اندازه گیری زاویه با گونیا — به زبان ساده + مثال های تصویری

گونیا وسیله‌ای مثلث‌شکل است که برای ساخت زوایای ۹۰ درجه مورد استفاده قرار می‌گیرد. گونیا، در اندازه‌گیری و ساخت برخی از زاویه‌ها نیز کاربرد دارد. در این آموزش، روش‌های مختلف اندازه گیری زاویه با گونیا و ساخت بسیاری از زوایا را به صورت تصویری آموزش می‌دهیم.

زاویه چیست و چگونه اندازه گیری می شود ؟

به اندازه میان دو نیم‌خط، «زاویه» می‌گویند. زاویه‌ها معمولا با استفاده از ابزاری به نام نقاله اندازه گیری شده و با واحد درجه بیان می‌شوند.

فیلم مجموعه آموزش دروس پایه هفتم – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، یک زاویه حاده (کوچک‌تر از ۹۰ درجه) را نمایش می‌دهد.

گونیا چیست؟

گونیا، وسیله‌ای به شکل مثلث قائم الزاویه است. این ابزار هندسی، معمولا از پلاستیک ساخته می‌شود. با این حال، مدل‌های فلزی و چوبی گونیا نیز قابل تهیه هستند. تصویر زیر، دو نوع متداول از گونیا را نمایش می‌دهد.

به گونیا سمت راست، گونیای ۳۰-۶۰ و به گونیای سمت چپ، گونیای ۴۵-۴۵ می‌گویند. در تمام انواع گونیاها، یکی از زاویه‌ها برابر با ۹۰ درجه است. به همین دلیل، نامگذاری آن‌ها بر اساس دو زاویه دیگر انجام می‌گیرد. علاوه بر این، ضلع‌های متصل به زاویه ۹۰ درجه، با عنوان ساق‌های گونیا شناخته می‌شوند.

ساخت زاویه با گونیا چگونه است؟

کاربرد اصلی گونیا، اندازه گیری زاویه نیست. این وسیله، بیشتر در رسم برخی از زاویه‌های مشخص نظیر زاویه راست (زاویه قائمه) کاربرد دارد. علاوه بر این، با در اختیار داشتن دو گونیا ۳۰-۶۰ و ۴۵-۴۵، می‌توان زاویه‌های ۱۵، ۳۰، ۴۵، ۶۰، ۷۵، ۹۰، ۱۰۵، ۱۲۰، ۱۳۵، ۱۵۰ و ۱۸۰ درجه را رسم کرد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه، نحوه اندازه گیری این زاویه ها با گونیا و روش رسم آن‌ها را آموزش می‌دهیم. این آموزش را با زاویه‌های اصلی گونیا شروع می‌کنیم.

اندازه گیری زاویه ۳۰ درجه با گونیا

یکی از زاویه‌های گونیا ۳۰-۶۰ برابر با ۳۰ درجه است. در گونیای زیر، گوشه‌ای که زاویه کوچک‌تر یا اصطلاحا نوک تیزتری دارد، زاویه ۳۰ درجه را نمایش می‌دهد.

به منظور رسم زاویه ۳۰ درجه توسط گونیا، آن را بر روی یک صفحه قرار دهید. سپس، دو نیم‌خط در کنار لبه‌های زاویه ۳۰ درجه آن رسم کنید.

اکنون، گونیا را از روی صفحه بردارید. زاویه به دست آمده، ۳۰ درجه است.

اندازه گیری زاویه ۶۰ درجه با گونیا

در گونیای ۳۰-۶۰، گوشه‌ای که از نظر اندازه بین دو زاویه دیگر است، زاویه ۶۰ درجه را نمایش می‌دهد.

به منظور رسم زاویه ۶۰ درجه با گونیای بالا، قلم خود را بر روی راس مورد نظر قرار دهید و دو نیم‌خط در کنار ضلع‌های گونیا بکشید.

در انتها، گونیا را از روی صفحه بردارید. اندازه زاویه به دست آمده، برابر با ۶۰ درجه است.

اندازه گیری زاویه ۹۰ درجه با گونیا

بزرگ‌ترین ازویه در هر گونیا، زاویه ۹۰ درجه است. تصویر زیر، زاویه ۹۰ درجه در یک گونیای ۴۵-۴۵ را نمایش می‌دهد.

مانند زاویه ۳۰ و ۶۰ درجه، به منظور رسم یک زاویه ۹۰ درجه توسط گونیا، تنها کاری که باید بکنید، کشیدن دو نیم‌خط در کنار ساق‌های گونیا است.

زاویه ۹۰ درجه (راست یا قائمه)، معمولا با علامت یک مربع کوچک در محل تقاطع نیم‌خط‌ها نمایش داده می‌شود.

اندازه گیری زاویه ۴۵ درجه با گونیا

گونیای ۴۵-۴۵، دارای دو زاویه برابر به اندازه ۴۵ درجه است. زوایای ۴۵ درجه این گونیا را به راحتی می‌توان تشخیص داد. ساق‌های زاویه قائمه گونیای ۴۵-۴۵، برابر هستند. بنابراین، این وسیله، برای رسم مربع بسیار مناسب است.

یکی از زاویه‌های ۴۵ درجه گونیا بالا را انتخاب می‌کنیم. با رسم دو نیم‌خط در کنار ضلع‌های آن زاویه، شکل زیر به وجود می‌آید.

تا به اینجا، نحوه رسم زاویه‌های اصلی توسط یک گونیا را آموزش دادیم. در ادامه، رسم زاویه‌های حاصل از جمع و تفریق این زاویه‌ها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

اندازه گیری زاویه ۱۵ درجه با گونیا

یکی از زوایایی که می‌توان توسط دو گونیا آن را رسم، زاویه ۱۵ درجه است. زاویه ۱۵ درجه، از اختلاف زاویه ۴۵ درجه با زاویه ۳۰ درجه و اختلاف زاویه ۶۰ درجه با زاویه ۴۵ درجه به دست می‌آید. یک گونیای ۴۵-۴۵ را بر روی صفحه قرار دهید. سپس، یکی از زاویه‌های ۴۵ درجه آن را رسم کنید. گوشه ۳۰ درجه گونیای ۳۰-۶۰ را بر روی راس زاویه ۴۵ درجه قرار دهید. سپس، یکی از ضلع‌های گونیای ۳۰-۶۰ را بر روی یکی از نیم‌خط‌های زاویه ۴۵ درجه منطبق کنید.

یک نیم‌خط، در کنار ضلع دیگر راس ۳۰ درجه بکشید.

اکنون، زاویه ۴۵ درجه به دو زاویه کوچک‌تر تبدیل می‌شود. مطابق با تصویر بالا، یکی از زاویه‌ها برابر با ۳۰ درجه است.

زاویه دیگر، از اختلاف زاویه ۴۵ درجه با زاویه ۳۰ درجه به دست می‌آید. این زاویه برابر با ۱۵ درجه است.

در روش دوم، ابتدا زاویه ۶۰ را رسم کرده و سپس، گوشه ۴۵ درجه گونیای دوم را مطابق شکل زیر بر روی تنظیم کنید.

مشابه روش قبل، خطی را در کنار ضلع دیگر گونیا بکشید.

این خط، زاویه ۶۰ درجه را به دو زاویه ۴۵ و ۱۵ درجه تقسیم می‌کند.

رسم زاویه ۶۰ درجه و ۳۰ درجه با یکدیگر

زاویه ۶۰ درجه از اختلاف بین زاویه‌های ۹۰ و ۳۰ درجه نیز به دست می‌آید. زاویه ۳۰ درجه نیز، اختلاف زاویه‌های ۹۰ و ۶۰ است. بنابراین، اگر یک گونیای ۳۰-۶۰ داشته باشیم، می‌توانیم این دو زاویه در کنار یکدیگر رسم کنیم. به این منظور، ابتدا یک زاویه ۹۰ درجه می‌کشیم. سپس، یکی از گوشه‌های ۶۰ درجه یا ۳۰ درجه گونیا را مطابق با تصویر زیر بر روی زاویه قائمه منطبق می‌کنیم.

با رسم نیم‌خط دیگر، دو زاویه ۶۰ درجه و ۳۰ درجه به وجود می‌آیند.

اندازه گیری زاویه ۷۵ درجه با گونیا

در دو بخش قبلی، زاویه‌های ۱۵، ۳۰ و ۶۰ درجه را با استفاده از اختلاف زوایای گونیا به دست آوردیم. یکی دیگر از روش‌های رسم زاویه با گونیا، کنار هم گذاشتن گونیاها یا جمع زاویه‌ها است. به عنوان مثال، زاویه ۷۵ درجه از دو زاویه ۴۵ و ۳۰ درجه تشکیل می‌شود. به عبارت دیگر، با کنار هم قرار دادن گوشه ۴۵ درجه‌ای یک گونیای ۴۵-۴۵ و گوشه ۳۰ درجه‌ای یک گونیای ۳۰-۶۰ (مشابه تصویر زیر)، می‌توانیم یک زاویه ۷۵ درجه بسازیم.

اکنون، از روی راس مشترک دو گونیا، دو نیم‌خط در کنار ضلع‌های غیر مشترک آن‌ها رسم می‌کنیم.

دو گونیا را از روی صفحه بر می‌داریم. اندازه زاویه رسم شده، ۷۵ درجه است.

اندازه گیری زاویه ۱۰۵ درجه با گونیا

در بخش قبلی، روند ایجاد زاویه‌های مختلف با کنار هم قرار دادن دو گونیا را فرا گرفتید. در ادامه، تنها به نمایش نحوه قرارگیری گونیاها برای ساخت زاویه‌های جدید را می‌پردازیم. تصویر زیر، ترکیب دو زاویه ۶۰ درجه با ۴۵ درجه و تشکیل یک زاویه ۱۰۵ درجه است.

اندازه گیری زاویه ۱۲۰ درجه با گونیا

زاویه ۱۲۰ درجه، از جمع دو زاویه ۶۰ درجه به دست می‌آید. بنابراین، می‌توانیم این زاویه به کمک یک گونیا ۳۰-۶۰ رسم کنیم. به این منظور، پس از رسم یک زاویه ۶۰ درجه، یکی از ضلع‌های گوشه ۶۰ درجه گونیا را بر روی یکی از نیم‌خط‌های زاویه رسم شده قرار می‌دهیم.

اندازه گیری زاویه ۱۳۵ درجه با گونیا

زاویه ۱۳۵ درجه، حاصل‌جمع دو زاویه ۹۰ و ۴۵ درجه است. رسم این زاویه، هم با یک گونیای ۴۵-۴۵ و هم با دو گونیا قابل انجام است. در حالت اول، ابتدا باید یکی از زاویه‌های ۹۰ یا ۴۵ درجه را رسم کنیم. سپس، با تنظیم گوشه ۴۵ یا ۹۰ گونیا، زاویه ۱۳۵ را به دست بیاوریم.

اندازه گیری زاویه ۱۵۰ درجه با گونیا

جمع دو زاویه ۶۰ و ۹۰ درجه برابر با ۱۵۰ درجه است. به منظور رسم این زاویه، دو روش وجود دارد. روش اول با استفاده از دو گونیا انجام می‌گیرد. روش دوم، مشابه بخش‌های قبلی، رسم یک زاویه با یک گونیا و تنظیم دوباره آن گونیا برای رسیدن به زاویه مورد نظر است.

اندازه گیری زاویه ۱۸۰ درجه با گونیا

آخرین زاویه‌ای که در این آموزش با گونیا می‌سازیم، زاویه ۱۸۰ درجه است. این زاویه، از کنار هم قرار دادن دو زاویه ۹۰ درجه به دست می‌آید. تصویر زیر، نحوه ایجاد یک زاویه ۱۸۰ درجه با گونیای ۳۰-۶۰ را نمایش می‌دهد.

اندازه گیری زاویه با گونیا

در این بخش، کاربرد گونیا در اندازه‌گیری زاویه و تشخیص نوع زاویه‌ها را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: تعیین نوع زاویه با گونیا

نوع زاویه‌های نمایش داده شده در تصویر زیر را تعیین کنید.

به منظور تعیین نوع زاویه‌های بالا، از گوشه قائم گونیا استفاده می‌کنیم. به این ترتیب، گوشه ۹۰ درجه‌ای گونیا را بر روی راس قرار می‌دهیم و یکی از ضلع‌های آن را بر روی یکی از نیم‌خط‌ها منطبق می‌کنیم.

زاویه بالا-راست، اندازه کمتری نسبت به زاویه ۹۰ درجه دارد. بنابراین، این زاویه، یک زاویه حاده است. زاویه بالا-چپ، اندازه بیشتری نسبت به زاویه ۹۰ درجه دارد. از این‌رو، این زاویه، به عنوان یک زاویه منفرجه در نظر گرفته می‌شود. نیم‌خط‌های زاویه پایین-راست، دقیقا بر روی ضلع‌های گونیا قرار دارند. به همین دلیل، این زاویه راست یا قائمه است. زاویه پایین-چپ، هیچ راسی ندارد. این زاویه، یک زاویه نیم‌صفحه محسوب می‌شود.

مثال ۲: تعیین تعداد زاویه‌های راست

شکل زیر، چند زاویه راست دارد؟

برای تعیین تعداد زاویه‌های راست شکل بالا، گوشه قائم گونیا را به ترتیب بر روی تمام راس‌ها قرار می‌دهیم و زاویه بین دو ضلع مجاور را بررسی می‌کنیم. اگر دو ضلع مجاور، دقیقا بر روی ساق‌های گونیا منطبق باشند، زاویه بین آن دو ضلع، راست است.

همان‌طور که از تصویر بالا مشخص است، فقط دو راس چندضلعی، شرایط راست بودن را دارند.

مثال ۳: تشخیص شکل

دو شکل زیر را در نظر بگیرید. اندازه تمام ضلع‌های این شکل‌ها با هم برابر است. نام هر یک را بنویسید.

به منظور تشخیص نوع شکل‌های بالا، زاویه‌های داخلی آن‌ها را به ترتیب اندازه می‌گیریم.

در شکل سمت راست، هیچ یک از زاویه‌ها برابر با ۹۰ درجه نیستند. بنابراین، به دلیل برابر بودن تمام ضلع‌ها، این شکل، به عنوان یک لوزی در نظر گرفته می‌شود. در طرف مقابل، شکل سمت چپ، چهار زاویه راست و چهار ضلع هم‌اندازه دارد. در نتیجه، این شکل، یک مربع است.

مثال ۴: رسم عمود خط

با استفاده از گونیا، خطی را رسم کنید که از نقطه «ب» عبور کند و بر خط «ن» عمود باشد.

اگر یک خط با خط دیگر، زاویه ۹۰ درجه بسازد، می‌گوییم این دو خط بر هم عمود هستند. بنابراین، برای حل مسئله، یکی از ساق‌های گونیا را بر روی خط «ن» منطبق می‌کنیم. سپس، ساق را بر روی خط حرکت می‌دهیم تا نقطه «ب»، در کنار ساق دیگر گونیا قرار گیرد.

در انتها، یک خط بر روی ساق دیگر گونیا رسم می‌کنیم.

به این ترتیب، خط عمود بر «ن» ایجاد می‌شود.

مثال ۵: تشخیص موازی بودن دو خط

با استفاده از گونیا مشخص کنید که آیا دو خط زیر موازی هستند؟

به خاطر داشته باشید که دو خط عمود بر یک خط، با هم موازی هستند. از این‌رو، گونیا، ابزار بسیار خوبی برای تشخیص موازی بودن یا نبودن دو خط است. به این منظور، ابتدا خطی عمود بر یکی از خط‌های بالا را رسم می‌کنیم. خط عمود باید از خط دیگر نیز عبور کند (مانند تصویر زیر).

علامت عمود را مشخص می‌کنیم.

اکنون گونیا را محیط تقاطع خط دوم با عمود خط اول می‌بریم و زاویه آن را اندازه می‌گیریم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، عمود خط اول، بر خط دوم نیز عمود است. بنابراین، دو خط مورد سوال، موازی هستند.