دینامیک چیست؟ – به زبان ساده

بررسی وضعیت حرکت اجسام یا ذرات موضوع اصلی شاخه‌ای از علم به نام «مکانیک» (Mechanics) است. بسته به اینکه جسم در حالت سکون و تعادل است یا نه، مکانیک به دو شاخه با نام‌های «دینامیک» (Dynamics) و «استاتیک» (Statics) تقسیم‌‌بندی می‌شود. معادلات دینامیک را می‌توان به دو بخش «سینماتیک» (Kinematics) یا حرکت‌شناسی و «سینتیک» (Kinetics) تفکیک کرد. سینماتیک بررسی حرکت اجسام یا ذرات بدون در نظر گرفتن منشا حرکت یا نیرو است. اما اگر بخواهیم حرکت را با در نظر گرفتن علت آن بررسی کنیم، لازم است بدانیم سینتیک در دینامیک چیست.

به این ترتیب معادلات سینماتیک مستقل از نیرو و گشتاور و شامل کمیت‌هایی مانند جابجایی، زمان، سرعت و شتاب هستند، در حالی که در معادلات سینتیکی شناخت انواع نیروها و گشتاورها مهم است. در این نوشته از مجله فرادرس ابتدا به‌صورت کلی توضیح می‌دهیم که موضوع دینامیک چیست و در بررسی حرکت اجسام از چه کمیت‌ها و معادلاتی استفاده می‌کند. سپس با کلیات مکانیک آشنا می‌شویم و یاد می‌گیریم که تفاوت‌ کلی استاتیک با دینامیک چیست. در ادامه به توضیح دو زیرشاخه اصلی دینامیک یعنی سینماتیک و سینتیک خواهیم پرداخت، معادلات سینماتیک خطی و غیرخطی و قوانین حاکم بر معادلات سینتیکی مانند قوانین حرکت نیوتن را بیان می‌کنیم و در انتها با حل چند مثال نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان از این فرمول‌ها در بررسی حرکت اجسام در موقعیت‌های مختلف استفاده کرد.

دینامیک چیست؟

دینامیک علم مطالعه اجسام در حال حرکت است. اگر به جسمی نیرو یا گشتاوری وارد نشود، این جسم در تعادل استاتیکی است. اما اگر مجموع یا برآیند نیروها و گشتاورهای وارد بر جسم صفر نشود، حرکت آن با معادلات دینامیکی بررسی خواهد شد و حرکت چنین جسمی احتمالا دارای شتاب است. دینامیک بر پایه قانون دوم نیوتن و در قالب دو زیرشاخه به نام سینماتیک و سینتیک مطالعه می‌شود. سینماتیک یا حرکت‌شناسی بررسی حرکت جسم بدون در نظر گرفتن علت آن یعنی نیروها و گشتاورها است. اما در مطالعه سینتیک علت حرکت مهم است و مجموع نیروها و گشتاورهای وارد بر جسم بررسی می‌شوند.

جدول زیر نشان می‌دهد کمیت‌های مورد بررسی در زیرشاخه‌های دینامیک چیست:

همچنین معادلات دینامیکی با توجه به خطی یا غیرخطی بودن حرکت به‌صورت زیر تقسیم‌بندی می‌شوند:

دقت کنید در این نوشته معادلات دینامیک را بر اساس کمیت‌هایی مانند نیرو، تکانه و گشتاور می‌نویسیم. اما این امکان وجود دارد که دینامیک را با مفاهیمی مانند کار و انرژی نیز توصیف کنند. همان‌طور که در جدول زیر ملاحظه می‌کنید، دینامیک زیرمجموعه‌ای از علم مکانیک محسوب می‌شود و با استاتیک متفاوت است. بنابراین بهتر است یادگیری دینامیک را از مکانیک در بخش بعد شروع کنیم.

مکانیک چیست و چه بخش‌هایی دارد؟

برای اینکه بهتر متوجه شویم دینامیک چیست و چه مباحثی را پوشش می‌دهد، ابتدا باید مکانیک را بشناسیم. در مکانیک به موضوعاتی مانند نیروها، حرکت و تمایل اجسام برای حرکت پرداخته می‌شود تا با درک این مفاهیم بتوان به طراحی انواع ماشین‌ها و ساختارها با عملکرد مشخص پرداخت.

این شاخه از علم بر اساس قوانین پایستگی در فیزیک بنا شده است و کمیت‌هایی مانند جابجایی ($$\vec{x}$$)، سرعت ($$\vec{v}$$)، شتاب ($$\vec{a}$$)، تکانه ($$\vec{p}$$)، نیرو ($$\vec{F}$$) و گشتاور ($$\vec{\tau}$$) را به همراه کمیت‌های متناظر در حرکت زاویه‌ای توصیف می‌کند.

همچنین بررسی تغییر شکل‌ اجسام بر اثر تنش و کرنش، از جمله مباحث دیگری است که در مکانیک مطالعه می‌شود. همان‌طور که اشاره شد، مکانیک به دو بخش اصلی تقسیم می‌شود که عبارت‌اند از:

• استاتیک
• دینامیک

در مکانیک سرعت نوعی تندی همراه با جهت است که از تقسیم کردن جابجایی بر یک بازه زمانی مشخص حاصل می‌شود. به همین صورت، شتاب نیز تغییرات سرعت در گذر زمان است و تکانه برابر می‌شود با حاصل‌ضرب سرعت در خاصیتی از ماده به نام جرم. بنابراین جرم یک خاصیت ذاتی از ماده است و نباید با وزن آن اشتباه گرفته شود. همچنین نیرو یک برهم‌کنش در نظر گرفته می‌شود که موجب حرکت یا تغییر جهت جسم خواهد شد. با اینکه از نظر تعاریف و مفاهیم بین مکانیک و فیزیک مکانیک شباهت‌های زیادی وجود دارد، اما در مکانیک تکنیک‌های خاصی جهت آشنایی با فرآیند‌های طراحی معرفی می‌شوند.

مراحل حل مسائل مکانیک چیست؟

بطور کلی مراحل بررسی و حل یک مسئله مکانیکی را به شکل زیر در نظر می‌گیریم:

1. تعیین سیستم مختصات مناسب
2. رسم نمودار شامل تمام نیروها و تکانه‌‌ها
3. تجزیه نیروها با توجه به نوع مسئله
4. نوشتن معادلات نیرو و تکانه
5. نوشتن معادلات استاتیک یا دینامیک با توجه به نوع مسئله

بنابراین در آخرین مرحله از حل یک مسئله مکانیکی، لازم است به معادلات دو شاخه مهم مکانیک، یعنی استاتیک و دینامیک مسلط باشیم. به همین علت، در ادامه ابتدا به‌صورت مختصر استاتیک را توضیح می‌دهیم. سپس به بررسی موضوع اصلی این نوشته از مجله فرادرس یعنی «دینامیک چیست؟» خواهیم پرداخت. همچنین در بخش سینتیک توضیح می‌دهیم که منظور ما از رسم نمودار نیروها و تجزیه آن‌ها چیست.

مسیر یادگیری دینامیک در مهندسی با فرادرس

تا اینجا آموختیم که دینامیک چیست و چه تفاوتی با استاتیک دارد. دینامیک و استاتیک از جمله دروس مهم و پایه‌ای در اغلب رشته‌های مهندسی هستند. در این آموزش تا حدی با کلیات دینامیک آشنا می‌شویم. اما اگر علاقه‌مند هستید با جزئیات بیشتر و در قالب مشاهده فیلم، یادگیری خود را تکمیل کنید و یا در این زمینه مسائل متنوع و گسترده‌تری حل کنید، پیشنهاد ما این است که از دوره‌‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس به شرح زیر استفاده کنید:

1. مجموعه آموزش دروس مهندسی مکانیک – جامع و کاربردی فرادرس
2. فیلم آموزش رایگان سینتیک اجسام صلب در صفحه فرادرس
3. فیلم آموزش رایگان سینتیک سیستم ذرات در دینامیک مهندسی فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان روش حل گشتاور نیرو فرادرس
5. فیلم آموزش دینامیک مهندسی – مرور و حل سوالات فرادرس
6. فیلم آموزش حل مساله در دینامیک مهندسی فرادرس
7. فیلم آموزش دینامیک – مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس
8. فیلم آموزش دینامیک پیشرفته - مرور و حل تمرین فرادرس
9. فیلم آموزش استاتیک فرادرس
10. فیلم آموزش سینماتیک و دینامیک ماشین ها فرادرس
11. فیلم آموزش حل معادلات دینامیکی با روش دینامیک برداری فرادرس

استاتیک چیست؟

برای اینکه بهتر متوجه شویم تفاوت استاتیک با دینامیک چیست، در این بخش به بیان ویژگی‌ها و موضوعات مطرح شده در استاتیک می‌پردازیم. استاتیک مطالعه شرایطی است که علی‌رغم دریافت نیروها و/یا گشتاورهای مختلف، جسم همواره در حالت سکون یا تعادلی باقی می‌ماند. بنابراین مجموع تمام نیروها و/یا گشتاورهای وارد بر جسم در این شاخه از مکانیک برابر با صفر است.

شیوه ریاضیاتی چنین تعریفی برای استاتیک به شکل زیر است:

$$\sum\vec{F}=0 \Rightarrow \begin{cases}\sum F_x=0 \\ \\\sum F_y=0 \\ \\ \sum F_z=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases}\sum \tau_A=0 \\ \\\sum \tau_B=0 \end{cases}$$

• $$‌\vec{F}$$: بردار نیرو بر حسب نیوتن ($$‌N$$)
• $$‌\vec{\tau}$$: بردار گشتاور بر حسب نیوتن در متر ($$‌N.m$$)
• $$\sum$$: مجموع

بنابراین با توجه به صفر شدن سمت دیگر تساوی در معادلات بالا، این معادلات توصیف‌کننده یک موقعیت استاتیکی هستند. می‌دانیم در سیستم مختصات دکارتی سه بعدی، هر بردار دارای سه مولفه در راستای سه جهت محور مختصات است. به علاوه می‌توانیم در بررسی گشتاور برای هر جسم، دو نطقه محوری مانند $$A$$ و $$B$$ تعریف کنیم.

در بخش مکانیک اشاره کردیم که نیرو به معنای نوعی برهم‌کنش است که باعث می‌شود اجسام حرکت کنند یا تغییر جهت دهند. اما در استاتیک، جسم برای حرکت یا تغییر جهت فقط تلاش می‌کند. در حقیقت در این بخش از مکانیک، تعریف نیرو به این شکل ارائه می‌شود، چون علی‌رغم تمایل اجسام برای حرکت، در نهایت حرکتی اتفاق نمی‌افتد. در بخش‌ سینتیک راجع‌به تعریف و مفهوم گشتاور توضیحات کاملی ارائه می‌شود.

مثال

با حل این مثال بهتر متوجه می‌شوید که تفاوت وضعیت تعادلی در استاتیک و دینامیک چیست. می‌خواهیم اندازه نیروهای $$F_1$$ و $$F_2$$ را که هر دو در صفحه xy قرار گرفته‌اند، به‌گونه‌ای پیدا کنیم که ذره زیر وضعیت تعادلی باقی بماند:

پاسخ

برای اینکه این ذره در تعادل بماند، باید معادلات استاتیکی برقرار باشند که به‌صورت زیر هستند:

$$\sum\vec{F}=0$$

$$\sum \vec{\tau}=0$$

در اینجا اعمال گشتاور به ذره امکان ندارد، چون بازوی گشتاور برای ذره وجود ندارد. در مورد برآیند نیروهای وارد بر ذره، باید ابتدا نیروها را مشخص کنیم. طبق شکل دو نیرو با اندازه مشخص $$8 \ N$$ و $$4 \ N$$ داریم. جهت نیروی $$8 \ N$$ در راستای محور x است، اما نیروی $$4 \ N$$ دارای زاویه مشخصی با محورهای x و y است. بنابراین اگر بخواهیم برآیند نیروها را در راستای این دو محور جداگانه به دست آوریم، لازم است این نیرو را تجزیه کنیم.

در حقیقت شکل بالا همان نمودار ذره آزاد است که گفتیم بهتر است در حل مسائل دینامیکی رسم شود. باید اندازه نیروی $$F_1$$ را تعیین کنیم، در حالی که جهت آن در راستای محور y‌ است و نیاز به تجزیه ندارد. اندازه نیروی $$F_2$$ هم باید محاسبه شود و جهت آن به‌گونه‌ای است که لازم است تجزیه شود. پس داریم:

$$\sum\vec{F}=0 \Rightarrow \begin{cases}\sum F_x=0 \\ \\\sum F_y=0 \end{cases}$$

$$\sum F_x=0 \Rightarrow 8 +4\cos60 - F_2\cos30=0$$

$$\Rightarrow F_2=\frac{20}{\sqrt{3}} \ N$$

$$\sum F_y=0 \Rightarrow F_1 +4\sin60 - F_2\sin30=0$$

$$\Rightarrow F_1=\frac{4}{\sqrt{3}} \ N$$

سینماتیک چیست؟

در این بخش می‌‌خواهیم ببینیم اولین زیرشاخه از دینامیک چیست و چه مباحثی در آن مطرح می‌شود. سینماتیک یا حرکت‌شناسی، حرکت اجسام را بدون در نظر گرفتن منشا آن توصیف می‌کند. علت تشابه اسمی سینماتیک با کلمه سینما نیز به همین مفهوم برمی‌گردد. سینما به معنای مجموعه‌ای از تصاویر متحرک است.

پس در سینماتیک موضوع خود حرکت است، بدون اینکه بخواهیم در مورد علت ایجاد حرکت چیزی بدانیم. برای اینکه بتوانیم سینماتیک را مطالعه کنیم، باید بتوانیم کمیت‌های مختلف موثر در مطالعه حرکت را شناسایی و فرمول‌بندی کنیم. فرمول های سینماتیک و معادلات آن با توجه به نوع حرکت جسم متفاوت‌اند. همچنین حرکت جسم ممکن است کاملا خطی یا غیرخطی (زاویه‌ای) باشد. اما در دنیای واقعی اغلب با ترکیبی از این دو نوع حرکت مواجه هستیم. در بخش‌های بعد معادلات توصیف کننده انواع سینماتیک را معرفی خواهیم کرد.

سینماتیک خطی

در بخش‌ قبل یاد گرفتیم موضوع سینماتیک به ‌عنوان اولین زیرشاخه از دینامیک چیست. اولین و بنیادی‌ترین کمیت در سینماتیک خطی، مکان جسم یا ذره مورد مطالعه ما است که در این نوشته آن را با نماد $$\vec{s}$$ نشان می‌دهیم. $$\vec{s}$$ برداری است که مختصات نقطه مکان نهایی جسم یا ذره را در فضای سه بعدی نشان می‌دهد و با سه مولفه در راستای هر یک از محورهای x و y و z به‌صورت زیر توصیف می‌شود:

$$\vec{s}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

پس مکان یا جابجایی اولین و مهم‌ترین کمیتی است که زیربنای تعریف سایر کمیت‌های سینماتیک خطی است. یکی از این کمیت‌ها سرعت است. سرعت جسم در حال حرکت بر اساس تغییرات مکانی جسم در گذر زمان به‌دست می‌آید. پس سرعت هم مانند تغییرات مکانی یا جابجایی یک کمیت برداری است و به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$\vec{v}=\frac{d\vec{s}}{dt}$$

طبق آنچه که از ریاضیات می‌دانیم، رابطه بالا به نوعی مشتق‌گیری از مکان نسبت به زمان است. بنابراین اگر از معادله مکان جسم یا ذره خود که ممکن است با زمان تغییر کند یا نه، نسبت به زمان مشتق بگیریم، معادله سرعت به‌دست می‌آید. حالا اگر از معادله سرعت حاصل شده مجددا نسبت به زمان مشتق‌گیری کنیم، کمیت مهم دیگر سینماتیک یعنی شتاب را خواهیم داشت:

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\vec{s}}{dt})=\frac{d^2\vec{s}}{dt^2}$$

به عبارت دیگر، شتاب حرکت جسم معادل است با دو مرتبه مشتق‌گیری از معادله مکان جسم. در ادامه می‌خواهیم با استفاده از روابط بالا شتاب را بر حسب $$\vec{v}$$ و $$s$$ بازنویسی کنیم. بردار $$d\vec{s}$$ را می‌توانیم به شکل زیر بنویسیم که در آن |d\vec{s}|معادل است با اندازه این بردار (اندازه بردار با $$ds$$ هم نشان داده می‌شود) در حالی که $$\hat{ds}$$ فقط نشان‌دهنده جهت است و اندازه آن برابر با واحد است:

$$d\vec{s}=|d\vec{s}| \hat{ds}$$

چون بردار سرعت در جهت جابجایی است، پس می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt} \hat{ds}$$

در رابطه بالا به‌جای اینکه سرعت را به شکل برداری بنویسم، آن را به‌صورت عددی نمایش داده‌ایم، اما از بردار یکه $$\hat{ds}$$ برای نمایش جهت آن استفاده کرده‌ایم. با باز کردن این بردار یکه و ساده‌سازی خواهیم داشت:

$$\vec{a}=\frac{dv}{dt} \frac{d\vec{s}}{ds}=\vec{v}\frac{dv}{ds}$$

در ادامه بررسی کمیت‌های حرکت خطی، باید ببینیم در مسئله مورد بررسی ما آیا شتاب هم با زمان تغییر می‌کند یا نه. اگر معادله شتاب بر حسب زمان باشد، در این صورت کمیت‌ دیگری به‌عنوان حاصل مشتق‌گیری از شتاب نسبت به زمان تعریف می‌شود که جهش یا خیز نامیده شده و با $$\vec{j}$$ نمایش داده می‌شود. به همین ترتیب در صورتی که معادلات ما همچنان بر حسب زمان باشند، با ادامه مشتق‌گیری کمیت‌های مشابه دیگری خواهیم داشت که بررسی آ‌ن‌ها خارج از موضوع این مطلب است. اما اگر فرض کنیم شتاب به‌دست آمده از معادلات بالا یک عدد ثابت شده است، در این حالت حرکت خطی ما حرکت با شتاب ثابت در نظر گرفته می‌شود و معادلات زیر توصیف کننده چنین حرکتی هستند:

$$v=v_0+at$$

$$s=s_0+v_0t+ \frac{1}{2}at^2$$

$$v^2=v^2_0+2a(s-s_0)$$

معادلات بالا با انتگرال‌گیری از روابط قبل و با دانستن شرایط اولیه مانند $$s_0$$ و $$v_0$$ به‌دست آمده‌اند. البته معادلات سینماتیک را در شرایطی که شتاب ثابت نباشد هم می‌توان به‌دست آورد. در این حالت معادلات ممکن است به‌جای شتاب ثابت بر حسب جهش ثابت و ... نوشته شوند. نکته مهم این است که متوجه روند به‌دست آمدن این معادلات شده باشیم که بر مبنای مشتق‌گیری یا محاسبه تغییرات مکانی با زمان است. در بخش بعد نشان می‌دهیم اصول حرکت غیرخطی در دینامیک چیست.

سینماتیک زاویه‌ای (غیرخطی)

در این بخش بررسی می‌کنیم معادلات سینماتیک زاویه‌ای در دینامیک چیست و چگونه به‌دست می‌آید. گفتیم در سینماتیک خطی مکان جسم نقطه شروع معادلات حرکت است. در سینماتیک زاویه‌ای تغییرات یک کمیت متناظر با مکان، یعنی زاویه در نظر گرفته می‌شود. زاویه را به شکل $$\vec{\theta}$$ نشان می‌دهیم. رابطه بین زاویه $$\theta$$ و جابجایی $$s$$ در سینماتیک خطی به شکل زیر است:

$$\theta = \frac{s}{r}$$

بنابراین با داشتن معادله‌ای که توصیف کننده موقعیت زاویه‌ای جسم یا ذره و بر حسب زمان است، می‌توانیم  سرعت زاویه‌ای را به شکل زیر حساب کنیم:

$$\vec{\omega}=\frac{d\vec{\theta}}{dt}$$

با اعمال روندی مشابه حرکت خطی، شتاب زاویه‌ای بر اساس فرمول زیر پیدا می‌شود:

$$\vec{\alpha}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\vec{\theta}}{dt})=\frac{d^2\vec{\theta}}{dt^2}$$

$$\vec{\alpha}=\vec{\omega}\frac{d\omega}{d\theta}$$

با فرض ثابت بودن شتاب زاویه‌ای، معادلات حرکت در سینماتیک غیرخطی با انتگرال‌گیری از روابط بالا به شکل زیر خواهند شد:

$$\omega=\omega_0+\alpha t$$

$$\theta=\theta_0+\omega_0t+ \frac{1}{2}\alpha t^2$$

$$\omega^2=\omega^2_0+2\alpha(\theta-\theta_0)$$

فرمول‌های بالا با فرمول‌های حرکت خطی مشابه هستند، فقط به‌جای کمیت‌های خطی از کمیت‌های زاویه‌ای در آن‌ها استفاده شده است. در اینجا هم نیاز داریم شرایط اولیه مسئله مانند $$\theta_0$$ و $$\omega_0$$ را در فرآیند انتگرال‌گیری بدانیم. همچنین همان‌طور که در بخش سینماتیک خطی هم گفتیم، ممکن است مشتق‌گیری ما از سرعت زاویه‌ای به‌جای یک عدد ثابت، منجر به معادله‌ای بر حسب زمان شود. در این صورت شتاب زاویه‌ای ما دیگر ثابت نیست. مشتق چنین عبارتی به ما جهش زاویه‌ای را می‌دهد. این فرآیند در صورت ثابت نشدن جواب مشتق‌گیری‌ها به همین صورت ادامه خواهد داشت.

سینماتیک خطی و زاویه‌ای

در دو بخش قبل آموختیم معادلات سینماتیک خطی و غیرخطی در دینامیک چیست. اما در دنیای واقعی، حرکت خطی و غیرخطی برای اجسام اغلب تفکیک شده نیستند و با هم اتفاق می‌افتند. در استاتیک این همزمانی را با در نظر گرفتن مجموع نیروها و تکانه‌ها در نظر می‌گیریم. در زیرشاخه سینماتیک از دینامیک هم معادلاتی وجود دارند که هر دو مفهوم را پوشش می‌دهند و یکی از کاربردهای چنین معادلاتی، بررسی حرکت سیارات در مدارهایشان است.

برای مثال، حرکت دایره‌ای را به‌‌عنوان حرکتی که شامل دو نوع سینماتیک خطی و غیرخطی است، در نظر می‌گیریم. می‌خواهیم ببینیم پیش‌فرض‌ها و فرمول‌های لازم جهت بررسی دقیق چنین حرکتی در دینامیک چیست. در اولین گام سرعت این حرکت را توسط دو مولفه زیر تعریف می‌کنیم:

$$\vec{v_n}=0$$

$$\vec{v_t}=\vec{\omega} \times \vec{r}=\vec{v}$$

علامت $$\times$$ به معنای ضرب خارجی یا برداری است. همچنین $$\vec{v_t}$$ و $$\vec{v_n}$$ به‌ترتیب سرعت مماسی (سرعت خطی) و سرعت شعاعی (سرعت عمودی) در حرکت دایره‌ای در نظر گرفته می‌شوند. مولفه عمودی سرعت در حرکت دایره‌ای صفر است. پس در این حرکت فقط سرعت خطی داریم. همچنین بردار سرعت در حالت کلی به شکل زیر است:

$$\vec{v}=\vec{v_t}+\vec{v_n}$$

حالا اگر بخواهیم شتاب را با توجه به روندی که در بخش‌های قبل داشتیم بر اساس مشتق‌گیری از سرعت پیدا کنیم، کافی است رابطه زیر را بنویسیم:

$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\vec{v_t}+\vec{v_n})}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{\omega} \times \vec{r})$$

مشتق‌گیری در این مرحله کمی پیچیده‌تر است. با توجه به قاعده زیر ادامه می‌دهیم:

$$\frac{d}{dt}(\vec{A} \times \vec{B})=\frac{d\vec{A}}{dt} \times \vec{B} +\vec{A} \times \frac{d\vec{B}}{dt}$$

$$\vec{a}=\frac{d}{dt}(\vec{\omega} \times \vec{r})=\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r} +\vec{\omega} \times \frac{d\vec{r}}{dt}$$

$$\vec{a}=\vec{\alpha} \times \vec{r} +\vec{\omega} \times \vec{v}$$

مشاهده می‌کنید که شتاب کل نیز از مجموع دو مولفه خطی و نرمال یا عمودی به شکل زیر به‌دست می‌آید:

$$\vec{a_t}= - \vec{r}\times \vec{\alpha}$$

$$\vec{a_n}= \vec{\omega}\times \vec{v}$$

$$\vec{a}=\vec{a_t}+\vec{a_n}$$

$$\vec{a_n}$$ را با عنوان شتاب گریز از مرکز می‌شناسیم. در فیزیک، معادلات بالا با در نظر گرفتن زاویه قائمه بین $$\vec{a_n}$$ و $$\vec{a_t}$$، به‌صورت زیر ساده می‌شوند:

$$v_t=r\omega=v$$

$$a_t=r\alpha=\frac{dv}{dt}$$

$$a_n=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$$

می‌دانیم با در نظر گرفتن زاویه قائمه بین دو بردار، ضرب خارجی یا ضرب برداری برابر با حاصل‌ضرب اندازه دو بردار است:

$$\vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\phi$$

$$\phi =90 \Rightarrow \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\sin90=|\vec{A}||\vec{B}|$$

این ساده‌سازی حرکت‌ دایره‌ای در شرایطی است که برای مثال مدار حرکت ذره یا جسم یا سیاره موردنظر ما در فضا یک دایره‌ کامل و ایده‌آل باشد. ولی در عمل چنین اتفاقی رخ نمی‌دهد و با یک دایره‌ ایده‌آل مواجه نیستیم. به همین دلیل است که معادلات حرکت دایر‌ه‌ای در دینامیک نسبت به معادلات مشابه در فیزیک پیچیده‌تر هستند. حرکت دیگری که به کمک ترکیب معادلات سینماتیک خطی و زاویه‌ای بررسی و تحلیل می‌شود، حرکت هماهنگ ساده است. برای این حرکت شتاب برابر است با:

$$a=\frac{dv}{dt}=-r\omega^2$$

کاربرد حرکت هماهنگ ساده در شبیه‌سازی حرکت مولکول‌ها و اتم‌ها در ساختار ماده است. اگر دقت کرده باشید در تمام معادلاتی که برای سینماتیک بررسی کردیم، کمیت نیرو با نماد $$\vec{F}$$ وجود نداشت. در ادامه با بررسی یک مثال ساده مبحث سینماتیک را تمام می‌کنیم و سپس یاد می‌گیریم سینتیک از دینامیک چیست. خواهید دید که در سینتیک بر خلاف سینماتیک، کمیت نیرو در تمام معادلات وجود دارد.

مثال

برای اینکه بهتر متوجه شوید معادلات سینماتیکی در دینامیک چیست و شامل چه کمیت‌هایی می‌شود، مثال حرکت پرتابی را برای این بخش در نظر گرفته‌ایم. خواهید دید که با استفاده از فرمول‌های سینماتیک و بدون اینکه نیازی به بررسی نیروهای وارد بر پرتابه داشته باشیم، می‌توانیم به سوالات زیر پاسخ دهیم.

فرض کنید در سیاره مریخ هستیم و می‌خواهیم حرکت پرتابی ایده‌آل ذره‌ای را در این سیاره بررسی کنیم. معادلات دامنه ($$L$$) و بیشترین ارتفاع از سطح ($$H$$) را در قالب سرعت اولیه ($$v_0$$)‌ و زاویه ($$\theta$$)‌ به دست آورید (شتاب جاذبه ماه $$0.37$$ برابر شتاب جاذبه زمین یا $$g$$ است):

پاسخ

دقت کنید در سوال عنوان شده است که با یک حرکت پرتابی ایده‌آل مواجه هستیم، به این معنا که از آثار عواملی مانند حرکت باد روی پرتابه صرف‌نظر می‌شود. ابتدا معادله مکان در سینماتیک خطی را در نظر می‌گیریم:

$$s=s_0+v_0t+ \frac{1}{2}at^2$$

چون حرکت ما در صفحه x-y انجام می‌شود، بنابراین یک حرکت دو بعدی در صفحه داریم و می‌توانیم معادله مکان را شامل دو مولفه در نظر بگیریم:

$$s_x=s_{0x}+v_{0x}t+ \frac{1}{2}a_xt^2$$

$$s_y=s_{0y}+v_{0y}t+ \frac{1}{2}a_yt^2$$

در هر لحظه از زمان تنها شتابی که به پرتابه یا ذره وارد می‌شود، شتاب ناشی از جاذبه ماه است که همواره در جهت منفی محور y اعمال می‌شود. پس می‌توانیم برای دو مولفه شتاب مقادیر زیر را در نظر بگیریم:

$$a_y=-0.37 \ \ g$$

$$a_x=0$$

نکته دیگری که با توجه به شکل مسئله می‌توانیم در نظر بگیریم این است که سرعت اولیه پرتابه دارای زاویه $$\theta$$ با محور افقی است. بنابراین می‌توانیم این سرعت را به دو مولفه آن در راستای محورهای x و y تجزیه کنیم:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta$$

$$v_{0y}=v_0\sin\theta$$

 با قرار دادن عبارت‌های بالا در دو معادله مکان و توجه به اینکه مبدا حرکت در نقطه‌ای با مختصات $$s_{0x}=s_{0y}=0$$ قرار دارد، خواهیم داشت:

$$\Rightarrow s_x=v_0t\cos\theta$$

$$\Rightarrow s_y=v_0t\sin\theta - \frac{0.37 \ gt^2}{2}$$

همان‌طور که گفتیم، $$s_y$$ در مبدا یا نقطه شروع حرکت پرتابه برابر با $$0$$ است. پس $$s_y$$ را با صفر برابر قرار می‌دهیم تا ببینم مدت زمان یا $$t$$ که طول می‌کشد تا پرتابه به $$L$$ برسد، چقدر است:

$$0=v_0t\sin\theta - \frac{0.37 \ gt^2}{2}$$

این معادله دو جواب دارد، $$t=0$$ که پاسخ قابل‌قبولی نیست و $$t=\frac{2v_0\sin\theta}{0.37 \ g}$$. دومین پاسخ قابل‌قبول است. با قرار دادن این مقدار $$t$$ در معادله $$s_x$$ و برابر قرار دادن $$s_x$$ با $$L$$ خواهیم داشت:

$$L=v_0\cos\theta \ \frac{2v_0\sin\theta}{0.37 \ g}$$

$$L=v_0\cos\theta \ \frac{2v_0\sin\theta}{0.37 \ g}=\frac{v^2_0\sin2\theta}{0.37 \ g}$$

در محاسبات بالا از تساوی مثلثاتی $$\sin2 \theta= 2 \sin \theta \cos \theta$$ استفاده شد. برای تعیین $$H$$ باید از این واقعیت استفاده کنیم که حرکت پرتابی یک حرکت متقارن است، به این مفهوم که اگر زمان شروع و انتهای حرکت پرتابه برابر با $$t$$ در نظر گرفته شود، دقیقا در نصف این زمان پرتابه در بالاترین ارتفاع خود نسبت به سطح قرار دارد. پس اگر زمان به‌دست آمده را نصف کنیم و آن را در معادله $$s_y$$ قرار دهیم، با این فرض که در این زمان پرتابه ما دقیقا در بالاترین ارتفاع خود یعنی $$s_y=H$$ قرار دارد، خواهیم داشت:

$$\frac{t}{2}=\frac{v_0\sin\theta}{0.37 \ g}$$

$$\Rightarrow s_y=v_0t\sin\theta - \frac{0.37 \ gt^2}{2}$$

$$\Rightarrow H=v_0\sin\theta (\frac{v_0\sin\theta}{0.37 \ g}) - \frac{0.37 \ g}{2} (\frac{v_0\sin\theta}{0.37 \ g})^2$$

$$\Rightarrow H= \frac{v^2_0\sin^2\theta}{0.37 \ g} - \frac{1}{2} \frac{v^2_0\sin^2\theta}{0.37 \ g}= \frac{1}{2} \frac{v^2_0\sin^2\theta}{0.37 \ g}$$

بنابراین در این مثال نشان دادیم کاربرد معادلات سینماتیکی در دینامیک چیست.

سینتیک چیست؟

پس از اینکه کاملا یاد گرفتیم مبحث سینماتیک در دینامیک چیست و چه معادلاتی دارد، در این بخش مفاهیم و معادلات سینتیک را توضیح می‌دهیم. فرادرس یک فیلم آموزش رایگان با عنوان «فیلم آموزش گشتاور و روش محاسبه آن» را تهیه کرده است که می‌تواند مسیر یادگیری مفهوم گشتاور و تسلط شما بر حل مسائل مرتبط با فرمول‌های آن را هموار کند. لینک مشاهده این فیلم آموزشی در ادامه آورده شده است:

سینتیک حرکت جسم را با توجه به نیروها و/یا گشتاورهایی که به آن وارد شده‌اند، بررسی می‌کند. نکته مهم این است که برخلاف استاتیک، جسم مورد بررسی در سینتیک در حالت سکون یا تعادلی نیست. بنابراین برآیند یا جمع برداری نیروها و/یا گشتاورهای وارد بر جسم در مطالعه سینتیک مخالف صفر است و ممکن است یک یا چند نیرو و/یا گشتاور همزمان به جسم وارد شوند.

در ابتدای این بخش، کمیت مهمی به نام تکانه را معرفی می‌کنیم که در معادلات این بخش از دینامیک زیاد دیده می‌شود. تکانه خاصیتی از ماده است که نشان می‌دهد برای تغییر وضعیت حرکتی جسم به چه نیرویی نیاز است. تکانه می‌تواند خطی یا غیرخطی (زاویه‌ای) باشد. تکانه خطی که با $$\vec{p}$$ نمایش داده می‌شود، از حاصل‌ضرب سرعت خطی جسم در جرم آن به‌دست می‌آید، در حالی که تکانه زاویه‌ای یا $$\vec{L}$$ برابر است با حاصل‌ضرب سرعت زاویه‌ای جسم در کمیتی به نام «لختی دورانی یا ممان اینرسی» آن:

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

$$\vec{L}=I\vec{\omega}$$

واحد $$‌I$$ یا ممان اینرسی در سیستم SI برابر است با $$kg.m^2$$. این کمیت به نوعی توزیع جرم جسم را با در نظر گرفتن فضا و زاویه نشان می‌دهد. در یک سیستم ایزوله شده، اصل پایستگی برای هر دو نوع تکانه برقرار است. کمیت دینامیکی مهم دیگری که در رابطه با تکانه و در سینتیک تعریف می‌شود، ضربه است. ضربه را با $$\vec{J}$$ نشان می‌دهیم و بر اساس میزان تغییرات تکانه جسم تعریف می‌شود:

$$\vec{J} = \triangle \vec{p} = m\vec{v_2} - m\vec{v_1}$$

معمولا در بررسی برخورد اجسام یا ذرات یا هنگامی که هل دادن یا کشیدن جسمی با سرعت بالا انجام می‌شود، نیاز است ضربه محاسبه شود. واحد ضربه مشابه واحد تکانه، کیلوگرم متر بر ثانیه یا نیوتن در ثانیه است. بنابراین با اینکه ممکن است در منابع مختلف از عبارت نیروی ضربه استفاده شود، اما نباید آن را نوعی نیرو در نظر بگیریم.

یکی از مهم‌ترین چالش‌های دینامیک مهندسی این است که اثر ضربه حداقل شود و برای رسیدن به این هدف لازم است نیرو را کاهش دهیم. اما در دنیای واقعی در اغلب موارد امکان چنین چیزی وجود ندارد. طبق فرمول زیر برای ضربه، راه‌حل دیگر این است که مدت زمان اعمال نیرو را افزایش دهیم:

$$\vec{J} = \vec{F} \triangle t = \int F dt$$

به همین دلیل طراحی اتومبیل‌ها به‌گونه‌ای است که در بخش جلو و عقب آن‌ها ناحیه‌ نسبتا انعطاف‌پذیری به نام ضربه‌گیر قرار دارد که اثر ضربه را هنگام تصادف و برخورد کاهش می‌دهد.

با توجه تعریف تکانه، معادلات حرکت در سینتیک به شکل زیر هستند:

$$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

$$\sum\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}$$

توجه کنید که سمت دیگر این دو تساوی در مقایسه با استاتیک صفر نیست و دقیقا همین نقطه نشان‌دهنده تفاوت استاتیک و دینامیک (سینتیک) است. اگر فرض کنیم جرم و شکل ماده یا جسم موردنظر ما ثابت است، در این صورت معادلات بالا به شکل زیر می‌شوند:

$$\sum\vec{F}=m\vec{a}$$

$$\sum\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$$

این دو معادله ساده شده بیشتر در فیزیک مکانیک بکار می‌روند. اما شکل اولیه این دو معادله که بالاتر معرفی شد، در دینامیک مهندسی استفاده می‌شوند.

بنابراین اگر بخواهیم وضعیت حرکتی جسم را با توجه به نیروها یا گشتاورهایی که به آن وارد می‌شوند، بررسی کنیم، قدم اول این است که این نیروها و گشتاورها را مشخص کنیم. سپس باید برآیند یا مجموع آن‌ها را پیدا کنیم. اگر این مجموع صفر شد، وضعیت جسم در حالت تعادل استاتیکی است. در غیر این صورت باید از معادلات دینامیکی (سینتیکی) بالا برای محاسبه شتاب خطی یا زاویه‌ای که جسم به‌دست می‌آورد، استفاده کنیم. به همین علت لازم است ابتدا مفهوم گشتاور را خوب متوجه شویم که در بخش بعد به آن می‌پردازیم.

همچنین گفتیم در سینتیک عامل حرکت، یعنی نیرو مهم است. قوانینی که به ما نشان می‌دهند محاسبات مجموع نیروها و وضعیت آن‌ها به چه صورت است، قانون جهانی گرانش و قوانین سه‌گانه حرکت نیوتن هستند. البته قانون اول نیوتن با استاتیک هم‌ارز است، اما برای اینکه بتوانید مقایسه بهتری داشته باشید، در ادامه این قانون را نیز به همراه سایر قوانین گفته شده توضیح می‌دهیم.

گشتاور چیست؟

در ادامه یادگیری مبحث دینامیک چیست، در این بخش به تعریف مفهوم مهمی به نام گشتاور می‌پردازیم. گشتاور آن بخشی از نیرو است که موجب می‌شود جسمی حول یک محور بچرخد. به همین علت آن را «گشتاور نیرو» هم می‌نامند. چون در مکانیک اثر خطی نیروها جداگانه بررسی می‌شود، بنابراین بهتر است بخش زاویه‌ای نیرو را گشتاور بنامیم. در این بخش یاد می‌گیریم مفهوم گشتاور در دینامیک چیست. فیلم آموزش زیر از مجموعه فرادرس در مورد بررسی تعادل دینامیکی است:

همان‌طور که نیرو عامل ایجاد شتاب خطی در سینماتییک خطی است، گشتاور هم عامل ایجاد شتاب زاویه‌ای در سینماتیک غیرخطی است. گشتاور مانند نیرو یک کمیت برداری است و جهت آن به جهت اعمال نیرو روی محور بستگی دارد. مثال آشنای گشتاور در زندگی روزمره، باز کردن در اتاق است. به شکل بالا توجه کنید. زمانی که در اتاق را با وارد کردن نیرو به دستگیره باز می‌کنید، باز کردن آن آسان‌تر است. اما اگر بخواهید در را با وارد کردن نیرو به نقطه‌ای در نزدیکی لولا باز کنید، به نیروی خیلی بیشتری نیاز دارید.

بررسی گشتاور مانند نیرو به یکی از دو نتیجه زیر منجر خواهد شد:

1. مجموع گشتاوهای وارد بر جسم صفر است ($$\sum\vec{\tau}=0$$).
2. مجموع گشتاورهای وارد بر جسم مخالف صفر است ($$\sum\vec{\tau}\neq0$$).

حالت اول موضوع استاتیک است، اما در حالت دوم یک کمیت‌ دینامیکی به نام شتاب زاویه‌ای ایجاد می‌شود که می‌توانیم آن را با استفاده از معادلات سینتیکی به‌دست آوریم. در مثال در اتاق، گشتاور وارد شده به در یک گشتاور استاتیکی محسوب می‌شود، چون در حول دستگیره نمی‌چرخد. همچنین اگر شخصی در حال پدال زدن یک دوچرخه با سرعت ثابتی است، همزمان گشتاور استاتیکی به آن وارد می‌کند، چون شتاب زاویه‌‌ای ایجاد نمی‌شود. اما برای مثال محور متحرک اتومبیل مسابقه‌ای که از شروع حرکت در حال شتاب گرفتن است، گشتاور دینامیکی دارد.

محاسبه گشتاور با دانستن مقدار نیروی وارد شده، نقطه‌ای که چرخش حول آن انجام می‌شود (نقطه محوری) و فاصله بین نقطه اثر نیرو و نقطه محوری (بازوی گشتاور) امکان‌پذیر است:

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$

• $$\vec{\tau}$$: بردار گشتاور بر حسب نیوتن در متر ($$N.m$$)
• $$\vec{F}$$: بردار نیرو بر حسب نیوتن ($$N$$)
• $$\vec{r}$$: بازوی گشتاور بر حسب متر ($$m$$)
• $$\times$$ ضرب خارجی یا برداری دو بردار

فرمول گشتاور به‌صورت ضرب خارجی دو بردار است. می‌دانیم ضرب خارجی دو بردار را می‌توانیم بر حسب اندازه دو بردار و سینوس زاویه بین آن‌ها به شکل زیر بنویسیم:

$$|\vec{\tau}|=|\vec{F}| |\vec{r}| \sin\theta$$

پس زاویه $$\theta$$ معادل است با زاویه بین بردار نیرو ($$\vec{F}$$) و بردار بازوی گشتاور ($$\vec{r}$$). رابطه بالا را بدون علامت بردار‌ها و قدر مطلق‌ها به شکل زیر هم می‌توانیم بنویسیم:

$$\tau=rF \sin\theta$$

در مثال در اتاق، زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور قائمه بود. به همین دلیل بیشترین گشتاور ممکن توسط نیروی وارد شده ایجاد شده است. تعیین جهت بردار گشتاور توسط قاعده دست راست انجام می‌شود، به این صورت که با چرخش دست حول محور چرخش و قرار گرفتن سایر انگشتان در جهت نیرو، انگشت شست نشان‌دهنده جهت گشتاور است.

قانون جهانی گرانش نیوتن

تا اینجا یاد گرفتیم بخش سینتیک در دینامیک چیست و دیدیم که در سینتیک علاوه‌بر بررسی نیروهای وارد بر جسم، لازم است گشتاور و کمیت‌‌های مرتبط با آن مانند ممان اینرسی و شتاب زاویه‌ای را نیز بتوانیم محاسبه کنیم. همچنین گفتیم سینتیک بر مبنای یک سری قوانین مهم بنا شده است. یکی از این قوانین، قانون نیروی گرانش نیوتن است.

این قانون تقریب خیلی دقیقی از نیروهایی که بین دو جسم وجود دارد، ارائه می‌کند و تا پیش از ظهور نظریه گرانشی انیشتین نیز همچنان دقیق فرض می‌شد. طبق این قانون، شکل برداری نیروی گرانش بین هر دو جسم با جرم‌های $$m_1$$ و $$m_2$$ که در فاصله $$r_{12}$$ از هم قرار دارند، توسط فرمول زیر توصیف می‌شود:

$$\vec{F} = \frac{G m_1 m_2 }{r^2_{12}}\hat{r_{12}}$$

• $$\vec{F}$$: بردار نیروی گرانش بر حسب نیوتن ($$N$$)
• $$m_1$$ و $$m_2$$: جرم دو جسم بر حسب کیلوگرم ($$kg$$)
• $$r_{12}$$: فاصله بین دو جسم بر حسب متر ($$m$$)
• $$\hat{r_{12}}$$: بردار یکه در راستای فاصله بین دو جسم با اندازه واحد
• $$G$$: ثابت جهانی گرانش برحسب $$\frac{N.m^2}{kg^2}$$

ثابت $$G$$ که ثابت جهانی گرانش نامیده می‌شود، دارای مقدار زیر است:

$$G = 6.67 \times 10 ^{-11 } \ \ \frac{N.m^2}{kg^2}$$

همچنین راستای این نیرو همیشه در راستای فاصله‌ای است که دو جسم از هم دارند. اگر دقت کنید، فرمول این نیرو به «قانون کولن» برای محاسبه نیروی الکتریکی بین دو بار که در فاصله مشخصی از هم قرار گرفته‌اند، بسیار شبیه است. در ادامه قوانین سه‌گانه توصیف‌کننده حرکت که توسط نیوتن ارائه شده است را توضیح می‌دهیم.

نکته: دقت کنید ثابت جهانی گرانش با شتاب جاذبه زمین یا $$g = 9.8\ \ \frac{m}{s^2}$$ فرق دارد.

قانون اول نیوتن

اولین قانون از قوانین سه‌گانه نیوتن در درک این موضوع که تفاوت استاتیک با دینامیک چیست، بسیار می‌تواند کمک‌کننده باشد. قانون اول نیوتن بیان می‌کند چه زمانی می‌توانیم یک جسم یا یک ذره را در حالت سکون یا تعادلی در نظر بگیریم. طبق این قانون، اگر هیچ نیروی برآیندی به جسم وارد نشود، چنانچه ساکن بوده باشد، ساکن می‌ماند و اگر با سرعت ثابت در حال حرکت بوده باشد، با همین سرعت به حرکت خود ادامه می‌دهد.

برای اینکه موضوع اولین قانون نیوتن را بهتر درک کنیم، بیایید فرض کنیم جسم یا ذره مورد بررسی ما در یکی از دو وضعیت اولیه زیر قرار دارد:

1. جسم ساکن است.
2. جسم با سرعت ثابتی در حال حرکت است.

حالا با توجه به اصل مهم در قانون اول نیوتن، باید فرض کنیم به چنین جسمی هیچی نیرویی وارد نمی‌شود. منظور ما از وارد نشدن نیرو این است که برآیند یا جمع برداری تمام نیروهای وارد بر جسم صفر است. اگر به خاطر داشته باشید، این توضیح را با ریاضیات به شکل زیر در بخش استاتیک نشان دادیم:

$$\sum\vec{F}=0 \Rightarrow \begin{cases}\sum F_x=0 \\ \\\sum F_y=0 \\ \\ \sum F_z=0 \end{cases}$$

با در نظر گرفتن رابطه بالا به‌عنوان فرمول قانون اول نیوتن و نگاهی به معادلات سینتیک، خواهیم داشت:

$$\sum\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{p}=constant$$

ثابت ماندن تکانه خطی با زمان، به معنای پایستگی تکانه است. بنابراین قانون اول را می‌توانیم «قانون پایستگی تکانه» هم بنامیم. نتیجه چنین فرضی با توجه به دو حالت اولیه بالا، دو موقعیت زیر خواهد شد:

1. جسم ساکن می‌ماند.
2. جسم با سرعت ثابت به حرکت خود ادامه می‌دهد.

بر همین اساس قانون اول نیوتن را «قانون اینرسی، لختی یا ماند» هم می‌نامند که به معنای تمایل اجسام برای حفظ موقعیت اولیه و مقاومت در برابر تغییر آن است. اگر می‌خواهید با مفهوم اینرسی در قالب مثال و تمرین بیشتر آشنا شوید، می‌توانید مطلب «اینرسی چیست؟ – توضیح به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را مطالعه کنید. در موقعیت دوم از قانون اول، نوعی حرکت توصیف شد که در آن هیچ نیروی برآیندی به جسم وارد نشده و در نتیجه جسم شتاب ندارد:

$$\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{a} = 0$$

در معادلات بخش سینماتیک گفتیم که شتاب در نتیجه تغییرات سرعت با زمان حاصل می‌شود. پس اگر شتاب صفر است، به این معنا است که سرعت ما تغییری نکرده و ثابت مانده است:

$$\vec{a} = \frac{ \vec {v_2}- \vec {v_1}} {t_2-t_1} = 0 \Rightarrow \vec {v_2} = \vec {v_1}=constant$$

بنابراین چنین حرکتی را «حرکت با سرعت ثابت» می‌نامیم. به حرکت جسم با سرعت ثابت روی یک خط مستقیم «حرکت یکنواخت» هم گفته می‌شود. برای مثال، حرکت با سرعت ثابت اغلب اتومبیل‌های در حال حرکت در اتوبان‌ها و جاده‌ها از نوع حرکت یکنواخت است. بنابراین بخش اول از معادلات استاتیک که شامل مجموع نیروهای وارد بر جسم می‌شد، بر اساس قانون اول نیوتن فرمول‌بندی شده است.

قانون دوم نیوتن

دومین قانون نیوتن کاملا بیان می‌کند که مفهوم سینتیک در دینامیک چیست و چه شرایطی را بررسی می‌کند. طبق این قانون اگر برآیند با مجموع نیروهای وارد بر یک جسم مخالف صفر شود، در این صورت جسم شتابی خواهد داشت که با جرم آن نسبت عکس دارد. شکل ریاضیاتی این قانون، همان معادله اصلی سینتیک است که در ابتدای بخش نشان دادیم:

$$\sum\vec{F} = m\vec{a}$$

می‌دانیم برای اینکه نیرو بر حسب نیوتن به‌دست آید، باید جرم بر حسب کیلوگرم و شتاب بر حسب متر بر مجذور ثانیه باشد. در این قانون با شرایطی مواجه هستیم که نیروهای وارد بر جسم متعادل نیستند و در نهایت یکدیگر را خنثی نمی‌کنند. بنابراین فرض اساسی این قانون کاملا عکس فرضی است که در قانون اول داشتیم. البته معادله بالا در شرایطی است که جرم جسم ثابت است. حالت کلی‌تر فرمول این قانون همان‌طور که گفتیم، رابطه زیر است که با تغییرات زمانی تکانه خطی توصیف می‌شود:

$$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

پس طبق قانون دوم نیوتن، اگر سرعت جسمی در حین حرکت کم یا زیاد شود، حرکت آن شتابدار می‌شود. نکته مهم در استفاده از قانون دوم نیوتن این است که انواع نیروها را به‌خوبی شناسایی کنیم تا بتوانیم برآیند صحیحی از تمام نیروهای وارد بر جسم ارائه دهیم. نیروهایی که در مسائل مربوط به این بخش وجود دارند، عبارت‌اند از:

• نیروی وزن ($$W$$)
• نیروی اصطکاک ($$f_k$$ یا $$f_s$$)
• نیروی عمودی سطح یا نیروی عمودی تکیه‌گاه ($$N$$)
• نیروی کشش طناب یا نخ ($$T$$)
• نیروی کشسانی فنر

برخی از این نیروها مانند نیروی اصطکاک و نیروی فنر دارای فرمول مشخصی هستند، چون اندازه آن‌ها به‌ترتیب به خصوصیات سطح (ضریب اصطکاک سطح یا $$\mu_k$$) و جنس فنر (مقدار ثابت فنر یا $$k$$) وابسته است:

$$f_k=\mu_k N$$

$$F=- kx$$

اما برخی از این نیروها مانند نیروی عمودی سطح یا نیروی کشش نخ فرمول مشخصی ندارند و باید با توجه به معادله اصلی سینتیک مقادیر آن‌ها در صورت نیاز تعیین شود. در بخش‌های بعد با یک مثال نشان می‌دهیم چگونه می‌توانیم با کاربرد معادله نیرو مسائل سینتیک را حل کنیم.

قانون سوم نیوتن

اگر بخواهیم بررسی کنیم که تاثیر قانون سوم نیوتن در دینامیک چیست، باید ابتدا مفهوم آن را بدانیم. طبق قانون سوم نیوتن زمانی که دو جسم با هم برهم‌کنش دارند، این برهم‌کنش را می‌توانیم توسط دو نیرو با اندازه کاملا مساوی اما در دو جهت مخالف هم توصیف کنیم. فرض کنید جسم شماره یک به جسم شماره دو نیرویی به‌صورت $$\vec{F_{12}}$$ وارد می‌کند، در این صورت نیرویی که جسم شماره دو به یک وارد می‌کند را با $$\vec{F_{21}}$$ نشان می‌دهیم. بین شکل عددی و برداری این دو نیرو روابط زیر برقرار است:

$$\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}$$

$$| \vec{F_{12}}| = | \vec{F_{21}} |$$

این قانون به قانون کنش - واکنش یا عمل - عکس‌العمل هم معروف است. بنابراین موضوع قانون سوم برهم‌کنش متقابل دو نیرویی است که دو جسم به هم وارد می‌کنند. کاربرد قانون سوم در حل مسائل دینامیکی بیشتر در بررسی نیروهای وارد بر یک جسم است. برای مثال زمانی که کتابی روی یک میز قرار دارد، نیروی عمل و عکس‌العمل بین میز و کتاب همواره وجود دارد و همان‌طور که گفتیم چون این دو نیرو برابر هستند و در خلاف جهت هم، یکدیگر را خنثی می‌کنند. اما اگر بخواهیم اثر تمام نیروهای وارد بر کتاب را بررسی کنیم، در اینجا یکی از دو نیروی بالا (نیروی میز به کتاب) به‌عنوان نیروی عمودی سطح در نظر گرفته می‌شود و لازم است آن را در محاسبات برآیند نیروها لحاظ کنیم.

مثال ۱‍

در مثال زیر می‌خواهیم ببینیم کاربرد معادلات سینتیکی توضیح داده شده در دینامیک چیست. جعبه‌ای روی یک سطح شیبدار قرار داده می‌شود. اگر زاویه این سطح با افق $$30$$ درجه و ضریب اصطکاک جنبشی آن $$0.4$$ باشد، جعبه در مدت زمان $$10 \ s$$ چه مسافتی را روی این سطح طی می‌کند؟

پاسخ

همین که در سوال از حرکت جسم صحبت شده است، مطمئن می‌شویم که مسئله دینامیکی است نه استاتیکی. تفاوت این مثال با مثال بخش سینماتیک در این است که آن‌جا علت حرکت پرتابه و نیروهایی که به آن وارد می‌شدند، مهم نبود و ما توانستیم بدون استفاده از کمیت نیرو و با معادلات سینماتیک که فقط شامل مسافت، سرعت و شتاب بودند، سوال را حل کنیم. اما در این سوال ابتدا نیاز داریم بدانیم چه نیروهایی به جسم وارد می‌شوند تا شتاب محاسبه شود. سپس با کمک گرفتن از معادلات سینماتیک می‌توانیم مسافت را حساب کنیم.

با توجه به مراحلی که در ابتدای این نوشته جهت حل یک مسئله مکانیکی توضیح دادیم، پیش می‌رویم. اولین مرحله، تعیین محورهای مختصات مناسب است که برای سطح‌ شیبدار، بهتر است محور افقی را مماس بر سطح انتخاب کنیم و جهت مثبت آن را در جهت حرکت جسم در نظر بگیریم. به این ترتیب حل مسئله آسان‌تر خواهد شد. محور قائم هم عمود بر این محور رسم می‌شود. مرحله بعدی در یک مسئله سینتیکی، رسم نمودار نیروها است که به شکل زیر رسم می‌شود:

اولین نیرویی که می‌توانیم با توجه به داده‌های این سوال در نظر بگیریم، نیروی اصطکاک جنبشی یا $$f_k$$ است. نیروی بعدی نیرویی است که به تمام اجسام روی زمین وارد می‌شود و نیروی وزن یا $$W$$ نام دارد. چون جعبه روی یک سطح قرار گرفته است، بین این دو برهم‌کنشی طبق قانون سوم نیوتن وجود دارد و هر دو به هم نیروهایی برابر و در خلاف جهت هم وارد می‌کنند. این دو نیرو، نیروی عمودی سطح یا $$N$$ نامیده می‌شوند. از بین این دو نیرو، فقط نیرویی که از سمت سطح به جعبه وارد می‌شود برای ما مهم است، چون می‌خواهیم تمام نیروهای وارد بر جعبه را فقط پیدا کنیم.

همچنین برای رسم نمودار نیروها به شکل بالا، لازم است جهت هر کدام مشخص شود. نیروی $$N$$ از طرف سطح شیبدار به کف جعبه وارد شده و همواره بر آن عمود است. نیروی $$f_k$$ همیشه در خلاف جهت حرکت جعبه به آن وارد می‌شود. واضح است که جسم تمایل دارد به سمت پایین این سطح حرکت کند. نیروی وزن هم همیشه عمود بر جسم و به سمت زمین به آن وارد می‌شود.

مرحله سوم، تجزیه نیروها است. اگر محورهای مختصات مناسبی انتخاب کنیم، کمتر در این مرحله دچار پیچیدگی خواهیم شد. برای مثال در شکل بالا، نیروی اصطکاک و عمودی سطح خود به خود در راستای محورهای x و y قرار دارند. البته اصطکاک در خلاف جهت محور x ما قرار می‌گیرد. بنابراین این دو نیرو نیازی به تجزیه ندارند. اما نیروی وزن در راستای هیچ‌کدام از محورها نیست و لازم است تجزیه شود.

اگر زاویه سطح با افق را $$\theta$$ بنامیم، مولفه افقی نیروی وزن $$W \sin \theta$$ و مولفه قائم آن که در خلاف جهت محور y انتخابی ما قرار می‌گیرد، $$W \cos \theta$$ است. حالا معادله اصلی سینتیک را می‌نویسیم و محاسبه را شروع می‌کنیم:

$$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

دقت کنید چون جرم جعبه در گذر زمان تغییری نمی‌کند، پس می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر در نظر بگیریم:

$$m = constant \Rightarrow \sum\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$$

برای اینکه با شکل برداری کار نکنیم، دو مولفه x و y را برای نیروی برآیند و شتاب در نظر می‌گیریم:

$$\sum\vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow \begin{cases}\sum F_x = ma_x \\ \\\sum F_y = ma_y \end{cases}$$

حالا  مجموع تمام نیروهای در راستای محور x در شکل بالا را به‌جای مولفه x نیرو و جمع تمام نیروهای در راستای محور y را به‌جای مولفه y نیرو می‌نویسیم:

$$\Rightarrow \begin{cases}W \sin\theta-f_k = ma_x \\ N- W \cos\theta = ma_y \end{cases}$$

چون حرکت جعبه روی سطح شیبدار و در راستای محور x ما است، پس حرکت قائمی وجود ندارد و می‌توانیم $$a_y$$ را صفر در نظر بگیریم. همچنین بهتر است به‌جای $$a_x$$ از $$a$$ استفاده کنیم:

$$\Rightarrow \begin{cases}W \sin\theta-f_k = ma \\ N- W \cos\theta = 0 \end{cases}$$

$$\Rightarrow N = W \cos\theta$$

$$\Rightarrow W \sin\theta-f_k = ma$$

با توجه به اینکه می‌دانیم $$f_k=\mu_k N$$ و $$W = mg$$ است، روابط بالا ساده‌تر می‌شوند:

$$\Rightarrow N = mg \cos\theta$$

$$\Rightarrow mg \sin\theta-\mu_k N = ma$$

$$\Rightarrow mg \sin\theta-\mu_k mg \cos\theta = ma$$

$$\Rightarrow a = g ( \sin\theta-\mu_k \cos\theta)$$

در نهایت رابطه‌ بالا برای محاسبه شتاب حرکت این جعبه توسط معادله سینتیک به‌دست آمد. رابطه بالا مستقل از جرم است، به این معنا که جرم اجسام در سر خوردن آن‌ها روی سطوح شیبدار فاکتور مهمی نیست. البته شکل اجسام در این آزمایش مهم است. حالا کافی است در این فرمول عددگذاری کنیم:

$$\Rightarrow a = 10 ( \sin30-0.4 \cos30) = 1.5 \ \frac{m}{s^2}$$

پیدا کردن مسافت با کاربرد یک معادله سینماتیکی به شکل زیر انجام می‌شود که در آن مکان و سرعت اولیه هر دو صفر فرض می‌شوند:

$$s=s_0+v_0t+ \frac{1}{2}at^2$$

$$\Rightarrow s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} (1.5) (10)^2 = 75.3 \ m$$

مثال ۲

در دومین مثال، قصد داریم توضیح دهیم روش حل مسائل ترکیبی حرکت خطی و زاویه‌ای در دینامیک چیست. شکل زیر قرقره‌ای را نشان می‌دهد که شامل یک دوک استوانه‌ای با جرم ناچیز است که روی یک پایه‌ مخروطی شکل با جرم $$m = 0.5 \ kg$$ تعبیه شده است. شعاع استوانه $$r = 1.2 \ cm$$ و شعاع قاعده دایره‌ای شکل پایه مخروطی $$R = 10 \ cm$$ است.

همچنین نخ ضخیمی دور دوک استوانه‌ای به شکل زیر پیچیده شده است، به گونه‌ای که با کشیده شدن آن به سمت عقب تحت اثر نیرویی به نام $$T$$، قرقره با سرعتی به اندازه $$v_0 = 10 \ \frac{m}{s}$$ به سمت جلو پرتاب می‌شود. در این حرکت قسمت بالای قرقره به میزان $$s = 2.5 \ m$$ به سمت جلو حرکت می‌کند، سپس متوقف شده و شروع به چرخش خواهد کرد. با بکار بردن معادلات دینامیکی و صرف‌نظر کردن از اصطکاک، نیروی کشش نخ، سرعت زاویه‌ای نهایی و طولی از نخ که دور دوک استوانه‌ای پیچیده شده است را محاسبه کنید:

پاسخ

اولین قدم این است که معادلات اصلی دینامیکی یعنی فرمول مجموع نیروها و گشتاورهای وارد بر قرقره را بنویسیم:

$$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=m\vec{a}$$

$$\sum\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}=I\vec{\alpha}$$

در اولین معادله برای بررسی برآیند نیروهای وارد بر قرقره، باید ببینیم چه نیروهایی به آن وارد می‌شوند. از اصطکاک صرف‌نظر شده و تنها نیروی افقی وارد بر قرقره نیروی کشش نخ است. نیروی وزن و نیروی عمودی سطح هم در راستای قائم به آن وارد می‌شوند، اما چون قرقره در راستای قائم حرکتی ندارد، پس این دو نیرو اثر هم را خنثی می‌کنند. بنابراین تنها نیرویی که باعث حرکت خطی و شتاب گرفتن قرقره می‌شود، نیروی $$T$$ است:

$$\sum\vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow \ -T = ma$$

دقت کنید در نوشتن فرمول بالا فقط راستای محور xها را در نظر گرفته‌ایم. پس می‌توانیم نیرو را به شکل برداری ننویسیم و جهت نیرو را با علامت مثبت یا منفی لحاظ کنیم. اگر جهت مثبت محور x را به سمت راست در نظر بگیریم، چون نیروی کشش به سمت چپ وارد می‌شود. پس علامت منفی دارد. همچنین در فرمول بالا جرم قرقره مشخص است. اگر شتاب حرکت خطی و رو به جلو آن را با استفاده از معادلات حرکت یا سینماتیک پیدا کنیم، می‌توانیم نیروی کشش نخ را هم به‌دست آوریم. فرمول زیر شتاب را به ما می‌دهد:

$$v^2=v^2_0+2a(s-s_0)$$

در سوال توضیح داده شده است که قرقره با یک سرعت اولیه مشخص حرکت رو به جلو با مسافت معینی دارد و سپس متوقف می‌شود. پس سرعت نهایی در فرمول بالا صفر است:

$$\Rightarrow 0 = {10}^2 + 2 (2.5)a$$

$$\Rightarrow a = \frac{-100}{5} = - 20 \ \frac{m}{s^2}$$

شتاب منفی به‌دست آمد. با قرار دادن آن در فرمول بالا مقدار نیروی $$T$$ مشخص می‌شود:

$$T = -ma \Rightarrow T = - 0.5 \times - 20 =10 \ N$$

اما در این سوال ترکیبی از حرکت خطی و حرکت چرخشی را داریم. برای انجام محاسبات بخش چرخشی، لازم است به دومین معادله اصلی دینامیکی مراجعه کنیم و بررسی کنیم که اثر گشتاور در دینامیک چیست:

$$\sum\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$$

می‌دانیم گشتاور برابر است با حاصل‌ضرب نیرو در بازوی گشتاور. نیرویی که موجب چرخش قرقره می‌شود، همان نیروی کشش نخ است و بازوی گشتاور معادل است با شعاع دوک استوانه‌ای که طبق شکل با $$r$$ نشان داده می‌شود. پس پارامترهای یک سمت از تساوی بالا مشخص شد. در سمت دیگر این تساوی ممان اینرسی و شتاب زاویه‌ای را داریم. ممان اینرسی یک مخروط توپر با جرم و شعاع مشخص از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$$I = \frac{3}{10} mR^2$$

مطلب درج شده در انتهای این بخش، مرجع مناسبی برای یادگیری نحوه محاسبه ممان اینرسی اشکال هندسی مختلف از جمله قرقره در این مثال است. همچنین می‌دانیم رابطه بین سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای طبق معادلات سینماتیکی به شکل زیر است:

$$\omega=\omega_0+\alpha t$$

که با در نظر گرفتن سرعت زاویه‌ای اولیه صفر خواهیم داشت:

$$\omega=\omega_0+\alpha t \Rightarrow \omega=\alpha t$$

بنابراین معادله دینامیکی گشتاور وارد بر قرقره و شتاب زاویه‌ای که به‌دست می‌آورد، به‌صورت زیر خواهد شد:

$$\sum\vec{\tau}=I\vec{\alpha} \ \Rightarrow \ r T = \frac{3}{10} mR^2\frac{ \omega}{t}$$

دقت کنید زاویه بین نیروی کشش و بازوی گشتاور برابر است با نود درجه که سینوس آن یک می‌شود. همچنین در رابطه بالا زمان داریم که مقدارش مشخص نیست. می‌توانیم برای حذف زمان از معادله نیروی کشش را به شکل زیر بنویسیم:

$$T = m \frac{v_0}{t}$$

$$\Rightarrow \ r m \frac{v_0}{t} = \frac{3}{10} mR^2\frac{ \omega}{t}$$

با حذف کمیت‌های مشابه از دو طرف تساوی، سرعت زاویه‌ای نهایی قرقره به‌دست خواهد آمد:

$$\omega = \frac{10r v_0}{3R^2} = \frac{10\times 0.012 \times 10}{3 \times (0.1)^2} = 40 \ \frac{rad}{s}$$

دقت کنید پس از ساده‌سازی و در انتها عددگذاری انجام شد. آخرین کمیتی که باید حساب کنیم، طول نخ است. این طول معادل است با کمانی با شعاع $$r$$ و زاویه $$\theta$$:

$$l = r\theta$$

زاویه $$\theta$$ را نداریم، اما با محاسبه زمان و استفاده از فرمول‌ سینماتیکی سرعت متوسط برای حرکت زاویه‌ای می‌توانیم آن را پیدا کنیم:

$$\triangle s = \frac{v+v_0}{2} \triangle t$$

$$\Rightarrow \triangle t = \frac{2(2.5)}{0+10}=0.5 \ s$$

$$\theta = \frac{\omega+\omega_0}{2} \triangle t$$

$$\Rightarrow \theta = \frac{0.5}{2} \times0.5 = 10 \ rad$$

$$\Rightarrow l = 0.012 \times 10 = 0.12 \ m$$

پس اگر بخواهیم بدانیم روش اصولی حل یک مسئله در دینامیک چیست، لازم است ابتدا از دو معادله اصلی این بخش در مورد برآیند نیروها و گشتاورها استفاده کنیم. در ادامه در صورت نیاز لازم است معادلات خطی و زاویه‌ای با هم ترکیب شوند یا فرمول‌های سینماتیکی را نیز بکار ببریم.

مقدمات یادگیری دینامیک با فرادرس

اگر مفاهیم فیزیک مکانیک در فیزیک پایه دانشگاه را به‌خوبی فرا گرفته باشید، درک مباحث دینامیک و استاتیک در کتاب‌های مهندسی برای شما بسیار آسان‌تر خواهد بود. به همین دلیل، در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی مرتبط به‌عنوان مقدمات یادگیری دینامیک به شما معرفی کنیم. مشاهده این دور‌ه‌های آموزشی که بر مبنای کتاب‌های فیزیک پایه تهیه شده‌اند، به شما کمک می‌کند تا یاد بگیرید دینامیک چیست و درک عمیق‌تری نسبت به مفاهیم اساسی آن مانند قوانین حرکت نیوتن، قانون جهانی گرانش، معادلات حرکت و مفاهیمی مانند سرعت، شتاب و تکانه به‌دست آورید:

1. فیلم آموزش رایگان بردارها در فیزیک ۱ دانشگاهی فرادرس
2. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل مساله فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ مرور و حل تست فرادرس
6. فیلم آموزش رایگان فیزیک پایه ۱ حرکت دورانی فرادرس
7. فیلم آموزش رایگان حرکت ذره در سه بعد در مکانیک تحلیلی فرادرس
8. فیلم آموزش رایگان حرکت در چارچوب نالخت فرادرس
9. فیلم آموزش رایگان سینماتیک ذرات در دینامیک مهندسی فرادرس
10. فیلم آموزش رایگان شبیه سازی حرکت یک پرتابه در متلب فرادرس

جدول جمع‌بندی تفاوت‌های سینتیک و سینماتیک در دینامیک

در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم دینامیک چیست و چند زیرشاخه دارد. دینامیک به بررسی وضعیت حرکت جسم در شرایطی می‌پردازد که مجموع یا برآیند نیروها و/یا گشتاورهای وارد بر آن مخالف صفر است. بنابراین انتظار داریم سیستم، جسم یا ذره‌ای که در دینامیک مطالعه می‌شود دارای شتاب خطی و/یا زاویه‌ای باشد. برای اینکه بتوانیم مقدار این شتاب را محاسبه کنیم، بسته به نوع مسئله خود می‌توانیم از معادلات سینماتیکی، سینتیکی و یا هر دو استفاده کنیم. در جدول زیر خلاصه‌ای از ویژگی‌ها و تفاوت‌های سینماتیک و سینتیک بیان شده است: