ماتریس معکوس ۳×۳ — به زبان ساده

۶۸۲۱۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱ دقیقه
ماتریس معکوس ۳×۳ — به زبان ساده

پیش‌تر در مجله فرادرس مفاهیمِ ماتریس،‌ ماتریس معکوس و دترمینان ماتریس را معرفی کردیم. در این مطلب قصد داریم تا مراحل بدست آوردن ماتریس معکوس ۳×۳ را شرح دهیم.

مراحل بدست آوردن ماتریس معکوس ۳*۳

جهت محاسبه ماتریس معکوس ۳×۳ مراحل زیر را انجام دهید.

  1. قدم اول: محاسبه ماتریس کهاد
  2. قدم دوم:‌ بدست آوردن ماتریس همسازه
  3. قدم سوم:‌ بدست آوردن ماتریس الحاقی
  4. قدم چهارم: ضرب کردن ماتریس الحاقی در معکوس دترمینان

اما بهترین راه توضیح مراحل بالا ارائه یک مثال است.

مثال

ماتریس معکوس A را بیابید.

مثال ماتریس معکوس ۳×۳

قدم اول: ماتریس کهاد

همان‌گونه که در بالا نیز بیان شد، در قدم اول بایستی ماتریس کهاد محاسبه شود. جهت بدست آوردن درایه ماتریس کهاد،‌ روی سطر و ستون مرتبط با هر درایه، خطی بکشید و دترمینان ماتریس ۲×۲ مشاهده شده را بیابید و دترمینان محاسبه شده را در ماتریس قرار دهید. در زیر این کار برای نمونه، برای ۴ درایه انجام شده است.

matrix-minors

در ادامه نیز این کار برای تمامی درایه‌ها انجام شده.

matrix-inversion

قدم دوم: ماتریس همسازه

برای بدست آوردن ماتریس همسازه کافی است تا یکی در میان علامت درایه‌های ماتریس کهاد در ۱- ضرب شوند. در زیر این کار انجام شده.

معکوس ماتریس

قدم سوم: ماتریس الحاقی

ماتریس الحاقی در حقیقت همان ترانهاده ماتریس همسازه است. در نتیجه با جابجا کردن جای سطر و ستونِ ماتریس همسازه،‌ ماتریس الحاقی بدست خواهد آمد. در زیر نیز نحوه بدست آوردن ترانهاده‌ی ماتریس همسازه، نشان داده شده.

تصویر قدم سوم در تعیین ماتریس معکوس ۳×۳

قدم چهارم: حاصل‌ضرب ماتریس الحاقی در معکوس دترمینان

در مرحله‌ی آخر، در ابتدا بایستی دترمینان ماتریس A محاسبه شده و عکس آن در ماتریس الحاقی ضرب شود. در مطلب دترمینان روش محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳ به‌طور کامل بیان شده. ماتریس 3×۳ فرضی A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

matrix-inversion

دترمینان ماتریس فوق برابر است با:

matrix-inversion

به‌خاطر سپردن فرمول فوق به‌نظر مشکل می‌رسد؛ اما این فرمول از الگوی زیر پیروی می‌کند.

matrix-inversion

با توجه به الگوی بالا، دترمینان ماتریسِ این مثال نیز برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

matrix-inversion

نهایتا با بدست آمدن ماتریس الحاقی و دترمینان ماتریس A، ماتریس معکوس ۳×۳ برابر است با:

نمایش جواب مثال ماتریس معکوس ۳×۳ در تصویر

بر اساس رای ۶۴۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathisfun
۳۵ دیدگاه برای «ماتریس معکوس ۳×۳ — به زبان ساده»

سلام، بسیارعالی
فقط در مرحله نهایی پاسخ، جایی که ماتریس الحاقی در معکوس دترمینان ضرب میشه یک خطای کوچک وجود داره
سطر سوم ستون اول الحاقی باید صفر باشه(بالاتر بدرستی محاسبه شده) منتها در تصویرنهایی 2 نوشته

با سلام و احترام؛

در بخش «قدم سوم» بیان شده که برای بدست آوردن ماتریس الحاقی جای سطر و ستون ماتریس همسازه نسبت به قطر باید عوض شود. بنابراین جایگاه ۲ و ۰ در ماتریس الحاقی درست است.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

سلام جامع و قابل فهم بود

بدون در نظر گرفتن خطایی که دوستان در مورد محاسبه دترمینان گفتن ، از آموزش شما بینهایت متشکرم .

خیلی خوب و واضح بود. متشکرم

عالی بود. جامع و کامل

خیلی عالی بود متشکرم

مرسی بدردم خورد

به نظر منم دترمینان برابر 6 می شود .

اول باید ماتریس الحاقی رو حساب کرد بعد ماتریس کهاد لطفا اصلاح کنید

سلام.
آنچه نوشته شده صحیح است.
سپاس از همراهی‌تان.

سلام خیلی ممنون

سلام خیلی ممنون بابت توضیحات جامع و کاملتون.
منتها برای دترمینان آیا مطمئنید محاسبات درست صورت گرفته؟؟
فکر میکنم مقدار دترمینان برابر با ۱۰۰ میشه

از زحمات شما متشکرم
عالی بود

عالی .بیست.

عالی بو‌د و کامل

عالی بود. خیلی ممنون

سلام خسته نباشید.
کوتاه و مفید،
ابزاری برای مهندسی ?❤️
متشکرم

سلام خسته نباشید من فقط نمیدونم برای محاسبه معکوس ماتریس 4*4 باید چیکار کنیم :/ تو جزوه ما ماتریکس 4 در 4 گذاشته (دترمینانشو میدونم) ولی برا معکوس ما که نمیتونیم ماتریس کهادشو حساب کنیم؟

سلام همه چی بسیار خوب و روان توضیح داده شده، اما قسمتی که دترمینان ماتریس الحاقی شده 10 فکر کنم اشتباه باشه.
که البته در مقابل زحماتی که کشیدید چیزی نیست، ممنون از شما بابت آموزش های خوبتون

سلام.
دترمینانی که محاسبه شده مربوط به ماتریس A است، نه ماتریس الحاقی آن. دترمینان ماتریس A برابر با ۱۰ است.
از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید، خوشحالیم.

عالی بود خییلی بهتر از استاد درس دارین من هرچی استاد میگفت نمیفهمیدم ولی اینجا بیشترشو فهمیدم فقط دترمینان رو نمیدونم باید چجوری و برچه اساسی حساب کرد شما ۱۰به دست اوردیدمن نمیدونم ضرب کدوماش کنم

سلام عالی بود فقط اون دترمینان رو نمیدونم چجوری باید حساب کنی برچه اساسی ضربشون کنیم در هم

به صورت خلاصه، مبحث به صورت کامل توضیح داده شده بود.
سپاس گزارم

به خاطر پیشرفت ایران ممنون
کار شناس ارشد ساخت و تولید

عالی،جامع و روان… ممنونم💙

خیلی خوب و منسجم بود. ممنون

عالی بود روشش استاد ما انقدر پیچیده میکنن که هیچی نمیفهمه ادم من تو 5 دقیقه کامل فهمیدم اون همینو تو 2 ساعت داشت یاد میداد هیچکیم نفهمید

سپاس فراوان – خدا به شما جزای خیر عنایت فرماید.

عالی عالی عالی…ممنون

عالی بود
بطور کامل این مبحث رو یاد گرفتم
مرسی

عالی بود

سلام
دست شما درد نکنه خدا خیرت بده

عالي بود، من رشته م رياضي نيست اما با آموزشتون تونستم ظرف ٥ دقيقه سوال وارون ماتريس ٣در٣ رو حل كنم، خيلي ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *