انرژی موج — از صفر تا صد

۳۶۸۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷ دقیقه
انرژی موج — از صفر تا صد

اگر مطالب میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را مطالعه کرده باشید، می‌دانید که این میدان‌ها حاوی انرژی هستند. با توجه به این که یک موج الکترومغناطیسی از دو میدان عمود بر هم تشکیل شده، بنابراین یک موج الکترومغناطیسی نیز حاوی انرژی است. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد نحوه محاسبه انرژی موج الکترومغناطیسی صحبت کرده و ارتباط آن با دامنه میدان‌ها را توضیح دهیم.

997696

انرژی موج الکترومغناطیسی

احتمالا همه شما از مایکرویو استفاده کرده‌اید. همان‌طور که احتمالا می‌دانید این دستگاه‌ها مبتنی بر انتقال انرژی ذخیره شده در امواج الکترومغناطیسی کار می‌کنند. در حقیقت هر موج الکترومغناطیسی دارای انرژی بوده و با منتقل شدن این انرژی به درون مواد، منجر به گرم شدن آن می‌شود. انرژی ذخیره شده در امواج در بعضی مواقع واضح هستند. برای نمونه اگر در تابستان در معرض نور خورشید قرار داشته باشید، انرژی تابش شده روی پوستتان را به خوبی حس خواهید کرد.

اگر مطلب موج الکترومغناطیسی را مطالعه کرده باشید خواهید دانست که این امواج از دو میدان مغناطیسی و الکتریکی عمود بر هم تشکیل شده‌اند. از طرفی این میدان‌ها حاوی انرژی هستند. در حقیقت انرژی یک موج الکترومغناطیسی همان انرژی نهفته در میدان‌های عمود بر هم هستند. هرچه دامنه میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی بیشتر باشند، در این صورت انرژی ذخیره شده در موج الکترومغناطیسی مرتبط با آن نیز بیشتر است. در یک موج الکترومغناطیسی مقدار انرژی وابسته به فرکانس و دامنه میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است.

انرژی موج
با دو برابر شدن دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی یک موج، انرژی منتقل شده توسط آن نیز دو برابر می‌شود.

ارتباط انرژی با دامنه

میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی منتشر شده را معمولا به صورت متناوب در نظر می‌‌گیرند. برای نمونه معادلات زیر می‌تواند توصیف‌کننده دو میدان الکتریکی و مغناطیسی باشد.

Ey(x,t)Ey(x,t)=E0cos(kxωt)Bx(x,t)=B0cos(kxωt)Ey(x,t) \begin {aligned} \color {white} { E _ { y } ( x , t ) } E _ { y } ( x , t ) & = E _ { 0 } \cos ( k x - \omega t ) \\ B _ { x } ( x , t ) & = B _ { 0 } \cos ( k x - \omega t ) \color {white} { E _ { y } ( x , t ) } \end {aligned}

انرژی منتقل شده در هر بخش از یک موج الکترومغناطیسی برابر با حاصل جمع انرژی نهفته در میدان الکتریکی و میدان مغناطیسیِ موج است. معمولا به جای بررسی خود انرژی از چگالی انرژی استفاده می‌شود. اگر چگالی انرژی با u u نشان داده شود، در این صورت چگالی انرژی کل قرار گرفته در یک بخش از موج الکترومغناطیسی را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

u(x,t)=uE+uB=12ϵ0E2+12μ0B2 u ( x , t ) = u _ { E } + u _ { B }‌ = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } E ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } B ^ { 2 }

 ϵ0 ϵ _ 0 نشان‌دهنده ضریب گذردهی و μ0 \mu _ 0 نیز تراوایی مغناطیسی را نشان می‌دهد. در حالتِ E=cB=1ϵ0μ0B E = c B = \frac { 1 } { \sqrt { \epsilon _ 0 \mu _ 0 } } B ، چگالی انرژی مغناطیسی و چگالی انرژی الکتریکی با هم برابر هستند. در این حالت مقدار چگالی انرژی برابر است با:

u(x,t)=ϵ0E2=B2μ0 u ( x , t ) = \epsilon _ 0 E ^ 2 = \frac { B ^ 2 } { \mu _ 0 }

حال استوانه‌ای را به شکل زیر در نظر بگیرید. طول این استوانه برابر با  cΔt c Δ t (طول این استوانه برابر با مسافتی در نظر گرفته شده که نور با سرعت c c می‌کند) و سطح مقطع آن نیز برابر با A A است.

انرژی موج

در این صورت میزان انرژی عبوری از استوانه فوق، در زمان Δt \Delta t برابر است با:

magnetic-flux

مقدار انرژی عبوری،‌ در واحد زمان که از سطح عمود به جهت موج (جبهه موج) عبور می‌کند، تحت عنوان چگالی انرژی شناخته شده و آن را به‌ صورت حاصل تقسیم زیر نشان می‌دهند.

wave-energy

به طور کلی‌تر می‌توان گفت که شار انرژی نیز وابسته به جهت بردار عمود بر صفحه است. به منظور اعمال کردن تاثیر این جهت، از برداری تحت عنوان پوئینتینگ استفاده می‌شود. این بردار با استفاده از ضرب خارجی زیر تعریف می‌شود.

S=1μ0E×B \overrightarrow { S } = \frac { 1 } { \mu _ 0 } \overrightarrow { E } \times \overrightarrow { B }

بدیهی است که بردار فوق به هر دو بردار میدان الکتریکی و مغناطیسی عمود است. با توجه به میدان کسینوسی در نظر گرفته شده برای میدان الکتریکی و مغناطیسی، بردار شار انرژی یا همان S S برابر است با:

S(x,t)=cϵ0E02cos2(kxωt)S(x,t)=cϵ0E02cos2(kxωt)S(x,t)=cϵ0E02cos2(kxωt) \color {white} { { S ( x , t ) = c \epsilon _ { 0 } E _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k x - \omega t ) } } S ( x , t ) = c \epsilon _ { 0 } E _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k x - \omega t ) \color {white} { { S ( x , t ) = c \epsilon _ { 0 } E _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k x - \omega t ) } }

برای درک رابطه فوق نور را در نظر بگیرید. همان‌طور که احتمالا می‌دانید فرکانس نور، عددی بالا و در حدود 1014Hz 1 0 ^ { 14 } H z است. از این رو شار انرژی گذرنده از یک سطح که ناشی از پرتو نور است، با سرعت بسیار زیادی تغییر می‌کند. بسیاری از دستگاه‌های اندازه‌گیری از جمله چشم انسان، در یک بازه زمانی، مقداری متوسط از این انرژی را اندازه‌گیری می‌کنند.

با توجه به فرکانس بالای موج، از مفهومی تحت عنوان شدت موج استفاده می‌کنند. شدت موج یا I I نشان‌دهنده میانگین انرژی است که از واحد سطح عبور می‌کند. برای محاسبه شدت باید میانگین بردار پوئینتیگ را در یک دوره زمانی بدست آوریم. از این رو می‌توان از انتگرال استفاده کرد. در نتیجه شدت یک موج با دوره تناوب T T برابر است با:

I=Savg=cϵ0E021T0Tcos2(2πtT)dt I = S _ { a v g } = c \epsilon _ 0 E _ 0 ^ 2 \frac { 1 } { T } \int _ 0 ^ T cos ^ 2 \, \left( 2 \pi \frac { t } { T } \right) d t

میانگین توان دوم تابعی سینوسی یا کسینوسی برابر با 12 \frac { 1 } { 2 } است (در یک دوره تناوب). از این رو حاصل انتگرال فوق برابر می‌شود با:

I=Savg=12cϵ0E02 I = S _ { a v g } = \frac { 1 } { 2 } c \epsilon _ 0 E _ 0 ^ 2

رابطه فوق بر حسب ماکزیمم مقدار میدان الکتریکی بیان شده است. این رابطه را می‌توان بر حسب ماکزیمم مقدار میدان مغناطیسی، به صورت زیر بیان کرد:

I=cB022μ0 I = \frac { c B _ 0 ^ 2 } { 2 \mu _ 0 }

با استفاده از رابطه  cB0=E0 c B _ 0 = E _ 0 ، می‌توان مقدار شدت را همزمان بر حسب ماکزیمم میدان مغناطیسی و الکتریکی بیان کرد:

I=E0B02μ0 I = \frac { E _ 0 B _ 0 } { 2 \mu _ 0 }

توجه داشته باید که بسته به نوع مسئله، می‌توان هریک از سه رابطه فوق را استفاده کرد.

مثال ۱

فرض کنید که شدت نور یک لیزر در حدود 1.0×103W/m2 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 3 } W / m ^ 2 باشد. دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی این موج را بیابید.

با توجه به رابطه I=12cϵ0E02 I = \frac { 1 } { 2 } c \epsilon _ 0 E _ 0 ^ 2 \nonumber ، دامنه میدان الکتریکی برابر است با:

E0=2cϵ0I=2(3.00×108m/s)(8.85×1012F/m)(1.0×103V/m2)=0.87V/m. \begin {align*} E _ 0 & = \sqrt { \frac { 2 } { c \epsilon _ 0 } I } \\[4pt] & = \sqrt { \frac { 2 } { ( 3 .00 \times 10^8 m / s ) ( 8.85 \times 10 ^ {-12} F / m ) } \left( 1.0 \times 10^{-3} V / m ^ 2 \right) } \\[4pt] & = 0.87 \, V / m. \end {align*}

در نتیجه دامنه میدان مغناطیسی نیز به صورت زیر و به راحتی قابل محاسبه است.

B0=E0c=2.9×109T B _ 0 = \frac { E _ 0 } { c } = 2.9 \times 10 ^ { - 9 } \, T \nonumber

مثال ۲

مطابق با شکل زیر فرض کنید یک لامپ 5W 5 W در یک اتاق روشن است. دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی نور ناشی از این لامپ در فاصله 3 3 متر چقدر است.

electromagnetic-wave

انرژی در نتیجه نور مرئی تابش می‌شود. بنابراین دامنه میدان الکتریکی برابر می‌شود با:

I=P4πr2=cϵ0E022 I = \frac { P } { 4 \pi r ^ 2 } = \frac { c \epsilon _ 0 E _ 0 ^ 2 } { 2 }

E0=2P4πr2cϵ0=25.00W4π(3.0m)2(3.00×108m/s)(8.85×1012C2/Nm2)=5.77N/C, E _ 0 = \sqrt { 2 \frac { P } { 4 \pi r ^ 2 c \epsilon _ 0 } } = \sqrt { 2 \frac { 5 . 0 0 \, W } { 4 \pi (3.0 \, m ) ^ 2 (3.00 \times 10 ^ 8 \, m / s ) ( 8.85 \times 10 ^ { - 1 2 } C ^ 2 / N \cdot m ^ 2 ) } } = 5.77 \, N / C,

در نتیجه دامنه میدان مغناطیسی نیز برابر است با:

B0=E0/c=1.92×108T B _ 0 = E _ 0 / c = 1 . 92 \times 10 ^ { - 8 } \, T

مثال ۳

یک فرستنده رادیویی 60kW 60 kW ، سیگنالی را به سمت یک ماهواره که در فاصله ۱۰۰ کیلومتری زمین قرار گرفته، می‌فرستد. اگر قدرت سیگنال به 90kW 90 kW افزایش یابد، در این صورت در چه فاصله‌ای، دامنه میدان برابر با حالت اولیه است (جهت ارسال موج را در هر دو حالت یکسان در نظر بگیرید).

electromagnetic-energy

همان‌طور که در تصویر فوق نیز نشان داده شده، با افزایش فاصله از منبع انتشار، میزان انرژی قرار گرفته در جبهه نیز زیاد می‌شود. ثابت ماندن دامنه میدان به معنای ثابت ماندن عبارت زیر است.

I=PA=cϵ0E022 I = \frac { P } { A } = \frac { c \epsilon _ 0 E _ 0 ^ 2 } { 2 }

بنابراین فاصله در حالت دوم برابر است با:

r22r12=A2A1=90W60W,r2=(9060)(100km)=122km. \begin {align*} \frac { r _ 2 ^ 2 } { r _ 1 ^ 2 } &= \frac { A _ 2 } { A _ 1 } = \frac { 90 \, W } { 60 \, W }, \\[4pt] r _ 2 & = \sqrt {\left( { \frac { 9 0 } {6 0} } \right)} ( 100 \, km) \\[4pt] &= 122 \, km. \end{align*}

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۲۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Phys.libretexts
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *