فرم پتانسیلی معادلات ماکسول — به زبان ساده

در این مقاله در نظر داریم تا با زبانی ساده، به فرم پتانسیلی معادلات ماکسول بپردازیم. در مجموعه مقالات فرادرس با پتانسیل الکتریکی اسکالر $$\phi$$ و پتانسیل برداری مغناطیسی $$A$$ آشنا شدید. اجازه دهید تا این دو پتانسیل را به اختصار پتانسیل الکترومغناطیسی بنامیم.

فرم پتانسیلی معادلات ماکسول

فرم پتانسیلی معادلات ماکسول شامل دو معادله برحسب پتانسیل الکتریکی $$\phi$$ و پتانسیل مغناطیسی $$A$$ است. توسط این دو معادله، محاسبه میدان الکتریکی $$E$$ و مغناطیسی $$B$$ آسان‌تر می‌شود.

فیلم آموزش الکترومغناطیس ۱ – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

لازم به ذکر است که در مباحث پیشرفته فیزیک الکترومغناطیس، نظیر الکترودینامیک کوانتومی، غالباً از فرم پتانسیلی معادلات ماکسول استفاده می‌کنند. جهت آشنایی با روند استخراج معادلات پتانسیل الکترومغناطیسی یا همان فرم پتانسیلی معادلات ماکسول از روی فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول، روند زیر را طی می‌کنیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

۱. نوشتن فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول

در مقاله «فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول -- به زبان ساده» با نحوه استخراج فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول، از روی فرم انتگرالی آن‌ها آشنا شدیم. معادلات دیفرانسیلی مذکور در محیط خلأ (ضریب شکست ۱)، به قرار زیر هستند:

$$\large \triangledown . E = \frac{ \rho }{ \varepsilon_{ 0 } }$$
(1)

$$\large \triangledown . B = 0$$
(2)

$$\large \triangledown \times E = - \frac{ \partial B }{ \partial t }$$
(3)

$$\large \triangledown \times B = \mu_{ 0 } J + \mu_{ 0 }\varepsilon_{ 0 } \frac{ \partial E }{ \partial t }$$
(4)

همچنین دو رابطه زیر را برای ارتباط بین شدت و چگالی شار میدان داریم:

$$\large D = \varepsilon_{0}E$$
(5)

$$\large B = \mu_{0} H$$
(6)

در معادلات فوق $$D$$ جا‌به‌جایی الکتریکی، $$\rho$$ چگالی بار، $$B$$ چگالی شار مغناطیسی، $$H$$ شدت میدان مغناطیسی، $$E$$ شدت میدان الکتریکی و $$J$$ چگالی جریان الکتریکی است. $$\varepsilon _{0}$$ و $$\mu_{0}$$ نیز به ترتیب ضریب گذردهی الکتریکی خلأ و ضریب نفوذ پذیری مغناطیسی خلأ با مقدار ثابت زیر هستند:

$$\large \varepsilon _{0}\ = 8.854\ 187\ 817\ \times 10^{ - 1 2 }\ (\frac{ C^{ 2 } }{ N m^{ 2 } })$$
(7)

$$\large \mu_{ 0 } = 4 \pi \times 10^{ - 7 }\ (\frac{ H }{ m })$$
(8)

$$\large c = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \varepsilon_{ 0 } \mu_{ 0 } } }\cong 3 \times 10^{ 8 }\ (\frac{ m }{ s })$$
(9)

از معادلات فوق، در سایر بخش‌ها استفاده می‌کنیم.

۲. تعریف پتانسیل مغناطیسی

همان‌طور که در مقاله «قانون بیوساوار (Biot Savart law) — به زبان ساده» بیان کردیم، با استفاده از قانون گاوس در مغناطیس، می‌توانیم پارامتری موسوم به پتانسیل مغناطیسی تعریف کنیم.

همان‌طور که می‌دانید، قانون گاوس در مغناطیس، بیان می‌کند که تک قطبی مغناطیسی نمی‌تواند وجود داشته باشد. قانون مذکور به زبان ریاضی به شکل زیر است:

$$\large \triangledown . B = 0$$
(10)

از مباحث برداری در درس روش‌های ریاضی در فیزیک، می‌دانیم که دیورژانس کرل هر بردار دلخواهی برابر با صفر است. یعنی:

$$\large \triangledown . ( \triangledown \times \overrightarrow{F} ) = 0$$
(11)

در نتیجه با توجه به دو رابطه (10) و (11)، می‌توانیم میدان مغناطیسی $$B$$ را به صورت زیر بنویسیم:

$$\large \triangledown . B = 0 \Rightarrow \triangledown . ( \triangledown \times A ) = 0 \Rightarrow B = \triangledown \times A$$
(12)

۳. نوشتن قانون القای فارادی بر حسب پتانسیل مغناطیسی

همان‌طور که می‌دانید، قانون القای فارادی بیان می‌کند که تغییرات زمانی میدان مغناطیسی $$B$$ باعث القا یا ایجاد میدان الکتریکی $$E$$ می‌شود. فرم دیفرانسیلی قانون مذکور که همان معادله (3) در معادلات ماکسول است، به شکل زیر بیان می‌شود:

$$\large \triangledown \times E = - \frac{ \partial B }{ \partial t }$$
(13)

فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به تعریف پتانسیل مغناطیسی $$A$$ در رابطه (12)، معادله فوق به شکل زیر در می‌آید:

$$\large \triangledown \times E = - \frac{ \partial }{ \partial t } ( \triangledown \times A )$$
(14)

در نتیجه:

$$\large \Rightarrow \triangledown \times ( E + \frac{ \partial A }{ \partial t } ) = 0$$
(15)

از مباحث مقدماتی فیزیک الکترومغناطیس می‌دانیم که میدان الکتریکی $$E$$ می‌تواند به صورت منفی گرادیان پتانسیل اسکالر $$\phi$$ تعریف شود. یعنی:

$$\large E = - \triangledown \phi$$
(16)

به عبارت دیگر، رابطه (۱۶) بیان می‌کند که اگر کرل یک میدان برداری برابر با صفر باشد، میدان برداری را می‌توان به صورت گرادیان یک تابع اسکالر نشان داد.

با توجه به مطلب فوق، در رابطه (۱۵)، کرل یک میدان برداری برابر با صفر شده است. در نتیجه داریم عبارت داخل پرانتز رابطه (۱۵) را برابر با منفی گرادیان یک تابع اسکالر قرار می‌دهیم:

$$\large \Rightarrow E + \frac{ \partial A }{ \partial t } = - \triangledown \phi$$
(17)

$$\large \Rightarrow E = - \triangledown \phi -\frac{ \partial A }{ \partial t }$$
(18)

۴. نوشتن قانون گاوس بر حسب پتانسیل الکترومغناطیسی

در بخش قبل میدان الکتریکی $$E$$ بر حسب پتانسیل‌های الکترومغناطیسی (معادله ۱۸) به دست آمد. حال با توجه به معادله (1) که فرم دیفرانسیلی قانون گاوس است، داریم:

$$\large \triangledown . E = \frac{ \rho }{ \varepsilon_{ 0 } }$$
(19)

با جایگذاری رابطه (۱۸) داریم:

$$\large \Rightarrow \triangledown . ( - \triangledown \phi -\frac{ \partial A }{ \partial t } ) = \frac{ \rho }{ \varepsilon_{ 0 } }$$
(20)

$$\large \Rightarrow - \triangledown^{ 2 } \phi -\frac{ \partial }{ \partial t } ( \triangledown . A ) = \frac{ \rho }{ \varepsilon_{ 0 } }$$
(21)

حال معادله‌ای داریم که تماماً از جنس پتانسیل الکترومغناطیسی است.

۵. نوشتن قانون آمپر - ماکسول بر حسب پتانسیل الکترومغناطیسی

در مقاله «قانون آمپر — به زبان ساده» با  قانون آمپر و مدل تعمیم یافته‌ آن، موسوم به قانون آمپر - ماکسول آشنا شدید. بیان ریاضی قانون مذکور، معادله (4) بوده که در اینجا دو میدان مغناطیسی $$B$$ و الکتریکی $$E$$ را برحسب پتانسیل‌های الکترومغناطیسی در آن جایگذاری می‌کنیم. یعنی:

$$\large \triangledown \times B = \mu_{ 0 } J + \mu_{ 0 }\varepsilon_{ 0 } \frac{ \partial E }{ \partial t }$$
(22)

$$\large \Rightarrow \triangledown \times ( \triangledown \times A ) = \mu_{ 0 } J + \mu_{ 0 }\varepsilon_{ 0 } \frac{ \partial }{ \partial t } ( - \triangledown \phi -\frac{ \partial A }{ \partial t } )$$
(23)

با توجه به رابطه برداری زیر ($$F$$ بردار دلخواه):

$$\large \triangledown \times ( \triangledown \times F ) = \triangledown ( \triangledown . F ) - \triangledown^{ 2 } F$$
(24)

نتیجه می‌شود:

$$\large \triangledown \times ( \triangledown \times A ) = \triangledown ( \triangledown . A ) - \triangledown^{ 2 } A = \mu_{ 0 } J - \mu_{ 0 } \varepsilon_{ 0 } \triangledown ( \frac{ \partial \phi }{ \partial t } ) - \mu_{ 0 } \varepsilon_{ 0 } \frac{ \partial^{ 2 } A }{ \partial t^{ 2 } }$$
(25)

با مرتب کردن رابطه فوق داریم:

$$\large \left(\mu _{{0}} \epsilon _{{0}} {\frac {\partial ^{{2}}{ {A}}}{\partial t^{{2}}}} - \nabla ^{{2}}{{A}}\right)+\nabla \left(\nabla \cdot {{A}}+\mu _{{0}}\epsilon _{{0}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\mu _{{0}}{{J}}$$
(26)

تا به این نقطه، توسط دو قانون گاوس و آمپر - ماکسول، توانستیم معادلات چهارگانه ماکسول را به دو معادله برحسب پتانسیل الکترومغناطیسی کاهش دهیم. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، تعداد مولفه‌ها نیز به ۴ مولفه (۱ مولفه پتانسیل اسکالر و ۳ مولفه ($$x,y,z$$) برای پتانسیل برداری) کاهش پیدا کرده است.

۶. استفاده از پیمانه کولن

پیش‌تر مشاهده کردید که کرل یک پتانسیل برداری را برابر با میدان مغناطیسی $$B$$ در نظر گرفتیم. از آنجایی که پتانسیل برداری تعریف شده منحصر به فرد نیست، می‌توانیم به طور دلخواه دیورژانس آن را بدون آنکه تاثیری بر میدان مغناطیسی $$B$$ داشته باشد، صفر  یا مقداری دلخواه در نظر بگیریم. در صورتی که دیورژانس پتانسیل برداری $$A$$ را برابر با صفر در نظر بگیریم، از پیمانه کولن (Coulomb Gauge) استفاده کرده‌ایم.

در واقع ما پتانسیلی را انتخاب می‌کنیم که برایمان مناسب‌تر باشد و راه حل ریاضی را کوتاه کند. پیمانه کولن به صورت زیر است:

$$\large \triangledown . A = 0$$
(27)

با اعمال رابطه فوق به دو معادله (21) و (26) نتیجه می‌شود:

$$\large \triangledown^{ 2 } \phi = - \frac{ \rho }{ \varepsilon_{ 0 } }$$
(28)

$$\large \left( \mu_{{0}} \epsilon_{{0}}{\frac {\partial ^{{2}}{ {A} }}{ \partial t^{{2}}} } - \nabla ^{{2}}{ {A}}\right)+\mu _{{0}}\epsilon _{{0}}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right) = \mu _{{0}}{ {J}}$$
(29)

همان‌طور که در بالا ملاحظه کردید، پیمانه کولن، معادله پتانسیل الکترومغناطیسی (21) را به معادله پواسون کاهش می‌دهد که امری مفید است. اما معادله پتانسیل برداری (29) همچنان دشوار به نظر می‌رسد. بنابراین پیمانه کولن، تبدیلی مناسب جهت به دست آوردن فرم پتانسیلی معادلات ماکسول نیست.

۷. استفاده از پیمانه لورنتس

حال پیمانه مناسب‌تر لورنتس (Lorenz gauge) را به کار می‌بریم. پیمانه لورنتس نیز به شکل زیر است:

$$\large \triangledown . A = - \mu_{ 0 } \varepsilon_{ 0 } \frac{ \partial \phi }{ \partial t }$$
(29)

با اعمال پیمانه لورنتس به دو معادله (21) و (26) نتیجه می‌شود:

$$\large \mu _{{0}} \epsilon _{{0}}{\frac {\partial ^{{2}}\phi }{\partial t^{{2}}}} - \nabla ^{{2}}\phi = {\frac {\rho }{\epsilon _{{0}}}}$$
(30)

$$\large \mu _{{0}}\epsilon _{{0}}{\frac {\partial ^{{2}}{\mathbf {A}}}{\partial t^{{2}}}}-\nabla ^{{2}}{ {A}} = \mu _{{0}}{ {J}}$$
(31)

همان‌طور که در بالا ملاحظه کردید، دو معاله (21) و (26) به دو معادله مجزا، یکی برای پتانسیل اسکالر $$\phi$$ و دیگری برای پتانسیل برداری $$A$$ تفکیک شدند. دو معادله فوق، شبیه به معادله موج همگن هستند.

به عبارت دیگر، فرم پتانسیلی معادلات ماکسول به صورت دو معادله (30) و (31) است.