الکترودینامیک کوانتومی چیست و چه کاربردی دارد؟ – به زبان ساده

الکترودینامیک کوانتومی (QED) نظریه تعامل میدان‌های الکترومغناطیسی کوانتومی است. بر اساس این تئوری به نظر می‌رسد که برهم کنش دو میدان الکترومغناطیسی شامل تبادل فوتون است. این اولین نظریه میدان کوانتومی موفق بود که برای به ثمر رسیدن آن تلاش زیادی انجام شد. در این مطلب سعی داریم در مورد الکترودینامیک کوانتومی و فرمول‌بندی ریاضیاتی آن صحبت کنیم.

الکترودینامیک کوانتومی چیست؟

الکترودینامیک کوانتومی (QED)، نظریه میدان کوانتومی در مورد برهم کنش ذرات باردار با میدان الکترومغناطیسی است. این حیطه نه تنها همه فعل و انفعالات نور با ماده بلکه همچنین برهمکنش ذرات باردار با یکدیگر را از لحاظ ریاضی توصیف می‌کند. QED یک نظریه نسبیتی است که در آن نظریه نسبیت خاص آلبرت اینشتین در هر یک از معادلات آن اعمال شده است.

از آنجا که رفتار اتم‌ها و مولکول‌ها در درجه اول الکترومغناطیسی است، تمام فیزیک اتمی را می‌توان آزمایشگاهی برای نظریه دانست. برخی از دقیق ترین آزمایشات QED، آزمایش‌هایی است که به خواص ذرات زیر اتمی معروف به میون می‌پردازد. همچنین نشان داده شده است که گشتاور مغناطیسی این نوع ذرات تا 9 رقم قابل توجه با نظریه مطابقت دارد. توافق با چنین دقت بالایی QED را به یکی از موفق‌ترین نظریه‌های فیزیکی که تا کنون ابداع شده، کرده است.

در سال 1928 فیزیکدان انگلیسی دیراک با کشف یک معادله موج که حرکت و چرخش الکترون‌ها را توصیف می‌کرد و مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت خاص را در بر می‌گرفت پایه و اساس الکترودینامیک کوانتومی را ایجاد کرد. نظریه الکترودینامیک کوانتومی در اواخر دهه 1940 توسط سه نفر به طور مستقل از یکدیگر یعنی «جولین شوینگر» (Julian S. Schwinger)، «ریچارد فاینمن» (Richard P. Feynman) و «تومانوگو شین ایکیرو» (Tomonaga Shin'ichirō) تصحیح و توسعه یافت.

الکترودینامیک کوانتومی بر این ایده استوار است که ذرات باردار به عنوان مثال الکترون‌ها و پوزیترون‌ها، با انتشار و جذب فوتون‌ها یعنی ذراتی که نیروهای الکترومغناطیسی را منتقل می‌کنند، برهم کنش می‌کنند. این فوتون‌ها به صورت مجازی هستند، یعنی نمی‌توان آن‌ها را به هیچ وجه مشاهده کرد یا تشخیص داد زیرا وجود آن‌ها موجب نقض قانون پایستگی انرژی و حرکت می‌شود.

تبادل فوتون صرفاً نیروی فعل و انفعال است، زیرا ذرات متقابل با آزادسازی یا جذب انرژی فوتون، سرعت و جهت حرکت خود را تغییر می‌دهند. فوتون‌ها همچنین می‌توانند در حالت آزاد ساطع شوند و در این صورت ممکن است به عنوان نور یا سایر اشکال تابش الکترومغناطیسی مشاهده شوند.

برهمکنش دو ذره باردار در یک سری فرآیندها موجب افزایش پیچیدگی در سیستم می‌شود. در ساده ترین حالت، فقط یک فوتون مجازی درگیر است در یک فرآیند مرتبه دوم، دو فوتون وجود دارد و این روند ادامه خواهد داشت. این فرآیندها با تمام روش‌های ممکن ذرات متقابل با تبادل فوتون‌های مجازی مطابقت دارند و هر یک از آن‌ها را می‌توان با استفاده از نمودارهای به اصطلاح فاینمن به صورت گرافیکی نشان داد.

این نوع نمودار علاوه بر ارائه تصویری شهودی از فرآیند مورد نظر، نحوه محاسبه متغیر مورد نظر را نیز دقیقاً مشخص می‌کند. هر فرآیند زیر اتمی از نظر محاسباتی دشوارتر از فرآیند قبلی است و تعداد نامحدودی از این فرآیندها وجود دارند. با این حال نظریه الکترودینامیک کوانتومی بیان می‌کند که هرچه فرآیند پیچیده‌تر باشد، یعنی تعداد فوتون‌های مجازی که در این فرآیند رد و بدل می‌شوند بیشتر باشد، احتمال وقوع آن کمتر است.

برای هر سطح پیچیدگی، سهم فرآیند به میزان $$\alpha^2$$ کاهش می‌یابد که $$\alpha$$ یک مقدار بی بعد به نام ثابت ریز ساختار است و مقدار عددی آن برابر $$\frac{1}{137}$$ است. بنابراین پس از چند سطح، سهم این کمیت ناچیز است. به طور اساسی‌تر عامل $$\alpha$$ به عنوان اندازه گیری قدرت برهمکنش الکترومغناطیسی عمل می‌کند و برابر با $$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar c}$$ است که e بار الکترون، $$\hbar$$ ثابت پلانک تقسیم بر $$2\pi$$، c سرعت نور و $$\epsilon_0$$ گذردهی فضای خلاء است.

الکترودینامیک کوانتومی اغلب به دلیل کوچک بودن ثابت ریز ساختار و در نتیجه کاهش اندازه مشارکت‌های مرتبه بالاتر، نظریه اختلال نیز نامیده می‌شود. این سادگی نسبی و موفقیت الکترودینامیک کوانتومی آن را به الگویی برای دیگر نظریه‌های میدان کوانتومی تبدیل کرده است. در نهایت تصویر فعل و انفعالات الکترومغناطیسی به عنوان تبادل ذرات مجازی به نظریه‌های دیگر فعل و انفعالات اساسی ماده، نیروی قوی، نیروی ضعیف و نیروی گرانشی منتقل شده است.

نظریه الکترودینامیک کوانتومی چه چیزی را توصیف می‌کند؟

در فیزیک ذرات، الکترودینامیک کوانتومی (QED) نظریه نسبیتی میدان کوانتومی الکترودینامیک است. در اصل QED نحوه تعامل نور و ماده را توصیف می‌کند و اولین نظریه‌ای است که در آن توافق کامل بین مکانیک کوانتومی و نسبیت خاص حاصل می‌شود. الکترودینامیک کوانتومی به صورت ریاضی تمام پدیده‌های مربوط به ذرات باردار الکتریکی را که با تبادل فوتون‌ها برهمکنش می‌کنند، توصیف می‌کند و معادل کوانتومی الکترومغناطیس کلاسیک را ارائه می‌دهد که شرح کاملی از فعل و انفعال ماده و نور ارائه می‌کند.

از نظر فنی الکترودینامیک کوانتومی را می‌توان به عنوان یک نظریه اختلال در خلاء کوانتومی الکترومغناطیسی توصیف کرد. ریچارد فاینمن این نظریه را جواهر فیزیک برای پیش بینی‌های بسیار دقیقش در مورد مقادیری مانند گشتاور مغناطیسی غیرعادی الکترون و تغییر سطح انرژی لامب هیدروژن نامید.

تاریخچه الکترودینامیک کوانتومی چیست؟

اولین فرمول نظریه کوانتومی که تشعشع و فعل و انفعال ماده را توصیف می‌کند به دانشمند بریتانیایی پل دیراک نسبت داده شده است که در طول دهه 1920 توانست ضریب انتشار خود به خود یک اتم را محاسبه کند.

دیراک با معرفی مفهوم عملگرهای ایجاد و نابودی ذرات، میدان الکترومغناطیسی را به عنوان مجموعه‌ای از نوسان سازهای هارمونیک توصیف کرد. در سال‌های بعد، با مشارکت ولفگانگ پائولی، یوجین واینر، پاسکال جردن، ورنر هایزنبرگ و فرمول بندی زیبا از الکترودینامیک کوانتومی که انریکو فرمی انجام داد، فیزیکدانان به این باور رسیدند که در اصل، امکان انجام و محاسبه هر گونه فرآیند فیزیکی شامل فوتون و ذرات باردار وجود دارد. با این حال مطالعات بیشتر توسط فلیکس بلوخ، آرنولد نوردسیک و ویکتور وایسکوف در سال‌های 1937 و 1939 نشان داد که چنین محاسباتی تنها در اولین مرتبه اختلالات قابل اعتماد هستند، مشکلی که روبرت اوپنهایمر در حال حاضر نیز به آن اشاره کرده است.

در مرتبه‌های بالاتر در این سری، بی نهایت ظاهر شد و انجام چنین محاسباتی را بی معنا کرد و تردیدهای جدی در پیوستگی و صحت درونی این نظریه را ایجاد کرد. با توجه به اینکه هیچ راه حلی برای این مشکل در آن زمان وجود نداشت، به نظر می‌رسید که یک ناسازگاری اساسی بین نسبیت خاص و مکانیک کوانتومی وجود دارد.

مشکلات این نظریه تا پایان دهه 1940 افزایش یافت. پیشرفت در فناوری مایکروویو امکان اندازه گیری دقیق تغییر سطوح اتم هیدروژن را فراهم کرد که امروزه به عنوان تغییر لامب و گشتاور مغناطیسی الکترون شناخته می‌شود. این آزمایش‌ها مغایرت‌هایی را آشکار کرد که این نظریه قادر به توضیح آن‌ها نبود.

اولین نشانه از راه حل ممکن توسط هانس بته در سال 1947 پس از شرکت در یک کنفرانس بین المللی ارائه شد. این دانشمند در حالی که با قطار از کنفرانس به شهر محل سکونتش باز می‌گشت، اولین محاسبه غیر نسبیتی تغییر خطوط اتم هیدروژن را که توسط لامب و رادرفورد اندازه گیری شده بود، انجام داد.

با وجود محدودیت‌های موجود در محاسبه، توافق بین محاسبات و نتایج آزمایش عالی بود. ایده این بود که بی نهایت را به اصلاح جرم و بار متصل کنیم که در واقع با آزمایش بر روی مقدار محدودی ثابت شده‌اند. به این ترتیب نامتناهی‌ها در آن ثابت‌ها جذب می‌شوند و نتیجه مطلوبی در توافق با آزمایش‌ها به دست می‌دهند. این روش به عنوان نرمال سازی مجدد نامگذاری شد.

بر اساس نظریات بته و مقالات اساسی در این زمینه توسط شینیچییرو توموناگا، جولیان شوینگر، ریچارد فاینمن و فریمن دیسون سرانجام امکان دستیابی به فرمولاسیون‌های کاملاً متغیری که به هر ترتیبی محدود بودند در سری آشفتگی الکترودینامیک کوانتومی امکان پذیر شد. شینیچییرو توموناگا، جولیان شوینگر و ریچارد فاینمن به طور مشترک جایزه نوبل فیزیک 1965 را برای کار خود در این زمینه دریافت کردند. مشارکت آن‌ها و «فریمن دیسون» (Freeman Dyson) در فرمول‌های کوواریانت و ناوردا بودن پیمانه‌ای الکترودینامیک کوانتومی بود که امکان محاسبه مشاهدات را بر حسب هر درجه‌ای از نظریه اختلال فراهم می‌آورد. تکنیک ریاضی فاینمن، بر اساس نمودارهای او در ابتدا بسیار متفاوت از رویکرد نظری میدانی و مبتنی بر عملگر شوینگر و توموناگا بود، اما فریمن دیسون بعداً نشان دادند که این دو رویکرد معادل هستند.

نرمالیزه کردن مجدد یعنی نیاز به پیوند معنای فیزیکی در واگرایی‌های خاصی که در نظریه از طریق انتگرال ظاهر می‌شوند، متعاقباً به یکی از جنبه های اساسی نظریه میدان کوانتومی تبدیل شده و به عنوان معیاری برای پذیرش عمومی یک نظریه در نظر گرفته شد. با وجود اینکه نرمالیزه کردن مجدد در عمل بسیار خوب عمل می‌کرد، فاینمن هیچ گاه از اعتبار ریاضی آن کاملاً مطمئن نبود و حتی از نرمالیزه کردن مجدد به عنوان تردستی یاد می‌کرد.

کرومودینامیک کوانتومی یا QCD چیست؟

الکترودینامیک کوانتومی به عنوان مدل و الگو برای همه نظریه‌های حوزه کوانتومی بعدی عمل کرده است. یکی از نظریه‌هایی که بعد از الکترودینامیک کوانتومی به وجود آمد، کرومودینامیک کوانتومی است که در اوایل دهه 1960 آغاز شد و با کارها و تلاش‌های «دیوید گروس» (David Gross)، «فرانک ویلسزک» (Frank Wilczek)، «دیوید پلیتزر» (David Politzer) و «سیدنی کلمن» (Sidney Coleman) به شکل امروزی خود رسید. با تکیه بر کارهای پیشرونده افرادی مانند شوینگر، جرالد گورالنیک، دیک هاگن و تام کیبل افرادی مانند پیتر هیگز، جفری گلدستون، شلدون لی گلاشو، استیون واینبرگ و عبدوسلام به طور مستقل نشان دادند که چگونه نیروی هسته‌ای ضعیف و الکترودینامیک کوانتومی را می‌توان در یک نیروی الکتروضعیف ادغام کرد.

تفاوت اصلی بین QED و QCD این است که QED برهمکنش ذرات باردار با میدان الکترومغناطیسی را توصیف می‌کند، در حالی که QCD تعاملات بین کوارک‌ها و گلوئون‌ها را توصیف می‌کند.

QED الکترودینامیک کوانتومی است در حالی که QCD کرومودینامیک کوانتومی است. هر دو این نظریه‌ها رفتار ذرات در مقیاس کوچک مانند ذرات زیر اتمی را توضیح می‌دهند.

دیدگاه فاینمن در مورد الکترودینامیک کوانتومی

در اواخر عمر ریچارد فاینمن، او یک سری سخنرانی در مورد الکترودینامیک کوانتومی که برای عموم مردم طراحی شده بود، ارائه کرد. این سخنرانی‌ها با عنوان فاینمن (1985)، QED: نظریه عجیب نور و ماده که یک شرح کلاسیک غیر ریاضی از نقطه نظر الکترودینامیک کوانتومی بود، منتشر کرد.

اجزای اصلی ارائه فاینمن از الکترودینامیک کوانتومی سه اصل اساسی به صورت زیر بود:

• فوتون از یک مکان و زمان به مکان و زمان دیگر می‌رود.
• الکترون از یک مکان و زمان به مکان و زمان دیگر می‌رود.
• الکترون در مکان و زمان معینی فوتون ساطع یا جذب می‌کند.

این اقدامات به صورت مختصر بصری توسط سه عنصر اساسی نمودارهای فاینمن نشان داده می‌شود: یک خط موج دار برای فوتون، یک خط مستقیم برای الکترون و یک اتصال بین دو خط مستقیم و یک خط موج دار که نشان دهنده انتشار یا جذب فوتون توسط الکترون است. همه این‌ها را می‌توان در نمودار بالا مشاهده کرد.

همچنین برای کوتاه کردن عملگرها، فاینمن نوع دیگری از خلاصه نویسی را برای مقادیر عددی به نام دامنه احتمال معرفی کرد. احتمال مربع مقدار مطلق دامنه احتمال کل است و برابر با $$\text{probability}=|f(amplitude)|^2$$ است. اگر یک فوتون از یک مکان و زمان برای مثال $$A$$ به مکان و زمان دیگر مثلاً $$B$$ حرکت کند، عملگر این انتقال توسط فاینمن به صورت $$P(A\ to\ B)$$ نوشته می‌شود. مقدار مشابه برای حرکت یک الکترون از $$C$$ به $$D$$ نیز به صورت $$E(C\ to\ D)$$ نوشته می‌شود. کمیتی که در مورد دامنه احتمال انتشار یا جذب فوتون صحبت می‌کند نیز $$j$$ نامیده می‌شود. این کمیت نه به صورت کامل، اما تا حدی مربوط به بار الکترون اندازه گیری شده است.

الکترودینامیک کوانتومی بر این فرض استوار است که فعل و انفعالات پیچیده بسیاری از الکترون‌ها و فوتون‌ها را می‌توان با یک مجموعه مناسب از سه بلوک ساختمانی بالا و سپس با استفاده از دامنه‌های احتمالی برای محاسبه احتمال چنین فعل و انفعال پیچیده‌ای نشان داد. به نظر می‌رسد که ایده اصلی الکترودینامیک کوانتومی را می‌توان بر این اساس فرض کرد که مربع مجموع دامنه‌های احتمال ذکر شده در بالا یعنی $$P(A\ to\ B),\ E(C\ to\ D)\ and\ j$$ درست مانند احتمال روزمره ما عمل می‌کند. این امر در ادامه تصحیح خواهد شد و شامل ریاضیات کوانتومی به دنبال کارهای فاینمن است.

قوانین اساسی دامنه‌های احتمالی که مورد استفاده قرار می‌گیرد عبارت از موارد زیر هستند:

• اگر یک رویداد می‌تواند به روش‌های مختلف اتفاق بیفتد، دامنه احتمال آن مجموع دامنه‌های احتمال راه‌های ممکن است.
• اگر یک فرایند شامل تعدادی فرآیند فرعی مستقل باشد، دامنه احتمال آن حاصل ضرب دامنه‌های احتمال هر مولفه است.

ساخت و سازهای اساسی الکترودینامیک کوانتومی

فرض کنید ما با یک الکترون در یک مکان و زمان مشخص (این مکان و زمان دارای برچسب دلخواه A است) و یک فوتون در مکان و زمان دیگر (با برچسب B) شروع می‌کنیم. یک سوال معمولی از منظر فیزیکی این است که احتمال یافتن الکترون در C (مکان دیگر و زمان بعد) و فوتون در D (و مکان و زمان دیگر) چه قدر است؟ ساده‌ترین فرآیند برای رسیدن به این هدف این است که الکترون از A به C (یک عملگر ابتدایی) و برای فوتون از B به D (یک عملگر ابتدایی دیگر) حرکت کند. با آگاهی از دامنه‌های احتمالی هر یک از این فرایندهای فرعی E (A تا C) و P (B تا D)، انتظار داریم دامنه احتمال وقوع هر دو را با ضرب آن‌ها، با استفاده از قانون دوم در بالا، محاسبه کنیم. بدین ترتیب دامنه احتمالی کلی برآورد شده ساده ارائه می‌شود، که به صورت مربع احتمال را تخمین می‌زند.

اما راه‌های دیگری نیز وجود دارد که می‌تواند نتیجه نهایی را محاسبه کند. الکترون ممکن است به مکان و زمان E حرکت کند، جایی که فوتون را جذب می‌کند. سپس قبل از انتشار فوتون دیگر به سمت F حرکت کند. سپس به C برود، جایی که تشخیص داده می‌شود در حالی که فوتون جدید به D می‌رود. احتمال این فرآیند پیچیده را می‌توان با دانستن دامنه احتمال هر یک از عملگرها محاسبه کرد: سه عملگر الکترون، دو عملگر فوتون و دو راس یکی انتشار و دیگری جذب.

انتظار می‌رود که با ضرب دامنه احتمال هر یک از عملگرها، برای هر موقعیت انتخاب شده E و F، دامنه احتمال کلی را بیابیم. سپس با استفاده از قانون اول بالا، باید همه این دامنه‌های احتمال را برای همه جایگزین‌های E و F جمع کنیم. اما یک احتمال دیگر که وجود دارد این است که الکترون ابتدا به سمت G جایی که یک فوتون از خود ساطع می‌کند که به D برود حرکت می‌کند، در حالی که الکترون به حرکت خود به سمت H ادامه می‌دهد، جایی که اولین فوتون را قبل از حرکت به سمت C جذب می‌کند. مجدداً می‌توان دامنه احتمال این احتمالات را نیز محاسبه کرد (برای همه نقاط G و H).

سپس با افزودن دامنه‌های احتمالی این دو حالت ساده اولیه، می‌توان برآورد بهتری برای دامنه احتمال کلی به دست آورد. نامی که به این فرآیند تعامل فوتون با الکترون به این شکل داده می‌شود، پراکندگی کامپتون است.

تعداد نامحدودی دیگر از فرآیندهای مجازی میانی دیگر وجود دارد که در آن‌ها تعداد بیشتری فوتون جذب و یا ساطع می‌شوند. برای هر یک از این فرآیندها، نمودار فاینمن وجود دارد که آن را توصیف می‌کند. این امر مستلزم محاسبات پیچیده‌ای برای دامنه‌های احتمالی حاصل است، اما با در نظر گرفتن این موضوع که هرچه نمودار پیچیده‌تر باشد تاثیر کمتری بر نتیجه حاصل دارد و فقط زمان و تلاش بیشتری برای به دست آوردن جواب دقیق لازم است. این رویکرد اصلی الکترودینامیک کوانتومی است. برای محاسبه احتمال هرگونه فرآیند تعاملی بین الکترون‌ها و فوتون‌ها، ابتدا باید با نمودارهای فاینمن، تمام روش‌های ممکن را که از طریق سه اصل اساسی می‌توان فرآیند را ایجاد کرد، ذکر نمود. هر نمودار شامل محاسبه‌ای است که شامل قوانین قطعی برای یافتن دامنه احتمال مربوطه می‌شود.

زمانی که به توصیف کوانتومی بروید، این اصول اصلی باقی می‌ماند اما به برخی تغییرات مفهومی نیاز است. یکی این است که در حالی که ما ممکن است در زندگی روزمره خود انتظار داشته باشیم که محدودیت‌هایی در نقاطی که ذره می‌تواند حرکت کند وجود داشته باشد، این در الکترودینامیک کامل کوانتومی صادق نیست. دامنه احتمالی غیر صفر الکترون در A، یا فوتون در B وجود دارد که به عنوان یک عملگر اساسی به هر مکان و زمان دیگری در جهان حرکت می‌کند. این موضوع شامل مکان‌هایی که فقط با سرعتی بیشتر از نور و زمان‌های قبل می‌توان به آن‌ها رسید، می‌شود. به صورت کلی الکترون در حال حرکت به عقب در زمان را می‌توان به عنوان یک پوزیترون در حال حرکت به جلو در نظر گرفت.

دامنه‌های احتمال

همانطور که در تصویر ۷ می‌بینید، فاینمن اعداد مختلط را با فلش‌های چرخان جایگزین کرد که با انتشار و شروع به تشخیص ذره شروع می‌شوند. مجموع تمام پیکان‌های به دست آمده یک پیکان نهایی را نشان می‌دهد که طول آن برابر با احتمال رویداد است. در این نمودار، نوری که از منبع S ساطع می‌شود می‌تواند با پرش از آینه (به رنگ آبی) در نقاط مختلف به آشکارساز P برسد. هر یک از مسیرها دارای یک پیکان مرتبط با آن است (جهت آن به طور یکنواخت با زمان لازم برای عبور نور از مسیر تغییر می‌کند). برای محاسبه درست احتمال رسیدن نور به P با شروع از S، باید فلش‌ها را برای همه این مسیرها جمع کرد. نمودار زیر کل زمان صرف شده برای پیمایش هر یک از مسیرهای بالا را نشان می‌دهد.

مکانیک کوانتومی تغییر مهمی در نحوه محاسبه احتمالات ایجاد می‌کند. احتمالات هنوز با اعداد واقعی معمولی که برای احتمالات در دنیای روزمره خود استفاده می‌کنیم نشان داده می‌شود، اما احتمالات به عنوان مدول مربع دامنه احتمال محاسبه می‌شوند که اعداد مختلط هستند.

فاینمن از قرار دادن خواننده در معرض ریاضی اعداد مختلط با استفاده از نمایش ساده اما دقیق آن‌ها به عنوان فلش روی یک کاغذ یا صفحه اجتناب کرد. هر چند این فلش‌ها را نباید با فلش نمودارهای فاینمن که نمایش ساده‌ای در دو بعد برای رابطه بین نقاط در سه بعد فضا و زمان است، اشتباه گرفت. فلش‌های دامنه‌ اساسی‌ترین عناصر در توصیف جهان ارائه شده توسط کوانتوم هستند. آنها با این قانون ساده که احتمال رخداد را مربع طول پیکان دامنه مربوطه می‌دانند، به ایده‌های روزمره ما درباره احتمال مربوط می‌شوند. بنابراین برای یک فرایند معین اگر دو دامنه احتمال v و w درگیر باشند، احتمال این فرآیند به وسیله دو رابطه زیر داده می‌شوند:

$$P=|v+w|^2$$

یا

$$P=|vw|^2$$

بدین صورت در جایی که انتظار می‌رود احتمالات را اضافه یا ضرب کنید، در عوض دامنه‌های احتمال که اکنون اعداد مختلط هستند را اضافه یا ضرب خواهید کرد. جمع و ضرب در نظریه اعداد مختلط عملیات متداولی هستند و در شکل‌ها نیز توضیح داده شده‌اند.

مجموع دو بردار مختلط به این صورت است، فرض کنید شروع پیکان دوم در انتهای اول باشد. سپس مجموع، یک پیکان سوم است که مستقیماً از ابتدای پیکان اول تا انتهای پیکان دوم حرکت می‌کند. حاصلضرب دو پیکان نیز پیکانی است که طول آن حاصلضرب دو پیکان ابتدایی است. زاویه بردار حاصلضرب نیز با افزودن زوایایی که هریک از دو پیکان اولیه نسبت به جهت مرجع داشته‌اند، به دست می‌آید و این امر زاویه چرخش محصول را نسبت به جهت مرجع نشان می‌دهد.

این تغییر از احتمال به دامنه احتمال، ریاضیات را بدون تغییر روش اصلی پیچیده می‌کند. اما این تغییر هنوز کاملاً کافی نیست زیرا این واقعیت را در نظر نمی‌گیرد که هم فوتون‌ها و هم الکترون‌ها می‌توانند قطبی شوند، به این معنا که جهت گیری آن‌ها در فضا و زمان باید در نظر گرفته شود. بنابراین $$P(A\ to\ B)$$ شامل 16 عدد مختلط یا پیکان دامنه احتمالی است. برخی تغییرات جزئی نیز در رابطه با مقدار $$j$$ وجود دارد که ممکن است مجبور باشد با مضربی از 90 بچرخد.

این موضوع که الکترون می‌تواند قطبی شود، یک واقعیت ضروری و کوچک دیگر است که با این واقعیت همخوانی دارد که یک الکترون، یک فرمیون است و از آمار فرمی -دیراک پیروی می‌کند. قاعده اصلی این است که اگر دامنه احتمالی برای یک فرایند پیچیده معین شامل بیش از یک الکترون را داشته باشیم، وقتی نمودار (فاینمن) مکمل را که شامل دو رویداد الکترون است در آن قرار دهیم، دامنه حاصل برعکس است. ساده ترین حالت مربوط به دو الکترون است که از A و B شروع می‌شوند و به C و D خاتمه می‌یابند. دامنه به عنوان تفاوت محاسبه می‌شود یعنی داریم:

$$E(A\ to\ D)\times E(B\ to\ C)-E(A\ to\ C)\times E(B\ to\ D)$$

چیزی که ما از تجربیات روزمره خود انتظار داریم این است که این احتمال باید به صورت یک حاصل جمع باشد.

انتشار دهنده

سرانجام باید P (A تا B) و E (C تا D) مربوط به دامنه‌های احتمالی فوتون و الکترون را به ترتیب محاسبه کرد. این دو اساساً راه حل‌های معادله دیراک هستند که رفتار دامنه احتمال الکترون را توصیف می‌کنند و معادلات ماکسول که رفتار دامنه احتمال فوتون را شرح می‌دهند. به این دو انتشار دهنده‌های فاینمن می‌گویند. ترجمه علامتی که معمولاً در ادبیات استاندارد استفاده می شود به شرح زیر است:

$$P(A \text { to } B) \rightarrow D_{F}\left(x_{B}-x_{A}\right), \quad E(C \text { to } D) \rightarrow S_{F}\left(x_{D}-x_{C}\right)$$

که $$x_A$$ یک مختصات است که سه مولفه مکان و یک مولفه زمان برای نقطه A را می‌دهد.

نرمالیزه کردن جرم

از لحاظ تاریخی مشکلی که به وجود آمد باعث شد که پیشرفت این نظریه برای بیست سال متوقف شود. اگرچه ما با فرض سه عملگر اساسی ساده شروع کردیم، اما قوانین بازی می‌گویند که اگر بخواهیم دامنه احتمال یک الکترون را از A به B محاسبه کنیم، باید همه راه‌های ممکن را در نظر بگیریم یعنی همه نمودارهای ممکن فاینمن با نقاط پایانی.

بنابراین راهی وجود خواهد داشت که طی آن الکترون به C می‌رود فوتون را در آنجا ساطع می‌کند و سپس دوباره آن را در D جذب می‌کند و سپس به B می‌رود، یا می‌تواند این کار را دو بار یا بیشتر انجام دهد. به طور خلاصه ما یک وضعیت فراکتال مانند داریم که در آن اگر به یک خط به صورت دقیق نگاه کنیم، به مجموعه‌ای از خطوط ساده تجزیه می‌شود که هر یک از آن‌ها، اگر از نزدیک مورد توجه قرار گیرند به نوبه خود از خطوط ساده دیگری تشکیل شده‌اند و این امر تا بی نهایت ادامه پیدا خواهد کرد.

بررسی این وضعیت چالش برانگیز بود. زیرا اگر افزودن این جزئیات فقط کمی موضوعات را تغییر می‌داد آنقدر هم بد نبود، اما فاجعه زمانی رخ داد که مشخص شد اصلاح ساده ذکر شده در بالا دامنه‌های احتمال نامحدود را به دنبال داشت. با گذشت زمان، این مشکل با تکنیک نرمالیزه کردن مجدد برطرف شد. با این حال خود فاینمن از این موضوع ناراضی بود و آن را فرآیندی غم انگیز نامید.

در چارچوب فوق فیزیکدانان توانستند با دقت بالایی برخی از خواص الکترون‌ها مانند گشتاور دوقطبی مغناطیسی غیر عادی را محاسبه کنند. با این حال همان طور که فاینمن اشاره کرد، این نظریه نمی‌تواند توضیح دهد که چرا ذراتی مانند الکترون دارای جرمی که دارند، هستند. در حقیقت هیچ نظریه‌ای وجود ندارد که این اعداد را به اندازه کافی توضیح دهد. ما در همه نظریه‌های خود از این اعداد استفاده می‌کنیم اما آن‌ها را درک نمی‌کنیم که چه چیز هستند یا از کجا آمده‌اند. به نظر می‌رسد این یک موضوع جالب و بسیار جدی است.

فرمول بندی ریاضیاتی الکترودینامیک کوانتومی

از نظر ریاضی الکترودینامیک کوانتومی یک نظریه اندازه گیری آبلین با گروه تقارن $$U(1)$$ است. میدان پیمانه‌ای که واسطه تعامل بین میدان‌های اسپین $$-\frac{1}{2}$$ باردار است، میدان الکترومغناطیسی است. لاگرانژی الکترودینامیک کوانتومی برای میدان متقابل اسپین $$-\frac{1}{2}$$ با میدان الکترومغناطیسی در واحد طبیعی با بخش حقیقی داده می‌شود و داریم:

$$\mathcal{L}=\bar{\psi}\left(i \gamma^{\mu} D_{\mu}-m\right) \psi-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

در رابطه بالا

• $$\gamma^{\mu}$$ ماتریس دیراک است.
• $$\psi$$ یک میدان دو اسپینوری از ذرات با اسپین $$-\frac{1}{2}$$ است (برای مثال میدان الکترون-پوزیترون)
• $$\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$$ موماً به عنوان ماتریس الحاقی $$\psi$$ از آن یاد می‌شود.
• $$D_{\mu}=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}+ieB_{\mu}$$ مشتق هموردای پیمانه‌ای است.
• $$e$$ ثابت کوپلینگ است و برابر با بارالکتریکی میدان دو اسپینوری است.
• $$m$$ جرم الکترون یا پوزیترون است.
• $$A_{\mu}$$ چهار بردار هموردای میدان الکترومغناطیسی است که توسط الکترون ایجاد می‌شود.
• $$B_{\mu}$$ میدان خارجی است که با یک منبع خارجی اعمال می‌شود.
• $$F_{\mu \nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$ تانسور میدان الکترومغناطیسی است.

معادلات حرکت الکترودینامیک کوانتومی

با جایگذاری عبارت D در لاگرانژی داریم:

$$\mathcal{L}=i \bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi-e \bar{\psi} \gamma^{\mu}\left(A_{\mu}+B_{\mu}\right) \psi-m \bar{\psi} \psi-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$

از این لاگرانژی معادلات حرکت برای میدان $$\psi$$ و A به دست می‌آید. با استفاده از میدان نظری معادله اویلر-لاگرانژ برای $$\psi$$ داریم:

$$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}=0\ \ \ (1)$$

مشتق لاگرانژی با در نظر گرفتن $$\psi$$ برابر است با:

$$\begin{aligned} &\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}\right)=\partial_{\mu}\left(i \bar{\psi} \gamma^{\mu}\right) \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}=-e \bar{\psi} \gamma^{\mu}\left(A_{\mu}+B_{\mu}\right)-m \bar{\psi} \end{aligned}$$

با قرار دادن معادله بالا در معادله (1) داریم:

$$i \partial_{\mu} \bar{\psi} \gamma^{\mu}+e \bar{\psi} \gamma^{\mu}\left(A_{\mu}+B_{\mu}\right)+m \bar{\psi}=0$$

با استفاده از مزدوج هرمیتی داریم:

$$i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi-e \gamma^{\mu}\left(A_{\mu}+B_{\mu}\right) \psi-m \psi=0$$

با بردن عبارت وسط به سمت راست معادله نتیجه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi-m \psi=e \gamma^{\mu}\left(A_{\mu}+B_{\mu}\right) \psi$$

سمت چپ این معادله شبیه به معادله دیراک است و سمت راست برهمکنش با میدان الکترومغناطیسی است. با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ برای میدان A داریم:

$$\partial_{\nu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\nu} A_{\mu}\right)}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}=0$$

مشتق‌ها برابر هستند با:

$$\begin{aligned} &\partial_{\nu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\nu} A_{\mu}\right)}\right)=\partial_{\nu}\left(\partial^{\mu} A^{\nu}-\partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}=-e \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi \end{aligned}$$

با جایگذاری این مشتق‌ها در رابطه ابتدایی خواهیم داشت:

$$\partial_{\nu}F^{\nu \mu}=e\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$$

با در نظر گرفتن شرایط پیمانه لورنتس که به صورت زیر است:

$$\partial_{\mu}A^{\mu}=0$$

معادله به شکل زیر در می‌آید و داریم:

$$\square A^{\mu}=e \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$$

که معادله موج برای چهار بردار پتانسیل است. این معادله ورژن الکترودینامیک کوانتومی معادله کلاسیک ماکسول در پیمانه لورنتس است.

کاربردهای الکترودینامیک کوانتومی چیست؟

طیف سنجی که روشی برای تعیین عناصر موجود در نمونه با پراکندگی تابش گاما است، مستلزم آگاهی از تصحیح سطوح انرژی هسته بر اساس نظریه میدان کوانتومی است. فناوری‌های شکافت هسته‌ای و همجوشی هسته‌ای (بیشتر راکتورها و بمب‌ها) با توجه به نظریه میدان کوانتومی مهندسی شده‌اند.

علاوه بر این الکترودینامیک کوانتومی در لیزرها و دستگاه‌های محاسبه کوانتومی کاربرد دارد که بر اساس اتم‌های فوق سرد در حفره‌های نوری و موارد دیگر است. رایانه‌های کوانتومی ممکن است هنوز در قلمرو آزمایشات آزمایشگاهی قرار داشته باشند اما به زودی آن‌ها ابزار مهندسی خواهند شد. الکترودینامیک کوانتومی اساس تعامل اتمی با نور است، بنابراین هرگونه ارتباط با نورپردازی (به عنوان مثال LED‌ها) نیز مبتنی بر QED است، اگرچه برای استفاده از این پدیده در مهندسی به ندرت نیاز به الکترودینامیک کوانتومی دارید. الکترودینامیک کوانتومی ممکن است در فناوری‌های آینده که از میدان‌های مغناطیسی و الکتریکی انرژی بیشتری نسبت به آنچه که در حال حاضر استفاده می‌کنیم استفاده کند، اهمیت بیشتری پیدا کند.

نمایش QED چیست؟

الکترودینامیک کوانتومی یا QED نمایشنامه‌ای از پیتر پارنل نمایشنامه نویس آمریکایی است که وقایع مهم زندگی ریچارد فاینمن فیزیکدان برنده جایزه نوبل را شرح می‌دهد. در این فیلم صحنه‌هایی از یک روز تخیلی در زندگی فاینمن، کمتر از دو سال قبل از مرگ، ارائه شده است که بسیاری از بیوگرافی شخصی او را، از پروژه منهتن گرفته تا بررسی فاجعه چلنجر تا موضوعات شخصی‌تر مانند مرگ همسر فاینمن و مبارزه خود او با سرطان را بیان می‌کند. این نمایشنامه که با همکاری پرنل، آلن آلدا به عنوان بازیگر و کارگردان گوردون دیویدسون ساخته شد، در سال 2001 به نمایش درآمد. تولید اصلی این نمایشنامه به کارگردانی دیویدسون و بازی آلدا در نقش فاینمن، ابتدا در انجمن مارک تپر در لس آنجلس و از اواخر سال 2001 تا اواسط سال 2002 در برادوی روی پرده رفت.

معرفی فیلم آموزش مبانی فیزیک ذرات بنیادی (Particle physics)

مجموعه فرادرس در تولید و تهیه محتوای آموزشی خود اقدام به تهیه فیلم آموزش مبانی فیزیک ذرات بنیادی (Particle physics)کرده است. این مجموعه آموزشی از پنج درس تشکیل شده و برای دانشجویان رشته فیزیک و افراد علاقه‌مند به فیزیک ذرات مفید است. پیش‌نیاز این درس ریاضی پایه، فیزیک پایه و آموزش فیزیک مدرن با رویکرد حل مساله است.

درس اول این مجموعه مروری بر مقدمات فیزیک ذرات بنیادی است. درس دوم به تاریخچه ذرات بنیادی و درس سوم به بررسی دینامیک ذرات بنیادی اختصاص دارد. در درس چهارم سینماتیک نسبیتی و مفهوم‌های به کار برده در این مبحث را خواهید آموخت و در درس پنجم تقارن‌ها بررسی می‌شود.

• برای دیدن فیلم آموزش مبانی فیزیک ذرات بنیادی (Particle physics) + اینجا کلیک کنید.

جمع‌بندی

در این مطلب در مورد الکترودینامیک کوانتومی و تاریخچه آن صحبت کردیم. در حقیقت الکترودینامیک کوانتومی (QED) نظریه تعامل میدان‌های الکترومغناطیسی کوانتومی است. در این راستا کاربردهای الکترودینامیک کوانتومی را بیان کردیم.