ریاضی، علوم پایه ۱۳۴۱ بازدید

فرمول محیط متوازی الاضلاع برابر «عرض × 2 + طول × 2» یا «P=2a+2b» است. فرمول‌های دیگری نیز برای محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع وجود دارند که بر اساس اندازه ارتفاع و قطر نوشته می‌شوند. در این آموزش، به معرفی فرمول محیط متوازی الاضلاع و روش‌های مختلف محاسبه محیط به همراه حل چند مثال می‌پردازیم.

محیط متوازی الاضلاع چیست؟

به اندازه دور متوازی الاضلاع، محیط آن می‌گویند. به عبارت دیگر، محیط متوازی الاضلاع، مسافت روی ضلع‌های آن است.

رسم محیط متوازی الاضلاع

محیط متوازی الاضلاع چگونه تعیین می‌شود؟

محیط متوازی الاضلاع با محاسبه حاصل‌جمع ضلع‌های آن تعیین می‌شود. متوازی الاضلاع، چهار ضلع دارد. بنابراین، محیط این شکل هندسی از رابطه زیر به دست می‌آید:

ضلع چهارم + ضلع سوم + ضلع دوم + ضلع اول = محیط متوازی الاضلاع

ضلع‌های متوازی الاضلاع

مثال 1: محاسبه اندازه دور متوازی الاضلاع

اندازه هر یک از ضلع‌های متوازی‌الاضلاع زیر، در کنار آن نمایش داده شده است. محیط متوازی‌الاضلاع را حساب کنید.

محیط متوازی الاضلاع با جمع ضلع ها

اندازه محیط متوازی‌الاضلاع بالا، از جمع چهار ضلع آن به دست می‌آید:

ضلع چهارم + ضلع سوم + ضلع دوم + ضلع اول = محیط متوازی الاضلاع

۲۶ + ۵۰ + ۲۶ + ۵۰ = محیط متوازی الاضلاع

۱۵۲ = محیط متوازی الاضلاع

در نتیجه، محیط متوازی‌الاضلاع برابر 152 واحد طول است.

فرمول محیط متوازی الاضلاع چیست؟

در متوازی الاضلاع، ضلع‌های مقابل با یکدیگر موازی و هم‌اندازه هستند. با توجه به این نکته، فرمول محیط متوازی الاضلاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

(ضلع دوم × 2) + (ضلع اول × 2) = محیط متوازی الاضلاع

به ضلع‌های بزرگ متوازی‌الاضلاع، «طول» و به ضلع‌های کوچک آن، «عرض» می‌گویند. فرمول زیر، یکی دیگر از روش‌های نوشتن فرمول محیط متوازی الاضلاع است:

(عرض + طول) × 2 = محیط متوازی الاضلاع

به طور کلی می‌توانیم فرمول محیط متوازی الاضلاع را به صورت زیر بنویسیم:

(جمع دو ضلع مجاور) × 2 = محیط متوازی الاضلاع

مثال 2: محاسبه محیط متوازی الاضلاع با فرمول

اندازه دو ضلع مجاور در یک متوازی‌الاضلع برابر 21 و 24 سانتی‌متر است. محیط متوازی‌الاضلاع را به دست بیاورید.

برای حل این مسئله، فرمول محیط متوازی‌الاضلاع را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط متوازی‌الاضلاع

(۲۴ × 2) + (۲۱ × 2) = محیط متوازی‌الاضلاع

(۴۸) + (۴۲) = محیط متوازی‌الاضلاع

۹۰ = محیط متوازی‌الاضلاع

در نتیجه، محیط متوازی‌الاضلاع برابر ۹۰ سانتی‌متر است.

محیط متوازی الاضلاع به صورت جبری

متوازی‌الاضلاع زیر را در نظر بگیرید. اندازه ضلع‌های این متوازی‌الاضلاع با حروف انگلیسی نمایش داده شده است.

محیط متوازی‌الاضلاع بالا از فرمول زیر به دست می‌آید:

(عرض × 2) + (طول × 2) = محیط متوازی الاضلاع

2a + ۲b = محیط متوازی الاضلاع

یا

(جمع دو ضلع مجاور) × 2 = محیط متوازی الاضلاع

(a + b) × 2 = محیط متوازی الاضلاع

اگر به جای عبارت «محیط متوازی الاضلاع»، از حرف P (ابتدای کلمه Perimeter به معنای محیط) را قرار دهیم، فرمول‌های بالا به شکل زیر در می‌آیند:

$$
P = ۲a + ۲b
$$

$$
P = ۲ (a + b)
$$

فرمول‌های بالا، محیط متوازی الاضلاع را با استفاده از حروف، اعداد و عمل‌های ریاضی نمایش می‌دهند. این فرمول‌ها، عبارت‌های جبری محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع هستند.

مثال 3: محاسبه محیط متوازی الاضلاع به صورت جبری

تصویر زیر، یک مستطیل به طول 15/3 و عرض 9/5 را نمایش می‌دهد. محیط شکل را  به صورت جبری محاسبه کنید.

محیط مستطیلی به طول 15/3 و عرض 9/5، مثال فرمول محیط متوازی الاضلاع

مستطیل، متوازی‌الاضلاعی است که تمام ضلع‌های آن بر هم عمود هستند. از این‌رو، برای محاسبه محیط آن می‌توانیم از فرمول جبری محیط متوازی‌الاضلاع استفاده کنیم:

$$
P = ۲ (a + b)
$$

  • P: محیط مستطیل
  • a: طول مستطیل برابر 15/3
  • b: عرض مستطیل برابر 9/5

$$
P = ۲ \times (۱۵/۳ + ۹/۵)
$$

$$
P = ۲ \times (۲۴/۸)
$$

$$
P = ۴۹/۶
$$

در نتیجه، محیط متوازی الاضلاع برابر ۴۹/۶ واحد طول است.

انواع فرمول های محیط متوازی الاضلاع

فرمول اصلی محیط متوازی الاضلاع، همان فرمولی است که در بخش‌های قبلی معرفی کردیم. با این وجود، اگر هر دو اندازه ضلع‌های مجاور معلوم نباشند، امکان محاسبه محیط با استفاده از اندازه قطرها، ارتفاع و زاویه نیز وجود دارد. جدول زیر، فرمول های محیط متوازی الاضلاع را بر اساس اندازه‌های معلوم نمایش می‌دهد.

اندازه معلوم متوازی الاضلاع فرمول محیط
دو ضلع مجاور $$
P = ۲ (a + b)
$$
دو قطر و یک ضلع $$
P = ۲a +\sqrt{۲x^۲+۲y^۲-۴a^۲}
$$
قاعده (یک ضلع)، ارتفاع نظیر و یک زاویه $$
P =۲a + \frac {۲h} {\sin {\theta}}
$$
قاعده (یک ضلع)، ارتفاع نظیر و مساحت $$
P=2 a+2 \frac{A}{h}
$$

مثال 4: محاسبه محیط متوازی الاضلاع با قطر

اندازه قطرهای یک متوازی‌الاضلاع برابر 10 و 12 متر است. اگر اندازه یکی ضلع‌های آن برابر 8 متر باشد، محیط آن چقدر خواهد بود؟

با توجه اندازه‌های معلوم، محیط متوازی‌الاضلاع با استفاده از فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$
P = ۲a +\sqrt{۲x^۲+۲y^۲-۴a^۲}
$$

  • P: محیط متوازی‌الاضلاع
  • a: یکی از ضلع‌ها برابر 8 متر
  • x: یکی از قطرها برابر 10 متر
  • y: قطر دیگر برابر 12 متر

$$
P = (۲ \times ۸) +\sqrt{ (۲\times ۱۰^۲)+ (۲\times ۱۲^۲) – (۴ \times ۸^۲) }
$$

$$
P = (۱۶) +\sqrt{ (۲\times ۱۰۰)+ (۲\times ۱۴۴) – (۴ \times ۶۴) }
$$

$$
P = (۱۶) +\sqrt{ (۲۰۰)+ (۲۸۸) – (۲۵۶) }
$$

$$
P = (۱۶) +\sqrt{ ۳۲۳ }
$$

$$
P = ۱۶ +۱۵/۲۳
$$

$$
P = ۳۱/۲۳
$$

در نتیجه، محیط متوازی‌الاضلاع برابر ۳۱/۲۳ متر است.

مثال 5: محاسبه محیط متوازی الاضلاع با ارتفاع

متوازی‌الاضلاعی  ضلع 15 و ارتفاع نظیر 20 را در نظر بگیرید. با فرض وجود زاویه 30 درجه بین ضلع‌های مجاور، محیط متوازی‌الاضلاع را حساب کنید.

اگر ارتفاع، ضلع و زاویه بین اضلاع یک متوازی‌الاضلاع را داشته باشیم، محیط آن از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
P =۲a + \frac {۲h} {\sin {\theta}}
$$

  • P: محیط متوازی‌الاضلاع
  • a: یکی از ضلع‌ها برابر 15
  • h: ارتفاع نظیر ضلع a
  • θ: زاویه بین اضلاع مجاور برابر 30 درجه

$$
P = (۲ \times ۱۵) + \frac {۲ \times ۲۰} {\sin {۳۰^{\circ}}}
$$

سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر ۰/۵ است:

$$
P = (۳۰) + \frac {۴۰} {۰/۵}
$$

$$
P = ۳۰ + ۸۰
$$

$$
P = ۱۱۰
$$

در نتیجه، محیط متوازی‌الاضلاع برابر ۱۱۰ واحد طول است.

سوالات متداول در رابطه با فرمول محیط متوازی الاضلاع

در این بخش، به برخی از سوالات متداول در رابطه با فرمول محیط متوازی‌الاضلاع به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

محیط متوازی‌الاضلاع چیست؟

محیط متوازی‌الاضلاع، جمع ضلع‌های آن است.

محیط متوازی‌الاضلاع چگونه بدست می‌آید؟

محیط متواز‌ی‌الاضلاع از جمع دو ضلع مجاور ضربدر دو به دست می‌آید.

فرمول محیط متوازی‌الاضلاع چیست؟

(ضلع دوم × 2) + (ضلع اول × 2)، فرمول اصلی محیط متوازی‌الاضلاع است.

عبارت جبری محیط متوازی‌الاضلاع چیست؟

عبارت جبری فرمول محیط متوازی‌الاضلاع، P=2a+۲b است.

آیا امکان محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع با قطر وجود دارد؟

بله. در صورت مشخص بودن اندازه دو قطر و یک ضلع متوازی‌الاضلاع، می‌توان محیط آن را حساب کرد.

آیا امکان محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع با ارتفاع وجود دارد؟

بله. اگر اندازه یک زاویه، یک ضلع و ارتفاع نظیر آن ضلع را داشته باشیم، می‌توانیم محیط متوازی‌الاضلاع را به دست بیاوریم.

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت متوازی الاضلاع — هر آنچه باید بدانید» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر