اتحاد مکعب چیست؟ — فرمول، اثبات و مثال — به زبان ساده

۵۴۴۰۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۷ اسفند ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
اتحاد مکعب چیست؟ — فرمول، اثبات و مثال — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادس، با اتحاد و تجزیه آشنا شدیم و اتحادهای مهم را معرفی کردیم. همچنین در مطلب «نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب» از مجله فرادرس چند مثال را درباره اتحادها حل کردیم. در این آموزش، به یکی از اتحادهای مهم و کاربردی، به نام اتحاد مکعب می‌پردازیم و مثال‌هایی از آن را حل خواهیم کرد.

اتحاد مکعب مجموع

همان‌طور که می‌دانیم مکعب یک حجم هندسی است که حجم آن از به توان ۳ رساندن طول هر ضلع آن به دست می‌آید. در اینجا هم مکعب به معنای توان ۳ است. اتحاد مکعب مجموع یعنی اتحاد مجموع دو جمله به توان ۳. به بیان ریاضی، فرض کنید دو جمله $$ x $$ و $$ y $$ را داریم. اتحاد مکعب مجموع این دو جمله به صورت زیر خواهد بود:

$$ \boxed { \begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 \end {aligned} } $$

دقت کنید که اتحاد مکعب مجموع را با اتحاد چاق و لاغر اشتباه نگیرید:

$$ { \begin {aligned} x ^ 3 + y ^ 3 & = ( x + y ) ( x ^ 2 - x y + y ^ 2 ) \end {aligned} } $$

اتحاد مکعب تفاضل

اتحاد مکعب تفاضل، همان‌گونه که از نامش مشخص است، برای تفاضل دو جمله بیان می‌شود و به صورت زیر است:

$$ \boxed { \begin {aligned} ( x - y ) ^ 3 & = x ^ 3 - 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 - y ^ 3 \end {aligned} } $$

توجه کنید که اتحاد چاق و لاغر زیر را با این اتحاد اشتباه نگیرید:‌

$$ { \begin {aligned} x ^ 3 - y ^ 3 & = ( x - y ) ( x ^ 2 + x y + y ^ 2 ) \end {aligned} } $$

تصویر گرافیکی از یک تخته سفید پر از معادلات و معلمی که به تخته اشاره می کند (تصویر تزئینی مطلب اتحاد مکعب)

اتحاد مکعب دو جمله ای

آنچه در بخش‌های قبل گفتیم، چون مربوط به دو جمله بود، به آن‌ها اتحاد مکعب دو جمله ای می‌گوییم که به صورت زیر هستند:

$$ \boxed { \begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 \\ ( x - y ) ^ 3 & = x ^ 3 - 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 - y ^ 3 \end {aligned} } $$

برای آشنایی بیشتر با اتحاد مکعب دوجمله‌‌ای، به آموزش «اتحاد مکعب دوجمله‌ای چیست؟ — اثبات، فرمول و مثال — به زبان ساده» در این لینک مراجعه کنید.

اثبات اتحاد مکعب دو جمله ای

اثبات اتحاد مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$ b $$ را می‌توان به روش جبری در سه گام ساده انجام داد.

گام ۱. نخست، دوجمله‌ای $$a+b$$ را در سه بار در خودش ضرب می‌کنیم که از نظر ریاضی به معنی همان مکعب دوجمله‌ای است. بنابراین، مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$b$$ را می‌توان به فرم زیر بیان کرد:

$$ ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( a + b ) \times ( a + b ) $$

گام ۲. نمی‌توانیم همزمان سه دوجمله‌ای را در یکدیگر ضرب کنیم. بنابراین، ابتدا دو تا از آن‌ها را در یکدیگر ضرب می‌کنیم و سپس حاصل آن‌ها را در دوجمله‌ای سوم ضرب می‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \begin {array} { l }
\;\;\;\;\;\;\,( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( ( a + b ) \times ( a + b ) ) \\
\Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times ( a \times ( a + b ) + b \times ( a + b ) ) \\
\Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a +b ) \times ( a \times a + a \times b + b \times a + b \times b ) \\
\Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } \right ) \\
\Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } \right ) \\
\Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right )
\end {array} $$

گام ۳. اکنون مجموع دو جمله $$a+b$$ را در بسط مربع مجموع دو جمله ضرب می‌کنیم:

$$ \begin {array} {ll}
\Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right ) + b \times \left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \right ) \\
\Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a \times a ^ { 2 } + a \times 2 a b + a \times b ^ { 2 } + b \times a ^ { 2 } + b \times 2 a b + b \times b ^ { 2 } \\
\Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + b a ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \\
\Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \\
\Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } \\
\quad & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 }
\end {array} $$

بنابراین به عبارت مورد نظر می‌رسیم و اثبات کامل می‌شود.

با ساده‌سازی جبری، تساوی را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

$$ ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b ( a + b ) $$

شکل زیر تعبیر هندسی اتحاد مکعب را نشان می‌دهد.

اتحاد مکعب

اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سه جمله ای با استفاده از اتحاد مکعب دو جمله ای و به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \begin{array}{l}
(a+b+c)^{3} \\
=[a+(b+c)]^{3} \\
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+(b+c)^{3} \\
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+b^{3}+3 b c(b+c)+c^{3} \\
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+3 b c(b+c) \\
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)\left[a^{2}+a b+a c+b c\right] \\
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)] \\
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(a+b)(a+c)
\end{array} $$

این فرمول را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

$$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(b+c)(a+b)(a+c) $$

مثال های اتحاد مکعب

در این بخش، چند مثال را از اتحاد مکعب حل می‌کنیم.

مثال اول اتحاد مکعب

بسط عبارت $$(x+1)^3$$ را بنویسید.

حل: با در نظر گرفتن دو جمله $$1$$ و $$ x$$، از اتحاد مکعب مجموع دو جمله استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ ( x + 1 ) ^ 3 = x ^ 3 + 3 \times x ^ 2 \times 1 + 3 \times x \times 1 ^ 2 + 1 ^ 3 = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 x + 1 $$

مثال دوم اتحاد مکعب

حاصل عبارت $$(a-2b)^3$$ را بنویسید.

حل: با استفاده از اتحاد مکعب، می‌توان نوشت:

$$ \begin {aligned} ( a - 2 b ) ^ 3 & = a ^ 3 - 3 \times a ^ 2 \times ( 2 b ) + 3 \times a \times ( 2 b ) ^ 2 - ( 2 b ) ^ 3 \\ & = a ^ 3 - 6 a ^ 2 b + 12 a b ^ 2 - 8 b ^ 3 \end {aligned} $$

تصویر گرافیکی از یک دانش آموز در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب اتحاد مکعب)

مثال سوم اتحاد مکعب

عبارت $$x^3 + 8$$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را می‌توان به صورت $$x^ 3 + 2 ^ 3 $$ نوشت. در نتیجه، می‌توان از اتحاد چاق و لاغر جمله استفاده کرد و نوشت:

$$ x ^ 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x ^ 2 - 2 x + 2 ^ 2 ) = ( x + 2 ) ( x ^ 2 - 2 x + 4 ) $$

مثال چهارم اتحاد مکعب

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 $$

حل: اگر به بسط این عبارت دقت کنیم، می‌بینیم که جملات دوم و چهارم حذف می‌شوند و می‌توان جملات اول و سوم را با هم ترکیب کرد. یعنی اگر داشته باشیم:

$$ \begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 \\ ( x - y ) ^ 3 & = x ^ 3 - 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 - y ^ 3 \end {aligned} $$

مجموع آن‌ها برابر خواهد بود با:

$$ ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 $$

یک روش دیگر برای حل مثال، این است که از اتحاد مجموع دو مکعب استفاده کنیم:

$$ \begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 + ( x - y ) ^ 3 & = \big [ ( x + y ) + ( x - y ) \big ] \big [ ( x + y ) ^ 2 - ( x + y ) ( x - y ) + ( x - y ) ^ 2 \big] \\ & = 2 x \times \big [ x ^ 2 + 3 y ^ 2 \big ] \\ & = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 \end {aligned} $$

مثال پنجم اتحاد مکعب

دو عدد حقیقی $$x$$ و $$y$$ را در نظر بگیرید که مجموع آن‌ها $$x+y=7$$ و مجموع مکعب آن‌ها $$ x ^ 3 + y ^ 3 = 133 $$‌ است. مقدار $$xy$$ را محاسبه کنید.

حل: تساوی زیر را از قبل می‌دانیم:

$$ x ^ 3 + y ^ 3 = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 -x y ) $$

با قرار دادن اطلاعات مسئله در این رابطه، خواهیم داشت:

$$ 133 = 7 ( x ^ 2 + y ^ 2 + 2 x y -3 x y) \\
19 = (x + y)^2 - 3xy \\
19 = 49 − 3 xy \\
30 = 3xy \\
10=xy $$

بنابراین، $$xy = 10 $$ به دست می‌آید.

مثال ششم اتحاد مکعب

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

مکعب

حل:‌ عدد ۶۴۰۰۰ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ 64000 = 6 4 \times { 1 0 } ^{ 3 } = {2 } ^ { 6 } \times { 1 0 } ^ { 3 } = { { \left ( { { 2 } ^ { 2 } } \right ) } ^ { 3 } } \times { { 1 0 } ^ { 3 } } \\ \Rightarrow
\sqrt [ 3 ] { 6 4 0 0 0 } = \sqrt [ 3 ] { { { \left ( { { 2 } ^ { 2 } } \right ) } ^ { 3 } } \times { { 1 0 } ^ { 3 } } } = { 2 } ^ { 2 } \times 10 = 40 $$

همچنین، داریم:

$$\sqrt[3]{64000+3(1640)+1}= \sqrt[3]{68921}=\sqrt[3]{{41}^{3}}=41 $$

در نتیجه، حاصل عبارت برابر است با:

$$ \sqrt {\sqrt{40+41}}=\sqrt{\sqrt {81}}=\sqrt {9} = 3 $$

تصویر گرافیکی از یک دانش آموز پای تخته و سه دانش آموز نشسته

مثال هفتم اتحاد مکعب

یکی از جواب‌های معادله زیر به فرم $$\frac ab $$ است که در آن، $$ a $$ و $$b$$ اعدادی صحیح و نسبت به هم اول هستند. مقدار $$a+b$$ را بیابید.

$$\sqrt[3]{ 1+ \sqrt{x}} + \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} = \sqrt[3]{5}$$

حل: دو عبارت $$ \alpha = \sqrt [ 3 ] { 1 + \sqrt { x } } $$ و $$ \beta = \sqrt [ 3 ] { 1 - \sqrt { x } } $$ را در نظر بگیرید. بنابراین، داریم:

$$ ( \alpha + \beta ) ^ 3 = 5 \\ \Rightarrow
\alpha ^ 3 + 3 \alpha ^ 2 \beta + 3 \alpha \beta ^ 2 + \beta ^ 3 = 5 $$

از طرفی، داریم:

$$ \alpha ^ 3 + \beta ^ 3 = 1 + \sqrt { x } + 1 - \sqrt { x } = 2 $$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ 2 + 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 5 \\ \Rightarrow 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 3 \\ \Rightarrow \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 1 $$

اکنون دو طرف تساوی اخیر را به توان ۳ می‌رسانیم:

$$ \alpha ^ 3 \beta ^ 3 ( \alpha + \beta ) ^ 3 = 1 $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ ( 1 + \sqrt { x } ) ( 1 - \sqrt { x } ) ( 5 ) = 1
\Rightarrow 5(1-x) = 1 \\ \Rightarrow 1 - x = \dfrac {1}{5} \Rightarrow x = \frac {4}{5} = \frac {a}{b} \Rightarrow a + b = \boxed {9} $$

مثال هشتم اتحاد مکعب

مقدار $$107 ^ 3 $$ را به دست آورید.

حل: این عبارت را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$107^ 3 = (100+7)^ 3 $$

از اتحاد مکعب دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم:

$$ (a+b)^3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b (a+b)$$

با قرار دادن $$ a = 100$$ و $$ b = 7 $$، خواهیم داشت:

$$ ( 100 + 7 ) ^ 3 = 100 ^ 3 + 7^ 3 + 3(100)(7)(100 + 7)\\
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 3(100)(7)(107) \\
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 224700 \\
(107 ) ^ 3 = 1225043 $$

بنابراین، مقدار $$107^ 3$$ برابر است با $$1,225,043$$.

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس با اتحاد مکعب تفاضلی، مجموع و دو جمله‌ای آشنا شدیم. پس از آشنایی با این اتحاد، مثال‌هایی را برای درک بهتر آن با یکدیگر حل کردیم.

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Brilliantمجله فرادرس
۱ دیدگاه برای «اتحاد مکعب چیست؟ — فرمول، اثبات و مثال — به زبان ساده»

سلام چطور تو یه سوال که بهمون دادن از اون چند جمله یه اتحاد مکعب دو جمله ای بسازیم،فرمولش چیه که بفهمیم اون عبارت رو به علاوه و منهای اون عدد کنیم،میتونیم یه اتحاد بسازیم.مثلا توی اتحاد مربع کامل اگر b رو نصف کنیم و بعد به توان دو برسونیم و عدد بدست اومده رو به علاوه و منهای عبارت کنیم، باجوابش میشه یه اتحاد مربع ساخت.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *