انتگرال خطی در فیزیک – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با انتگرال خطی آشنا شدیم. انتگرال خطی در مباحث مختلف فیزیک کاربرد فراوانی دارد. در این آموزش، چند مورد از مهم‌ترین کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک را بررسی می‌کنیم.

در فیزیک، از انتگرال­‌های خطی به ویژه برای محاسبه موارد زیر استفاده می‌شود:

• جرم یک سیم
• مرکز جرم و گشتاورهای لختی سیم
• کار انجام شده توسط نیروی وارد بر یک جسم متحرک در یک میدان برداری
• میدان مغناطیسی حول یک رسانا (قانون آمپر)
• ولتاژ تولیدی در یک حلقه (قانون القای مغناطیسی فارادی)

در ادامه این کاربردها را با جزئیات بیشتر بررسی می‌­کنیم.

جرم سیم

یک قطعه سیم را در فضای سه­‌بعدی در نظر بگیرید که با منحنی $$C$$ توصیف می‌­شود. جرم بر واحد طول سیم، یک تابع پیوسته به صورت $$\rho \left( {x,y,z} \right)$$ است. بنابراین، جرم کل سیم از طریق انتگرال خطی تابع اسکالر به صورت زیر بیان می‌­شود:

$$\large m = \int \limits _ C { \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } .$$

اگر منحنی $$C$$ به وسیله تابع برداری $$\mathbf { r } \left ( t \right ) = \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) , z \left ( t \right ) } \right )$$ بیان شده باشد، آنگاه می‌توان جرم را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

$$\large { m \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \rho \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) , z \left ( t \right ) } \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } }$$

اگر منحنی $$C$$ در صفحه $$xy$$ باشد، آنگاه جرم سیم به صورتِ

$$\large m = \int \limits _ C { \rho \left ( { x , y } \right ) d s }$$

یا به شکل پارامتریِ

$$\large { m \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \rho \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } . }$$

به دست خواهد آمد.

مرکز جرم و گشتاورهای لختی یک سیم

سیمی با تابع چگالی پیوسته $$\rho \left( {x,y,z} \right)$$ را در نظر بگیرید که توسط منحنی $$C$$ تعریف می‌شود. مختصات مرکز جرم این سیم را می‌توان با کمک روابط زیر تعیین کرد:

$$\large { \bar x = \frac { { { M _ { y z } } } } { m } , \; \; \; } \kern0pt { \bar y = \frac { { { M _ { x z } } } } { m } , \; \; \; } \kern0pt { \bar z = \frac { { { M _ { x y } } } } { m } }$$

که در آن، عباراتِ

$$\large \begin{align*} { M _ { y z } } & = \int \limits _ C { x \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { M _ { x z } } & = \int \limits _ C { y \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { M _ { x y } } & = \int \limits _ C { z \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } \end {align*}$$

گشتاورهای اول نامیده می­‌شوند.

گشتاورهای لختی حول محور $$x$$، $$y$$ و $$z$$ با استفاده از روابط زیر به دست می‌آیند:

$$\large \begin{align*} { I _ x } & = \int \limits _ C { \left ( { { y ^ 2 } + { z ^ 2 } } \right ) \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } , \; \; \kern-0.3pt \\ { I _ y } & = \int \limits _ C { \left ( { { x ^ 2 } + { z ^ 2 } } \right ) \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } , \; \; \kern-0.3pt \\ { I _ z } &= \int \limits _ C { \left ( { { x ^ 2 } + { y ^ 2 } } \right ) \rho \left ( { x , y , z } \right ) d s } \end {align*}$$

کار

کار انجام شده توسط نیروی $$\mathbf{F}$$ وارد بر یک جسم متحرک در راستای منحنی $$C$$، با استفاده از انتگرال خطی محاسبه می‌شود:

$$\large W = \int \limits _ C { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } }$$

که در آن، $$\mathbf{F}$$ میدان برداری نیروی وارد بر جسم، $$d\mathbf{r}$$ بردار یکه مماس و $${\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}$$ ضرب داخلی $$\mathbf{F}$$ و $$d\mathbf{r}$$ است (شکل 1).

توجه داشته باشید که میدان نیروی $$\mathbf{F}$$ لزوماً علت حرکت جسم نیست. ممکن است نیروهای دیگری برای غلبه بر میدان نیرو نیز وجود داشته باشند. در این حالت، کار نیروی $$\mathbf{F}$$ می‌­تواند یک مقدار منفی باشد.

اگر میدان برداری به شکل مختصاتیِ

$$\large { \mathbf { F } \text { = } } \kern0pt { \left ( { P \left ( { x , y , z } \right ) , Q \left ( { x , y , z } \right ) , } \right . } \kern0pt { \left . { R \left ( { x , y , z } \right ) } \right ) }$$

تعریف شود، آنگاه کار انجام شده توسط این نیرو به صورت زیر محاسبه می‌­شود:

$$\large { W = \int \limits _ C { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } } } = { \int \limits _ C { P d x + Q d y + R d z } . }$$

اگر جسم در صغحه $$xy$$ در راستای منحنی $$C$$ جابه‌جا شود، داریم:

$$\large { W = \int \limits _ C { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } } } = { \int \limits _ C { P d x + Q d y } }$$

که در آن، $$\mathbf { F } = \left ( { P \left ( { x , y } \right ) , Q \left ( { x , y } \right ) } \right )$$.

اگر مسیر $$C$$ با پارامتر $$t$$ (که غالباً زمان است) مشخص شود، برای محاسبه کار به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$\large \begin{align*} W & = \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left [ { P \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) , z \left ( t \right ) } \right ) \frac { { d x } } { { d t } } } \right . } } + { { \left . { Q \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) , z \left ( t \right ) } \right ) \frac { { d y } } { { d t } } } \right . } } \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + { { \left . { R \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) , z \left ( t \right ) } \right ) \frac { { d z } }{ { d t } } } \right ] d t } } \end {align*}$$

که $$t$$ از $$\alpha$$ تا $$\beta$$ تغییر می‌کند.

اگر میدان برداری $$\mathbf{F}$$ پایستار باشد، آنگاه کار انجام شده روی جسم متحرک از $$A$$ تا $$B$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large W = u \left ( B \right ) – u \left ( A \right )$$

که $$u\left( {x,y,z} \right)$$ پتانسیل اسکالر میدان است.

قانون آمپر

انتگرال خطی میدان مغناطیسی $$\mathbf{B}$$ حول مسیر بسته $$C$$ با جریان کل گذرنده از سطحی که توسط منحنی بسته $$C$$ محدود شده، برابر است با (شکل 2):

$$\large \int \limits _ C { \mathbf { B } \cdot d \mathbf { r } } = { \mu _ 0 } I$$

در اینجا $${\mu _0}$$ ثابت تراوایی خلأ و برابر با $$1.26 \times {10^{ – 6}}\,\text{H/m}$$ است.

قانون فارادی

نیروی محرکه الکتریکی القایی $$\varepsilon$$ حول حلقه بسته $$C$$ برابر است با آهنگ تغییر شار مغناطیسی عبوری $$\psi$$ نسبت به زمان (شکل 3):

$$\large { \varepsilon = \int \limits _ C { \mathbf { E } \cdot d \mathbf { r } } } = { – \frac { { d \psi } } { { d t } } . }$$

مثال‌های کاربرد انتگرال خطی در فیزیک

در ادامه، چند مثال را از کاربردهای انتگرال خطی در فیزیک بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

جرم یک سیم را بیابید که در راستای منحنی مسطح $$C$$ قرار دارد و چگالی آن $$\rho \left( {x,y} \right) = 3x + 2y$$ است. منحنی $$C$$ پاره­‌خطی است که نقطه ابتدا و انتهای آن به ترتیب $$A\left( {1,1} \right)$$ و $$B\left( {2,4} \right)$$ هستند.

حل: ابتدا معادله پارامتری خط $$AB$$ را به دست می‌­آوریم:

$$ \large \begin{align*}<br /> { { \frac { { x – { x _A } } } { { { x _ B } – { x _ A } } } = \frac { { y – { y _ A } } } { { { y _ B } – { y _ A } } } } = { t , \; \; } } \Rightarrow<br /> { { \frac { { x – 1 } } { { 2 – 1 } } = \frac { { y – 1 } } { { 4 – 1 } } } = { t , \; \; } } \\ \Rightarrow<br /> { { \frac { { x – 1 } } { 1 } = \frac { { y – 1 } } { 3 } } = { t \; \; \; } } \kern0pt<br /> { \text { : } \; \; \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { x = t + 1 } \\<br /> { y = 3 t + 1 }<br /> \end{array} } \right . , }<br /> \end {align*} $$

که در آن، پارامتر $$t$$ در بازه $$\left[ {0,1} \right]$$ قرار دارد. پس جرم سیم برابر است با:

$$\large \begin{align*} m & = \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \rho \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) }^ 2 } } d t } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { 3 x \left ( t \right ) + 2 y \left ( t \right ) } \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y} } { { d t } } } \right ) } ^ 2} } d t } } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { 9 t + 5 } \right ) \sqrt { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } d t } } = { \sqrt { 1 0 } \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { 9 t + 5 } \right ) d t } } \\ & = { \sqrt { 1 0 } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { 9 { t ^ 2 } } } { 2 } + 5 t } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } \right ] } = { \frac { { 1 9 \sqrt { 1 0 } } } { 2 } } \approx { 30 . } \end {align*}$$

مثال ۲

جرم یک سیم با چگالی $$\rho \left( {x,y} \right) = xy$$ را تعیین کنید که در امتداد قوسی از دایره $${x^2} + {y^2} = 1$$ از $$A\left( {1,0} \right)$$ تا $$B\left( {0,1} \right)$$ قرار گرفته است (شکل 4).

حل: ابتدا معادلات پارامتری دایره­ای به شعاع $$1$$ را می‌نویسیم که مرکز آن در مبدأ واقع شده است:

$$\large { x = \cos t , \; \; \; } \kern0pt { y = \sin t }$$

که در آن، پارامتر $$t$$ در بازه $$\left[ {0,{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right]$$ است. در نتیجه جرم سیم به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin{align*} m & = \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \rho \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { x \left ( t \right ) y \left ( t \right ) \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \cos t \sin t \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d \cos t } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d \sin t } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \cos t \sin t \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { – \sin t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \cos t } \right ) } ^ 2 } } d t } } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \cos t \sin t d t } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2 t d t } } \\ & = { \frac { 1 } { 4 } \left [ { \left . { \left ( { – \cos 2 t } \right ) } \right | _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } } \right ] } = { \frac { 1 } { 4 } \left ( { – \cos \pi + \cos 0 } \right ) } = { \frac { 1 } { 2 } . } \end {align*}$$

مثال ۳

گشتاور لختی $${I_x}$$ دایره $${x^2} + {y^2} = {a^2}$$ با چگالی $$\rho = 1$$ را به دست آورید.

حل: معادله پارامتری دایره به صورت زیر است:

$$\large { \left\{ \begin {array} {l} x = a \cos t \\ y = a \sin t \end {array} \right.,\;\;\;}\kern-0.3pt { 0 \le t \le 2 \pi . }$$

گشتاور لختی $${I_x}$$ حول محور $$x$$ با استفاده از رابطه زیر محاسبه می­‌شود:

$$\large \begin{align*} { I _ x } & = \int \limits _ C { { y ^ 2 }\rho d s } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \left ( { y \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } \rho \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right ) \cdot } \kern0pt { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t . } } \end {align*}$$

بنابراین، داریم:

$$\large \begin{align*} { I _ x } & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \left ( { a \sin t } \right ) } ^ 2 } \cdot 1 \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d \left ( { a \cos t } \right ) } } { {d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d \left ( { a \sin t } \right ) } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t \cdot } } \kern0pt { { \sqrt { { { \left ( { – a \sin t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { a \cos t } \right ) } ^ 2 } } d t } } } \\ & = { { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { a ^ 3 } { { \sin } ^ 2 } t \cdot } \kern0pt { \sqrt { { { \sin } ^ 2 } t + { { \cos } ^ 2 } t } d t } } } = { { a ^ 3 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \sin } ^ 2 } t \, d t } } \\ & = { { a ^ 3 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { 1 – \cos 2 t } } { 2 } d t } } = { \frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 1 – \cos 2 t } \right ) d t } } \\ & = { \frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { t – \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } = { \frac { { { a ^ 3 } } } { 2 } \left ( { 2 \pi – 0 } \right ) } = { \pi { a ^ 3 } . } \end {align*}$$

مثال 4

کار انجام شده توسط میدان نیروی $$\mathbf{F}\left( {x,y} \right)$$ روی یک جسم متحرک را از مبدأ $$O\left( {0,0} \right)$$ تا نقطه $$A\left( {1,1} \right)$$ در راستای مسیر $$C$$ برای دو حالت زیر محاسبه کنید:

1. $$C$$ پاره‌خط $$y = x$$ باشد.
2. $$C$$ منحنی $$y = \sqrt x$$ باشد.

حل ۱: کار در امتداد پاره‌خط $$y = x$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin{align*} { W _ 1 } & = \int \limits _ C { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } } = { \int \limits _ C { P d x + Q d y } } = { \int \limits _ C { x y d x + \left ( { x + y } \right ) d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cdot x d x + \left ( { x + x } \right ) d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { { x ^ 2 } + 2 x } \right ) d x } } \\ &= { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + { x ^ 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { \frac { 1 } { 3 } + 1 } = { \frac { 4 } { 3 } .} \end {align*}$$

حل ۲: هنگامی که جسم در امتداد منحنی $$y = \sqrt x$$ حرکت می­‌کند، کار انجام شده برابر است با:

$$\large \begin{align*} { W _ 2 } & = \int \limits _ C { \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } } = { \int \limits _ C { P d x + Q d y } } = { \int \limits _ C { x y d x + \left ( { x + y } \right ) d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { x \cdot \sqrt x d x } + { \left ( { x + \sqrt x } \right ) \frac { { d x } } { { 2 \sqrt x } } } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } + \frac { { { x ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } }{ 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 5 } { 2 } } } + \frac { { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { 2 \cdot \frac { 3 } { 2 } } } + \frac { x } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { \frac { 2 } { 5 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { { 3 7 } } { { 3 0 } } . } \end {align*}$$

مثال ۵

یک جسم به جرم $$m$$ با سرعت اولیه $$v_0$$ تحت زاویه $$\alpha$$ پرتاب می‌­شود (شکل 5). کار انجام شده توسط نیروی گرانشی $$\mathbf{F} = m\mathbf{g}$$ را تا زمانی که جسم به زمین برخورد می­‌کند، به دست آورید.

حل: ابتدا معادله مسیر را به شکل پارامتری می‌نویسیم ($$t$$ زمان است):

$$\large \begin {align*} x & = { v _ { 0 x } } t = { { v _ 0 } \cos \alpha \cdot t,}\\ y & = { v _ { 0 y } } t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = { { v _ 0 } \sin \alpha \cdot t – \frac { { g { t ^ 2 }} } { 2 } . } \end {align*}$$

در لحظه برخورد، $$y=0$$، زمان سقوط برابر است با:

$$\large \begin {align*} & { { v _ 0 } \sin \alpha \cdot t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { t \left ( { { v _ 0 } \sin \alpha – \frac { { g t } } { 2 } } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { t = \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } .} \end {align*}$$

نیروی گرانشی را می­‌توان به صورت $$\mathbf { F } = m \mathbf { g } = m \left ( { 0 , – g } \right )$$ نوشت. پس کار انجام شده روی جسم متحرک در امتداد این مسیر به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {align*} W & = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left ( { P \frac { { d x } } { { d t } } + Q \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) d t } = { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } \normalsize } { \left ( { 0 \cdot \frac { { d x } } { { d t } } – g \cdot \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) d t } } \\ & = { – g \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } \normalsize } { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) d t } } = { – g \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } \normalsize } { d y \left ( t \right ) } } \\ & = – g \left [ { \left . { y \left ( t \right ) } \right |_ { t = 0 } ^ { \large \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } \normalsize } } \right ] = \kern0pt { – g \left [ { \left . { \left ( { { v _ 0 } \sin \alpha t – \frac { { g { t ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ { t = 0 } ^ { \large \frac { { 2 { v _ 0 } \sin \alpha } } { g } \normalsize } } \right ] } \\ & = { – g \left ( { \frac { { 2 v _ 0 ^ 2 \, { { \sin } ^ 2 } \alpha } } { g } – \frac { { 4 g v _ 0 ^ 2 \, { { \sin } ^ 2 } \alpha } }{ { 2 { g ^ 2 } } } } \right ) } = { 0 . } \end {align*}$$

با توجه به رابطه زیر، نیروی گرانشی زمین پایستار است:

$$\large \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = \frac { { \partial P } } { { \partial y } } = 0 .$$

پتانسیل اسکالر میدان را می‌­توان به شکل کلی زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} u \left ( { x , y } \right ) & = { \int { P d x } + { C _ 1 } \left ( y \right ) } \\ &= { \int { 0 d x } + { C _ 1 } \left ( y \right ) } = { { C _ 0 } + { C _ 1 } \left ( y \right ) . } \end {align*}$$

با استفاده از $${ \large \frac { { \partial u } } { { \partial y } } \normalsize } = Q \left ( { x , y } \right ) = – g$$، داریم:

$$\large { \frac { d } { { d y } } { C _ 1 } \left ( y \right ) = – g , \; \; } \Rightarrow { { C _ 1 } \left ( y \right ) = – g y + { C _ 2 } .}$$

بنابراین، پتانسیل میدان گرانشی برابر است با:

$$\large { u \left ( { x , y } \right ) = { C _ 0 } – g y + { C _ 2 } } = { C – g y . }$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت است و می‌توان آن را برابر با صفر قرار داد. در نتیجه، پتانسیل میدان به صورت زیر خواهد بود:

$$\large u \left ( { x , y } \right ) = – g y .$$

از این رو، کار انجام شده روی جسم متحرک از مبدأ $$O\left( {0,0} \right)$$ تا نقطه $$A\left( {L,0} \right)$$ برابر است با:

$$\large { W = u \left ( A \right ) – u \left ( O \right ) } = { 0 . }$$

مثال ۶

میدان مغناطیسی در فاصله $$r$$ از محور یک سیم مستقیم طویل حامل جریان $$I$$ در خلأ را محاسبه کنید.

حل: برای به دست آوردن میدان در فاصله $$r$$ از سیم، حلقه‌­ای به شعاع $$r$$ را به گونه‌­ای در نظر می‌­گیریم که سیم در مرکز آن قرار گرفته و سطح آن نیز بر سیم حامل جریان $$I$$ عمود باشد (شکل 6).

از آنجایی که میدان $$\mathbf{B}$$ مقدار ثابتی دارد و بر همه جای حلقه مماس است، ضرب داخلی بردارهای $$\mathbf{B}$$ و $$d\mathbf{r}$$ برابر با $$Bdr$$ خواهد بود. بنابراین، می‌­توان نوشت:

$$\large { \oint \limits _ C { \mathbf { B } \cdot d \mathbf { r } } = \oint \limits _ C { B d r } } = { B \oint \limits _ C { d r } } = { 2 \pi r B . }$$

در نتیجه داریم:

$$\large 2 \pi r B = { \mu _ 0 } I$$

یا

$$\large B = \frac { { { \mu _ 0 } I } } { { 2 \pi r } } .$$

مثال ۷

بیشینه نیروی محرکه الکتریکی $$\varepsilon$$ و میدان الکتریکی $$E$$ القایی در حلقه انگشت یک مسافر هواپیما را هنگامی که هواپیما با سرعت $$900\,\text{km/h}$$ در میدان مغناطیسی زمین پرواز می­‌کند، تعیین کنید. شعاع حلقه یک سانتی‌متر است.

حل: مطابق قانون فارادی، داریم:

$$\large { \varepsilon = \oint \limits _ C { E \cdot d r } } = { – \frac { { d \psi } } { { d t } } . }$$

هنگامی که حلقه رسانا از میدان مغناطیسی زمین عبور می‌­کند، شار مغناطیسی عبوری $$\psi$$ از حلقه تغییر خواهد کرد.

فرض کنید میدان مغناطیسی $$\mathbf {B}$$ بر سطح حلقه عمود باشد. آنگاه تغییر شار در زمان $$\Delta t$$ برابر است با:

$$\large { \Delta \psi = 2 r B x } = { 2 r B v \Delta t }$$

که در آن،‌ $$x = v\Delta t$$، $$v$$ سرعت هواپیما و $$B$$ میدان مغناطیسی زمین است. از این رابطه، نتیجه می­‌شود:

$$\large \varepsilon = – \frac { { d \psi } } { { d t } } = 2 r B v .$$

مقادیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$\large { v = 9 0 0 \, \text { km/h } = 2 5 0 \, \text {m/s} , \; \; \; } \kern-0.3pt { r = 1 \, \text {cm} = 0.01\,\text{m},\;\;\;}\kern-0.3pt{B = 5 \times {10^{ – 5}}\,\text{T},}$$

در نتیجه، نیروی محرکه الکتریکی به دست می‌­آید:

$$\large { \varepsilon = 2 r B v } = { 2 \cdot 0 .0 1 \cdot 5 \times { 1 0 ^ { – 5 } } \cdot 250 } = { 0.00 0 2 5 \, \text{V}.}$$

همانگونه که می‌­بینیم، این مقدار برای انسان بی­‌خطر است.

میدان الکتریکی در حلقه رسانا را می‌توان با استفاده از رابطه $$\varepsilon = \int\limits_C {\mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}}$$ محاسبه کرد.

طبق تقارن مسئله، میدان الکتریکی القا شده در سراسر حلقه، مقدار ثابتی خواهد داشت و راستای آن در هر نقطه بر حلقه مماس خواهد بود. از این رو، انتگرال خطی حول حلقه برابر است با:

$$\large { \varepsilon = \oint\limits_C {\mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}} }={ \oint\limits _ C { E \cdot dr \cdot \cos 0} } = { E \oint \limits _ C {dr} }={ 2\pi rE.}$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large { E = \frac { \varepsilon } { { 2 \pi r } } } = { \frac { { 0.00025 } } { { 2 \pi \cdot 0.01 } } } = { 0.004 \, \text { V/m } . }$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^