معادله دیفرانسیل اویلر — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با معادلات دیفرانسیل، روش‌های حل این معادلات اعم از مرتبه اول، دوم و مراتب بالاتر توضیح داده ‌شدند. با این حال در این مطلب قصد داریم تا نوعی جدید از معادلات دیفرانسیل، تحت عنوان معادله دیفرانسیل اویلر را مورد بررسی قرار دهیم. از این رو پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این بخش، مطالب معادلات دیفرانسیل، مرتبه دوم، معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر و معادلات ناهمگن را مطالعه فرمایید.

شکل معادله دیفرانسیل اویلر

معادله دیفرانسیل اویلر به معادله‌ای از مرتبه دو گفته می‌شود که در آن درجه ضرایبِ تابع و مشتقاتش برابر با مرتبه مشتق‌گیری است. در حقیقت شکل عمومی یک معادله دیفرانسیل اویلر به صورت زیر است.

$$\large \begin {equation} a { x ^ 2 } y ^ { \prime\prime } + b x y ^ { \prime } + c y = 0 \end {equation}$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ معادله دیفرانسیل اویلر را می‌توان به دو صورت بیان کرد. حالت اول را به صورت سری توانی بیان می‌کنند. اما در این مطلب، هدف ما بدست آوردن پاسخ تحلیلی این معادله است.
در ابتدا فرض کنید مقادیر x مثبت هستند ($$x > 0$$). در ادامه و در مثال ۱، علت این فرض را توضیح خواهیم داد. البته این معادله در تمامی xها به جز x=0 دارای پاسخ است. بنابراین شکل عمومی پاسخ را در انتها ارائه خواهیم داد. اویلر نشان دادن که پاسخ چنین معادله‌ای را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large \begin {equation} y \left ( x \right ) = { x ^ r } \end {equation}$$
رابطه ۱

با قرار دادن پاسخ فرض شده در معادله اصلی، داریم:

$$\large \begin {align*} a { x ^ 2 } \left ( r \right ) \left ( { r - 1 } \right ) { x ^ { r - 2 } } + b x \left ( r \right ) { x ^ { r - 1 } } + c { x ^ r } & = 0 \\ a r \left ( { r - 1 } \right ) { x ^ r } + b \left ( r \right ) { x ^ r } + c { x ^ r } & = 0 \\ \left ( { a r \left ( { r - 1 } \right ) + b \left ( r \right ) + c } \right ) { x ^ r } & = 0 \end {align*}$$

با ساده کردن عبارت فوق و فرض x>0، عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {equation} a r \left ( { r - 1 } \right ) + b \left ( r \right ) + c = 0 \end {equation}$$
رابطه ۲

بنابراین با فرض رابطه ۱ به عنوان پاسخ معادله، به رابطه ۲ به عنوان یک معادله مشخصه می‌رسیم. رابطه ۲، معادله‌ای درجه ۲ را نشان می‌دهد. بنابراین سه حالت می‌تواند برای پاسخ‌های این معادله درجه ۲ وجود داشته باشد.

1. پاسخ‌های حقیقی متفاوت
2. پاسخ‌های مختلط
3. پاسخ‌ مضاعف (یا همان پاسخ تکراری)

شکل پاسخ نهایی معادله دیفرانسیل اویلر در هریک از حالات فوق، متفاوت خواهد بود. در ادامه پاسخ یک معادله دیفرانسیل اویلر در هریک از حالات مذکور توضیح داده شده است.

حالت اول: پاسخ‌های حقیقی متفاوت

در این حالت پاسخ پیچیده نخواهد بود. همان‌طور که در مطلب معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم نیز عنوان شد، اگر y₁ و y₂ پاسخ‌هایی از یک معادله دیفرانسیل خطی باشند. در این صورت ترکیب خطی آن‌ها را می‌توان به عنوان پاسخ عمومی معادله در نظر گرفت. معادله دیفرانسیل اویلر نیز از این قاعده مستثنی نیست.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین فرض کنید پاسخ رابطه ۲، دو عدد حقیقی و متفاوت r₁ و r₂ باشند. در این صورت پاسخ‌های y₁ و y₂ برابرند با:

$$\large y _ 1 = x ^ { r _ 1 } \ \ , \ \ y _ 2 = x ^ { r _ 2 }$$

بنابراین پاسخ عمومی معادله دیفرانسیل اویلر در این حالت برابر است با:

$$\large \boxed { y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ { { r _ 1 } } } + { c _ 2 } { x ^ { { r _ 2 } } } }$$

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که این حالات در آن‌ها بررسی شده‌اند.

مثال ۱

پاسخ معادله مقدار اولیه زیر را در بازه x>0 بیابید.

$$\large 2 { x ^ 2 } y ^ { \prime \prime } + 3 x y ^ { \prime } - 1 5 y = 0 \ , \hspace {0.25in} \ \ y \left ( 1 \right ) = 0 \ \ \ , \, \, \, \, y ^ { \prime } \left ( 1 \right ) = 1$$

در ابتدا لازم است رابطه ۲ را برای معادله فوق تشکیل دهیم. در معادله مذکور $$a = 2 , b = 3 , c = - 15$$ هستند. بنابراین معادله مشخصه این معادله به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} 2 r \left ( { r - 1 } \right ) + 3 r - 1 5 & = 0 \\ 2 { r ^ 2 } + r - 1 5 = \left ( { 2 r - 5 } \right ) \left ( { r + 3 } \right ) & = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} { r _ 1 } = \frac { 5 } { 2 } , \, \, \, { r _ 2 } = - 3 \end {align*}$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در بالا نیز محاسبه شد، پاسخ‌های معادله مشخصه دو عدد حقیقیِ متفاوت هستند؛ لذا پاسخ نهایی معادله به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود.

$$\large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } + { c _ 2 } { x ^ { - 3 } }$$

به منظور یافتن ثابت‌های c₁ و c₂ باید $$\large y ^ { \prime }$$ محاسبه شود.

$$\large y ^ { \prime } \left ( x \right ) = \frac { 5 } { 2 } { c _ 1 } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - 3 { c _ 2 } { x ^ { - 4 } }$$

با اعمال شرایط مرزی روی y و 'y داریم:

$$\large \left. \begin {align*} & 0 = y \left ( 1 \right ) = { c _ 1 } + { c _ 2 } \\ & 1 = y ^ { \prime } \left ( 1 \right ) = \frac { 5 } { 2 } { c _ 1 } - 3 { c _ 2 } \end {align*} \right \} \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} { c _ 1 } = \frac { 2 } { { 1 1 } } , \, \, { c _ 2 } = - \frac { 2 } { { 1 1 } }$$

با بدست آمدن ضرایب ثابت، پاسخ نهایی نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large y \left ( x \right ) = \frac { 2 } { { 1 1 } } { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } - \frac { 2 } { { 1 1 } } { x ^ { - 3 } }$$

حال که مثال ۱ حل شده، دلیل مثبت فرض شدن x معلوم می‌شود. با دقت در پاسخ بدست آمده می‌بینید که اگر x=0 باشد، ترم اول بی‌معنی شده در صورت استفاده از xهای منفی، عبارت دوم قابل محاسبه نیست.

حالت دوم: ریشه مضاعف یا ریشه تکراری

در این حالت هر دو ریشه رابطه ۱، عددی حقیقی و یکسان هستند. فرض کنید ریشه‌ها به صورت زیر باشند.

$$\large \ r_ { 1 , 2 } \ = r$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

می‌توان نشان داد که در این حالت پاسخ عمومی معادله به صورت زیر خواهد بود.

$$\large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ r } + { c _ 2 } { x ^ r } \ln x = { x ^ r } \left ( { { c _ 1 } + { c _ 2 } \ln x } \right )$$

در این حالت نیز می‌بینید که با توجه به موجود بودن لگاریتم در پاسخ، مقادیر x باید مثبت باشند.

مثال ۲

پاسخ عمومی معادله زیر را در بازه x>0 بیابید.