محاسبه مساحت ذوزنقه — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با مساحت شکل‌هایی مانند، دایره، مستطیل، مثلث و لوزی آشنا شدیم. در آین آموزش، روش محاسبه مساحت ذوزنقه را معرفی می‌کنیم.

«ذوزنقه» (Trapezoid) از دو بخش «ذو» و «زنقه» تشکیل شده است. «ذو» به معنای صاحب و دارنده است و «زنق» به معنی انحراف. بنابراین معنی تحت‌الفظی ذوزنقه «دارای انحراف» است. دلیل آن هم این است که در این شکل هندسی فقط دو ضلع موازی هستند و دو ضلع دیگر انحراف دارند. در این آموزش روش محاسبه مساحت ذوزنقه را یاد می‌گیریم.

محاسبه مساحت ذوزنقه با قاعده‌ها و ارتفاع

قبل از بیان فرمول مساحت ذوزنقه، بهتر است چند اصطلاح مربوط این شکل را بیان کنیم و با آن‌ها آشنا شویم.

فیلم آموزش محاسبه مساحت ذوزنقه (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

به شکل زیر توجه کنید.

برای یافتن مساحت هر ذوزنقه، برای سادگی ابتدا قاعده‌ها و ارتفاع آن را مشخص می‌کنیم. معمولاً ارتفاع را با $$ h $$، قاعده کوچک را با $$ b $$ و قاعده بزرگ‌تر را با $$ a $$ نشان می‌دهیم. البته از هر نماد دلخواه دیگری نیز می‌توانید استفاده کنید. فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه به شکل زیر است:

به عبارت دیگر، مساحت ذوزنقه، برابر با یک دوم مجموع دو قاعده ضرب در ارتفاع است. از آنجا که در محاسبه مساحت به اندازه ساق‌ها نیاز نداریم، آن‌ها را نامگذاری نکرده‌ایم. البته گاهی ممکن است اندازه ساق‌ها و قاعده‌ها را بدهند و از ما مساحت را بخواهند. در ادامه، این حالت را نیز بررسی می‌کنیم.

مثال اول محاسبه مساحت ذوزنقه

یک ذوزنقه به ارتفاع ۵ سانتی‌متر داریم. قاعده کوچک این ذوزنقه ۷ سانتی‌متر و قاعده بزرگ آن ۱۳ سانتی‌متر است. مساحت ذوزنقه را محاسبه کنید.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

حل: طبق آنچه گفتیم، ابتدا قاعده‌ها و ارتفاع را روی شکل مشخص کرده و مقدار آن‌ها را در فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه قرار می‌دهیم. بدین ترتیب، مساحت به سادگی به دست می‌آید.

مثال دوم محاسبه مساحت ذوزنقه

مساحت ذوزنقه زیر را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌بینیم، این شکل کمی با شکل بالا تفاوت دارد. اما برای محاسبه مساحت ذوزنقه همان کار قبلی را انجام می‌دهیم. دو قاعده موازی و ارتفاع را پیدا می‌کنیم. در شکل زیر دو قاعده با پیکان زد و ارتفاع با پیکان سبز مشخص شده‌اند.

از فرمول محاسبه مساحت استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت‌:

$$ \large A = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h = \frac 12 (8 + 5 ) 4 = \frac 12 \times 13 \times 4 = 26 \; \mathrm { m ^ 2 } $$

محاسبه مساحت ذوزنقه با داشتن اضلاع

اکنون، فرض کنید تنها اضلاع ذوزنقه را در اختیار داریم و ارتفاع آن در اختیارمان قرار نگرفته است. می‌خواهیم مساحت ذوزنقه را به دست آوریم.

فیلم آموزش محاسبه مساحت ذوزنقه (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت، چیزی که برای محاسبه مساحت ذوزنقه لازم است، ارتفاع آن است که باید با استفاده از قضیه فیثاغورس به دست آوریدم که در مطالب قبلی مجله فرادرس به آن اشاره کردیم.

مثال سوم محاسبه مساحت ذوزنقه

فرض کنید قاعده بزرگ و کوچک یک ذوزنقه، به ترتیب، ۱۲ و ۶ سانتی‌متر و اندازه هر ساق آن ۵ سانتی‌متر باشد. مساحت این ذوزنقه را به دست آوررید.

حل: اضلاع ذوزنقه در شکل مشخص شده‌اند. باید با استفاده از مقادیر مشخص شده روی شکل، ارتفاع ذوزنقه را محاسبه کنیم.  شکل زیر، محاسبه ارتفاع را با کمک قضیه فیثاغورس نشان می‌دهد.

اکنون، هم ارتفاع را داریم و هم دو قاعده را. بنابراین، می‌توانیم به سادگی و با استفاده از فرمولی که گفتیم، مساحت را محاسبه کنیم. در نهایت، مساحت به صورت زیر به دست می‌آید.

آزمون سنجش یادگیری مساحت ذوزنقه

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث مساحت ذوزنقه را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

مساحت ذوزنقه زیر چند است؟

52/5 سانتی‌متر

56 سانتی‌متر

52/5 سانتی‌متر مربع

56 سانتی‌متر مربع

مشاهده جواب

شرح پاسخ

مساحت ذوزنقه، با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h $$

• S: مساحت ذوزنقه
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده)

این فرمول به صورت «یک‌دوم مجموع قاعده‌ها ضرب در ارتفاع» بیان می‌شود. با توجه به سوال داریم:

$$ S = ? $$

$$ a = 3/5 $$

$$ b = 10/5 $$

$$ h = 7/5 $$

با قرار دادن پارامترهای معلوم در فرمول، مساحت ذوزنقه به دست می‌آید:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 3/5 + 10/5 ) ( 7/5 ) $$

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 14 ) ( 7/5 ) $$

$$ S = ( 7 ) ( 7/5 ) $$

$$ S = 52/5 $$

اندازه ضلع‌های ذوزنقه بر حسب سانتی‌متر بیان شده است. بنابراین، مساحت آن برابر با 52/5 سانتی‌متر مربع است.

 

کدامیک از گزینه‌ها، مساحت ذوزنقه زیر را نمایش می‌دهد؟ (یکای اعداد، متر است.)

104 متر مربع

78 متر مربع

65 متر مربع

40 متر مربع

مشاهده جواب

شرح پاسخ

بر ساس فرمول مساحت ذوزنقه، داریم:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h $$

• S: مساحت ذوزنقه
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه برابر با 18
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه برابر با 8
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده) برابر با 5

اعداد معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 18 + 8 ) ( 5 ) =  \frac { 1 } { 2 } ( 26 ) ( 5 ) = 13 \times 5 = 65 $$

مساحت ذوزنقه، 65 متر مربع است.

 

مساحت ذوزنقه‌ای به ارتفاه 5 واحد طول و قاعده‌های 7 و 9 واحد طول، چند است؟

20

80

60

40

مشاهده جواب

شرح پاسخ

مساحت ذوزنقه، نصف مجموع قاعده‌های آن ضرب در ارتفاع آن است. بنابراین، برای ذوزنقه مورد سوال، داریم:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 7 + 9 ) ( 5 ) $$

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 16 ) ( 5 ) $$

$$ S = 8 \times 5 $$

$$ S = 40 $$

در نتیجه، مساحت ذوزنقه، 40 واحد طول مربع است.

 

اگر اندازه یکی از قاعده‌های یک ذوزنقه برابر با 8 واحد طول، ارتفاع آن برابر با 12 واحد طول و مساحت آن برابر با 108 واحد طول مربع باشد، اندازه قاعده دیگر ذوزنقه چقدر خواهد بود؟

10

20

5

اطلاعات مسئله کامل نیست.

مشاهده جواب

شرح پاسخ

برای به دست آوردن اندازه قاعده ذوزنقه از روی اندازه قاعده دیگر، ارتفاع و مساحت، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h $$

• S: مساحت ذوزنقه برابر با 108
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه برابر با 8
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه
• h: ارتفاع ذوزنقه (فاصله عمودی بین دو قاعده) برابر با 12

مقادیر معلوم را درون فرمول می‌گذاریم:

$$ 108 = \frac { 1 } { 2 } ( 8 + b ) 12 $$

$$ 108 = ( 8 + b ) 6 $$

$$ ( 8 + b ) = \frac { 108 } { 6 } $$

$$ ( 8 + b ) = 18 $$

$$ b = 18 - 8 $$

$$ b = 10 $$

اندازه قاعده دیگر ذوزنقه برابر با 10 واحد طول است.

 

طول ساق‌های یک ذوزنقه متساوی‌الساقین برابر با 8 واحد طول و طول قاعده‌های آن برابر با 13 و 17 واحد طول است. کدامیک از گزینه‌های زیر، مساحت این ذوزنقه را نمایش می‌دهد؟

$$ \sqrt { 60 } $$

$$ 15 \sqrt { 60 } $$

$$ 30 \sqrt { 60 } $$

$$ 15 \sqrt { 15 } $$

مشاهده جواب

شرح پاسخ

برای محاسبه مساحت ذوزنقه، به اندازه قاعده‌ها و ارتفاع ذوزنقه نیاز داریم. در این سوال، اندازه ارتفاع داده نشده است اما با دانستن متساوی‌الساقین بودن ذوزنقه و اندازه ساق‌ها، امکان تعیین ارتفاع وجود دارد. برای این کار، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

این تصویر، ذوزنقه متساوی‌الساقین مورد سوال را نمایش می‌دهد. اگر ارتفاع ذوزنقه را رسم کنیم، یک مثلث قائم‌الزاویه ایجاد می‌شود. وتر این مثلث برابر با 8 و یکی از ساق‌های آن برابر با h و x است. اندازه x، از اختلاف اندازه قاعده‌ها به دست می‌آید:

$$ 17 = x + 13 +  x $$

$$ 17 = 2 x + 13 $$

$$ 2x = 17 - 13 $$

$$ 2 x = 4 $$

$$ x = 2 $$

اندازه h‌ نیز با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم‌الزاویه محاسبه می‌شود. بر اساس این قضیه داریم:

$$ 8 ^ 2 = x ^ 2 + h ^ 2 $$

$$ 8 ^ 2 = 2 ^ 2 + h ^ 2 $$

$$ 64 = 4 + h ^ 2 $$

$$ h ^ 2 = 64 - 4 $$

$$ h ^ 2 = 60 $$

$$ h = \sqrt { 60 } $$

به این ترتیب، ارتفاع ذوزنقه را به دست آوردیم. اکنون می‌توانیم مساحت آن را با استفاده از فرمول زیر تعیین کنیم:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) h $$

• S: مساحت ذوزنقه
• a: اندازه یکی از قاعده‌های ذوزنقه برابر با 13
• b: اندازه قاعده دیگر ذوزنقه 17
• h: ارتفاع ذوزنقه برابر با $$ \sqrt { 60 } $$

با جایگذاری مقادیر معلوم در فرمول، خواهیم داشت:

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 17 + 13 ) \left ( \sqrt { 60 } \right ) $$

$$ S = \frac { 1 } { 2 } ( 30 ) \left ( \sqrt { 60 } \right ) $$

$$ S = 15 \sqrt { 60 } $$