انتگرال e و محاسبه آن | به زبان ساده

۱۰۰۰۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۴ دقیقه
انتگرال e و محاسبه آن | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با انتگرال و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم و در مطلبی، نمونه سوال‌هایی از مبحث انتگرال را ارئه و حل کردیم. همچنین، در آموزش‌هایی به انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال توابع کسری، انتگرال توابع هیپربولیک، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال توابع گنگ، انتگرال رادیکالی و انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی پرداختیم. در این آموزش با انتگرال e و روش محاسبه آن آشنا شده و مثال‌هایی از حل آن را بررسی می‌کنیم.

فرمول محاسبه انتگرال e

تابع نمایی یکی از توابع مهم است که در ریاضی بسیار با آن سر و کار داریم. مشتق و انتگرال e برابر با خودش است.

با استفاده از فرمول زیر می‌توان از تابع نمایی انتگرال گرفت:

$$ \large \int e ^ x \, d x = e ^ x + C . $$

اگر به جای e عدد دیگری داشته باشیم، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large ∫ a ^ x \, d x = \dfrac { a ^ x } { \ln a } + C .$$

چند فرم متداول از انتگرال e

حالت ۱: فرض کنید یک تابع نمایی به شکل زیر در انتگرال داشته باشیم:

$$ \large \int e ^ x \big ( f ( x ) + f' ( x ) \big ) \, d x $$

در این حالت، حاصل انتگرال برابر خواهد بود با:

$$ \large e ^ x f ( x ) + C . $$

حالت ۲: فرض کنید انتگرال به فرم $$ \displaystyle I = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) $$ باشد. در این صورت، حاصل آن برابر است با:

$$ \large I = \dfrac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } . $$

اثبات: انتگرال بالا را به کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء حل می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} I & = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \ d x \\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \sin ( b x + c ) \ d x\\\\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \left ( \frac { e ^ { a x } } { a } \sin ( b x + c ) - \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \right ) \ d x \\\\ & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } - \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } I . \end {aligned} $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} I \left ( 1 + \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } \right ) & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } \\ \Rightarrow I & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } . \end {aligned} $$

حالت ۳: اگر انتگرال به فرم $$ \displaystyle \int \frac { a e ^ x + b e ^ { - x } } { p e ^ x + q e ^ { - x } } d x $$ باشد، می‌توانیم از تساوی $$ \text {(NUM)} = \alpha \text {(DEN)} + \beta \frac { d } { d x } \text {(DEN)} $$ استفاده کنیم که در آن، $$\text{NUM}$$ صورت کسر انتگرالده و $$ \text{DEN}$$ مخرج آن است. در این صورت، می‌توانیم انتگرال را با روش‌های معمول حل کنیم.

مثال‌های حل انتگرال e

در این بخش، مثال‌هایی را از انتگرال e حل می‌کنیم.

مثال ۱ انتگرال e

انتگرال تابع $$e^{−x} $$ را بیابید.

حل: از تغییر متغیر $$ u = - x $$ و در نتیجه، $$d u = - 1 d x $$ استفاده می‌کنیم. با ضرب معادله $$du$$ در $$-1$$ تساوی $$-du=dx$$ را خواهیم داشت. در نتیجه، انتگرال e به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large ∫ e ^ { − x } \, d x = − ∫ e ^ u \, d u = − e ^ u + C = − e ^ { − x } + C . \nonumber $$

مثال ۲ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x $$

حل: حاصل این انتگرال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {aligned} \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x & = 3 \int e ^ x d x + \int 2 ^ x \, d x \\ & = 3 e ^ x + \frac { 2 ^ x } { \ln 2 } + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۳ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int e ^ { x + 2 } \, d x $$

حل: برای حل انتگرال، داریم:

$$ \large \begin {aligned} \int e ^ { x + 2 } \, d x & = \int e ^ x e ^ 2 \, d x \\ & = e ^ 2 \int e ^ x \, d x \\ & = e ^ 2 e ^ x + C \\ & = e ^ { x + 2 } + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۴ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را حل کنید:

$$ \large \int e ^ x \big ( \sin ( x ) + \cos ( x ) \big ) \, d x $$

حل: این انتگرال به فرم $$ \displaystyle \int e ^ x \big ( f ( x ) + f' ( x ) \big ) \, d x $$  است که در آن، $$ f ( x ) = \sin ( x ) $$. بنابراین، انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large e ^ x \sin ( x ) + C . $$

مثال ۵ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int e ^ { 2 x } \cos ( 5 x + 3 ) \, d x $$

حل: با توجه به حالت دوم که معرفی کردیم، خواهیم داشت:

$$ \large \frac { e ^ { 2 x } \big ( 2 \cos ( 5 x + 3 ) + 5 \sin ( 5 x + 3 ) \big ) } { 2 9 } + C . $$

 

مثال ۶ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } \, d x $$

حل: با توجه به آنچه در حالت سوم گفتیم، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ \large 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } = \alpha ( e ^ x - 5 e ^ { - x } ) + \beta ( e ^ x + 5 e ^ { - x } ) . $$

با مقایسه ضرایب $$ e ^ x $$ و $$ e ^ { - x } $$، روابط $$ \alpha + \beta = 2 $$ و $$ \alpha - \beta = -\frac 35 $$ را خواهیم داشت که منجر به $$ \alpha = \frac {7}{10} $$ و $$ \beta = \frac { 13}{10} $$ می‌شود. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } d x = \alpha \int d x + \beta \int \frac { e ^ x + 5 e ^ { -x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } d x . \quad (*)$$

با قرار دادن $$ e ^ x - 5 e ^ {-x } = t $$ و در نتیجه، $$ (e ^ x + 5 e ^ {-x} ) d x = d t  $$، عبارت بالا برابر خواهد بود با:

$$ \large \begin {aligned} (*) & = \frac 7 { 1 0 } \int d x +\frac { 1 3 } { 1 0 } \int \frac { d t } { t } \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln | t | + C \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln \big | e ^ x - 5 e ^ { - x } \big | + C , \end {aligned} $$

که در آن، $$ C $$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۷ انتگرال e

انتگرال تابع $$ e^x\sqrt{1+e^x} $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرالده را بازنویسی می‌کنیم:

$$ \large ∫ e ^ x \sqrt { 1 + e ^ x } \, d x = ∫ e ^ x ( 1 + e^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x . $$

با استفاده از تغییر متغیر $$ u = 1 + e ^ x $$ و در نتیجه، $$ d u = e ^ x d x $$، خواهیم داشت:

$$ \large ∫ e ^ x ( 1 + e ^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x = ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u . $$

در نتیجه:

$$ \large ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u = \dfrac { u ^ { 3 / 2 } }{ 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } ( 1 + e ^ x ) ^ { 3 / 2 } + C $$

مثال 8 انتگرال e

انتگرال $$ \displaystyle ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x^ 3 } \, d x $$ را محاسبه کنید.

حل: توان $$e$$ را برابر با $$ u $$ قرار داده و در نتیجه، $$ u=2x^3 $$ و $$ du=6x^2\,dx $$ را خواهیم داشت. بنابراین، انتگرال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x ^ 3 } \, d x = \frac { 1 } { 2 }∫ e ^ u \, d u . $$

در نتیجه، حاصل انتگرال e برابر خواهد بود با:

$$ \large \frac { 1 } { 2 } ∫ e ^ u \, d u = \frac { 1 }{ 2 } e ^ u + C = \frac { 1 } { 2 } e ^ 2 x ^ 3 + C . $$

مثال 9 انتگرال e

حاصل انتگرال معین زیر را به دست آورید.

$$ \large ∫ ^ 1 _ 0 x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x . $$

حل: از تغییر متغیر $$ u = 4 x ^ 3 + 3 $$ و در نتیجه، $$ d u = 8 x d x $$ استفاده می‌کنیم. در این صورت، باید حدود انتگرال‌گیری را اصلاح کنیم: وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ u = 3 $$ و وقتی $$ x = 1 $$ باشد، $$ u = 7 $$ خواهد بود. بنابراین، جواب انتگرال e به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} ∫ ^ 1 _ 0x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x & = \dfrac { 1 } { 8 } ∫ ^ 7 _ 3 e ^ u \, d u \\[5pt] & = \dfrac { 1 } { 8 } e ^u | ^ 7 _ 3 \\[5pt] & = \dfrac { e ^ 7 − e ^ 3 }{ 8 } \\[5pt] & ≈ 1 3 4.568 \end {align*} $$

مثال 10 انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } } { x ^ 2 } \, d x . \nonumber $$

حل: مسئله را بازنویسی می‌کنیم. ابتدا $$ e ^ \frac 1 x $$ را به صورت $$ e ^ {x ^ {- 1 }} $$ و \frac { 1 } { x ^ 2 } $$ را به صورت $$ x ^ { - 2 } $$ می‌نویسیم. بنابراین، انتگرال e به فرم زیر در می‌آید:

$$ \large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } }{ x ^ 2 } \, \, d x = ∫ ^ 2 _ 1 e ^ { x ^ { − 1 } } x^ { − 2 } \, d x . $$

با در نظر گرفتن $$ u=x^{−1} $$ و در نتیجه، $$ du=−x^{−2}\,dx $$. بنابراین، انتگرال e به صورت زیر در می‌آید:

$$ \large −∫e^u\,du. \nonumber $$

در ادامه، حدود انتگرال‌گیری را تغییر می‌دهیم:

$$ \large u=(1)^{−1}=1 \nonumber $$

$$ \large u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber $$

بنابراین، جواب انتگرال e برابر است با:

$$ \large − ∫ ^ { 1 / 2 } _ 1 e ^ u \, d u = ∫ ^ 1 _ { 1 /2 } e ^ u \, d u = e ^ u \big | ^ 1 _{ 1 / 2 } = e − e ^ { 1 / 2 } = e − \sqrt { e } .\nonumber $$

 

مثال 1۱ انتگرال e

انتگرال $$ \displaystyle { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا از $$ e ^ { 9 x } $$ فاکتور می‌گیریم:

$$ \large \begin {align*} \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x
& = \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x + 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x \\
& = { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x} e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\ & = { \int \big ( \big ( e ^ { 9 x } \big ) \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\
& = { \int \big ( e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3} \, d x } \\
& = { \int e ^ { ( 9 x ) ( 1 / 3 ) } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\
& = { \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x }
\end {align*} $$

از تغییر متغیر $$ u = 27 + e ^ { 3 x } $$ و در نتیجه، $$ d u = 3 e ^ { 3 x } d x $$ استفاده می‌کنیم و با توجه به انتگرال e خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x
& = { \int \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, e ^ { 3 x } d x } = { \int u ^ { 1 / 3 } \, ( 1 / 3 ) d u } \\
& = { ( 1 / 3 ) \int u ^ { 1 / 3 } \, d u }
= { ( 1 / 3 ) { u ^ { ( 1 / 3 ) + 1 } \over ( 1 / 3 ) + 1 } } + C \\ & = { ( 1 / 3 ) { u ^ { 4 / 3 } \over 4 / 3 } } + C
= { ( 1 / 3 ) ( 3 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C \\
& = { ( 1 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C
\end {align*} $$

مثال 1۲ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \large { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over
\sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x } $$

حل: از تغییر متغیر $$ u = e ^ { 2 x }  + 6 e ^ x + 1 $$ و در نتیجه، $$ d u = 2 e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x $$ استفاده می‌کنیم. با استفاده از فرمول انتگرال e می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*} { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x }
& = \displaystyle { 8 \int { 1 \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x } \\
& = { 8 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, ( 1 / 2) d u } = 8 ( 1 / 2 ) \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u \\
& = { 4 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u }
= { 4 \int u ^ { - 1 / 2 } \, d u } = { 4 { u ^ { ( - 1 / 2 ) + 1 } \over { ( - 1 / 2 ) + 1} } } + C \\
& = { 4 { u ^ { 1 / 2 } \over { 1 / 2 } } } + C = { 4(2) u^{1/2} } + C = { 8 ( e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 ) ^ { 1 / 2 } } + C \\
& = { 8 \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } + C
\end {align*} $$

فهرست انتگرال‌های نمایی e

در این بخش، فهرستی از انتگرال‌های توابع نمایی مختلف را ارائه می‌کنیم.

انتگرال نامعین

انتگرال‌های نامعین، توابع پادمشتق هستند و یک عدد ثابت (ثابت انتگرال‌گیری) به سمت راست فرمول آن‌ها افزوده می‌شود. برای سادگی، ثابت انتگرال‌گیری را در فرمول‌ها نیاورده‌ایم.

انتگرال‌هایی که چندجمله‌ای دارند

$$ \large \int x e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { c x - 1 }{ c ^ { 2 } } \right ) $$

$$ \large \int x ^ 2 e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { x ^2 } {c } - \frac { 2 x } { c ^ 2 } + \frac { 2 } { c ^ 3 } \right ) $$

$$ \large \begin {align}
\int x ^ n e ^ { c x } \, d x & = \frac { 1 } { c } x ^ n e ^ { c x } - \frac { n } { c } \int x ^ { n - 1 } e ^ { c x } \, d x \\
& = \left ( \frac { \partial } { \partial c } \right ) ^ n \frac { e ^ { c x } } { c } \\
& = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( - 1 ) ^ i \frac { n ! }{ ( n - i ) ! c ^ { i +1 } }x ^ { n - i } \\
& = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( - 1 ) ^ { n - i } \frac { n ! } { i! c ^ { n - i + 1} } x^ i
\end {align} $$

$$ \large \int \frac { e ^ { c x } } { x } \, d x = \ln | x | + \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac { ( c x ) ^ n } { n \cdot n ! } $$

$$ \large \int \frac { e ^ { c x } } { x ^ n } \, d x = \frac { 1 } { n- 1 } \left ( - \frac { e ^ { c x } } {x ^ { n - 1 } } + c \int \frac { e ^{ c x } } { x ^ { n - 1} } \, d x \right ) \qquad \text{(for } n \neq 1 \text {)} $$

انتگرال‌هایی که فقط تابع نمایی دارند

$$ \large \int f' ( x ) e ^ { f ( x ) } \, d x = e ^ { f ( x ) } $$

$$ \large \int e ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c } e ^ { c x } $$

$$ \large \int a ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c \cdot \ln a } a ^ { c x } \qquad \text{ for } a > 0 , \ a \ne 1 $$

انتگرال‌هایی که توابع نمایی و مثلثاتی دارند

$$ \large \begin {align}
\int e ^ { c x } \sin b x \, d x & = \frac { e ^ { c x } } { c^ 2 + b ^ 2 } ( c \sin b x - b \cos b x ) \\
& = \frac { e ^ { c x} } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } } \sin ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } }
\end {align} $$

$$ \large \begin {align}
\int e ^ { c x } \cos b x \, d x & = \frac { e ^ { c x} } { c ^ 2 + b ^2 } ( c \cos b x + b \sin b x ) \\
& = \frac { e ^ { c x } } { \sqrt { c ^ 2+ b ^ 2 } } \cos ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b^ 2 }}
\end {align} $$

$$ \large \int e ^ { c x } \sin ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \sin ^ { n - 1 } x } { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \sin x - n \cos x) + \frac { n ( n - 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \sin ^ { n - 2 } x \, d x $$

$$ \large \int e ^ { c x } \cos ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \cos ^ { n - 1 } x} { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \cos x + n \sin x ) + \frac { n ( n - 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \cos ^ { n - 2 } x \, d x $$

انتگرال‌هایی که تابع خطا دارند

در فرمول‌های زیر، $$\text{erf}$$ تابع خطا و $$\text{Ei}$$ انتگرال نمایی است.

$$ \large \int e ^ { c x } \ln x \, d x = \frac { 1 }{ c } \left ( e ^ { c x } \ln | x | - \operatorname { E i } ( c x ) \right ) $$

$$ \large \int x e ^ { c x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 c } e ^ { c x ^ 2 } $$

$$ \large \int e ^ { - c x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { 4 c } } \operatorname {erf} ( \sqrt { c } x ) $$

$$ \large \int x e ^ { - c x ^ 2 } \, d x = - \frac { 1 } { 2 c } e ^ { - c x ^ 2 } $$

$$ \large \int \frac { e ^ {- x^ 2 } } { x ^ 2 } \, d x = -\frac { e ^ {- x ^ 2 } } {x } - \sqrt { \pi } \operatorname {erf} ( x ) $$

$$ \large \int { \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { -\frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { x - \mu } { \sigma } \right ) ^ 2 }} \ , d x = \frac { 1 } {2 } \operatorname {erf} \left ( \frac { x - \mu }{ \sigma \sqrt { 2 } } \right ) $$

سایر انتگرال‌ها

$$ \large \int e ^ { x ^ 2 } \, d x = e ^ { x ^ 2 } \left ( \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } c _ { 2 j } \frac { 1 } { x ^ { 2 j + 1 } } \right ) + ( 2 n - 1 ) c _ { 2 n- 2 } \int \frac { e ^{ x ^ 2 } } { x ^ {2 n }} \, d x \quad \text {valid for any } n > 0 , $$

که در آن، $$ c _ { 2 j } = \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 j - 1) }{ 2 ^ { j + 1 } } = \frac { ( 2 j ) ! } {j ! 2 ^ { 2 j + 1 } } $$.

$$ \large { \int \underbrace { x ^ { x ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { x } } } }} _ m d x = \sum _ { n = 0 } ^ m \frac { ( - 1) ^ n ( n + 1 ) ^{ n - 1 } }{ n ! } \Gamma ( n + 1 , - \ln x ) + \sum _ { n = m + 1 } ^ \infty ( - 1) ^ n a _ { m n } \Gamma ( n + 1 , - \ln x ) \qquad \text{(for }x> 0\text{)}} $$

که در آن،

$$ \large a _ { m n } = \begin {cases} 1 & \text {if } n = 0, \\ \\ \dfrac { 1 } { n ! } & \text {if } m = 1 , \\ \\ \dfrac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } j a _ { m , n -j } a _ {m - 1 , j - 1 } & \text {otherwise} \end{cases} $$

و $$\Gamma(x,y)$$ تابع گاما است.

$$ \large \int \frac { 1 } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { x } { b } - \frac { 1 } { b \lambda } \ln \left ( a e ^ { \lambda x } + b \right ) $$

$$ \large \int \frac { e ^ { 2 \lambda x } } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { 1 } { a ^ 2 \lambda } \left [ a e ^ { \lambda x } + b - b \ln\left ( a e ^ {\lambda x} + b \right) \right] $$

$$ \large \int \frac { a e ^ { c x} - 1 } { b e ^ { c x } - 1 } \, d x = \frac { ( a - b ) \log ( 1 - b e^ { c x} ) } { b c} + x . $$

انتگرال‌های معین

$$ \large \begin {align}
\int _ 0 ^ 1 e ^ { x \cdot \ln a + ( 1 - x ) \cdot \ln b } \, dx
& = \int_0^1 \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ { x} \cdot b\,dx \\
& = \int _ 0 ^ 1 a ^ { x} \cdot b ^ { 1 - x } \, d x \\
& = \frac { a - b } { \ln a - \ln b } \qquad\text{for } a > 0,\ b > 0,\ a \neq b
\end{align} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x } \, d x = \frac { 1 } { a } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a } \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \pi \over a } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \sqrt { \pi \over a } e^ { \tfrac { b ^ 2 } { 4a } } \quad(a > 0) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } e ^ { - 2b x } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^2 } { a } } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x e ^ { - a ( x - b ) ^ 2 } \, d x = b \sqrt { \frac { \pi } { a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) >0 ) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x e ^ { - a x ^2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } b } { 2 a^ { 3 / 2 } } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4 a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 ) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty} x ^ 2 e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a ^ 3 } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ 2 e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 2a + b ^ 2) }{ 4 a^ { 5 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 }{ 4a } } \quad ( \operatorname{Re}(a)>0) $$

$$ \large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ 3 e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 6 a + b ^2 ) b} { 8 a ^ {7 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4a } } \quad (\operatorname{Re}(a)>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ { n } e ^ {- a x ^ 2 } \, d x =
\begin {cases}
\dfrac { \Gamma \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) }{ 2 \left ( a ^ \frac { n + 1 } { 2 } \right ) } & ( n >- 1 , \ a > 0) \\ \\
\dfrac { ( 2 k - 1 ) ! ! } {2 ^ { k +1 } a ^ k } \sqrt { \dfrac { \pi } { a } } & ( n = 2 k , \ k \text { integer} , \ a > 0 ) \ \text {(!! is the double factorial)} \\ \\
\dfrac{k!}{2(a^{k+1})} & (n=2k+1,\ k \text{ integer},\ a>0)
\end{cases} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ n e ^ { - a x } \, d x =
\begin {cases}
\dfrac { \Gamma ( n + 1 )} { a ^ { n+ 1 } } & ( n > - 1 , \ a > 0 ) \\ \\
\dfrac { n ! } { a ^ { n + 1 }} & (n = 0 , 1 , 2 ,\ldots,\ a>0)
\end{cases} $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 1 } x ^n e ^ {- a x } \, d x =
\frac { n ! }{ a ^{ n + 1 } } \left[
1 - e^ { - a } \sum _ { i = 0 } ^{ n } \frac{a^i}{i!}
\right] $$

$$ \large \int _ 0 ^ \infty e ^ { - a x ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { - \frac { 1 } { b } } \Gamma \left ( \frac { 1 } { b } \right ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ \infty x ^ n e ^ { -ax ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { - \frac { n +1 } { b} } \Gamma \left ( \frac { n +1 } { b } \right ) $$

$$ \large \int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x } \cos b x \, d x = \frac { a } {a ^ 2 + b ^2 } \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { - a x } \sin b x \, d x = \frac { 2 ab } { ( a ^ 2 + b ^2 ) ^ 2} \quad ( a > 0 ) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { - a x } \cos b x \, d x = \frac { a ^2 - b ^ 2 }{ ( a^ 2 + b ^ 2 ) ^ 2 } \quad (a>0) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta } d \theta = 2 \pi I_0(x) $$

$$ \large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I _ 0 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) $$

بر اساس رای ۱۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
BrilliantWikipedia
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *