ماتریس معین مثبت (Positive Definite Matrix) – به زبان ساده

بردارها و ماتریس‌ها ابزارهای «جبر خطی» (Linear Algebra) هستند. درست به مانند معادلات ریاضی که براساس اعداد حقیقی ساخته شده‌اند و بوسیله جبر و حسابان حل می‌شوند، ابزار حل معادلات ماتریسی و برداری نیز جبر خطی است. یکی از خصوصیاتی جالبی که در جبر خطی به آن پرداخته می‌شود «ماتریس معین مثبت» (Positive Definite) و ویژگی‌های آن است. در این نوشتار به بررسی خصوصیات ماتریس‌ها از دیدگاه «مُعیَن بودن» (Definiteness) می‌پردازیم. برای آشنایی بیشتر با مباحث جبر خطی و ماتریس‌ها بهتر است مطلب ماتریس‌ها — به زبان ساده و بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتارهای ترانهاده ماتریس — به زبان ساده و اثر ماتریس (Trace) در جبر خطی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

ماتریس معین مثبت

برای درک مفهوم ماتریس معین مثبت ابتدا بعضی از خصوصیات ماتریس‌ها را مرور می‌کنیم. نخست و در همین راستا ماتریس مربعی و ماتریس متقارن را معرفی می‌کنیم.

در جبر خطی، ماتریس $$M$$ را مربعی گویند اگر تعداد سطرها و ستون‌های آن یکسان باشد. معمولا یک ماتریس مربعی را به صورت $$M_{n\times n}$$ نشان می‌دهند و به این ترتیب مشخص می‌شود که تعداد سطرها و ستون‌های آن برابر با $$n$$‌ است.

اگر عنصر یا درایه‌ قرار گرفته در سطر $$i$$ و ستون $$j$$ام ماتریس $$M$$ را با $$m_{ij}$$‌ نشان دهیم، مشخص است که عناصر قطر اصلی این ماتریس به صورت $$m_{ii}$$ خواهند بود. از طرفی ماتریس مربعی $$M$$ را متقارن می‌گویند اگر عناصر بالا و پایین قطر اصلی آن متناظرا یکسان باشند. به بیان دیگر عناصر یا درایه‌های آن دارای خاصیت زیر باشند.

$$\large m_{ij} = m_{ji}, \;\; i,j = 1 , 2, \ldots , n$$

به این ترتیب مشخص است که اگر $$M$$‌ ماتریس متقارن باشد، حتما با «ترانهاده» (Transpose) خودش برابر است. یعنی رابطه زیر برای ماتریس متقارن $$M$$ برقرار است. توجه داشته باشید که منظور از $$M^T$$‌ ترانهاده ماتریس $$M$$ است.

$$\large M^T=M$$

برای مثال ماتریس $$A$$ که در ادامه معرفی شده است یک ماتریس متقارن است.

$$\large {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$$

تعریف ماتریس معین مثبت

حال که با مفاهیم اولیه ماتریس‌ها آشنا شدیم، به معرفی ماتریس معین مثبت می‌پردازیم. ماتریس $$M$$ که متقارن و مربعی $$n \times n$$ است را معین مثبت می‌نامیم اگر برای هر بردار ستونی غیر صفر $$z$$ با $$n$$ سطر، حاصل $$z^TMz$$‌ یک مقدار عددی مثبت باشد. این موضوع را به بیان ریاضی به شکل زیر نشان می‌دهیم.

$$\large {\displaystyle M{\text{ positive definite}}\quad \iff \quad z^{\textsf {T}}Mz>0{\text{ for all }}z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$$

نکته: منظور از $$z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0}$$ بردارهای غیر صفر در فضای $$n$$ بُعدی است.

همانطور که در رابطه بالا مشاهده می‌کنید، در تعریف ماتریس معین مثبت، از یک بردار دلخواه $$z$$ استفاده شده است که همه عناصر آن صفر نیستند. در نتیجه این بردار دارای یک جهت است. وقتی که ماتریس $$M$$ را در بردار $$z$$ ضرب می‌کنیم، جهت بردار $$z$$ را تغییر داده‌ایم. واضح است که ماتریس $$M$$ روی بردار $$z$$ اثر کرده و با تبدیل صورت گرفته،‌ بردار حاصل یا $$Mz$$ تغییر جهت داده است.

اگر ماتریس $$M$$ معین مثبت باشد، می‌توان نتیجه گرفت که با ضرب این ماتریس در بردار $$z$$ میزان تغییر جهت در بردار حاصل، کمتر از $$\frac{\pi}{2}$$ است. به تصویر زیر دقت کنید. به این ترتیب به نظر می‌رسد جهت بردار عکس نخواهد شد. یعنی زاویه بین بردار $$z$$ و تبدیل یافته آن که با $$Mz$$ نشان داده می‌شود، کمتر از $$\frac{\pi}{2}$$ است. در نتیجه $$cos \theta$$ منفی نخواهد شد. به این ترتیب رابطه $$z^TMz$$ همیشه مثبت است.

$$\large z^TMz=|z|.|Mz|.com \theta>0$$

در اینجا منظور از $$|z|$$ و $$|Mz|$$ اندازه بردارهای حاصل است.

مثال ۱

«ماتریس همانی» (Identity Matrix) با بُعد n یک ماتریس معین مثبت است. در اینجا برای مثال از ماتریس همانی با بُعد $$n=2$$ استفاده می‌کنیم. فرض کنید ماتریس همانی با درجه ۲ را که به صورت $${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$ نوشته می‌شود، در اختیار داریم. باید نشان دهیم این ماتریس معین مثبت است. فرض کنید بردار $$z^T$$ را به صورت $$[a b]$$ باشد. در این صورت محاسبات زیر را برای نشان دادن معین مثبت بودن ماتریس $$I$$ انجام می‌دهیم.

$$\large {\displaystyle z^{\textsf {T}}Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}}$$

از آنجایی که طرف راست همیشه مثبت است (با فرض اینکه $$a$$ یا $$b$$ مثبت باشند) می‌توان ماتریس همانی را معین مثبت نامید.

مثال ۲

ماتریس مربعی و متقارن $$M$$ را به صورت زیر در نظر بگیرید. باید نشان دهیم که این ماتریس معین مثبت است.

$$\large {\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$$

براساس تعریف ارائه شده، محاسبات زیر را برای بردار $$z$$ که حداقل یک درایه غیر صفر داشته و به صورت $$[a b c ]^T$$ نشان داده می‌شود، انجام می‌دهیم.

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned}z^{\textsf {T}}Mz=\left(z^{\textsf {T}}M\right)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}}$$

در سطر آخر این تساوی‌ها مشاهده می‌کنید که همه جملات مثبت هستند در نتیجه ماتریس $$M$$ معین مثبت است. اگر $$a=b=c=0$$ باشد، جمله آخر صفر خواهد شد ولی این رابطه بیان می‌کند که بردار $$z$$ یک بردار صفر است که در تعریف ماتریس معین مثبت این شرط برای بردار $$z$$ وجود ندارد.

مثال ۳

اگر $$A$$ یک ماتریس معکوس‌پذیر باشد، آنگاه $$A^TA$$ یک ماتریس معین مثبت است. یعنی داریم:

$$\large {\displaystyle z^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}Az=(Az)^{\textsf {T}}(Az)=\|Az\|^{2}>0,}$$

طرف راست رابطه بنا به معکوس‌پذیری ماتریس $$A$$ صحیح است زیرا اگر $$A$$ معکوس‌پذیر باشد، برای هر بردار غیر صفر مثل $$z$$ رابطه زیر صادق می‌کند.

$$||z|| \neq 0 \rightarrow Iz=(A^{-1}A)z \rightarrow Az \neq 0$$

مثال ۴

مثبت یا منفی بودن درایه‌های ماتریس در معین مثبت بودن آن تاثیر گذار نیست. پس ممکن است ماتریس $$N$$ که همه درایه‌های آن مثبت است، ماتریس معین مثبت نباشد. برای نشان دادن این موضوع از ماتریس زیر که درایه‌های آن همگی مثبت هستند استفاده می‌کنیم.

$$\large {\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}},}$$

این ماتریس معین مثبت نیست، زیرا برای بردار $$z=[-1 1]^T$$ رابطه زیر را خواهیم داشت.

$$\large {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=-2<0.}$$

به این ترتیب با در نظر گرفتن یک مثال برای بردار $$z$$ و ماتریسی که همه درایه‌های آن مثبت بود نتوانستیم معین مثبت بودن ماتریس $$N$$ را نشان دهیم.

ماتریس نیمه معین مثبت

مطابق با آنچه در مورد ماتریس معین مثبت گفته شد، می‌توان «ماتریس نیمه معین مثبت» (Positive Semi-definite Matrix) را نیز تعریف کرد.

فیلم آموزش بهینه سازی غیر متمرکز + پیاده سازی در متلب در فرادرس

کلیک کنید

به بیان ریاضی ماتریس مربعی و متقارن $$M$$ را نیمه معین مثبت می‌گویند اگر رابطه زیر برای هر بردار غیر صفر $$z$$ برقرار باشد.

$$\large {\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad z^{\textsf {T}}Mz\geq 0{\text{ for all }}z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$$

نکته: گاهی به ماتریس نیمه معین مثبت، ماتریس «معین نامنفی» (Non-negative Definite) نیز می‌گویند.

ماتریس معین منفی و نیمه معین منفی

برای ماتریس مربعی $$M$$ می‌توان خاصیت «معین منفی» (Negative Definite) و «نیمه معین منفی» (Negative Semi-definite) را نیز مشخص کرد.

ماتریس مربعی و متقارن $$M$$ را ماتریس معین منفی می‌نامیم اگر برای هر بردار غیر صفر $$z$$ رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large {\displaystyle M{\text{ negative definite}}\quad \iff \quad z^{\textsf {T}}Mz<0{\text{ for all }}z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$$

و همچنین ماتریس $$M$$ را نیمه معین منفی می‌نامیم اگر خاصیت زیر برقرار باشد.

$$\large {\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad z^{\textsf {T}}Mz\leq 0{\text{ for all }}z\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی 2
• آموزش جبر خطی
• مجموعه آموزش‌های آمار و احتمالات
• بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد
• معکوس ماتریس یا ماتریس وارون – به زبان ساده

^^