انتگرال e و محاسبه آن | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با انتگرال و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم و در مطلبی، نمونه سوال‌هایی از مبحث انتگرال را ارئه و حل کردیم. همچنین، در آموزش‌هایی به انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال توابع کسری، انتگرال توابع هیپربولیک، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال توابع گنگ، انتگرال رادیکالی و انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی پرداختیم. در این آموزش با انتگرال e و روش محاسبه آن آشنا شده و مثال‌هایی از حل آن را بررسی می‌کنیم.

فرمول محاسبه انتگرال e

تابع نمایی یکی از توابع مهم است که در ریاضی بسیار با آن سر و کار داریم. مشتق و انتگرال e برابر با خودش است. با استفاده از فرمول زیر می‌توان از تابع نمایی انتگرال گرفت:

$$ \large \int e ^ x \, d x = e ^ x + C . $$

اگر به جای e عدد دیگری داشته باشیم، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large ∫ a ^ x \, d x = \dfrac { a ^ x } { \ln a } + C .$$

چند فرم متداول از انتگرال e

حالت ۱: فرض کنید یک تابع نمایی به شکل زیر در انتگرال داشته باشیم:

$$ \large \int e ^ x \big ( f ( x ) + f’ ( x ) \big ) \, d x $$

در این حالت، حاصل انتگرال برابر خواهد بود با:

$$ \large e ^ x f ( x ) + C . $$

حالت ۲: فرض کنید انتگرال به فرم $$ \displaystyle I = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) $$ باشد. در این صورت، حاصل آن برابر است با:

$$ \large I = \dfrac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } . $$

اثبات: انتگرال بالا را به کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء حل می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} I & = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \ d x \\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \sin ( b x + c ) \ d x\\\\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \left ( \frac { e ^ { a x } } { a } \sin ( b x + c ) – \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \right ) \ d x \\\\ & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } – \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } I . \end {aligned} $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} I \left ( 1 + \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } \right ) & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } \\ \Rightarrow I & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } . \end {aligned} $$

حالت ۳: اگر انتگرال به فرم $$ \displaystyle \int \frac { a e ^ x + b e ^ { – x } } { p e ^ x + q e ^ { – x } } d x $$ باشد، می‌توانیم از تساوی $$ \text {(NUM)} = \alpha \text {(DEN)} + \beta \frac { d } { d x } \text {(DEN)} $$ استفاده کنیم که در آن، $$\text{NUM}$$ صورت کسر انتگرالده و $$ \text{DEN}$$ مخرج آن است. در این صورت، می‌توانیم انتگرال را با روش‌های معمول حل کنیم.

مثال‌های حل انتگرال e

در این بخش، مثال‌هایی را از انتگرال e حل می‌کنیم.

مثال ۱ انتگرال e

انتگرال تابع $$e^{−x} $$ را بیابید.

حل: از تغییر متغیر $$ u = – x $$ و در نتیجه، $$d u = – 1 d x $$ استفاده می‌کنیم. با ضرب معادله $$du$$ در $$-1$$ تساوی $$-du=dx$$ را خواهیم داشت. در نتیجه، انتگرال e به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large ∫ e ^ { − x } \, d x = − ∫ e ^ u \, d u = − e ^ u + C = − e ^ { − x } + C . \nonumber $$

مثال ۲ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x $$

حل: حاصل این انتگرال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {aligned} \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x & = 3 \int e ^ x d x + \int 2 ^ x \, d x \\ & = 3 e ^ x + \frac { 2 ^ x } { \ln 2 } + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۳ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int e ^ { x + 2 } \, d x $$

حل: برای حل انتگرال، داریم:

$$ \large \begin {aligned} \int e ^ { x + 2 } \, d x & = \int e ^ x e ^ 2 \, d x \\ & = e ^ 2 \int e ^ x \, d x \\ & = e ^ 2 e ^ x + C \\ & = e ^ { x + 2 } + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۴ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را حل کنید:

$$ \large \int e ^ x \big ( \sin ( x ) + \cos ( x ) \big ) \, d x $$

حل: این انتگرال به فرم $$ \displaystyle \int e ^ x \big ( f ( x ) + f’ ( x ) \big ) \, d x $$  است که در آن، $$ f ( x ) = \sin ( x ) $$. بنابراین، انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large e ^ x \sin ( x ) + C . $$

مثال ۵ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int e ^ { 2 x } \cos ( 5 x + 3 ) \, d x $$

حل: با توجه به حالت دوم که معرفی کردیم، خواهیم داشت:

$$ \large \frac { e ^ { 2 x } \big ( 2 \cos ( 5 x + 3 ) + 5 \sin ( 5 x + 3 ) \big ) } { 2 9 } + C . $$

 

مثال ۶ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { – x } } { e ^ x – 5 e ^ { – x } } \, d x $$

حل: با توجه به آنچه در حالت سوم گفتیم، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ \large 2 e ^ x + 3 e ^ { – x } = \alpha ( e ^ x – 5 e ^ { – x } ) + \beta ( e ^ x + 5 e ^ { – x } ) . $$

با مقایسه ضرایب $$ e ^ x $$ و $$ e ^ { – x } $$، روابط $$ \alpha + \beta = 2 $$ و $$ \alpha – \beta = -\frac 35 $$ را خواهیم داشت که منجر به $$ \alpha = \frac {7}{10} $$ و $$ \beta = \frac { 13}{10} $$ می‌شود. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { – x } } { e ^ x – 5 e ^ { – x } } d x = \alpha \int d x + \beta \int \frac { e ^ x + 5 e ^ { -x } } { e ^ x – 5 e ^ { – x } } d x . \quad (*)$$

با قرار دادن $$ e ^ x – 5 e ^ {-x } = t $$ و در نتیجه، $$ (e ^ x + 5 e ^ {-x} ) d x = d t  $$، عبارت بالا برابر خواهد بود با:

$$ \large \begin {aligned} (*) & = \frac 7 { 1 0 } \int d x +\frac { 1 3 } { 1 0 } \int \frac { d t } { t } \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln | t | + C \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln \big | e ^ x – 5 e ^ { – x } \big | + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۷ انتگرال e

انتگرال تابع $$ e^x\sqrt{1+e^x} $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرالده را بازنویسی می‌کنیم:

$$ \large ∫ e ^ x \sqrt { 1 + e ^ x } \, d x = ∫ e ^ x ( 1 + e^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x . $$

با استفاده از تغییر متغیر $$ u = 1 + e ^ x $$ و در نتیجه، $$ d u = e ^ x d x $$، خواهیم داشت:

$$ \large ∫ e ^ x ( 1 + e ^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x = ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u . $$

در نتیجه:

$$ \large ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u = \dfrac { u ^ { 3 / 2 } }{ 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } ( 1 + e ^ x ) ^ { 3 / 2 } + C $$

مثال 8 انتگرال e

انتگرال $$ \displaystyle ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x^ 3 } \, d x $$ را محاسبه کنید.

حل: توان $$e$$ را برابر با $$ u $$ قرار داده و در نتیجه، $$ u=2x^3 $$ و $$ du=6x^2\,dx $$ را خواهیم داشت. بنابراین، انتگرال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x ^ 3 } \, d x = \frac { 1 } { 2 }∫ e ^ u \, d u . $$

در نتیجه، حاصل انتگرال e برابر خواهد بود با:

$$ \large \frac { 1 } { 2 } ∫ e ^ u \, d u = \frac { 1 }{ 2 } e ^ u + C = \frac { 1 } { 2 } e ^ 2 x ^ 3 + C . $$

مثال 9 انتگرال e

حاصل انتگرال معین زیر را به دست آورید.

$$ \large ∫ ^ 1 _ 0 x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x . $$

حل: از تغییر متغیر $$ u = 4 x ^ 3 + 3 $$ و در نتیجه، $$ d u = 8 x d x $$ استفاده می‌کنیم. در این صورت، باید حدود انتگرال‌گیری را اصلاح کنیم: وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ u = 3 $$ و وقتی $$ x = 1 $$ باشد، $$ u = 7 $$ خواهد بود. بنابراین، جواب انتگرال e به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} ∫ ^ 1 _ 0x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x & = \dfrac { 1 } { 8 } ∫ ^ 7 _ 3 e ^ u \, d u \\[5pt] & = \dfrac { 1 } { 8 } e ^u | ^ 7 _ 3 \\[5pt] & = \dfrac { e ^ 7 − e ^ 3 }{ 8 } \\[5pt] & ≈ 1 3 4.568 \end {align*} $$

مثال 10 انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } } { x ^ 2 } \, d x . \nonumber $$

حل: مسئله را بازنویسی می‌کنیم. ابتدا $$ e ^ \frac 1 x $$ را به صورت $$ e ^ {x ^ {- 1 }} $$ و \frac { 1 } { x ^ 2 } $$ را به صورت $$ x ^ { – 2 } $$ می‌نویسیم. بنابراین، انتگرال e به فرم زیر در می‌آید:

$$ \large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } }{ x ^ 2 } \, \, d x = ∫ ^ 2 _ 1 e ^ { x ^ { − 1 } } x^ { − 2 } \, d x . $$

با در نظر گرفتن $$ u=x^{−1} $$ و در نتیجه، $$ du=−x^{−2}\,dx $$. بنابراین، انتگرال e به صورت زیر در می‌آید:

$$ \large −∫e^u\,du. \nonumber $$

در ادامه، حدود انتگرال‌گیری را تغییر می‌دهیم:

$$ \large u=(1)^{−1}=1 \nonumber $$

$$ \large u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber $$

بنابراین، جواب انتگرال e برابر است با:

$$ \large − ∫ ^ { 1 / 2 } _ 1 e ^ u \, d u = ∫ ^ 1 _ { 1 /2 } e ^ u \, d u = e ^ u \big | ^ 1 _{ 1 / 2 } = e − e ^ { 1 / 2 } = e − \sqrt { e } .\nonumber $$

 

مثال 1۱ انتگرال e

انتگرال $$ \displaystyle { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا از $$ e ^ { 9 x } $$ فاکتور می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*} \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x
& = \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x + 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x \\
& = { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x} e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\ & = { \int \big ( \big ( e ^ { 9 x } \big ) \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\
& = { \int \big ( e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3} \, d x } \\
& = { \int e ^ { ( 9 x ) ( 1 / 3 ) } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\
& = { \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x }
\end {align*} $$

از تغییر متغیر $$ u = 27 + e ^ { 3 x } $$ و در نتیجه، $$ d u = 3 e ^ { 3 x } d x $$ استفاده می‌کنیم و با توجه به انتگرال e خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x
& = { \int \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, e ^ { 3 x } d x } = { \int u ^ { 1 / 3 } \, ( 1 / 3 ) d u } \\
& = { ( 1 / 3 ) \int u ^ { 1 / 3 } \, d u }
= { ( 1 / 3 ) { u ^ { ( 1 / 3 ) + 1 } \over ( 1 / 3 ) + 1 } } + C \\ & = { ( 1 / 3 ) { u ^ { 4 / 3 } \over 4 / 3 } } + C
= { ( 1 / 3 ) ( 3 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C \\
& = { ( 1 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C
\end {align*} $$

مثال 1۲ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over
\sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x } $$

حل: از تغییر متغیر $$ u = e ^ { 2 x }  + 6 e ^ x + 1 $$ و در نتیجه، $$ d u = 2 e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x $$ استفاده می‌کنیم. با استفاده از فرمول انتگرال e می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*} { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x }
& = \displaystyle { 8 \int { 1 \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x } \\
& = { 8 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, ( 1 / 2) d u } = 8 ( 1 / 2 ) \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u \\
& = { 4 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u }
= { 4 \int u ^ { – 1 / 2 } \, d u } = { 4 { u ^ { ( – 1 / 2 ) + 1 } \over { ( – 1 / 2 ) + 1} } } + C \\
& = { 4 { u ^ { 1 / 2 } \over { 1 / 2 } } } + C = { 4(2) u^{1/2} } + C = { 8 ( e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 ) ^ { 1 / 2 } } + C \\
& = { 8 \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } + C
\end {align*} $$

فهرست انتگرال‌های نمایی e

در این بخش، فهرستی از انتگرال‌های توابع نمایی مختلف را ارائه می‌کنیم.

انتگرال نامعین

انتگرال‌های نامعین، توابع پادمشتق هستند و یک عدد ثابت (ثابت انتگرال‌گیری) به سمت راست فرمول آن‌ها افزوده می‌شود. برای سادگی، ثابت انتگرال‌گیری را در فرمول‌ها نیاورده‌ایم.

انتگرال‌هایی که چندجمله‌ای دارند

$$ \large \int x e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { c x – 1 }{ c ^ { 2 } } \right ) $$

$$ \large \int x ^ 2 e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { x ^2 } {c } – \frac { 2 x } { c ^ 2 } + \frac { 2 } { c ^ 3 } \right ) $$

$$ \large \begin {align}
\int x ^ n e ^ { c x } \, d x & = \frac { 1 } { c } x ^ n e ^ { c x } – \frac { n } { c } \int x ^ { n – 1 } e ^ { c x } \, d x \\
& = \left ( \frac { \partial } { \partial c } \right ) ^ n \frac { e ^ { c x } } { c } \\
& = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( – 1 ) ^ i \frac { n ! }{ ( n – i ) ! c ^ { i +1 } }x ^ { n – i } \\
& = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( – 1 ) ^ { n – i } \frac { n ! } { i! c ^ { n – i + 1} } x^ i
\end {align} $$

$$ \large \int \frac { e ^ { c x } } { x } \, d x = \ln | x | + \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac { ( c x ) ^ n } { n \cdot n ! } $$

$$ \large \int \frac { e ^ { c x } } { x ^ n } \, d x = \frac { 1 } { n- 1 } \left ( – \frac { e ^ { c x } } {x ^ { n – 1 } } + c \int \frac { e ^{ c x } } { x ^ { n – 1} } \, d x \right ) \qquad \text{(for } n \neq 1 \text {)} $$

انتگرال‌هایی که فقط تابع نمایی دارند

$$ \large \int f’ ( x ) e ^ { f ( x ) } \, d x = e ^ { f ( x ) } $$

$$ \large \int e ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c } e ^ { c x } $$

$$ \large \int a ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c \cdot \ln a } a ^ { c x } \qquad \text{ for } a > 0 , \ a \ne 1 $$

انتگرال‌هایی که توابع نمایی و مثلثاتی دارند

$$ \large \begin {align}
\int e ^ { c x } \sin b x \, d x & = \frac { e ^ { c x } } { c^ 2 + b ^ 2 } ( c \sin b x – b \cos b x ) \\
& = \frac { e ^ { c x} } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } } \sin ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } }
\end {align} $$

$$ \large \begin {align}
\int e ^ { c x } \cos b x \, d x & = \frac { e ^ { c x} } { c ^ 2 + b ^2 } ( c \cos b x + b \sin b x ) \\
& = \frac { e ^ { c x } } { \sqrt { c ^ 2+ b ^ 2 } } \cos ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b^ 2 }}
\end {align} $$

$$ \large \int e ^ { c x } \sin ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \sin ^ { n – 1 } x } { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \sin x – n \cos x) + \frac { n ( n – 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \sin ^ { n – 2 } x \, d x $$

$$ \large \int e ^ { c x } \cos ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \cos ^ { n – 1 } x} { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \cos x + n \sin x ) + \frac { n ( n – 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \cos ^ { n – 2 } x \, d x $$

انتگرال‌هایی که تابع خطا دارند

در فرمول‌های زیر، $$\text{erf}$$ تابع خطا و $$\text{Ei}$$ انتگرال نمایی است.

$$ \large \int e ^ { c x } \ln x \, d x = \frac { 1 }{ c } \left ( e ^ { c x } \ln | x | – \operatorname { E i } ( c x ) \right ) $$

$$ \large \int x e ^ { c x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 c } e ^ { c x ^ 2 } $$

$$ \large \int e ^ { – c x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { 4 c } } \operatorname {erf} ( \sqrt { c } x ) $$

$$ \large \int x e ^ { – c x ^ 2 } \, d x = – \frac { 1 } { 2 c } e ^ { – c x ^ 2 } $$

$$ \large \int \frac { e ^ {- x^ 2 } } { x ^ 2 } \, d x = -\frac { e ^ {- x ^ 2 } } {x } – \sqrt { \pi } \operatorname {erf} ( x ) $$

$$ \large \int { \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { -\frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { x – \mu } { \sigma } \right ) ^ 2 }} \ , d x = \frac { 1 } {2 } \operatorname {erf} \left ( \frac { x – \mu }{ \sigma \sqrt { 2 } } \right ) $$

سایر انتگرال‌ها

$$ \large \int e ^ { x ^ 2 } \, d x = e ^ { x ^ 2 } \left ( \sum _ { j = 0 } ^ { n – 1 } c _ { 2 j } \frac { 1 } { x ^ { 2 j + 1 } } \right ) + ( 2 n – 1 ) c _ { 2 n- 2 } \int \frac { e ^{ x ^ 2 } } { x ^ {2 n }} \, d x \quad \text {valid for any } n > 0 , $$

که در آن، $$ c _ { 2 j } = \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 j – 1) }{ 2 ^ { j + 1 } } = \frac { ( 2 j ) ! } {j ! 2 ^ { 2 j + 1 } } $$.

$$ \large { \int \underbrace { x ^ { x ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { x } } } }} _ m d x = \sum _ { n = 0 } ^ m \frac { ( – 1) ^ n ( n + 1 ) ^{ n – 1 } }{ n ! } \Gamma ( n + 1 , – \ln x ) + \sum _ { n = m + 1 } ^ \infty ( – 1) ^ n a _ { m n } \Gamma ( n + 1 , – \ln x ) \qquad \text{(for }x> 0\text{)}} $$

که در آن،

$$ \large a _ { m n } = \begin {cases} 1 & \text {if } n = 0, \\ \\ \dfrac { 1 } { n ! } & \text {if } m = 1 , \\ \\ \dfrac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } j a _ { m , n -j } a _ {m – 1 , j – 1 } & \text {otherwise} \end{cases} $$

و $$\Gamma(x,y)$$ تابع گاما است.

$$ \large \int \frac { 1 } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { x } { b } – \frac { 1 } { b \lambda } \ln \left ( a e ^ { \lambda x } + b \right ) $$

$$ \large \int \frac { e ^ { 2 \lambda x } } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { 1 } { a ^ 2 \lambda } \left [ a e ^ { \lambda x } + b – b \ln\left ( a e ^ {\lambda x} + b \right) \right] $$

$$ \large \int \frac { a e ^ { c x} – 1 } { b e ^ { c x } – 1 } \, d x = \frac { ( a – b ) \log ( 1 – b e^ { c x} ) } { b c} + x . $$

انتگرال‌های معین

$$ \large \begin {align}
\int _ 0 ^ 1 e ^ { x \cdot \ln a + ( 1 – x ) \cdot \ln b } \, dx
& = \int_0^1 \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ { x} \cdot b\,dx \\
& = \int _ 0 ^ 1 a ^ { x} \cdot b ^ { 1 – x } \, d x \\
& = \frac { a – b } { \ln a – \ln b } \qquad\text{for } a > 0,\ b > 0,\ a \neq b
\end{align} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { – a x } \, d x = \frac { 1 } { a } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { – a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a } \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } e ^ { – a x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \pi \over a } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } e ^ { – a x ^ 2 + b x } \, d x = \sqrt { \pi \over a } e^ { \tfrac { b ^ 2 } { 4a } } \quad(a > 0) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } e ^ { – a x ^ 2 } e ^ { – 2b x } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^2 } { a } } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } x e ^ { – a ( x – b ) ^ 2 } \, d x = b \sqrt { \frac { \pi } { a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) >0 ) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } x e ^ { – a x ^2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } b } { 2 a^ { 3 / 2 } } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4 a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 ) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty} x ^ 2 e ^ { – a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a ^ 3 } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } x ^ 2 e ^ { – a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 2a + b ^ 2) }{ 4 a^ { 5 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 }{ 4a } } \quad ( \operatorname{Re}(a)>0) $$

$$ \large \int _ { – \infty } ^ { \infty } x ^ 3 e ^ { – a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 6 a + b ^2 ) b} { 8 a ^ {7 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4a } } \quad (\operatorname{Re}(a)>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ { n } e ^ {- a x ^ 2 } \, d x =
\begin {cases}
\dfrac { \Gamma \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) }{ 2 \left ( a ^ \frac { n + 1 } { 2 } \right ) } & ( n >- 1 , \ a > 0) \\ \\
\dfrac { ( 2 k – 1 ) ! ! } {2 ^ { k +1 } a ^ k } \sqrt { \dfrac { \pi } { a } } & ( n = 2 k , \ k \text { integer} , \ a > 0 ) \ \text {(!! is the double factorial)} \\ \\
\dfrac{k!}{2(a^{k+1})} & (n=2k+1,\ k \text{ integer},\ a>0)
\end{cases} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ n e ^ { – a x } \, d x =
\begin {cases}
\dfrac { \Gamma ( n + 1 )} { a ^ { n+ 1 } } & ( n > – 1 , \ a > 0 ) \\ \\
\dfrac { n ! } { a ^ { n + 1 }} & (n = 0 , 1 , 2 ,\ldots,\ a>0)
\end{cases} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 1 } x ^n e ^ {- a x } \, d x =
\frac { n ! }{ a ^{ n + 1 } } \left[
1 – e^ { – a } \sum _ { i = 0 } ^{ n } \frac{a^i}{i!}
\right] $$

$$ \large \int _ 0 ^ \infty e ^ { – a x ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { – \frac { 1 } { b } } \Gamma \left ( \frac { 1 } { b } \right ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ \infty x ^ n e ^ { -ax ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { – \frac { n +1 } { b} } \Gamma \left ( \frac { n +1 } { b } \right ) $$

$$ \large \int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { – a x } \cos b x \, d x = \frac { a } {a ^ 2 + b ^2 } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { – a x } \sin b x \, d x = \frac { 2 ab } { ( a ^ 2 + b ^2 ) ^ 2} \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { – a x } \cos b x \, d x = \frac { a ^2 – b ^ 2 }{ ( a^ 2 + b ^ 2 ) ^ 2 } \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta } d \theta = 2 \pi I_0(x) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I _ 0 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس مشترک رشته‌های فنی
• آموزش ریاضی عمومی ۲
• انتگرال عددی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های انتگرال
• مشتق توابع کسری — به زبان ساده

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟