عملیات سطری مقدماتی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۲۰۱۷۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۰ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۴ دقیقه
دانلود PDF مقاله
عملیات سطری مقدماتی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)عملیات سطری مقدماتی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

عملیات سطری مقدماتی، مجموعه عمل‌هایی است که روی سطرهای یک ماتریس و برای تبدیل آن به یک ماتریس دیگر به فرم مورد نظر انجام می‌شود. برای مثال، در مواردی که لازم است یک ماتریس را به فرم مثلثی، قطری یا بلوکی تبدیل کنیم، می‌توانیم از عملیات سطری مقدماتی بهره ببریم. سه عمل سطری مقدماتی عبارتند از: جابه‌جایی دو سطر، ضرب عدد حقیقی در یک سطر و جمع یا تفریق مضربی از یک سطر با سطر دیگر.

997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

در ادامه، توضیحات و مثال‌هایی را درباره اعمال سطری مقدماتی ارائه خواهیم کرد.

عملیات سطری مقدماتی

ماتریس AA را با ابعاد m×nm \times n در نظر بگیرید. سه عمل زیر روی سطرهای این ماتریس عملیات سطری مقدماتی (Elementary Row Operations) نامیده می‌شوند:

  1. تعویض دو سطر: عمل RiRjR_i \leftrightarrow R_j دو سطر ii  و jj را تعویض می‌کند.
  2. ضرب یک عدد غیرصفر در یک سطر: عمل tRitR_i عدد غیرصفر tt را در همه درایه‌های سطر iiاُم ضرب می‌کند.
  3. جمع مضرب یک سطر با سطر دیگر: عمل Rj+tRiR_j+tR_i، tt برابر سطر ii را با سطر jj جمع می‌کند.

لازم است چند تعریف زیر را نیز بدانیم:

  • دو ماتریس را معادل سطری (Row Equivalent) می‌گوییم، اگر با تعدادی عمل سطری مقدماتی بتوان یکی را از دیگری به دست آورد.
  • فرم کاهش یافته سطری پلکانی را که معادل سطری با AA است، با rref(A)\text{rref}(A) نشان می‌دهیم.
  • رتبه (Rank) ماتریس AA تعداد سطرهای rref(A)\text{rref}(A) است.
یک پسر نوجوان در حال فکر کردن با پس زمینه معادلات ریاضی (تصویر تزئینی مطلب سطری مقدماتی)

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره عملیات سطری مقدماتی بیان می‌کنیم.

مثال ۱

برای هر یک از ماتریس‌های زیر، یک ماتریس معادل سطری پیدا کنید که به فرم کاهش یافته باشد.

الف) A=[1322]\large A = \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ - 2 & 2 \end {bmatrix}

حل الف: رتبه ماتریس AA برابر با ۲ است که می‌توان آن را به صورت زیر تبدیل کرد:

[1322]R2+2R1[1308]18R2[1301]R13R2[1001].\large \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 + 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } {8 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – 3 R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} .

از آنجایی که ماتریس کاهش یافته سطری دو سطر غیرصفر دارد، رتبه ماتریس AA برابر با ۲ است.

ب) B=[262328]\large B = \begin {bmatrix} 2 & 6 & - 2 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix}

حل ب: رتبه ماتریس BB برابر با ۲ است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

[262328]12R1[131328]R23R1[13101111]111R2[131011]R13R2[102011]\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 2 & 6 & - 2 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & - 1 1 & 1 1 \end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow{\frac{-1}{11} R_2 } \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – 3 R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end {bmatrix} \end {align*}

ج) C=[224412612]\large C = \begin {bmatrix} 2 & - 2 & 4 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix}

حل ج: رتبه ماتریس CC برابر با ۲ است:

[224412612]12R1[112412612]R36R1R24R1[11205100510]R3R2[1120510000]15R2[112012000]R1+R2[100012000].\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 2 & - 2 & 4 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 – 6 R _ 1 ] { R _ 2 – 4 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 0 \\ 0 & 5 & - 1 0 \end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow { R _ 3 – R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 5 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 + R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} . \end {align*}

د) D=[231]\large D = \begin {bmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix}

حل د: رتبه ماتریس DD برابر با ۱ است:

[231]12R1[131]R23R1,R3R1[100].\large \begin {bmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { - 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 , R _ 3 – R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} .

ه) E=[231]\large E = \begin {bmatrix} - 2 & 3 & 1 \end {bmatrix}

حل ه: رتبه ماتریس EE‌ برابر با ۱ است:

[231]12R1[13212].\large \begin {bmatrix} - 2 & 3 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { - 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & \frac { - 3 } { 2 } & \frac { - 1 } { 2 } \end {bmatrix} .

دانش آموز در حال نوشتن در کلاس (تصویر تزئینی مطلب سطری مقدماتی)

مثال ۲

فرض کنید AA  و II دو ماتریس 2×22 \times 2 به صورت زیر باشند:

A=[1bcd],I=[1001].\large A = \begin {bmatrix} 1 & b \\ c & d \end {bmatrix} , \qquad I = \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} .

ثابت کنید اگر dcb0d-cb \neq 0، آنگاه ماتریس AA معادل سطری ماتریس II است.

حل: فرض می‌کنیم bcd0b-cd \neq 0. آنگاه می‌توانیم ماتریس II را از ماتریس AA‌با دنبال کردن عملیات سطری مقدماتی به دست آوریم.

ابتدا، R2cR1R_2-cR_1 را اعمال می‌کنیم و داریم:

A=[1bcd]R2cR1[1b0dcb].\large \begin {align*} A & = \begin {bmatrix} 1 & b \\ c & d \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 -c R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & d - c b \end {bmatrix}. \end {align*}

در گام بعدی 1dcbR2\frac{1}{d-cb}R_2 را انجام می‌دهیم:

[1b0dcb]1dcbR2[1b01].\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & d - c b \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { d - c b } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end {bmatrix}. \end {align*}

در اینجا از فرض dcb0d-cb \neq 0 استفاده می‌کنیم، زیرا dcbd - c b در مخرج است. مرحله آخر R1bR2R_1-bR_2 است:

[1b01]R1bR2[1001]=I.\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - b R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end {bmatrix} = I . \end {align*}

به طور خلاصه، با دنباله عملیات سطری مقدماتی زیر از ماتریس AA به ماتریس II می‌رسیم:

A=[1bcd]R2cR1[1b0dcb]1dcbR2[1b01]R1bR2[1001]=I,\large \begin {align*} A & = \begin {bmatrix} 1 & b \\ c & d \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 - c R _1 } \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & d - c b \end {bmatrix} \\[6pt] & \xrightarrow { \frac { 1 } { d - c b } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - b R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} = I , \end {align*}

در نتیجه، دو ماتریس AA و II هم‌ارز یا معادل سطری هستند.

مثال ۳

رتبه ماتریس حقیقی زیر را به دست آورید که در آن، aa یک عدد حقیقی است:

[a12111111a],\large \begin {bmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 - a \end {bmatrix} ,

حل: رتبه ماتریس، برابر است با تعداد سطرهای غیرصفر یک ماتریس کاهش یافته سطری پلکانی هم‌ارز با ماتریس داده شده. از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم:

[a12111111a]R1R2[111a12111a]R3+R1R2aR1[11101a2a022a]R2R3[111022a01a2a]R31a2R2[111022a00(2a)(a+1)/2].\large \begin {align*} & \begin {bmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 - a \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 1 - a \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 +R _ 1 ] { R _ 2 - a R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1- a & 2 - a \\ 0 & 2 & 2 - a \end {bmatrix} \\[8pt] & \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 - a \\ 0 & 1 - a & 2 - a \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 3 - \frac { 1 - a } { 2 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 - a \\ 0 & 0 & ( 2 - a ) ( a + 1 ) / 2 \end {bmatrix}. \end {align*}

ماتریس آخر، یک ماتریس پلکانی است. بنابراین، اگر a1,2a \neq -1, 2، آنگاه درایه (3,3)(3, 3) ماتریس آخر صفر نیست. در نتیجه، می‌بینیم که وقتی a1,2a \neq -1, 2، رتبه برابر با ۳ است.

از سوی دیگر،‌ وقتی a=1a=-1 یا a=2a = 2، سطر سوم یک سطر صفر خواهد بود و در نتیجه رتبه برابر با ۲ است.

دو دانش آموز در حال درس خواندن در کتابخانه

مثال 4

برای ماتریس AA با اندازه m×nm \times n، ماتریس را در صورت پلکانی سطری تحویل شده را با rref(A)\mathrm{rref}(A) نشان می‌دهیم که هم‌ارز سطری با AA است. برای مثال، ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

A=[111022]\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end {bmatrix}

در نتیجه، خواهیم داشت:

A=[111022]12R2[111011]R1R2[100011]\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end {bmatrix}

و ماتریس آخر به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است.

بنابراین:

rref(A)=[100011].\large \mathrm { r r e f} ( A ) = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end {bmatrix}.

مثالی را برای ماتریس‌های AA‌ و BB به گونه‌ای پیدا کنید که:

rref(AB)rref(A)rref(B).\large \mathrm { r r e f } ( A B ) \neq \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f } (B ) .

حل: ماتریس‌های زیر را در نظر بگیرید:

A=[0100]          B=[0010].\large A = \begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} \text{, } \; \; \; \; \; B = \begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end {bmatrix} .

ماتریس AA، خود به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است. بنابراین، rref(A)=A\mathrm{rref}(A)=A.

با استفاد از عملیات سطری مقدماتی، داریم:

B=[0010]R1R2[1000].\large B = \begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} .

از آنجایی که ماتریس آخر به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است، می‌توان نوشت:

rref(B)=[1000].\large \mathrm { r r e f } ( B ) = \begin {bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end {bmatrix} .

بنابراین، خواهیم داشت:

rref(A)rref(B)=[0100][1000]=[0000].\large \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f }( B ) = \begin {bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end {bmatrix} .

حاصل‌ضرب AA و BB‌ برابر است با:

AB=[0100][0010]=[1000].\large A B = \begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} .

در نتیجه، می‌توان نوشت:

rref(AB)=[1000]\large \mathrm {rref} ( A B ) = \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix}

در نهایت، نامساوی مورد نظر اثبات می‌شود:

rref(AB)=[1000][0000]=rref(A)rref(B)\large \mathrm { r r e f } ( A B ) = \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {bmatrix} \neq \begin {bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end {bmatrix} = \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f } ( B )

فیلم‌ های آموزش عملیات سطری مقدماتی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی عملیات سطری مقدماتی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از عملیات سطری مقدماتی

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۷۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Problems in Mathematics
دانلود PDF مقاله
۶ دیدگاه برای «عملیات سطری مقدماتی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)»

سلام اعمال سطری مقدماتی از هم مستقل هستند ؟

سلام استاد یه سوال داشتم میشه به جای اینکه n معادله n مجهول رو با روش ماتریس معکوس حل کرد ماتریس ضرایب رو تبدیل به ماتریس یکه کرد و… میشه یه توضیح مختصر یا یک لینک بدید استفاده کنیم با تشکر

با سلام؛

برای آشنایی با حل دستگاه معادلات پیشنهاد می‌کنیم مطلب زیر را از مجله فرادرس مطالعه کنید:

دستگاه معادلات خطی و حل آن — به زبان ساده

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

عالی. مرسی از آموزش بسیار خوبتون.

سلام، رتبه ماتریس C سه هستش نه 2.

سلام.
این مثال مجدداً بررسی شد و رتبه ماتریس C برابر با ۲ است. برای بررسی صحت این موضوع می‌توانید از نرم‌افزارهایی مانند متلب نیز کمک بگیرید.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *