برق , مهندسی 94 بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره مدار RLC سری بحث کردیم. در این آموزش، مدار RLC موازی را بررسی می‌کنیم که در این مدار نیز، دو عنصر ذخیره‌کننده انرژی وجود دارد. مدار RLC موازی، مداری مرتبه دوم است، زیرا پاسخ آن با معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم توصیف می‌شود.

تحلیل مدار RLC موازی، مشابه تحلیل مدار RLC سری است. بنابراین، قبل از مطالعه این آموزش، پیشنهاد می‌کنیم آموزش مدار RLC سری را مطالعه کنید.

در این آموزش، ابتدا مدار را با شرایط اولیه عناصر ذخیره‌کننده انرژی در نظر می‌گیریم. اگرچه ممکن است این مدارها شامل منابع وابسته باشند، اما در بخش اول، بدون منابع مستقل هستند. همان‌گونه که انتظار داریم، مدارهای بدون منبع، دارای پاسخ طبیعی هستند. در مرحله بعدی، مدار RLC موازی را با حضور منابع مستقل بررسی می‌کنیم که در این صورت، هم پاسخ گذرا و هم ماندگار خواهد داشت. مدارهای RLC موازی، در بسیاری از کاربردها عملی مانند شبکه‌های مخابراتی و طراحی فیلتر به‌کار می‌روند.

مدار RLC موازی بدون منبع

شکل 1، مدار RLC‌ بدون منبع را نشان می‌دهد.

مدار RLC موازی بدون منبع
شکل 1: مدار RLC موازی بدون منبع

فرض کنید جریان اولیه سلف $$I_0$$ و ولتاژ اولیه خازن $$V_0$$ باشد:

جریان اولیه سلف
رابطه (1-الف)
ولتاژ اولیه خازن
رابطه (1-ب)

از آن‌جایی که سه عنصر با هم موازی هستند، ولتاژ $$v$$ آن‌ها با هم برابر است. طبق قرارداد، جریان از سر مثبت به سه عنصر وارد می‌شود. با اعمال KCL به گره بالای مدار، داریم:

معادله مدار
رابطه (2)

از معادله بالا نسبت به $$t$$ مشتق می‌گیریم و آن را بر $$C$$ تقسیم می‌کنیم:

معادله مدار
رابطه (3)

با جایگزینی مشتق اول و دوم رابطه بالا به‌ترتیب با $$s$$ و $$s^2$$، معادله مشخصه به‌دست می‌آید. بنابراین، معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

معادله مشخصه
رابطه (4)

ریشه های معادله مشخصه را می‌توان به شکل زیر به‌دست آورد:

ریشه های معادله مشخصه

یا

ریشه‌های معادله مشخصه
رابطه (۵)

که در آن:

پارامترهای معادله مشخصه
رابطه (۶)

از آن‌جایی که ریشه‌های $$s_1$$ و $$s_2$$ مربوط به پاسخ فرکانسی مدار هستند، به آن‌ها فرکانس‌های طبیعی (Natural frequencies) می‌گوییم که برحسب نپر بر ثانیه ($$Np/s$$) اندازه‌گیری می‌شوند. $$\omega _0$$ را فرکانس تشدید یا رزونانس (Resonant response) یا فرکانس طبیعی نامیرا می‌نامند و برحسب رادیان بر ثانیه ($$rad/s$$) بیان می‌کنند. پارامتر $$\alpha$$، فرکانس نپر (Neper frequency) یا ضریب میرایی (Damping factor) نامیده می‌شود و واحد آن، نپر بر ثانیه است. پاسخ مدار به سه رابطه $$\alpha > \omega _0$$، $$\alpha = \omega _0$$ یا $$\alpha<\omega _0$$ بستگی دارد. در ادامه، این حالت‌ها را بررسی می‌کنیم.

پاسخ فرامیرا ($$\alpha>\omega _0$$)

از رابطه (۶) می‌توان نتیجه گرفت که اگر $$\alpha > \omega _0$$، آن‌گاه باید $$L>4R^2C$$. در این صورت، ریشه‌های معادله مشخصه، حقیقی و منفی خواهند بود. پاسخ مدار نیز به‌صورت زیر است:

پاسخ فرامیرا
رابطه (۷)

پاسخ میرای بحرانی ($$\alpha = \omega _0$$)

برای $$\alpha = \omega _0$$، باید داشته باشیم $$L=4R^2C$$. در این حالت، ریشه‌ها حقیقی و برابر هستند. بنابراین، پاسخ مدار این‌گونه است:

پاسخ میرای بحرانی
رابطه (۸)

پاسخ فرومیرا ($$\alpha<\omega _0$$)

اگر $$\alpha < \omega _0$$، آن‌گاه باید $$L<4R^2C$$. در این صورت، ریشه‌های معادله مشخصه، مزدوج مختلط خواهند بود:

ریشه‌های پاسخ زیرمیرا
رابطه (۹)

که در آن،

فرکانس میرایی
رابطه (1۰)

فرکانس میرایی (Damping frequency) نامیده می‌شود. هر دو فرکانس $$\omega _0$$ و $$\omega _d$$، فرکانس طبیعی هستند، زیرا به یافتن پاسخ طبیعی مدار کمک می‌کنند. فرکانس $$\omega _0$$ اغلب فرکانس طبیعی فرومیرا (Underdamped natural frequency) نامیده می‌شود. پاسخ مدار در این حالت به‌صورت زیر است:

پاسخ فرومیرا
رابطه (11)

ثابت‌های $$A_1$$ و $$A_2$$ از شرایط اولیه تعیین می‌شوند. در نتیجه، باید $$v(0)$$ و $$dv(0)/dt$$ را محاسبه کنیم. جمله نخست در رابطه (1-ب) داده شد. جمله دوم را می‌توان با کمک روابط (1) و (2) به‌دست آورد:

محاسبه شرایط اولیه

یا

محاسبه شرایط اولیه
رابطه (12)

با به‌دست آوردن ولتاژ $$v(t)$$ خازن، در مدار RLC سری، می‌توانیم سایر کمیت‌های مدار را محاسبه کنیم. برای مثال، جریان مقاومت، از رابطه $$i_R=v/R$$ و جریان خازن با $$i_C=Cdv/dt$$ قابل محاسبه است.

پاسخ پله مدار RLC موازی

مدار RLC موازی شکل 2 را در نظر بگیرید. یک جریان dc را به‌طور ناگهانی به مدار اعمال می‌کنیم. می‌خواهیم جریان $$i$$ را پیداکنیم.

مدار RLC موازی با جریان اعمالی
شکل 2: مدار RLC موازی با جریان اعمالی

با اعمال KCL در گره بالای مدار، برای $$t>0$$ داریم:

معادله مدار
رابطه (13)

از آن‌جایی که $$v=L\frac{di}{dt}$$، رابطه بالا را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:

معادله مدار
رابطه (14)

که مشابه معادله مشخصه رابطه (3) است.

پاسخ کامل معادله (14)، از پاسخ گذرای $$i_t(t)$$ و پاسخ حالت ماندگار $$i_{ss}$$ تشکیل شده است؛ یعنی:

پاسخ کامل مدار
رابطه (1۵)

پاسخ ماندگار، مقدار نهایی $$i$$ است. در مدار شکل 2، مقدار نهایی جریان گذرنده از سلف، برابر با جریان منبع $$I_s$$ است. بنابراین:

پاسخ مدار
رابطه (1۶)

ثابت‌های $$A_1$$ و $$A_2$$ را می‌توان از شرایط اولیه $$i$$ و $$di/dt$$ تعیین کرد. سایر متغیرهای مدار نیز با کمک ولتاژ $$v=Ldi/dt$$ به‌دست می‌آیند؛ مثلاً جریان مقاومت، $$i_R=v/R$$ و جریان خازن، $$i_c=Cdv/dt$$ است.

پاسخ کامل هر متغیر $$x(t)$$ مدار را می‌توان مستقیماً با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد:

پاسخ کامل مدار
رابطه (1۷)

که در آن، $$x_{ss}$$ و $$x_t$$ به‌ترتیب، مقدار نهایی و پاسخ گذرا هستند.

مثال

جریان‌های $$i(t)$$ و $$i_R(t)$$ مدار شکل 3 را برای $$t>0$$ به‌دست آورید.

مدار RLC موازی
شکل 3: مدار RLC موازی

حل: در $$t<0$$، کلید باز است و مدار به دو قسمت مجزا تقسیم می‌شود. جریان منبع 4 آمپری از سلف عبور می‌کند، بنابراین، $$i(0)= 4 \, \mathrm{A}$$.

از آن‌جایی که وقتی $$t<0$$ است، $$30u(-t)=30$$ و وقتی $$t>0$$ است، $$30u(-t)=0$$، منبع ولتاژ در $$t<0$$ به مدار اعمال می‌شود. در این حالت، خازن مانند یک مدار باز عمل می‌کند و ولتاژ آن برابر با ولتاژ مقاومت 20 اهمی موازی با آن است. با استفاده از تقسیم ولتاژ، ولتاژ‌ اولیه خازن برابر است با:

تقسیم ولتاژ

در $$t>0$$، کلید بسته می‌شود و یک مدار RLC موازی با یک منبع جریان داریم. در این حالت، منبع ولتاژ صفر، مانند اتصال کوتاه است. اکنون دو مقاومت 2۰ اهمی با هم موازی هستند و حاصل آن‌ها برابر است با $$R=20||20=10 \, \Omega$$. ریشه‌های مشخصه را می‌توان به‌صورت زیر تعیین کرد:

ریشه‌های معادله مشخصه

یا

ریشه‌های معادله مشخصه

از آن‌جایی که $$\alpha > \omega _0$$، پاسخ فرامیرا است. بنابراین، جریان به‌فرم زیر است:

جریان مدار
رابطه (1۸)

که در آن، $$I_s=4$$ مقدار نهایی $$i(t)$$ است. اکنون از شرایط اولیه برای محاسبه $$A_1$$ و $$A_2$$ استفاده می‌کنیم. در $$t=0$$ داریم:

ثابت‌ها
رابطه (1۹)

با مشتق‌گیری از معادله (1۸)، می‌توان نوشت:

مشتق جریان

بنابران، در $$t=0$$ داریم:

شرایط اولیه مشتق
رابطه (20)

همچنین می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

شرایط اولیه مشتق جریان

با جایگذاری مقدار اخیر در رابطه (1۹) و (20)، مقدار $$A_2$$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

ثابت $$A_2$$

بنابراین، $$A_1=-0.0655$$ و $$A_2=0.0655$$. با جایگذاری این دو عدد در رابطه (1۸)، پاسخ کامل مدار محاسبه می‌شود:

پاسخ کامل مدار

اکنون که $$i(t)$$ را محاسبه‌ کرده‌ایم، می‌توانیم ولتاژ را از رابطه $$v(t)=Ldi/dt$$ و با استفاده از آن، جریان $$i_R(t)$$‌ را به‌دست آوریم:

جریان مقاومت

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *