ویژگی های تابع نمایی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد توابع نمایی صحبت شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا قوانین حاکم بر این توابع را به طور خلاصه بیان کرده و مثال‌هایی از آن ارائه دهیم. البته به منظور درک بهتر، مطالعه مطالب توابع نمایی و عدد $$ e $$ و مشتق لگاریتم و تابع نمایی نیز خالی از لطف نخواهند بود.

فیلم آموزشی ویژگی‌های تابع نمایی

تابع نمایی

همان‌طور که قبلا بیان شد، شکل کلی یک تابع نمایی به صورت زیر است.

$$ \large { \displaystyle f ( x ) = a b ^ { x } } $$

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – مرور و حل تمرین

اینجا کلیک کنید

حال تابع $$ y = x ^ n $$ را در نظر بگیرید. این تابع در حقیقت به صورت زیر است.

$$ \large \begin {gather*} x ^ n = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ times}}. \end{gather*} $$

در رابطه فوق، $$ x $$، پایه و $$ n $$ توان است. با توجه به تعریف فوق می‌توان برخی ویژگی‌ها را به منظور انجام اعمال ریاضی برای توابع نمایی بیان کرد. در ادامه جدولی ارائه شده که مهم‌ترین این ویژگی‌ها در آن ارائه شده‌اند.

قوانین

در این جا قصد داریم تا تعدادی از مهم‌ترین ویژگی‌های برشمرده در بالا را اثبات کنیم.

فیلم آموزش ریاضی ۲ – پایه یازدهم علوم تجربی

اینجا کلیک کنید

ضرب دو تابع با پایه برابر

اگر دو تابع با پایه برابر را در یکدیگر ضرب کنیم، در این صورت باید توان آن‌ها را با هم جمع کرد.

$$ \large \begin {gather} x ^ a x ^ b = x ^ { a + b } \end {gather} $$

در ادامه دو مثال در دو حالتِ عدد و تابع ارائه شده‌اند.

$$\large \begin{align*} 3 ^ 4 3 ^ 2 &= (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times ( 3 \times 3 ) \\ &= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\\ &= 3 ^ 6 \end {align*} $$

$$\large \begin {align*} y ^ 2 y ^ 3 & = (y \times y ) \times (y \times y \times y ) \\ &= y \times y \times y \times y \times y \\ & = y ^ 5 \end {align*} $$

در ادامه اثبات این قانون نیز بیان شده است.

$$\large \begin {align*} x ^ a x ^ b &= \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { a \text { times } } \times \underbrace { x \times \cdots \times x } _{ b \text{ times } } \\[0.2cm] & = \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { a + b \text { times} } \\[0.2cm] & = x ^ { a + b } \end {align*} $$

تقسیم با پایه برابر

در مواردی که با تقسیم دو عبارت توانی مواجه هستیم، می‌توان پایه‌ها را نگه داشته و توان‌ها را از یکدیگر کم کرد.

$$\large \begin {gather*} \frac { x ^ a } { x ^ b } = x ^ { a - b } \end {gather*} $$

در ادامه مثالی از تقسیم دو تابع نمایی با پایه برابر ارائه شده است.

$$\large \begin {align*} \require {cancel} \frac { y ^ 5 } { y ^ 3 } & = \frac { y \times y \times y \times y \times y } { y \times y \times y } \\ & = \frac { ( y \times y) \times \cancel { ( y \times y \times y ) } } { \cancel { y \times y \times y } } \\ & = y \times y = y ^ 2 \end {align*} $$

به‌ منظور اثبات این قانون دو حالت را در نظر می‌گیریم. حالت اول زمانی است که $$ a > b $$ باشد. در این حالت حاصل تقسیم را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {align*} \frac { x ^ a } { x ^ b } & = \frac { \quad \overbrace { x \times \cdots \times x} ^ { a \text { times} } \quad } { \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { b \text{ times } } } \\[0.2cm] & = \frac { \quad \overbrace { x \times \cdots \times x } ^ { a - b \text { times} } \times \overbrace {\cancel { x \times \cdots \times x } } ^ { b \text { times}}\quad} { \underbrace {\cancel{x \times \cdots \times x}}_{b \text { times}}}\\[0.2cm] &= \underbrace{x \times \cdots \times x}_{a-b \text{ times } } \\[0.2cm] & = x ^ { a - b } \end {align*} $$

حالت دوم نیز زمانی است که $$ a < b $$ برقرار باشد. در این حالت حاصل تقسیم را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large \begin{align*} \frac{ x ^ a } { x ^ b } &= \frac{\quad \overbrace{x \times \cdots \times x}^{a \text{ times}}\quad}{\underbrace{x \times \cdots \times x}_{b \text{ times}}}\\[0.2cm] & = \frac{\quad \overbrace{\cancel{x \times \cdots \times x } } ^ { a \text{ times}}\quad}{\underbrace{x \times \cdots \times x } _ { b - a \text{ times}}\times \underbrace {\cancel{x \times \cdots \times x } } _ { a \text{ times } } } \\[0.2cm] &= \frac { 1 } { \underbrace{x \times \cdots \times x } _{ b - a \text{ times } } } \\[0.2cm] \end{align*} $$

در این مرحله باید از قانون توان منفی بهره برد. در حقیقت در ابتدا توانِ منفی به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large \begin {gather} x ^ { - n } = \frac { 1 } { \underbrace { x \times x \times \cdots \times x } _ { n \text{ times} } } \end {gather} $$

نهایتا با تعریف توان منفی به صورت فوق، حاصل تقسیم نیز به صورت زیر قابل بازنویسی می‌شود.

$$\large \begin{align*} \frac { x ^ a } { x ^ b } &= \frac { \quad \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { a \text{ times} } \quad} { \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { b \text { times} } } \\[0.2cm] & = \frac { 1 } { \underbrace { x \times \cdots \times x } _ { b - a \text { times } } } \\[0.2cm] &=x^{a-b}  \end{align*} $$

توانِ توان

می‌توان تابع نمایی را به اندازه ۱ درجه نیز افزایش داد. در این حالت حاصل به صورت یک تابع نمایی واحد بدست می‌آید.

$$ \large \begin {gather} ( x ^ a ) ^ b = x ^ { a b } \end {gather} $$

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی

اینجا کلیک کنید

برای بدست آوردن حاصل عبارت بالا، کافی است، توانِ $$ b $$ را در نظر نگرفته و کسر را به صورت ضرب بیان کرد. در ادامه این کار انجام شده است.

$$ \large \begin{gather*} ( x ^ a ) ^ b = \underbrace { x ^ a \times x ^ a \times \cdots \times x ^ a } _ {b\text{ times} } \end{gather*} $$

حال با استفاده از قانون ضرب عبارت فوق به صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$ \large \begin{align*} ( x ^ a ) ^ b &= \underbrace{x^a \times x^a \times \cdots \times x ^ a } _ { b \text{ times } } \\[0.2cm] &= x^{\overbrace{a + a + \cdots + a } ^ { b \text { times}} } \\[0.2cm] & = x ^ { a b } \end {align*} $$

پایه ضربی

همان‌طور که در جدول نیز ذکر شده در این حالت کافی است هریک از ترم‌های ضرب شده، در ابتدا به توان رسیده، سپس در هم ضرب شوند. در حقیقت حاصل توان‌ در این حالت برابر است با:

$$ \large \begin {gather} ( x y ) ^ a = x ^ a y ^ a \end {gather} $$

جهت اثبات کافی است عبارت ضرب را به شکل زیر بازنویسی کنید.

$$ \large \begin {gather} ( x y ) ^ a = x ^ a y ^ a \end {gather} $$

در ابتدا باید یادآوری کنیم که حاصل ضرب یک عدد در یک عبارت را می‌توان به صورت زیر باز کرد.

$$ \large \begin{align*} ( x + y ) a &= \underbrace { ( x + y ) + ( x + y ) + \cdots + ( x + y ) } _ { a \text { times} } \\[0.2cm] &= \underbrace{x + x + \cdots + x}_{a\text{ times} } + \underbrace { y + y + \cdots + y } _ { a \text { times}} \\[0.2cm]\\ &= xa +ya \end{align*} $$

به روشی مشابه به توان رساندن ضرب دو متغیر را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \begin{align*} ( x y ) ^ a &= \underbrace { ( x y ) \times ( x y ) \times \cdots \times ( x y ) } _ { a \text{ times}}\\[0.2cm] & = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x } _ { a \text{ times} } \times\underbrace{y \times y \times \cdots \times y } _ { a \text { times} } \\[0.2cm]\\ & = x ^ a y ^ a \end{align*} $$

این قانون را می‌توان برای تقسیم نیز به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {gather*} \left ( \frac { x } { y } \right ) ^ a = \frac { x ^ a } { y ^ a } \end {gather*} $$

همان‌طور که می‌دانید این قانون برای جمع کار نمی‌کند. برای نمونه حاصل دو عبارت زیر با هم برابر نیستند.

$$ \large \begin{align*} ( 3 + 5 ) ^ 2 = 8 ^ 2 = 64 \end {align*}$$

$$ \large \begin{align*} 3 ^ 2 + 5 ^ 2 = 9 + 25 = 34 \end {align*} $$

توانِ کسری

در حالتی که عدد به توان کسر رسیده باشد، می‌توان عبارات قرار گرفته در صورت و مخرج کسر را به صورت مجزا در پرانتز قرار داده و عملیات توان را به صورت مجزا انجام داد. در ادامه مثالی ارائه شده است.

$$ \large \begin {gather*} 9 ^ { 1 / 2 } = ( 3 ^ 2 ) ^ { 1 / 2 } = 3 ^ { 2 \cdot 1 / 2 } = 3 ^ 1 = 3 \end {gather*} $$

فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی

اینجا کلیک کنید

در حالتی کلی می‌‌توان گفت که اگر $$ a $$ عددی گویا به صورت $$ a = m / n $$ باشد، در این صورت با فرض مثبت بودنِ $$ x $$، می‌توان عبارت زیر را بیان کرد:

$$ \large \begin {gather*} x ^ { m / n } = \sqrt [n] { x ^ m } = ( \sqrt [ n ] { x } ) ^ m \end {gather*} $$

در حالتی که $$ a $$ عددی گنگ همانندِ $$a= \pi $$ باشد، نمی‌توان از روش فوق استفاده کرد. در این حالت می‌توان مقدار تقریبی را با به توان رساندن عدد به عددی نزدیک به مقدار گنگ، تقریب زد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه
• اعداد گویا — به زبان ساده
• توابع نمایی و عدد e — به زبان ساده

^^