‌الزاویه، اکسل و ابزارهای اینترنتی اشاره کرد. در این مطلب از مجله فرادرس، تمام این روش‌ها را آموزش می‌دهیم و برای هر یک از آن‌ها، یک مثال می‌زنیم. در این مطلب ابتدا یاد می‌گیریم که تانژانت معکوس چیست و چگونه محاسبه می‌شود. سپس نحوه محاسبه آن را با ماشین حساب آموزش می‌دهیم و حتی تخمین تانژانت معکوس بدون ماشین حساب را نیز بیان می‌کنیم. در انتها نیز، محاسبه این مقدار را در اکسل و با استفاده از ابزارهای آنلاین آموزش می‌دهیم.

تانژانت معکوس چیست؟

«تابع معکوس یا تابع وارون» (Inverse Function)، تابعی است که عملکرد یک تابع را معکوس می‌کند. فرض کنید یک تابع، با گرفتن مقدار $$a$$ به عنوان ورودی، مقدار $$b$$ را به عنوان خروجی ارائه می‌کند.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

به این ترتیب، معکوس این تابع، با گرفتن مقدار $$b$$‌ به عنوان ورودی، مقدار $$a$$ را به عنوان خروجی ارائه خواهد کرد.

تابع تانژانت، یک تابع مثلثاتی است. ورودی توابع مثلثاتی، یک زاویه بوده و خروجی آن‌ها، یک مقدار عددی است. بنابراین، معکوس تابع تانژانت یا به عبارت دیگر، «تانژانت معکوس» (Inverse Tangent)، تابعی است که با گرفتن مقادیر عددی، یک زاویه را به ما می‌دهد. در روابط ریاضی، تانژانت به صورت زیر نشان داده می‌شود:

$$\tan$$

نحوه نمایش تانژانت معکوس یا تانژانت وارون در روابط ریاضی، معمولا به صورت زیر است:

$$\tan ^ { - ۱ }$$

به تانژانت معکوس، آرک‌تانژانت نیز می‌گویند و آن را با $$\arctan$$ نشان می‌دهند. بنابراین، تابع تانژانت معکوس x، عبارت است از:

$$f ( x ) = \tan ^ { - ۱ } ( x ) = \theta$$

یا

$$f ( x ) = \arctan ( x ) = \theta$$

• $$x$$: مقدار تانژانت در زاویه مورد نظر
• $$\theta$$: زاویه مورد نظر

تانژانت معکوس چگونه محاسبه می شود؟

محاسبه تانژانت معکوس، معمولا با استفاده از ماشین حساب و برنامه‌های کامپیوتری انجام می‌شود. البته، اگر تانژانت برخی از زوایا را به خاطر داشته باشید، می‌توانید تانژانت معکوس مقادیر متناظر با آن‌ها را به دست بیاورید. برای درک این موضوع، زوایای زیر را در نظر بگیرید:

$$\theta _ { ۱ } = ۳۰ ^ { \circ }$$

$$\theta _ { ۲ } = ۴۵ ^ { \circ }$$

$$\theta _ { ۳ } = ۶۰ ^ { \circ }$$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

تانژانت هر یک از این زوایا برابر است با:

$$\tan \left ( \theta _ { ۱ } \right ) = \tan \left ( ۳۰ ^ { \circ } \right ) = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۳ } } \approx ۰/۵۷۷$$

$$\tan \left ( \theta _ { ۱ } \right ) = \tan \left ( ۴۵ ^ { \circ } \right ) = ۱$$

$$\tan \left ( \theta _ { ۱ } \right ) = \tan \left ( ۶۰ ^ { \circ } \right ) = \sqrt { ۳ } \approx ۱/۷۳۲$$

اکنون، با دانستن این تانژانت‌ها، می‌خواهیم مقادیر زیر را به دست بیاوریم:

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۰/۵۷۷ \right ) = ?$$

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۱ \right ) = ?$$

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۱/۷۳۲ \right ) = ?$$

تانژانت معکوس، یک مقدار عددی را به عنوان ورودی دریافت کرده و زاویه متناظر با آن را به عنوان خروجی ارائه می‌دهد. به عنوان مثال، $$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۰/۵۷۷ \right )$$ را در نظر بگیرد. باید ببینیم خروجی تانژانت کدام زاویه برابر با ورودی تانژانت معکوس (۰/۵۷۷) می‌شود. با بررسی مقادیر تانژانت‌های ارائه شده، به زاویه ۳۰ درجه می‌رسیم. به عبارت دیگر، چون تانژانت ۳۰ درجه برابر با ۰/۵۷۷ است. تانژانت معکوس ۰/۵۷۷، برابر با ۳۰ درجه خواهد بود. به همین ترتیب داریم:

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۰/۵۷۷ \right ) = ۳۰ ^ { \circ }$$

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۱ \right ) = ۴۵ ^ { \circ }$$

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۱/۷۳۲\right ) = ۶۰ ^ { \circ }$$

مثال ۱: محاسبه تانژانت معکوس صفر

حاصل عبارت زیر را به دست بیاورید:

$$\tan ^ { - ۱ } \left ( ۰ \right ) = ?$$

عبارت بالا، جواب تانژانت معکوس عدد ۰ را از ما می‌خواهد. برای به دست آوردن جواب، زاویه‌ای را پیدا کنیم که تانژانت آن برابر با ۰ می‌شود. این زاویه برابر با ۰ است. چون:

$$\tan\left ( ۰ ^ { \circ } \right ) = ۰$$

از آنجایی که تانژانت زاویه ۰ درجه با مقدار عددی ۰ برابری می‌کند، تانژانت معکوس مقدار عددی ۰ برابر با زاویه ۰ درجه خواهد بود. توجه داشته باشید که اگر در صورت سوال، اشاره‌ای به یکای خروجی تانژانت معکوس نشد، می‌توانید یکای آن را برابر با درجه در نظر بگیرید. به علاوه، می‌توانید از فرمول‌های زیر برای تبدیل زاویه از درجه به رادیان و گرادیان استفاده کنید:

$$radian = \frac { degree \times \pi }{ ۱۸۰ ^ { \circ }}$$

$$gradian = \frac { degree \times ۴۰۰ }{ ۳۶۰ ^ { \circ }}$$

• degree: درجه
• radian: رادیان
• gradian: گرادیان

توجه داشته باشید که علامت خروجی تانژانت زوایای ربع‌های دوم و چهارم دایره مثلثاتی، منفی است. بنابراین، علامت مقدار ورودی تانژانت معکوس، منفی نیز می‌تواند باشد.

محاسبه تانژانت معکوس با ماشین حساب

برخلاف تانژانت معکوس ۰، محاسبه تانژانت زاویه‌های دیگر، نیاز به محاسبات پیچیده و وقت‌گیر دارد. به همین دلیل، اغلب افراد، این محاسبات را با استفاده از ماشین حساب انجام می‌دهند. در این بخش، نحوه محاسبه آرک تانژانت را با استفاده از ماشین حساب واقعی و ماشین حساب ویندوز آموزش می‌دهیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید