فرمول ویت (Viète’s formula) — به زبان ساده

۹۸۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱ دقیقه
فرمول ویت (Viète’s formula) — به زبان ساده

فرمول ویت (Viète's formula)، متشکل از ضرب نامتناهی رادیکال‌های تو در تو به فرم زیر است و ثابت ریاضی π\pi را نشان می‌دهد. این فرمول به افتخار ریاضی‌دان فرانسوی، «فرانسوا ویت» (François Viète)، «ویت» نام نهاده شده است. او در قرن شانزدهم از ضرب نامتناهی برای بیان عدد π استفاده کرد. در این فرمول، فقط از عدد ۲ استفاده شده است.

997696

فرمول ویت (Viète's formula)فرمول ویت (Vieta's formulas) یکی از زیبا‌ترین روابط ریاضی است. این جملات ضرب شونده در واقع از مساحت یک مربع شروع می‌شوند و با هر بار ضرب شدن، مساحت 2n ضلعی منتظم به 2n+1 ضلعی منتظم تبدیل می‌شود. همین کار، باعث می‌شود که نهایتا، مساحت دایره به دست بیاید که متناسب با عدد π است.

کد پایتون مربوط به شبیه‌سازی چند جمله ابتدایی سری ویت در آدامه آمده است.

1# Simulating Viete Formula for Approximation of pi
2
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6# Number of Terms
7N = 20
8
9# Initialize Sequence
10x = np.empty(N + 1)
11x[0] = 1
12x[1] = 2
13
14# Denominator
15d = np.sqrt(2)
16
17# Calculate the Sequence Terms
18for i in range(2, N + 1):
19    x[i] = x[i-1] * 2/d
20    d = np.sqrt(2 + d)
21
22# Plot Terms
23plt.subplot(1, 2, 1)
24plt.plot(x)
25plt.plot([0, N], [np.pi, np.pi], 'r:')
26plt.title('Viete Sequence')
27plt.xlabel('n')
28plt.ylabel('x[n]')
29plt.grid(True)
30plt.xlim(0, N)
31
32# Plot Errors
33plt.subplot(1, 2, 2)
34plt.semilogy(np.pi - x)
35plt.title('Approximation Error')
36plt.xlabel('n')
37plt.ylabel('Error')
38plt.grid(True)
39plt.xlim(0, N)
40
41# Show Plots
42plt.show()

جالب است که طبق خروجی موجود در شکل زیر، در ۲۰ جمله ابتدایی، دقت این محاسبات برای تقریب عدد π، به ۱۱ رقم اعشار می‌رسد.

فرمول ویت (Viète's formula)

اگر نوشته بالا برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
ویکی‌پدیای انگلیسیGithub
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *