نمونه سوال معادلات دیفرانسیل + جواب و راه حل

۱۲۰۴۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۱ بهمن ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷۷ دقیقه
نمونه سوال معادلات دیفرانسیل + جواب و راه حل

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مفهوم معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم و انواع معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل آن‌ها را بیان کردیم. در این آموزش، تعدادی نمونه سوال معادلات دیفرانسیل را همراه با جواب آن‌ها بررسی می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

روش حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل

همان‌طور که در آموزش‌های گذشته مجله فرادرس دیدیم، نمونه سوال معادلات دیفرانسیل را می‌توان در دسته‌های مختلفی قرار داد و برای هریک، با توجه به ساختارشان، یک روش حل مناسب ارائه کرد. پیش از حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل بهتر است با انواع آن‌ها و روش حلشان آشنا شویم.

در مجله فرادرس، همه انواع معادلات دیفرانسیل کتاب‌های درسی پوشش داده شده‌اند و با جست‌و جو در مجله فرادرس، می‌توانید موضوع مورد نظرتان را یاد بگیرید. برخی از موضوعات مرتبط با معادلات دیفرانسیل مجله فرادرس که برای حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل می‌توانید از آن‌ها کمک بگیرید، به شرح زیر هستند:‌

علاوه بر آموزش‌هایی که بیان کردیم، می‌توانید از تقلب‌نامه معادلات دیفرانسیل نیز می‌توانید برای حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. این تقلب‌نامه، به‌ویژه برای مرور فرمول‌ها پیش از امتحان مفید خواهد بود. تقلب‌نامه معادلات دیفراسیل را می‌توانید از این لینک دانلود کنید.

کلاس خالی ریاضی

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل با جواب

در این بخش، به حل چند نمونه سوال معادلات دیفرانسل می‌پردازیم.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱

معادله دیفرانسیل $$ {  \frac { { d y } } { { d x } } \normalsize } = y \left ( { y + 2 } \right ) $$ را حل کنید.

حل سوال ۱: در معادله بالا، $$ p\left( x \right) = 1 $$ و $$ h \left ( y \right ) = h \left ( y \right ) = y \left ( { y + 2 } \right ) $$ است. معادله را بر $$ h\left( y \right) $$ تقسیم می‌کنیم و $$dx$$ را به سمت راست انتقال می‌دهیم:

$$  \frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = d x . $$

لازم به ذکر است که بعد از تقسیم، می‌توان گفت وقتی $$h(y)$$ صفر می‌شود،‌ $$y=0$$ و $$y=-2$$ جواب‌های معادله هستند. برای مثال، $$y=0$$ را در نظر بگیرید. واضح است که داریم:

$$  y = 0,\;\;dy = 0. $$

با جایگذاری روابط بالا در معادله، خواهیم داشت: $$0 = 0 $$. بنابراین، $$y=0$$ یکی از جواب‌های معادله است. به‌طور مشابه، می‌توان جواب بودن $$ y= -2 $$ را نیز بررسی کرد.

به معادله دیفرانسیل برمی‌گردیم و از آن انتگرال می‌گیریم:

$$  { \int { \frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } } = { \int { d x } + C . } $$

انتگرال سمت چپ را می‌توان با استفاده از تجزیه کسر انتگرالده محاسبه کرد:

$$  { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { A } { y } + \frac { B } { { y + 2 } } , \; \; } \Rightarrow
{ \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { { A \left ( { y + 2 } \right ) + B y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } , \; \; }\\  \Rightarrow
{ 1 \equiv A y + 2 A + B y , \; \; } \Rightarrow
{ 1 \equiv \left ( { A + B } \right ) y + 2 A , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ A + B = 0 }\\
{ 2 A = 1 }
\end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ A = \frac { 1 } { 2 } } \\
{ B = – \frac { 1 } { 2 } }
\end {array} } \right . . } $$

تجزیه انتگرالده به کسرهای جزئی به‌صورت زیر است:

$$  { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) . } $$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$  { { \frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) d y } } = { \int { d x } + C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \int { \frac { { d y } } { y } } – \int { \frac { { d y } } { { y + 2 } } } } \right ) } = { \int { d x } + C , \;\; } } \\  \Rightarrow
{ { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \ln \left | y \right | – \ln \left | { y + 2 } \right | } \right ) } = { x + C , \;\; } } \Rightarrow
{ \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { y } { { y + 2 } } } \right| = x + C,\;\;}\Rightarrow
{\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + 2C.}$$

ثابت را به‌صورت $$ 2C = {C_1} $$ می‌نویسیم. جواب نهایی معادله به‌شکل زیر خواهد بود:

 $$  {\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + {C_1},\;\;\;}\kern-0.3pt{y = 0,\;\;\;}\kern-0.3pt{y = – 2.} $$

جواب معادله به‌صورت ضمنی است. در این حالت می‌توان عبارت بالا را به‌صورت تابع صریح $$ y = f\left( {x,{C_1}} \right) $$ نوشت که $$C_1$$ یک ثابت است. البته این کار برای همه معادلات دیفرانسیل امکان‌پذیر نیست.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید و بازه اعتبار جواب معادله را بیابید.

$$ y' = \frac { { x { y ^ 3 } } } { { \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } \hspace{0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 1 $$

حل سوال ۲: ابتدا معادله را جدا می‌کنیم، سپس از دو طرف انتگرال می‌گیریم:

$$ \begin {align*} { y ^ { - 3 } } d y & = x { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) ^ { - \frac { 1} { 2 } } } \, d x \\ \int { { { y^ { - 3 } } d y } } & = \int { { x { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \, d x } } \\ - \frac { 1 } { { 2 { y ^ 2 } } } & = \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } + c \end {align*} $$

شرایط اولیه را در معادله اخیر قرار داده و مقدار ثابت $$c$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ - \frac { 1 } { 2 } = \sqrt 1 + c \hspace{0.25in} c = - \frac { 3 } { 2 } $$

جواب ضمنی به‌صورت زیر است:

$$ - \frac { 1 } { { 2 { y ^ 2 } } } = \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } - \frac { 3 } { 2 } $$

اکنون، $$ y ( x ) $$ را به‌دست می‌آوریم:

$$ \begin {align*} \frac { 1 } { { { y ^ 2 } } } & = 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } \\ { y ^ 2 } & = \frac { 1 } { { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } \\ y \left ( x \right ) & = \pm \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^2 } } } } } \end {align*} $$

با اعمال دوباره شرایط اولیه، می‌بینیم که جواب منفی صحیح است. بنابراین، جواب صریح به‌شکل زیر خواهد بود:

$$ y \left ( x \right ) = - \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } } $$

اکنون باید دامنه اعتبار جواب را بررسی کنیم. این کار آسان‌تر از آن چیزی است که فکر می‌کنید. از آنجا که $$1 + {x^2} \ge 0$$ رادیکال داخلی مشکلی ندارد و برای همه $$ x $$ها برقرار است. اکنون باید رادیکال بزرگ‌تر را بررسی کنیم که عبارت زیر آن باید بزرگ‌تر از صفر باشد:

$$ \begin {align*} 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } & > 0\\ 3 & > 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } \\ 9 & > 4 \left ( { 1 + { x ^2 } } \right ) \\ \frac { 9 } { 4 } & > 1 + { x ^ 2 } \\ \frac { 5 } { 4 } & > { x ^ 2 } \end {align*} $$

توجه داشته باشید که توانستیم هر دو طرف نامساوی را به توان ۲ برسانیم، زیرا هر دو طرف آن در این حالت مثبت هستند. در نهایت با حل $$x$$ می‌بینیم که تنها محدوده ممکن $$x$$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$- \frac{{\sqrt 5 }}{2} < x < \frac{{\sqrt 5 }}{2}$$

که شامل شرایط اولیه $$ x = 0 $$ نیز هست. نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

معادلع دیفرانسیل جداشدنی

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کند.

$$ \frac { {d y } } { { d t } } = { { \bf { e } } ^ { y \, - \,t } }\sec \left ( y \right ) \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ), \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = 0 $$

حل سوال ۳: این مثال به کمی کار نیاز دارد تا آن را جدا کنیم و به شکلی بنویسیم که بتوانیم از آن انتگرال بگیریم:‌

$$ \begin {align*} \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { { { { \bf { e } } ^ y } { { \bf { e } } ^ { - t } } } } { { \cos \left ( y \right ) } } \left ( { 1 + { t ^2 } } \right ) \\ { { \bf { e } } ^ { - y } } \cos \left ( y \right ) \, d y & = { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) d t \end {align*} $$

اکنون، با انتگرال‌گیری از دو طرف تساوی، می‌توانیم یک جواب ضمنی معادله را به‌دست آوریم:

$$ \begin {align*} \int { {{ { \bf { e } } ^ { - y } } \cos \left ( y \right ) \, d y } } & = \int { { { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) dt } } \\ \frac { { { { \bf { e } } ^ { - \, y } } } } { 2 } \left ( { \sin \left ( y \right ) - \cos \left ( y \right ) } \right ) & = - { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { { t ^ 2 } + 2 t + 3 } \right ) + c \end {align*} $$

با اعمال شرایط اولیه، خواهیم داشت:

$$ \frac { 1 } { 2 } \left ( { - 1 } \right ) = - \left ( 3 \right ) + c \hspace {0.25in} c = \frac { 5 } { 2 } $$

در نتیجه، جواب به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$ \frac { { { { \bf { e } } ^ { - y } } } } { 2 } \left ( { \sin \left ( y \right ) - \cos \left ( y \right ) } \right ) = - { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { { t ^ 2 } + 2 t + 3} \right ) + \frac { 5 } { 2 } $$

یافتن جواب صریح برای این مسئله ممکن نیست، بنابراین باید جواب را به‌شکل ضمنی آن بیان کنیم. یافتن بازه اعتبار از جواب‌های ضمنی اغلب می‌تواند بسیار دشوار باشد، بنابراین، در این مسئله نیز از آن صرف‌نظر می‌کنیم.

کلاس خالی

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۴

معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را حل کنید.

$$ \cos \left ( x \right ) y' + \sin \left ( x \right ) y = 2 { \cos ^ 3 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - 1 \hspace{0.25in} y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = 3 \sqrt 2 ,\hspace {0.25in} \, \,\,\,\,\,0 \le x < \frac { \pi } { 2 } $$

حل سوال ۴: معادله دیفرانسیل را بازنویسی می‌کنیم تا ضریب را به‌دست آوریم:‌

$$ \begin {align*} y' + \frac { { \sin \left ( x \right ) } } { { \cos \left ( x \right ) } } y & = 2 { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - \frac { 1 } { { \cos \left ( x \right ) } } \\ y' + \tan \left ( x \right ) y & = 2 { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - \sec \left ( x \right ) \end {align*} $$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را محاسبه می‌کنیم:

$$ \mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { \int { { \tan \left ( x \right ) \, d x } } } } = { { \bf { e } } ^ { \ln \left | { \sec \left ( x \right ) } \right | } } = { { \bf { e } } ^ { \ln \, \, \sec \left ( x \right ) } } = \sec \left ( x \right ) $$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل ضرب می‌کنیم. توجه داشته باشید که عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل بازنویسی شده ضرب می‌کنیم و نه معادله دیفرانسیل اصلی. مطمئن شوید که این کار را انجام می‌دهید. اگر عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل اصلی ضرب کنید، به جواب اشتباهی خواهید رسید.

$$ \begin {align*} \sec \left ( x \right ) y' + \sec \left ( x \right ) \tan \left ( x \right ) y & = 2 \sec \left ( x \right ) { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { \sec ^ 2 } \left ( x \right ) \\ { \left ( { \sec \left ( x \right ) y } \right ) ^ \prime } & = 2 \cos \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { \sec ^ 2 } \left ( x \right ) \end {align*} $$

اکنون از دو طرف انتگرال می‌گیرم:

$$ \begin {align*} \int { { { { \left ( { \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) } \right ) } ^ \prime } \, d x } } & = \int { { 2 \cos \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { { \sec } ^ 2 } \left ( x \right ) \, d x } } \\ \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) & = \int { { \sin \left ( { 2 x } \right ) - { { \sec } ^ 2 } \left ( x \right ) \, d x } } \\ \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( { 2 x } \right ) - \tan \left ( x \right ) + c \end {align*} $$

از اتحاد مثلثاتی $$\sin \left( {2\theta } \right) = 2\sin \theta \cos \theta$$ استفاده می‌کنیم و جواب را به‌شکل زیر می‌نویسیم:

$$ \begin {align*} y \left ( x \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \cos \left ( x \right ) \tan \left ( x \right ) + c \cos \left ( x \right ) \\ & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \sin \left ( x \right ) + c \cos \left ( x \right ) \end {align*} $$

در نهایت، مقدار ثابت $$c $$ را با استفاده از شرایط اولیه محاسبه می‌کنیم:

$$ \begin {align*} 3 \sqrt 2 = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) \cos \left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right) - \sin \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) + c \cos \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) \\ 3 \sqrt 2 & = - \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } + c \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \\ c & = 7 \end {align*} $$

جواب نهایی معادله این‌گونه است:

$$ y \left ( x \right ) = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \sin \left ( x \right) + 7 \cos \left ( x \right ) $$

نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

جواب معادله دیفرانسیل

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۵

معادله دیفرانسیل $$ \left( {1 + {y^2}} \right)dx +xydy = 0 $$ را حل کنید.

حل سوال ۵: ابتدا کامل بودن معادله دیفرانسیل را آزمایش می‌کنیم:

$$  { { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { x y } \right) } = { y,\;\;}}\kern0pt
{ { \frac { { \partial P }  } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y }  } \left( { 1 + { y ^ 2 } } \right) }={ 2 y . } } $$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را برای کامل شدن آن پیدا می‌کنیم.

عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$  { \frac { { \partial P } }  { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { 2 y – y = y . } $$

معادله زیر فقط به متغیر $$x$$ وابسته است:

$$  { \frac { 1 } { Q }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } }  – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) } = { \frac { 1 } { { x y } } \cdot y } = { \frac{1}{x}} $$

بنابراین، عامل انتگرال‌ساز نیز فقط بر حسب $$x$$ خواهد بود: $$ \mu = \mu \left( x \right) $$. معادله عامل انتگرال‌ساز به‌صورت زیر است:

$$  \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d x  } } = \frac { 1 } { x }. $$

با جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

$$  { \int { \frac { { d \mu } } { \mu } } = \int { \frac { { d x } } { x } } ,\;\;}\Rightarrow
{\ln \left| \mu \right| = \ln \left| x \right|,\;\;}\Rightarrow
{ \mu = \pm x.} $$

تساوی $$ \mu = x $$ را در نظر می‌گیریم. با ضرب معادله دیفرانسیل اصلی در $$ \mu = x $$، معادله کامل می‌شود:

$$  \left( {x + x { y ^ 2 } } \right) d x + { x ^ 2 } y d y = 0. $$

در واقع، اکنون داریم:

$$  { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } y } \right) } = { 2 x y }
= { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { x + x { y ^ 2 } }  \right) }={ 2 x y . } $$

معادله حاصل را حل می‌کنیم. تابع $$ u\left( {x,y} \right) $$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$  \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x + x{y^2}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2}y
\end{array} \right.. $$

از معادله اول می‌توان نوشت:

$$  {u\left( {x,y} \right) = \int {\left( {x + x{y^2}} \right)dx} }={ \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right).} $$

با جایگذاری این معادله در معادله دوم، می‌توانیم $$ \varphi \left( y \right) $$ را محاسبه کنیم:‌

$$  {{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2}y,\;\;}} \\  \Rightarrow
{ {x^2}y + \varphi’\left( y \right) = {x^2}y,\;\;}\Rightarrow
{ \varphi’\left( y \right) = 0.} $$

از معادله بالا $$ \varphi \left( y \right) = C $$ به‌دست می‌آید که در آن $$C$$ یک ثابت است.

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل اصلی برابر است با:

$$  {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} }+{ C }={ 0.} $$

دانش آموزان نشسته در فضای درس در حال مطالعه (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال معادلات دیفرانسیل)

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۶

جواب معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$ t \, y' - 2 y = { t ^ 5 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 4 { t ^ 4 } \hspace {0.25in} y \left ( \pi \right ) = \frac { 3 } { 2 } { \pi ^ 4 } $$

حل سوال ۶: ابتدا دو طرف معادله را بر $$ t $$ تقسیم می‌کنیم تا به فرم صحیح درآید:‌

$$ y' - \frac { 2 } { t } y = { t ^ 4 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 2 } + 4 { t ^ 3 } $$

اکنون می‌توانیم عامل انتگرال‌ساز را محاسبه کنیم:

$$ \mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { \int { { - \frac { 2 } { t } d t } } } } = { { \bf { e } } ^ { - 2 \ln \left | { \, t } \right | } } $$

$$ \mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { - 2 \ln \left | { \, t } \right | } } = { { \bf { e } } ^ { \ln { { \left | { \, t } \right | } ^ { \, - \, 2 } } } } = { \left | t \right | ^ { - 2 } } = { t ^ { - 2 } } $$

اکنون، عامل انتگرال‌ساز را در معادله بازنویسی‌شده ضرب می‌کنیم:

$$ { \left ( { { t ^ { - 2 } } y } \right ) ^ \prime } = { t ^ 2 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - 1 + 4 t $$

برای به‌دست آوردن جواب، از دو طرف معادله انتگرال می‌گیریم:

$$ \begin {align*} { t ^ { - 2 } } y \left ( t \right ) & = \int { { { t ^ 2 } \sin \left ( { 2 t } \right ) \, d t } } + \int { { - 1 + 4 t \, d t } } \\ { t ^ { - 2 } } y \left ( t \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 }{ 2 } t \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - t + 2 { t ^ 2 } + c \\ y \left ( t \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 2 } { t ^ 3 } \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 4 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 2 { t ^ 4 } + c { t ^ 2 } \end {align*} $$

اکنون با استفاده از شرایط اولیه مقدار ثابت $$ c $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ y \left ( t \right ) = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 2 } { t ^ 3 } \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1} { 4 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 2 { t ^ 4 } + \left ( {\pi - \frac { 1 } { 4 } } \right ) { t ^ 2 } $$

شکل زیر، نمودار جواب را نشان می‌دهد.

عامل انتگرالساز

معادله دیفرانسیل $$y^{\prime\prime} = {\frac{1}{{4\sqrt y }}\normalsize}$$ را حل کنید.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۷

معادله دیفرانسیل زیر را با شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ حل کنید:

$${\frac{1}{{{y^2}}}\normalsize} – {\frac{2}{x}\normalsize} ={\frac{{2xy’}}{{{y^3}}}\normalsize}$$

حل سوال ۷: ابتدا معادله را به‌فرم استاندارد می‌نویسیم:

$${\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x} = \frac{{2x}}{{{y^3}}}\frac{{dy}}{{dx}},\;\;}\\ \Rightarrow
{\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx = \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy,\;\;}\\ \Rightarrow
{\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx – \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy }={ 0.}$$

مشتقات جزئی مربوط به آزمون کامل بوده، به‌صورت زیر هستند:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}},\;\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}}.}}$$

در نتیجه، معادله کامل است. اکنون دستگاه معادلات زیر را برای یافتن تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ تشکیل می‌دهیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – \frac{{2x}}{{{y^3}}}
\end{array} \right..$$

در ادامه، با انتگرال‌گیری از معادله دوم نسبت $$y$$، تابع مورد نظر را محاسبه می‌کنیم:

$${u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right)dy} }
= {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right).}$$

با مشتق‌گیری از معادله اخیر نسبت به متغیر $$x$$، داریم:

$$\require {cancel} {{\frac{{\partial u}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right)} \right] }={ \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{\cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} + \psi’\left( x \right) }={ \cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow
{\psi’\left( x \right) = – \frac{2}{x},\;\;}\Rightarrow
{{\psi \left( x \right) = – 2\ln \left| x \right| }={ \ln \frac{1}{{{x^2}}}.}}$$

در نهایت، جواب عمومی معادله دیفرانسیل، به‌فرم ضمنی زیر به‌دست می‌آید:

$$\frac{x}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = C.$$

جواب خصوصی را نیز می‌توان با استفاده از شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ محاسبه کرد. با جایگذاری شرط اولیه، مقدار $$C$$ محاسبه می‌شود:

$${\frac{1}{{{1^2}}} + \ln \frac{1}{{{1^2}}} = C,\;\;}\Rightarrow
{1 + 0 = C,\;\;}\Rightarrow
{C = 1.}$$

بنابراین، جواب نهایی با در نظر گرفتن شرایط اولیه، به‌صورت زیر است:

$$\frac{1}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = 1.$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۸

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$${e^y}dx +\left( {2y + x{e^y}} \right)dy=0$$

حل سوال ۸: ابتدا کامل بودن معادله را بررسی می‌کنیم:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {2y + x{e^y}} \right) }={ {e^y},\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^y}} \right) }={ {e^y}.}}$$

می‌بینیم که تساوی $${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize} = {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize}$$ برقرار است، بنابراین، معادله کامل است. اکنون تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را از دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر پیدا می‌کنیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^y}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2y + x{e^y}
\end{array} \right..$$

در نتیجه، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} }
= {\int {{e^y}dx} }={ x{e^y} + \varphi \left( y \right).}$$

اکنون، با مشتق‌گیری از $$u$$ نسبت به $$y$$ می‌توانیم مشتق $$\varphi’\left( y \right)$$ را حساب کنیم:

$$\require {cancel}{{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {x{e^y} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ 2y + x{e^y},\;\;}}\\
\Rightarrow
{{\cancel{x{e^y}} + \varphi’\left( y \right) }={ 2y + \cancel{x{e^y}},\;\;}}\\ \Rightarrow
{\varphi’\left( y \right) = 2y.}$$

در نتیجه، تابع $${\varphi \left( y \right)}$$‌ به‌دست می‌آید:

$${\varphi \left( y \right) = \int {2ydy} = {y^2},\;\;}\Rightarrow
{u\left( {x,y} \right) = x{e^y} + \varphi \left( y \right) }
= {x{e^y} + {y^2}.}$$

در نهایت، پاسخ معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر است:

$$x{e^y} + {y^2} = C.$$

دانش آموزان در راهروی کلاس ها

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۹

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$ 2x{y^2} + 4 = 2\left( {3 - {x^2}y} \right)y'\hspace{0.25in}y\left( { - 1} \right) = 8 $$

حل سوال ۹: ابتدا باید معادله دیفرانسیل را در شکل مناسب قرار دهیم. به یاد داشته باشید که یک طرف معادله باید برابر با $$ 0 $$ باشد و علامت بین دو عبارت نیز مثبت باشد:

$$ \begin{align*} 2 x { y ^ 2 } + 4 - 2\left ( { 3 - { x ^ 2 } y } \right ) y' & = 0 \\ 2 x { y ^ 2 } + 4 + 2 \left ( { { x ^ 2 } y - 3 } \right ) y' & = 0 \end {align*} $$

اکنون، خواهیم داشت:

$$ \begin {align*} M & = 2 x { y ^ 2 } + 4 \hspace{0.25in} { M _ y } = 4 x y \\ N & = 2 { x ^ 2 } y - 6 \hspace{0.25in} { N _ x } = 4 x y \end {align*} $$

و بنابراین معادله دیفرانسیل کامل است. می‌توانیم از $$M$$ روی $$x$$ و از $$N$$ روی $$ y $$ انتگرال بگیریم. در اینجا، از $$N$$ انتگرال می‌گیریم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \Psi \left ( { x , y } \right ) = \int { { 2 { x ^ 2 } y - 6 \, d y } } = { x ^ 2 } { y ^ 2 } - 6 y + h \left ( x \right ) $$

دقت کنید که ثابت انتگرال‌گیری تابعی از $$ x $$ است، زیر روی $$ y $$ انتگرال گرفته‌ایم. اکنون مشتق تابع اخیر را نسبت به $$ x $$ می‌نویسیم و آن را برابر با $$M$$ قرار می‌دهیم:

$$ { \Psi _ x } = 2 x { y ^ 2 } + h' \left ( x \right ) = 2 x { y ^ 2 } + 4 = M $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ h' \left ( x \right ) = 4 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,h\left( x \right ) = 4 x $$

بنابراین، $$ \Psi\left(x,y\right) $$ به‌صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \Psi \left( {x,y} \right) = {x^2}{y^2} - 6y + 4x $$

در نتیجه، جواب ضمنی معادله دیفرانسیل به‌شکل زیر خواهد بود:

$$ {x^2}{y^2} - 6y + 4x = c$$

با اعمال شرایط اولیه، مقدار ثابت $$ c $$ به‌دست می‌آید:

$$ 64 - 48 - 4 = c,\hspace{0.25in}c = 12 $$

و جواب به‌صورت زیر است:

$${x^2}{y^2} - 6y + 4x - 12 = 0$$

از رابطه بالا، $$ y (x ) $$ به‌دست می‌آید:

$$ \begin {align*} y \left ( x \right ) & = \frac { { 6 \pm \sqrt { 3 6 - 4 { x ^ 2 } \left ( { 4 x - 1 2 } \right ) } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 6 \pm \sqrt { 3 6 + 4 8 { x ^ 2 } - 1 6 { x ^ 3 } } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 6 \pm 2 \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 3 \pm \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { { x ^ 2 } } } \end {align*} $$

با اعمال دوباره شرایط اولیه، می‌بینیم که رادیکال مثبت قابل قبول است و جواب صریح معادله به‌شکل نهایی زیر خواهد بود:

$$ y \left ( x \right ) = \frac { { 3 + \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { { x ^ 2 } } } $$

اکنون باید دامنه اعتبار جواب را پیدا کنیم. این دامنه شامل $$ x $$های مخالف صفر و $$- 4{x^3} + 12{x^2} + 9>0 $$ است که با محاسبه آن، به بازه زیر می‌رسیم:

$$ - \infty < x < 0 $$

نمودار جواب به‌شکل زیر است.

معادلات دیفرانسیل کامل

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۰

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$ y' + \frac { y } { x } = { y ^ 2 } $$

حل سوال ۱۰: این معادله یک معادله برنولی است و از تغییر متغیر زیر برای حل آن استفاده می‌کنیم:

$$ z = {y^{1 - m}} = \frac{1}{y} $$

با مشتق‌گیری از معادله بالا، داریم:

$$ z' = { \left ( { \frac { 1 }  { y } }  \right ) ^ \prime } =  - \frac { { y' }  } { {{  y^ 2 }  } }  $$

اکنون، معادله اصلی را بر $$ y^ 2 $$ تقسیم می‌کنیم:

$$ \frac { { y' } } { { { y ^ 2 } } } + \frac { 1 } { { y x } } = 1 $$

با این کار، جواب $$ y = 0 $$ از دست می‌رود (با جایگذاری مستقیم آن می‌توان این مورد را تحقیق کرد).

اکنون معادله را برحسب $$z $$ بازنویسی می‌کنیم:

$$ z' - \frac { z } { x } = - 1 $$

اکنون یک معادله خطی برای تابع $$ z ( x ) $$ داریم و می‌توانیم با روش عامل انتگرال‌ساز آن را حل کنیم:

$$ u \left ( x \right ) = { e ^ { \int { \left ( { - \frac { 1 } { x } } \right ) d x } } }
= e ^ { - \int { \frac { { d x } } { x } } }
= { e ^ { - \ln \left | x \right | } }
= { e ^ { \ln \frac { 1 } { { \left | x \right | } } } }
= \frac { 1 } { { \left | x \right | } } $$

بنابراین، $$ \frac 1 x $$ عامل انتگرال‌ساز است. در واقع:

$$ z' \cdot \frac { 1 } { x } - \frac { z } { x } \cdot \frac { 1 } { x }
= z' \cdot \frac { 1 } { x } - \frac { z } { { { x ^ 2 } } }
= { \left ( {z \cdot \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } $$

می‌بینیم که بعد از ضرب $$ \frac 1 x $$، سمت چپ معادله به مشتق حاصل‌ضرب $$ z ( x ) u ( x ) $$ تبدیل می‌شود.

در نتیجه، جواب عمومی معادله خطی برای به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ z = \frac { { \int { u \left ( x \right ) f \left ( x \right ) d x } + C } } { { u \left ( x \right ) } }
= \frac { { \int { \frac { 1 } { x } \cdot \left ( { - 1 } \right ) d x } + C } } { { \frac { 1 } { x } } }
= \frac { { - \ln \left | x \right | + C } } { { \frac { 1 } { x } } }
= x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right ) $$

با قرار دادن $$ y = \frac{1}{z} $$، جواب زیر را خواهیم داشت:

$$ y = \frac { 1 } { { x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right ) } } $$

یا به‌فرم ضمنی، جواب به‌صورت زیر است:

$$ yx\left( {C - \ln \left| x \right|} \right) = 1 $$

در نهایت، جواب معادله دیفرانسیل را با در نظر گرفتن جواب ازدست‌رفته $$ y = 0 $$، به‌شکل زیر است:

$$ y x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right ) = 1,\;\; y = 0$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۱

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$ 4xyy' = {y^2} + {x^2} , \;\;\; y\left( 1 \right) = 1$$

حل سوال ۱۱: ابتدا معادله را به‌شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$ 4 x y y' = { y ^ 2 } + { x ^ 2 } , \; \; \Rightarrow
\frac { { 4 x y y' } } { { 4 x y } } - \frac { { { y ^ 2 } } } { { 4 x y } } = \frac { { { x ^ 2 } } } { { 4 x y } } , \; \; \Rightarrow
y' - \frac { y } { { 4 x } } = \frac { x } { { 4 y } } $$

این معادله یک معادله برنولی است و برای حل آن، می‌توانیم از تغییر متغیر $$ z = y ^ {1-(-1)} = y ^ 2 $$ استفاده کنیم. مشتق آن نیز $$ z' = 2 y y'$$ است. در ادامه، دو طرف معادله دیفرانسیل را در $$ 2 y $$ ضرب می‌کنیم:

$$ 2 y y' - \frac { { 2{ y ^2 } } } { { 4 x } } = \frac { { 2 x y } }{ { 4 y } } , \;\; \Rightarrow 2 y y' - \frac { { { y ^ 2 } } }{ { 2 x } } = \frac { x } { 2 } $$

با قرار دادن $$ z $$ به‌جای $$y$$، معادله برنولی به یک معادله دیفرانسیل خطی تبدیل می‌شود:

$$ z' - \frac { z } { { 2 x } } = \frac { x } { 2 } $$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را محاسبه می‌کنیم:

$$ u \left ( x \right ) = { e ^ { \int { \left ( { - \frac { 1 } { { 2 x } } } \right ) d x } } } = { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { x } } } } = { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \ln \left | x \right | } } = { e ^ { \ln \frac { 1 } { { \sqrt { \left | x \right | } } } } } = \frac { 1 } { { \sqrt { \left | x \right | } } } $$

تابع $$ u\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} $$ را انتخاب می‌کنیم و مطمئن می‌شویم که سمت چپ معادله پس از ضرب $$ u ( x ) $$ به مشتق حاصل‌ضرب $$ z\left( x \right)u\left( x \right) $$ تبدیل می‌شود:

$$ \begin {align} \left( {z^\prime - \frac{z}{{2x}}} \right)u\left( x \right) & = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{z}{{2x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - z \cdot \frac{1}{{2{x^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - z \cdot \frac{{{x^{ - \frac{3}{2}}}}}{2} = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} + z \cdot \left( {{x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^\prime \\ &= z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} + z \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime = \left( {z \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime \end{align} $$

جواب عمومی معادله خطی به‌صورت زیر است:

$$ \begin {align}
z & = \frac { { \int { u \left ( x \right ) f \left ( x \right ) d x } + C } } { { u \left ( x \right ) } } = \frac { { \int { \frac { 1 } { { \sqrt x } } \cdot \frac { x } { 2 } d x } + C } } { { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } } \\ & = \frac { { \frac { 1 } { 2 } \int { \sqrt x d x } + C } } { { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } } = \sqrt x \left [ { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { { 2 { x ^ { \frac { 3 }{ 2 } } } }} { 3 } + C } \right ] = \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt x
\end {align} $$

با در نظر گرفتن $$ z = {y^2} $$، به جواب زیر می‌رسیم:

$$ y = \pm \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt x } $$

اکنون می‌توانیم $$ C $$ را با توجه به شرایط اولیه تعیین کنیم. می‌بینیم که جواب مثبت در این شرایط صدق می‌کند. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ y = \sqrt { \frac { { { 1 ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt 1 } = \sqrt { \frac { 1} { 3 } + C } = 1 $$

که در نتیجه، $$ C = \frac { 2 } { 3 } $$. بنابراین، جواب معادله تابع زیر خواهد بود:

$$ y = \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + \frac { { 2 \sqrt x } } { 3 } } $$

دانش آموزان در حال ورود به کلاس (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال معادلات دیفرانسیل)

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۲

جواب معادله دیفرانسیل زیر را به‌دست آورید و دامنه اعتبار جواب را مشخص کنید.

$$ y' = 5 y + { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } } { y ^ { - 2 } } \hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = 2 $$

حل سوال ۱۲: ابتدا باید دو طرف معادله را در $$ y ^ 2 $$ ضرب، سپس با کمی بازآرایی، معادله را به‌فرم یک معادله دیفرانسیل خطی بنویسیم:

$$ {y^2}\,y' - 5{y^3} = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}} $$

از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$ v = {y^3}\hspace{0.25in}v' = 3{y^2}y' $$

با قرار دادن متغیر جدید و مشتق آن در معادله، عامل انتگرال‌ساز به‌دست می‌آید:

$$ \frac{1}{3}v' - 5v = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v' - 15v = 3{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace {0.25in}\mu \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ { - 1 5 \ , x } } $$

در نتیجه، خواهیم  داشت:

$$ v\left( x \right) = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}} $$

اکنون جواب را برای $$ y $$ می‌نویسیم:

$$ {y^3} = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}} $$

با اعمال شرایط اولیه، مقدار ثابت $$ c $$ به‌دست می‌آید:

$$ 8 = c - \frac{3}{{17}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = \frac{{139}}{{17}} $$

با قرار دادن $$ c $$، جواب معادله به‌دست خواهد آمد:

$$ y \left ( x \right) = { \left ( { \frac { { 1 3 9 { { \bf { e } } ^ { 1 5 \, x } } - 3 { { \bf { e } } ^{ - 2 \, x } } } } { { 1 7 } } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } $$

این جواب برای همه مقادیر $$ x $$ برقرار است. نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

نمونه سوالات معادلات دیفرانسیل

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۳

معادله دیفرانسیل $$ y ^ { \prime } = y + { y ^ 2 } + 1 $$ را را حل کنید.

حل سوال ۱۳: همان‌طور که می‌بینیم، ضرایب این معادله ثابت هستند و پس از جداسازی متغیرهای $$x$$ و $$y$$ می‌توان جواب را به‌صورت به‌دست آورد:

$$ { {\frac{{dy}}{{dx}} = y + {y^2} + 1,\;\;}\Rightarrow {\int {\frac{{dy}}{{y + {y^2} + 1}}} = \int {dx} ,\;\;}}$$

با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه اخیر، خواهیم داشت:

$$ { {{\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\arctan \frac{{y + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} }={ x + C,\;\;}}\Rightarrow {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2y + 1}}{{\sqrt 3 }} }={ x + C}}} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۴

معادله دیفرانسیل زیر را با در نظر گرفتن جواب خصوصی $$ y _ 1 = 2 $$ حل کنید.

$$ \frac {d y}{d x}=-2-y+y^{2} $$

حل سوال ۱۴: این معادله یک معادله ریکاتی است. پیش از هر چیز، باید مطمئن شویم $$ y_1 = 2 $$ یک جواب این معادله است. در غیر این صورت، محاسبات اشتباه خواهد بود. با جایگذاری آن می‌بینیم که جواب صحیح است. متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$z=\frac{1}{y-2}$$

در نتیجه، داریم:

$$ y=2+\frac{1}{z} $$

که مشتق آن به‌صورت زیر است:

$$y^{\prime}=-\frac{z^{\prime}}{z^{2}} $$

در نتیجه، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=-2-\left(2+\frac{1}{z}\right)+\left(2+\frac{1}{z}\right)^{2} $$

با کمی عملیات جبری، خواهیم داشت:

$$ -\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=\frac{3}{z}+\frac{1}{z^{2}}
$$

بنابراین، داریم:

$$ z'=-3z-1$$

این معادله یک معادله خطی است که جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$ z=\frac{-1 / 3 e^{3 x}+C}{e^{3 x}}=-\frac{1}{3}+C e^{-3 x}$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ y=2+\frac{1}{-\frac{1}{3}+C e^{-3 x}} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۵

معادله دیفرانسیل زیر را با در نظر گرفتن شرایط اولیه $$ y (0)=-1$$ و جواب خصوصی $$y_1=\sin (x)$$ حل کنید.

$$ \frac {d y}{d x}=-2-y+y^{2} $$

حل سوال ۱۵: ابتدا بررسی می‌کنیم که $$ y _ 1 = \sin (x ) $$ جواب معادله باشد:

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{2 \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)+y^{2}}{2 \cos (x)} $$

با جایگذاری، می‌بینیم که این جواب صحیح است و یک معادله ریکاتی داریم. تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$ z=\frac{1}{y-\sin (x)}$$

که در نتیجه آن، داریم:

$$y=\sin (x)+\frac{1}{z}$$

و مشتق زیر حاصل خواهد شد:

$$ y ^ {\prime}=\cos (x)-\frac{z^{\prime}}{z^{2}} $$

با جایگذاری در معادله، خواهیم داشت:

$$ \cos (x)-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=\frac{2 \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)+\left(\sin (x)+\frac{1}{z}\right)^{2}}{2 \cos (x)} $$

با کمی عملیات جبری، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$ - \frac{ z ^ { \prime } } { z ^ { 2 } } = \frac { \left ( 2 \sin ( x ) \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \right ) } { 2 \cos ( x ) } = \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 \cos ( x ) } \frac { 1 } { z ^ { 2 } } $$

در نتیجه، می‌توانیم بنویسیم:

$$ z ^ { \prime } = - \frac { \sin ( x ) } { \cos (x)} z-\frac{1}{2 \cos ( x ) } $$

اکنون یک معادله خطی داریم که برای حل آن از عامل انتگرال‌ساز کمک می‌گیریم:

$$ u ( x ) = e ^ { \int \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } } = e ^ { - \ln ( \cos ( x ) ) } = \frac { 1 } { \cos ( x ) } = \sec ( x ) $$

جواب عمومی به‌صورت زیر است:

$$\begin {align} z & = \frac { - 1 / 2 \int \sec ^ { 2 } (x ) d x + C } { u ( x ) } \\& = \cos ( x ) \left ( - \frac { 1 } { 2 } \tan ( x ) + C \right ) \\ &= - \frac { 1 } { 2 } \sin ( x ) + C \cos ( x ) \end {align} $$

اکنون جواب را برای $$ y $$ بیان می‌کنیم:

$$ y = \sin ( x ) + \frac { 1 } { - \frac { 1 } { 2 } \sin ( x ) + C \cos ( x ) } $$

با در نظر گرفتن شرایط اولیه $$ y ( 0 ) = - 1 $$، مقدار $$ C = - 1 $$ به‌دست خواهد آمد و جواب نهایی معادله به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ y = \sin ( x ) + \frac { 1 } { - \frac { 1 } { 2 } \sin ( x ) - \cos ( x ) } $$

کلاس پر از دانش آموزد

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۶

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = x y ’ + { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } $$ را پیدا کنید.

حل سوال ۱۶: این معادله یک معادله کلرو است. با قرار دادن $$ y’ = p $$، معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$  y = x p + { p ^ 2 }  $$

با دیفرانسیل‌گیری، داریم:

$$  { d y = x d p + p d x } + { 2 p d p  } $$

اکنون مقدار $$pdx$$ را به‌جای $$dy$$ قرار می‌دهیم:

$$  \require {cancel}
{ { \cancel { p d x } = x d p + \cancel { p d x } } + { 2 p d p , \; \; } } \Rightarrow
{ d p \left( { x + 2 p } \right ) = 0  } $$

با صفر قرار دادن عامل اول، داریم:

$$  d p = 0 , \; \; \Rightarrow p = C  $$

اکنون معادله بالا را در معادله دیفرانسیل قرار می‌دهیم:

$$  y = C x + { C ^ 2 }  $$

بنابراین، جواب عمومی معادله کلرو، دسته‌ای تک‌پارامتری از خطوط راست است.

حال عامل دوم را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$  { x + 2 p = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = – 2 p  } $$

بنابراین،‌ شکل پارامتری جواب تکین معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر خواهد بود:

$$  \left\{ \begin {array} {l}
x = – 2 p \\
y = x p + { p ^ 2 }
\end {array} \right  . $$

با حذف $$p$$ از دستگاه معادلات بالا، معادله منحنی کامل حاصل می‌شود:

$$  { p = – \frac { x } { 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ y = x \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) + { \left ( { – \frac { x } { 2 } } \right ) ^ 2 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } }
= { – \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 }  } $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۷

جواب‌های عمومی و تکین معادله دیفرانسیل $$ y = 2 x y ’ – 3 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 }  $$ را به‌دست آورید.

حل سوال ۱۷: یک معادله لاگرانژ داریم و باید آن را با کمک دیفرانسیل‌گیری حل کنیم. بدین منظور، تساوی $$ y’ = p $$ را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:‌

$$  y = 2 x p – 3 { p ^ 2 }  $$

با دیفرانسیل‌گیری از دو سمت معادله بالا، داریم:

$$  { d y = 2 x d p + 2 p d x } - { 6 p d p . } $$

می‌توانیم $$dy$$ را با $$pdx$$ جایگزین کنیم:

$$  { { p d x = 2 x d p } + { 2 p d x – 6 p d p , \; \; } } \Rightarrow
{ – p d x = 2 x d p – 6 p d p . } $$

با تقسیم تساوی بالا بر $$p$$، می‌توان معادله زیر را نوشت (بعد از آن باید جواب بودن $$p=0$$ را برای معادله اصلی بررسی کنیم):

$$  { - d x = \frac { { 2 x } } { p } d p – 6 d p , \; \; } \Rightarrow
{ \frac { { d x } } { { d p } } + \frac { 2 } { p } x – 6 = 0 . } $$

همان‌طور که می‌بینیم، یک معادله خطی برای $$x(p)$$ به دست می‌آید. عامل انتگرال‌ساز به صورت زیر است:

$$  { u \left ( p \right ) = \exp \left ( { \int { \frac { 2 }{ p } d p } } \right ) }
= { \exp \left ( { 2 \ln \left | p \right | } \right ) }
= { \exp \left ( { \ln { { \left | p \right | } ^ 2 } } \right ) }
= { { \left | p \right | ^ 2 } }
= { { p ^ 2 } . } $$

جواب عمومی معادله خطی برابر است با:

$$  { x \left ( p \right ) } = { \frac { { \int { { p ^ 2 } \cdot 6 d p } + C } } { { { p ^ 2 } } } }
= { \frac { { \frac { { 6 { p ^ 3 } } } { 3 } + C } } { { { p ^ 2 } } } }
= { 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } . } $$

با قرار دادن عبارت بالا به جای $$x$$ در معادله لاگرانژ، داریم:

$$  { y } = { 2 \left ( { 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } } \right ) p – 3 { p ^ 2 } } \\
= { 4 { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p } – 3 { p ^ 2 } }
= { { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p } . } $$

بنابراین، جواب عمومی پارامتری، با دستگاه معادلات زیر تعریف می‌شود:

$$  \left \{ \begin {array} {l}
x \left ( p \right ) = 2 p + \frac { C } { { { p ^ 2 } } } \\
y \left ( p \right ) = { p ^ 2 } + \frac { { 2 C } } { p }
\end {array} \right . . $$

معادله لاگرانژ ممکن است یک جواب تکین نیز داشته باشد. با حل معادله $$ \varphi \left ( p \right ) – p = 0 $$، ریشه زیر به دست می‌آید:

$$  { 2 p – p = 0 , \; \; } \Rightarrow { p = 0  } $$

در نتیجه، جواب تکین با تابع خطی زیر بیان می‌شود:

$$  { y = \varphi \left ( 0 \right ) x + \psi \left ( 0 \right ) } = { 0 \cdot x + 0 } = { 0  } $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۸

معادله زیر را حل کنید.

$$ \begin {aligned}y ^ { \prime } & = x +y \\
y ( 0 ) & = 1
\end {aligned} $$

حل سوال ۱۸: در این سوال، از سری‌ها استفاده می‌کنیم. بدین صورت که عبارت کلی سری را در معادله جایگذاری می‌کنیم:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n c _{ n } x ^ { n - 1} = x + \sum _ { n = 0 } ^ { x } c _ { n } x ^ { n } $$

اکنون ضرایب را در سمت چپ مرتب می‌کنیم:‌

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n c _ { n } x ^ { n - 1 } - x -\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } x ^ { n } = 0 $$

همان‌طور که مشخص است، چند جمله اول سری به‌صورت زیر هستند:

$$ \begin {aligned}
\left ( c _ { 1 } +2 c _ { 2 } x + 3 c _ { 3 } x ^ { 2 } + 4 c _ { 4 } x ^ { 3 } \right. & + \cdots ) \\
& - x - \left ( c _ { 0 } + c _ { 1 } x + c _ { 2 } x ^ { 2 } + c _ { 3 } x ^ { 3 } + \cdots \right ) = 0
\end {aligned} $$

جملات را بر اساس درجه متغیرشان مرتب می‌کنیم و به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \left ( c _{ 1 } - c _{ 0 } \right ) + \left ( 2 c _ { 2 } - 1 -c _ { 1 } \right ) x + \left ( 3 c _ { 3 } - c _ { 2 } \right ) x ^ { 2 } + \left ( 4 c _ { 4 } - c _ { 3 } \right ) x ^ { 3 } + \cdots = 0 $$

اگر دو جمله اول را در نظر نگیریم، سایر جملات از الگوی زیر پیروی می‌کنند:

$$ \left ( c _ { 1 } - c _ { 0 } \right ) + \left ( 2 c _ { 2 } - 1 -c _ { 1 } \right ) x + \sum _ { n = 3 } ^ { x } \left ( n c _ { n } -c _ { n - 1 } \right ) x ^ { n - 1 } = 0 $$

برای آنکه این معادله به‌ازای هر $$x$$ برقرار باشد، باید همه ضرایبش صفر باشند. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ c _ {1 } - c _ { 0 } = 0 , \quad 2 c _ { 2 }- 1 - c _ { 1 } = 0 , \;\;\;\; n c_{n}-c_{n-1}=0
, \;\;\;\;n \geq 3$$

جمله آخر، یک تصاعد حسابی است که می‌توان آن را به‌شکل زیر بیان کرد:

$$ c _ { n } = \frac { c _ { n - 1 } } { n } \text {, }\;\;\; n \geq 3 $$

از معادله (*) این نتیجه گرفته می‌شود که $$ c _ 1 $$ برابر با $$ c _ 0 $$ و در معادله دوم، $$ c _ 2 = \frac 12 (1+c_1) $$ است. بنابراین، تصاعد حسابی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:‌

$$ \begin{aligned}
& c _ { 3 } = \frac { c _ { 2 } } { 3 } = \frac { \frac { 1 }{ 2 } \left ( 1 + c _ { 0 } \right ) } { 3} = \frac { 1 + c _{ 0 } } { 2 \cdot 3 } \\
& c _ { 4 } = \frac {c _ { 3} }{ 4} = \frac { 1 + c _ { 0 } } { 2 \cdot 3 \cdot 4 }
\end {aligned} $$

رابطه بالا به همین شکل، برای بقیه ضرایب نیز ادامه دارد. با جمع کردن تمامی این عبارات، سری توانی مد نظر به‌صورت زیر قابل بیان است.

$$ \begin {aligned}
y & = c _ { 0 } + c _ { 1 } x + c _ { 2 } x ^ { 2 } +c _ { 3} x ^ { 3 } + c _{ 4 } x ^ { 4 } + \cdots \\
& = c _ { 0 } + c _ { 0 } x + \frac { 1 + c _ { 0 } } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 +c _ { 0 } } { 2 \cdot 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 + c _ { 0 } } { 2 \cdot 3 \cdot 4 } x ^ { 4 } + \cdots \\
& = c _ { 0 } + c _ { 0 } x + \left ( 1 + c _ { 0 } \right ) \left ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 \cdot 4 } x ^ { 4 } + \cdots \right ) \\
& = c _ { 0 } + c _ { 0 } x + \left(1+c_{0}\right) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}
\end{aligned} $$

توجه داشته باشید که برای محاسبه $$c_0$$ می‌توان از شرط اولیه، به‌شکل زیر استفاده کرد:

$$ y ( 0) = 1 \Rightarrow\left[ c _{ 0 } + c _ { 0 } x + \left ( 1+ c _ { 0 } \right ) \sum _ {n = 2 } ^ {\infty} \frac{1}{n !} x^{n}\right]_{x=0}=1 \Rightarrow c_{0}=1 $$

نهایتاً پاسخ معادله مقدار اولیه مفروض، به‌صورت زیر بدست می‌آید:

$$ y=1+x + \sum _ {n = 2 } ^ { \infty } \frac { 2} { n ! } x ^ { n } \quad(* *) $$

با توجه به بسط تیلور $$ e ^x$$، رابطه $$\sum _{n=2}^{\infty} \frac {1 } { n !} x ^ n =e ^ x - x -1 $$ را داریم. بنابراین، جواب معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود:

$$  y = 1 + x + 2(e ^ x - x - 1 ) = -1-x +2e ^ x $$

دانش آموزی در حال امتحان دادن

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۹

جواب‌های تکین معادله دیفرانسیل $$ {\left( {y’} \right)^2}{\left( {1 – y} \right)^2}= 2 – y $$ را بررسی کنید.

حل سوال ۱۹:‌ ابتدا مبین $$p$$ معادله را به‌دست می‌آوریم. از این معادله نسبت به $$x$$‌ مشتق می‌گیریم:

$$ 2 y ’ { \left( { 1 – y } \right) ^ 2 } = 0 . $$

عبارت $$ y’$$ را از مجموعه معادلات زیر حذف می‌کنیم:

$$ \left\{ \begin {array} {l}
{ \left( { y ’ } \right) ^ 2 } { \left( { 1 – y } \right) ^ 2 } = 2 – y \\
y ’ { \left( { 1 – y } \right) ^ 2 } = 0
\end {array} \right . . $$

بنابراین، داریم:

$$  {{\left( {y’} \right)^2} = \frac{{2 – y}}{{{{\left( {1 – y} \right)}^2}}},\;\;}\Rightarrow
{\frac{{2 – y}}{{{{\left( {1 – y} \right)}^2}}} \cdot {\left( {1 – y} \right)^4} = 0,\;\;}\Rightarrow
{{\left( {1 – y} \right)^2}\left( {2 – y} \right) = 0.} $$

اکنون مبین $$C$$ را تعیین می‌کنیم. برای پیدا کردن این مبین به حل معادله دیفرانسیل و به‌دست آوردن جواب عمومی آن نیاز داریم. معادله را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$ {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{2 – y}}{{{{\left( {1 – y} \right)}^2}}},\;\;}\Rightarrow
{\frac{{dy}}{{dx}} = \pm \frac{{\sqrt {2 – y} }}{{1 – y}},\;\;}\\ \Rightarrow
{\frac{{\left( {1 – y} \right)dy}}{{\sqrt {2 – y} }} = \pm dx.} $$

با انتگرال‌گیری از طرفین، داریم:

$$  {\int {\frac{{\left( {1 – y} \right)dy}}{{\sqrt {2 – y} }}} }={ \pm \int {dx} + C.} $$

برای حل انتگرال سمت چپ از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:

$$ {2 – y = t,\;\; }\Rightarrow {dy = – dt,\;\;}\Rightarrow {1 – y = t – 1.} $$

خواهیم داشت:

$$ {{\int {\frac{{\left( {t – 1} \right)\left( { – dt} \right)}}{{\sqrt t }}} }={ \pm x + C,\;\;}}\Rightarrow
{{\int {\left( {\sqrt t – \frac{1}{{\sqrt t }}} \right)dt} }={ \mp x – C,\;\;}}\\ \Rightarrow
{{\frac{{{t^{ \frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{3}{2}}} – \frac{{{t^{ \frac{1}{2}\normalsize}}}}{{\frac{1}{2}}} }={ \mp x – C,\;\;}}\Rightarrow
{{\frac{2}{3}{t^{ \frac{3}{2}\normalsize}} – 2{t^{ \frac{1}{2}\normalsize}} }={ \mp x – C,\;\;}} \\ \Rightarrow
{{\frac{2}{3}{\left( {2 – y} \right)^{ \frac{3}{2}\normalsize}} }-{ 2{\left( {2 – y} \right)^{ \frac{1}{2}\normalsize}} }={ \mp x – C,\;\;}}\Rightarrow
{{\frac{2}{3}\sqrt {2 – y} \left( {2 – y – 3} \right) }={ \mp x – C,\;\;}} \\ \Rightarrow
{{\frac{4}{9}\left( {2 – y} \right){\left( {y + 1} \right)^2} }={ {\left( {x + C} \right)^2},\;\;}}\Rightarrow
{{4\left( {2 – y} \right){\left( {y + 1} \right)^2} }={ 9{\left( {x + C} \right)^2}.}} $$

از جواب عمومی نسبت به $$C$$ مشتق می‌گیریم:

$$  0 = 18\left( {x + C} \right). $$

با قرار دادن $$ x + C = 0 $$ در جواب عمومی، معادله مبین $$C$$ را به دست می‌آوریم:

$$  {\left( {y + 1} \right)^2}\left( {2 – y} \right) = 0. $$

اکنون می‌توانیم معادلات مبین $$p$$ و $$C$$ را با هم بنویسیم:

$${{\psi _p}\left( y \right) }={ {\left( {1 – y} \right)^2}\left( {2 – y} \right) }={ 0,} \\
{{\psi _C}\left( y \right) }={ {\left( {y + 1} \right)^2}\left( {2 – y} \right) }={ 0.} $$

از ساختار این معادلات نتیجه گرفته می‌شود که معادله $$2-y=0$$ معادله پوش است، زیرا در هر دو معادله، عامل درجه اول است. همچنین می‌توانیم معادله مکان هندسی نقاط غیرمتوالی را از معادله مبین $$p$$ به دست آوریم:

$$  {{\left( {1 – y} \right)^2} = 0,\;\; }\Rightarrow {y = 1.} $$

و به طور مشابه، از معادله مبین $$C$$ نتیجه می‌گیریم که معادله مکان هندسی گره به صورت زیر است:

$$  {{\left( {y + 1} \right)^2} = 0,\;\; }\Rightarrow {y = – 1.} $$

در این مثال، فقط پوش $$y=2$$ جواب تکین معادله دیفرانسیل است.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۰

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$3y'' + 2y' - 8y = 0\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = - 6\hspace{0.25in}y'\left( 0 \right) = - 18 $$

حل سوال ۲۰: معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

$$ \begin{align*}3{r^2} + 2r - 8 & = 0\\ \left( {3r - 4} \right)\left( {r + 2} \right) & = 0\end{align*} $$

ریشه‌های این معادله $$r_{1} = \frac{4}{3} $$ و $$r_{2} = -2 $$ هستند. بنابراین، جواب عمومی و مشتق آن به‌صورت زیر هستند:

$$ \begin{align*} y \left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{\frac{{ 4 \,t}}{3}}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\\ y'\left( t \right) & = \frac{4}{3}{c_1}{{\bf{e}}^{\frac{{4t}}{3}}} - 2{c_2}{{\bf{e}}^{ - 2t}}\end{align*} $$

اکنون شرایط اولیه را در معادله‌های اخیر قرار می‌دهیم تا ثابت‌ها را محاسبه کنیم:

$$ \begin{align*} - 6 = y \left ( 0 \right ) & = { c _ 1 } + { c _ 2 } \\ - 1 8 = y' \left ( 0 \right ) & = \frac { 4 } { 3 } { c _ 1 } - 2 { c _ 2 } \end {align*} $$

با حل این دستگاه معادلات به جواب‌های $$ c_{1} = -9 $$ و $$ c_{2} = 3 $$ می‌رسیم. بنابراین، جواب عمومی معادله به‌شکل زیر است:

$$ y\left( t \right) = - 9{{\bf{e}}^{\frac{{4t}}{3}}} + 3{{\bf{e}}^{ - 2t}} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۱

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$ 4y'' + 24y' + 37y = 0\hspace{0.25in}y\left( \pi \right) = 1\hspace{0.25in}y'\left( \pi \right) = 0 $$

حل سوال ۲۱: معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

$$ 4{r^2} + 24r + 37 = 0 $$

ریشه‌های این معادله $$ {r_{1,2}} = - 3 \pm \frac{1}{2}\,i $$ هستند. بنابراین، جواب عمومی و مشتق آن به‌شکل زیر خواهند بود:

$$ \begin {align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\cos \left( { \frac { t } { 2 } } \right ) + { c _ 2 } { { \bf { e } } ^ { - 3 t } } \sin \left ( { \frac { t } {2 } } \right)\\ y'\left ( t \right) & = - 3 { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ { - 3 t } } \cos \left( { \frac { t } { 2 } } \right) - \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e } } ^ { - 3 t } } \sin \left ( { \frac {t } { 2 } } \right ) - 3 { c _ 2 } { { \bf { e } } ^ { - 3 t } } \sin \left( {\frac{t}{2}} \right) + \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{ - 3t}}\cos \left( {\frac{t}{2}} \right)\end{align*} $$

با قرار دادن شرایط اولیه، مقدار ثابت‌های $$ c _ 1 $$ و $$ c _ 2 $$ را به‌دست می‌آوریم:

$$ \begin {align*} 1 & = y \left ( \pi \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ { - 3 \pi } } \cos \left ( {\frac { \pi } { 2 } } \right ) + { c _ 2 } { { \bf { e } } ^ { - 3 \pi } } \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {c_2}{{\bf{e}}^{ - 3\pi }}\\ 0 & = y'\left( \pi \right) = - \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{ - 3\pi }} - 3{c_2}{{\bf{e}}^{ - 3\pi }}\end{align*} $$

که برابر خواهند بود با

$$ {c_1} = - 6{{\bf{e}}^{3\pi }}\hspace{0.25in}{c_2} = {{\bf{e}}^{3\pi }} $$

در نتیجه، جواب معادله به‌صورت زیر است:

$$ \begin {align*} y \left ( t \right ) & = - 6 { { \bf { e } } ^ { 3 \pi } } { { \bf { e } } ^ { - 3 t } } \cos \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) + { { \bf { e } } ^ { 3 \pi } } { { \bf { e } } ^ { - 3 t } } \sin \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) \\ y \left ( t \right ) & = - 6 { { \bf { e } } ^ { - 3 \left ( { t - \pi } \right ) } } \cos \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) + { { \bf { e } } ^ { - 3 \left ( { t - \pi } \right ) } } \sin \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) \end {align*} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۲

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$ y'' + 14y' + 49y = 0\hspace{0.25in}y\left( { - 4} \right) = - 1\hspace{0.25in}y'\left( { - 4} \right) = 5 $$

حل سوال ۲۲: ابتدا معادله مشخصه را تعیین می‌کنیم:

$$ {r^2} + 14r + 49 = {\left( {r + 7} \right)^2} = 0\hspace{0.25in}{r_{1,2}} = - 7 $$

جواب عمومی به‌صورت زیر است:

$$ \begin{align*}y\left( t \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 7t}} + {c_2}t{{\bf{e}}^{ - 7t}}\\ y'\left( t \right) & = - 7{c_1}{{\bf{e}}^{ - 7t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - 7t}} - 7{c_2}t{{\bf{e}}^{ - 7t}}\end{align*} $$

شرایط اولیه را در معادلات بالا قرار می‌دهیم:

$$ \begin {align*} - 1 & = y\left( { - 4} \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{28}} - 4{c_2}{{\bf{e}}^{28}}\\ 5 & = y'\left( { - 4} \right) = - 7 { c _ 1 } { { \bf { e} } ^ { 2 8 }} + { c _ 2 }{{\bf{e}}^{28}} + 28{c_2}{{\bf{e}}^{28}} = - 7{c_1} { { \bf { e } } ^ { 2 8 } } + 2 9 { c _ 2 } { { \bf { e } } ^ { 2 8 } } \end {align*} $$

که نتیجه آن این‌گونه است:

$$ {c_1} = - 9{{\bf{e}}^{ - 28}}\hspace{0.25in}{c_2} = - 2{{\bf{e}}^{ - 28}} $$

در نهایت، جواب معادله به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin{align*}y\left( t \right) & = - 9{{\bf{e}}^{ - 28}}{{\bf{e}}^{ - 7t}} - 2t{{\bf{e}}^{ - 28}}{{\bf{e}}^{ - 7t}}\\ y\left( t \right) & = - 9{{\bf{e}}^{ - 7\left( {t + 4} \right)}} - 2t{{\bf{e}}^{ - 7\left( {t + 4} \right)}}\end{align*} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$$\sqrt x y^{\prime\prime} = {\left( {y’} \right)^2}$$

حل سوال ۲۳: این معادله صریحاً شامل متغیر $$y$$ نیست. متغیر جدید $$y’ = p\left( x \right)$$ را تعریف می‌کنیم. بنابراین، معادله اصلی به معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر تبدیل می‌شود:

$$\sqrt x p’ = {p^2}$$

این معادله را می‌توان با جداسازی متغیرها حل کرد:

$${\sqrt x \frac{{dp}}{{dx}} = {p^2},\;\;}\Rightarrow
{\frac{{dp}}{{{p^2}}} = \frac{{dx}}{{\sqrt x }},\;\;}\\ \Rightarrow
{\int {\frac{{dp}}{{{p^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} ,\;\;}\Rightarrow
{ – \frac{1}{p} = 2\sqrt x + {C_1},\;\;}\\ \Rightarrow
{p = y’ = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt x + {C_1}}}.}$$

با انتگرال‌گیری از معادله اخیر، می‌توان تابع $$y(x)$$ را به‌دست آورد:

$${\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt x + {C_1}}},\;\;}\Rightarrow
{dy = – \frac{{dx}}{{2\sqrt x + {C_1}}},\;\;}\\ \Rightarrow
{y = – \int {\frac{{dx}}{{2\sqrt x + {C_1}}}} .}$$

برای محاسبه انتگرال، از تغییر متغیر $$x = {t^2}$$ و $$dx = 2tdt$$ استفاده می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$${y = – \int {\frac{{dx}}{{2\sqrt x + {C_1}}}} }
= { – \int {\frac{{2tdt}}{{2t + {C_1}}}} } \\
= { – \int {\frac{{2t + {C_1} – {C_1}}}{{2t + {C_1}}}dt} }
= { – \int {\left( {1 – \frac{{{C_1}}}{{2t + {C_1}}}} \right)dt} } \\
= { – t + {C_1}\int {\frac{{dt}}{{2t + {C_1}}}} }
= { – t + \frac{{{C_1}}}{2}\int {\frac{{d\left( {2t + {C_1}} \right)}}{{2t + {C_1}}}} } \\
= { – t + \frac{{{C_1}}}{2}\ln \left| {2t + {C_1}} \right| }+{ {C_2}.}$$

نوشتن این معادله برای متغیر $$x$$، منجر به جواب زیر می‌شود:

$${y = – \sqrt x }+{ \frac{{{C_1}}}{2}\ln \left| {2\sqrt x + {C_1}} \right| }+{ {C_2}.}$$

(تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال معادلات دیفرانسیل)

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۴

جواب عمومی دستگاه معادلات خطی زیر را به دست آورید:

$$  { \frac { { d x } } { { d t } } = x – y , \; \; }\kern-0.3pt { \frac { { d y } } { { d t} } = x + 3 y . } $$

حل سوال ۲۴: ابتدا مقادیر ویژه $$ \lambda _ i $$ ماتریس $$ A $$ را محاسبه می‌کنیم که از ضرایب معادلات به‌دست می‌آیند:

$$  \begin {align*} { { \det \left ( { A – \lambda I } \right ) } = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ 1 – \lambda } & { – 1 } \\
1 & { 3 – \lambda }
\end {array} } \right | = 0 , \; \; } } \Rightarrow
{ \left ( { 1 – \lambda } \right ) \left ( { 3 – \lambda } \right ) + 1 = 0 , \; \; } \\ \Rightarrow
{ { 3 – 3 \lambda – \lambda } + { { \lambda ^ 2 } + 1 = 0 , \; \; } } \Rightarrow
{ { \lambda ^ 2 } – 4 \lambda + 4 = 0 , \; \; } \Rightarrow
{ { \left ( { \lambda – 2 } \right ) ^ 2 } = 0 . } \end {align*} $$

بنابراین، مقادیر ویژه $$A$$، اعداد $$\lambda _ i = 2 $$ با تکرار $$ k _ 1 = 2 $$ است. اکنون رتبه ماتریس $$A – {\lambda _1}I $$ را محاسبه می‌کنیم. با قرار دادن مقدار $${\lambda _1} = 2 $$ در ماتریس و با استفاده از تبدیلات مقدماتی، خواهیم داشت:

$$  { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ 1 – 2 } & { – 1 } \\
1 & { 3 – 2 }
\end {array} } \right ] } \sim { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ – 1 } & { – 1 } \\
1 & 1
\end {array} } \right ] }
\sim { \left . { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
1 & 1 \\
{ – 1 } & { – 1 }
\end {array} } \right ] } \right | \left . { \begin {array} { * { 20 } { c } }
{ } \\
\small { { R _ 2 } + { R _ 1 } } \normalsize
\end {array} } \right . } \\
\sim {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
0&0
\end{array}} \right] }
\sim {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1
\end{array}} \right).} $$

بنابراین، رتبه ماتریس $$A – {\lambda _1}I $$ برابر با $$1$$ است. در نتیجه، مرتبه تکرار هندسی $${s_1} = 1 $$ را برای عدد $${\lambda _1} = 2 $$ داریم، یعنی یک بردار ویژه به صورت زیر خواهیم داشت:

$$ { { s _ 1 } } = { n – \text {rank} \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) } = { 2 – 1 } = { 1 . } $$

جواب برداری عمومی به صورت زیر است:

$$ { \mathbf { X } \left ( t \right ) } = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
x \\
y
\end {array} } \right ] + { \mathbf { P } _ { { k _ i } – { s _ i } } } \left ( t \right ) { e ^ { { \lambda _ i } t } } }
= { { \mathbf { P } _ 1 } \left ( t \right ) { e ^ { { \lambda _ i } t } } }
= { \left ( { { \mathbf { A } _ 0 } + { \mathbf { A } _ 1 } t } \right ) { e ^ { 2 t } } . } $$

اکنون از روش ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم. عبارات زیر را در نظر بگیرید:

$$ { x = \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } , \; \; } \kern-0.3pt { y = \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1} t } \right ){ e ^ { 2 t } } . } $$

مشتقات برابرند با

$$ { \frac { { d x } } { { d t } } } = { { a _ 1 } { e^ { 2 t } } + 2 \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t } \right ) { e ^ { 2 t } } } = { \left ( { 2 { a _ 0 } + { a _ 1 } + 2 { a _ 1 } t } \right ) { e ^ { 2 t } } , } $$

$$ { \frac { { d y } }{ { d t } } } = { { b _ 1 } { e ^ { 2 t } } + 2 \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } t } \right ) { e ^ { 2 t } } } = { \left ( { 2 { b _ 0 } + { b _ 1 } + 2 { b _ 1 } t } \right ) { e ^ { 2 t } } . } $$

با جایگذاری توابع $$ x $$ و $$ y $$ و مشتق آن‌ها در دستگاه معادلات دیفرانسیل اصلی، داریم:

$$ \left \{ \begin {array} { l }
{ \left ( { 2 { a _ 0 } + { a _ 1 } + 2 { a _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } } = { \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } } - { \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } } \\
{ \left ( { 2 { b _ 0 } + { b _ 1 } + 2 { b _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } } = { \left ( { { a _ 0 } + { a _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } } + { 3 \left ( { { b _ 0 } + { b _ 1 } t } \right ){ e ^ { 2 t } } }
\end {array} \right . $$

اکنون با تقسیم دو طرف تساوی بر $$ e ^ { 2 t } $$ و برابر قرار دادن ضرایب جملات مشابه دو طرف، خواهیم داشت:

$$ { \left \{ \begin {array} { l }
2 { a _ 0 } + { a _ 1 } = { a _ 0 } – { b _ 0 } \\
2 { a _ 1 } = { a _ 1 } – { b _ 1 } \\
2 { b _ 0 } + { b _ 1 } = { a _ 0 } + 3 { b _ 0 } \\
2 { b _ 1 } = { a _ 1 } + 3 { b _ 1 }
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ { a _ 0 } + { a _ 1 } + { b _ 0 } = 0 } \\
{ { a _ 1 } + { b _ 1 } = 0 } \\
{ { a _ 0 } + { b _ 0 } – { b _ 1 } = 0 } \\
{ { a _ 1 } + { b _ 1 } = 0 }
\end {array} } \right . . } $$

در این دستگاه، فقط دو معادله مستقل وجود دارد. ضرایب مستقل $$ a_ 0 = C _ 1 $$ و $$ a _ 1 = C _ 2 $$ را در نظر می‌گیریم. دو مقدار باقیمانده $$ b _ 0 $$ و $$ b_ 1 $$ برحسب $$ C_ 1 $$ و $$ C_ 2 $$ قابل بیان هستند:

$$ { { C _ 1 } + { C _ 2 } + { b _ 0 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { b _ 0 } = – { C _ 1 } – { C _ 2 } , } \\ { { C _ 2 } + { b _ 1 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { b _ 1 } = – { C _ 2 } . } $$

بنابراین، جواب عمومی به فرم زیر خواهد بود:

$$ { \mathbf { X } \left ( t \right ) = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
x \\
y
\end {array} } \right ] } = { { e ^ { 2 t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { a _ 0 } + { a _ 1 } t } \\
{ { b _ 0 } + { b _ 1 } t }
\end {array} } \right ] }
= { { e ^ { 2 t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ { C _ 1 } + { C _ 2 } t } \\
{ – { C _ 1 } – { C _ 2 } – { C _ 2 } t }
\end {array} } \right ] . } $$

و می‌توان آن را به‌سادگی به فرم برداری زیر نوشت:

$$ \begin {align*} \mathbf { X } \left ( t \right ) & = \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } x \\ y \end {array} } \right ] = { { C _ 1 } { e ^ { 2 t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } 1 \\ { – 1 } \end {array} } \right ] } + { { C _ 2 } { e ^ { 2 t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } t \\ { – 1 – t } \end {array} } \right ] } \\ & = { { C _ 1 } { e ^ { 2 t } } \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } 1 \\ { – 1 } \end {array} } \right ] } + { { C _ 2 } { e ^ { 2 t} } \left ( { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } 0 \\ { – 1 } \end {array} } \right ] + t \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } } 1 \\ { – 1 } \end {array} } \right ] } \right ) . } \end {align*} $$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۵

پاسخ عمومی معادله $$ { x ^ 2 } y ^ { \prime \prime } – 4 x y ^ { \prime } + 6 y = 0 $$ را با استفاده از معادله لیوویل بیابید. فرض کنید یکی از پاسخ‌های خصوصی معادله برابر با $$ { y _ 1 } = { x ^ 2 } $$ است.

حل سوال ۲۵: به منظور پاسخ به این سوال در ابتدا $$y_1$$ و $$y_2$$ را برابر با دو پاسخ فرضی در نظر بگیرید. در این صورت فرمول لیوویل به صورت زیر بیان می‌شود.

$$ {\begin {align*} W \left( x \right) & = {W_{{y_1},{y_2}}}\left( x \right)
= {\left| {\begin{array}{*{20} { c } } { { y _1 } } & { { y _2 } } \\
{ { y ^ { \prime }_1}}& { { y ^ { \prime } _ 2 } } \end {array} } \right| } \\ & = { { W _ 0 } \left ( x \right)\exp \left( { – \int \limits _ {{ x _ 0 } } ^ x { \frac { { { a _1 } \left( t \right ) } } { { {a _ 0 } \left ( t \right ) } } d t } } \right )‌ } \end {align*}} $$

انتگرال رابطه بالا به‌صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \begin {align*} \int\limits _ { { x_0 } } ^ x { \frac { { {a _ 1 } \left( t \right)}}{{{a_0}\left( t \right ) }} d t } & = { \int \limits _ { { x _ 0 } } ^ x { \left ( { \frac { { – 4 t } } { { { t ^ 2} } } } \right)dt} } \\ & = {\left. {\left( { – 4 \ln t } \right ) } \right|_ { { x _0 } } ^ x } \\ & = { – 4\ln x + 4 \ln { x _ 0 } } \\ & = { – \ln { x ^ 4 } + \ln x_0^4 } = { – \ln \frac { { { x ^ 4 }} } { { x _0 ^ 4 } } } \end {align*} $$

در نتیجه، رونسکین نیز به‌شکل زیر به‌دست می‌آید:

$$ \begin {align*} {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { { y _ 1 } } & { { y _2 } } \\
{{y ^ { \prime } _ 1 } } & { { y ^{\prime} _ 2 } } \end{array}} \right| } & = {{W_0}\left( x \right)\exp \left ( {\ln \frac { { { x ^ 4} } } {{ x _0 ^ 4 } } } \right) } \\ & = { \frac { { { W_0}\left( x \right)}}{{x_0^4}}{ x ^ 4 } } = { { C _1 } { x ^ 4 } } \end {align*} $$

با توجه به اینکه $$y_1$$ را داریم، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول برای $$y_2$$ به‌دست می‌آید. با محاسبه رونسکین و برابر قرار دادن آن با عبارت به‌دست‌آمده در بالا، داریم:

$$ \require {cancel} \begin {align*} \left. { { y ^ { \prime } _ 2 } { y_ 1 } – { y _2 } { y ^ { \prime } _ 1 } = { C _ 1 } { x ^ 4 } } \right|:y _ 1 ^ 2 \ \\~\\ \Rightarrow {\frac { { { y ^ { \prime } _2 } { y _ 1 } – { y _2 } { y ^ { \prime } _ 1} } } { { y _ 1 ^ 2} } = \frac { { {C _ 1 } { x ^4 } } } { {y _ 1 ^ 2 } } } \\~\\ \Rightarrow { { \left( {\frac { { { y _ 2 } } } { { { y_ 1 } } } } \right ) ^ \prime } } = {\frac { {{ C _ 1 } { x^ 4 } } } { { y _ 1 ^ 2 } } } = { \frac { { { C _ 1 } \cancel { x ^ 4}} } { { \cancel { x ^ 4 }} } } = { { C _ 1 } } \end {align*} $$

در نتیجه تابع $$y_2$$ برابر خواهد بود با

$$ \begin {align*} \frac { { { y_ 2 } } } { { { y _ 1 } } } & = {C_1}x + {C_2} \;\; \Rightarrow { y _ 2 } \\ & = { y _ 1 } \left ( { { C _1 } x + { C _ 2 } } \right )
{ { x ^ 2 } \left ( { { C_ 1 } x + { C _ 2 } } \right ) } \\ & = { { C_ 1 } { x ^ 3 } + { C _ 2 }{ x ^2 } } \end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، تابع $$y_2$$، تابع $$y_1$$ را در خود دارد. در نتیجه، تابع $$y_2$$ را می‌توان برابر با پاسخ عمومی معادله در نظر گرفت.

معلم در حال تصحیح برگه ها

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۶

پاسخ معادله دیفرانسیل زیر را در بازه $$ x > 0 $$ به‌دست آورید.

$$ { x ^ 2 } y ^ { \prime\prime } + 3 x y ^ { \prime } + 4 y = 0 $$

حل سوال ۲۶: معادله مشخصه برای این معادله دیفرانسیل اویلر به‌صورت زیر است:

$$ \begin {align*} r \left ( { r - 1 } \right ) + 3 r + 4 & = 0 \\ { r ^ 2 } + 2 r + 4 & = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} { r _ { 1 , 2 } } = - 1 \pm \sqrt 3 \, i \end {align*} $$

جواب‌های این معادله مختلط هستند. بنابراین، جواب عمومی معادله به‌صورت زیر است:

$$ y \left ( x \right ) = { c _ 1 } { x ^ { - 1 } } \cos \left ( { \sqrt 3 \ln x } \right ) + { c _ 2 } { x ^ { - 1 } } \sin \left ( { \sqrt 3 \ln x } \right ) $$

معادله در همه بازه‌ها پاسخ دارد. در واقع، $$x$$ می‌تواند هر عددی جز صفر باشد. با جایگذاری $$|x|$$ به‌جای $$x$$، پاسخ کلی معادله اویلر به‌دست می‌آید.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۷

معادله $$ { x ^ 2 } y ^ { \prime \prime } – 2 x y’ + 2 y = 6 { x ^ 2 } + 4 \ln x $$ را با فرض $$ x > 0 $$ حل کنید.

حل سوال ۲۷: این معادله یک معادله اویلر ناهمگن است. برای حل آن، ابتدا معادله همگن را حل می‌کنیم:

$$  { { x ^ 2 } y ^ { \prime \prime } – 2 x y’ + 2 y } = { 0  } $$

با قرار دادن $$ x = e ^ t $$، معادله اخیر به معادله‌ای با ضرایب ثابت تبدیل خواهد شد:

$$  { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } – 3 \frac { { d y } } { { d t } } } + { 2 y } = { 0  } $$

اکنون معادله مشخصه و ریشه‌های آن را تعیین می‌کنیم:

$$  { { k ^ 2 } – 3 k + 2 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 9 – 4 \cdot 2 = 1 , \; \; } \Rightarrow { { k _ { 1 , 2 } } = \frac { { 3 \pm 1 } } { 2 } = 2 , 1 . } $$

همچنین، جواب عمومی $$ y _ 0 ( t) $$ معادله دیفرانسیل همگن را می‌نویسیم:

$$  { { y _ 0 } \left ( t \right ) } = { { C _ 1 } { e ^ { 2 t } } + { C _ 2 } { e ^ t } . } $$

اکنون می‌توانیم معادله ناهمگن را برحسب $$ t $$ بنویسیم:

$$  { { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } – 3 \frac { { d y } } { { d t } } + 2 y } = { 6 { e ^ { 2 t } } + 4 \ln \left ( { { e ^ t } } \right ) , \; \; } } \\  \Rightarrow { { \frac { { { d ^ 2 } y } }{ { d { t ^ 2 } } } – 3 \frac { { d y } } { { d t } } + 2 y } = { 6 { e ^ { 2 t } } + 4 t  } } $$

ضریب توان $$ t$$ تابع نمایی در سمت راست معادله برابر با ۲ است که منطبق با یکی از ریشه‌های معادله مشخصه است. در نتیجه، جواب خصوصی زیر را به‌دست می‌آوریم:

$$  { y _ 1 } \left ( t \right ) = a t { e ^ { 2 t } } + b t + c , $$

که در آن، $$ a $$، $$ b $$ و $$ c $$ اعدادی مجهول هستند.

مشتقات این تابع به صورت زیر هستند:

$$  { \frac { { d { y _ 1 } } } { { d t } } } = { a {e ^ { 2 t } } + 2 a t { e ^ { 2 t } } + b , } $$

$$  { \frac { { { d ^ 2 } { y _ 1 } } } { { d { t ^ 2 } } } } = { 2 a { e ^ { 2 t } } + 2 a { e ^ { 2 t } } + 4 a t { e ^ { 2 t } } } = { 4 a { e ^ { 2 t } } + 4 a t { e ^ { 2 t } } . } $$

با قرار دادن این مشتقات در معادله ناهمگن، خواهیم داشت:

$$  \require {cancel} { 4 a { e ^ { 2 t } } + 4 a t { e ^ { 2 t } } }
– { 3 \left ( { a { e ^ { 2 t } } + 2 a t { e ^ { 2 t } } + b } \right ) }
+ { 2 \left ( { a t { e ^ { 2 t } } + b t + c } \right ) }
= { 6 { e ^ { 2 t } } + 4 t , } \\  { \Rightarrow 4 a { e ^ { 2 t } } + \cancel { 4 a t { e ^ { 2 t } } } – 3a { e ^ { 2 t } } }
– { \cancel { 6 a t { e ^ { 2 t } } } – 3 b }
+ { \cancel { 2 a t { e ^ { 2 t } } } + 2 b t + 2 c }
= { 6 { e ^ { 2 t } } + 4 t , } $$

رابطه آخر تحلیلی است، یعنی برای همه مقادیر $$ t $$ درست است. با برابر قرار دادن ضرایب جملات مشابه در دو طرف، خواهیم داشت:

$$  { \left \{ \begin {array} { l }
a = 6 \\
2 b = 4 \\
– 3 b + 2 c = 0
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ \begin {array} { l }
a = 6 \\
b = 2 \\
c = 3
\end {array} \right . . } $$

بنابراین، یک جواب خصوصی معادله ناهمگن به صورت زیر است:

$$  { { y _ 1 } \left ( t \right ) } = { 6 t { e ^ { 2 t } } + 2 t + 3 . } $$

اکنون می‌توانیم جواب عمومی معادله اویلر ناهمگن را بنویسیم:

$$  { y \left ( t \right ) = { y _ 0 } \left ( t \right ) + { y _ 1 } \left ( t \right ) } = { { C _ 1 } { e ^ { 2 t } } + { C _ 2 }{ e ^ t } } + { 6 t { e ^ { 2 t } } } + { 2 t + 3 . } $$

از آنجا که $$t = \ln x$$، جواب نهایی به صورت زیر است:‌

$$  { y \left ( x \right ) } = { { C _ 1 } { x^ 2 } + { C _ 2 } x } + { 6 { x ^ 2 } \ln x } + { 2 \ln x + 3 , } $$

که در آن، $$ C _ 1 $$ و $$ C _ 2 $$ ثابت‌های حقیقی هستند.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۸

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{30 - 5t}},\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = - 3\,\,\,y'\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,y''\left( 0 \right) = 4$$

حل سوال ۲۸: ابتدا باید بررسی کنیم جابه‌جایی زمانی تابع پله $$u(t)$$ صحیح باشد:

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{ - 5\left( {t - 6} \right)}}$$

می‌بینیم که جابه‌جایی $${{\bf{e}}^{ - 5t}}$$ به‌درستی انجام شده است. اکنون باید از معادله تبدیل لاپلاس بگیریم. همان‌طور که می‌دانیم، تبدیل لاپلاس معادله مرتبه سوم به صورت زیر است:

$$\mathcal{L}\left\{ {y'''} \right\} = {s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right)$$

بنابراین، داریم:

$$\begin{align*}{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right) - 4\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) + 3{s^2} - 13s & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} - 3{s^2} + 13s + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s +
5} \right)}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\end{align*}$$

اکنون تبدیل لاپلاس جواب مورد نظر را در اختیار داریم. برای به‌دست آوردن جواب، باید $$F(s)$$ و $$G(s)$$ را به کسرهای جزئی تجزیه کرده و عکس تبدیل لاپلاس آن‌ها را محاسبه کنیم:

$$\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} = \frac{{\frac{{17}}{{64}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{{209}}{{64}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{16}}}}{{{s^2}}} - \frac{{\frac{1}{4}\left( {\frac{{2!}}{{2!}}} \right)}}{{{s^3}}} - \frac{{1\left( {\frac{{3!}}{{3!}}} \right)}}{{{s^4}}}\\ f\left( t \right) & = \frac{{17}}{{64}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{{209}}{{64}} - \frac{1}{{16}}t - \frac{1}{8}{t^2} - \frac{1}{6}{t^3}\end{align*}$$

$$\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s + 5} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{144}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{1}{{225}}}}{{s + 5}} - \frac{{\frac{1}{{400}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{20}}}}{{{s^2}}}\\ g\left( t \right) & = \frac{1}{{144}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{1}{{225}}{{\bf{e}}^{ - 5t}} - \frac{1}{{400}} - \frac{1}{{20}}t\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم جواب معادله دیفرانسیل را به‌صورت زیر بنویسیم که در آن، $$f(t)$$ و $$g(t)$$ مطابق روابط اخیر هستند:

$$Y\left( s \right) = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = f\left( t \right) + 3{u_6}\left( t \right)g\left( {t - 6} \right)$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲۹

جواب معادله دیفرانسیل $$ \left( {{x^2} + 4} \right)y’ = 2xy $$ را محاسبه کنید.

حل سوال ۲۹: معادله را به‌فرم زیر می‌نویسیم:

$$ \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) d y = 2 x y d x . $$

هردو سمت معادله را بر $$ \left( {{x^2} + 4} \right)y $$ تقسیم می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \frac { { d y } } { y } = \frac { { 2 x d x } } { { \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } . $$

مشخص است که برای همه $$x$$های حقیقی $$ {{x^2} + 4} \ne 0 $$ است. بررسی می‌کنیم که آیا $$ y = 0 $$ جواب معادله هست یا خیر. بنابراین، $$y=0$$ و $$dy=0$$ را در معادله دیفرانسیل جایگذاری می‌کنیم. می‌بینیم که $$y=0$$ یکی از جواب‌های معادله است.

اکنون از معادله انتگرال می‌گیریم:

$$ { { \int { \frac { { d y } } { y } } } = { \int { \frac { { 2 x d x } } { { \left( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } } } + { C , \;\; } } \Rightarrow
{ { \ln \left | y \right | } = { \int { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { { x ^ 2 } + 4 } } } } + { C . } } $$

می‌دانیم که $$ d\left( {{x^2}} \right) $$ است. بنابراین:

$$ { \ln \left | y \right | = \int { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } } { { { x ^ 2 } + 4 } } } + C , \;\; } \Rightarrow
{ \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) + C . } $$

ثابت $$ C$$ را به‌صورت $$ \ln {C_1} $$ می‌نویسیم که در آن، $$ {C_1} \gt 0 $$ است. در نتیجه:

$$ { \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) + \ln { C _ 1 } ,\;\; }\Rightarrow
{ \ln \left | y \right | = \ln \left ( { { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) } \right ) , \;\; }\\ \Rightarrow
{ \left | y \right | = { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) , \;\; } \Rightarrow
{ y = \pm { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) . } $$

بنابراین، جواب معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ { y = \pm { C _ 1 } \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) , \;\;}\kern-0.3pt { y = 0 , \;\;}\kern-0.3pt
{ \text{,}\;\;}\kern-0.3pt { { C _ 1 } \gt 0.} $$

این جواب را می‌توان ساده‌تر کرد. درواقع، اگر از ثابت دلخواه $$C$$ استفاده کنیم که مقدار آن بین $$ -\infty $$ و $$ \infty $$ است، داریم:

$$ y = C \left ( { { x ^ 2 } + 4 } \right ) . $$

اگر $$ C = 0 $$ باشد، $$y=0$$ است.

حل: معادله مربوط به این مثال، شبیه حالت ۲ است که سمت راست آن فقط به متغیر $$y$$ وابسته است. پارامتر $$p = y’$$ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، معادله را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$${\frac{{dp}}{{dy}}p = \frac{1}{{4\sqrt y }},\;\;}\Rightarrow
{2pdp = \frac{{dy}}{{2\sqrt y }},\;\;}\\\Rightarrow
{\int {2pdp} = \int {\frac{{dy}}{{2\sqrt y }}} ,\;\;}\Rightarrow
{{p^2} = \sqrt y + {C_1},}$$

که در آن، $$C_1$$ ثابت انتگرال است.

با جذر گرفتن از دو سمت معادله، تابع $$p(y)$$ به‌دست می‌آید:

$$p = \pm \sqrt {\sqrt y + {C_1}} .$$

اکنون با دانستن $$y’ = p$$، معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را خواهیم داشت:

$${y’ = \pm \sqrt {\sqrt y + {C_1}} ,\;\;}\Rightarrow
{\frac{{dy}}{{dx}} = \pm \sqrt {\sqrt y + {C_1}} .}$$

با جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری، داریم:

$${\frac{{dy}}{{\sqrt {\sqrt y + {C_1}} }} = \pm dx,\;\;}\Rightarrow
{\int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\sqrt y + {C_1}} }}} = \pm \int {dx} .}$$

برای محاسبه انتگرال سمت چپ، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$${\sqrt y + {C_1} = z,\;\;}\Rightarrow
{dz = \frac{{dy}}{{2\sqrt y }},\;\;}\\\Rightarrow
{dy = 2\sqrt y dz }={ 2\left( {z – {C_1}} \right)dz.}$$

در نتیجه، انتگرال سمت چپ برابر است با:

$${\int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\sqrt y + {C_1}} }}} }
= {\int {\frac{{2\left( {z – {C_1}} \right)dz}}{{\sqrt z }}} }
= {2\int {\left( {\frac{z}{{\sqrt z }} – \frac{{{C_1}}}{{\sqrt z }}} \right)dz} } \\
= {2\int {\left( {{z^{ \frac{1}{2}\normalsize}} – {C_1}{z^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}} \right)dz} }
= {2\left( {\frac{{{z^{ \frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{3}{2}}} – {C_1}\frac{{{z^{ \frac{1}{2}\normalsize}}}}{{\frac{1}{2}}}} \right) } \\
= {\frac{4}{3}{z^{ \frac{3}{2}\normalsize}} – 4{C_1}{z^{ \frac{1}{2}\normalsize}} }
= {\frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {\sqrt y + {C_1}} \right)}^3}} }-{ 4{C_1}\sqrt {\sqrt y + {C_1}} .}$$

در نهایت، معادله جبری زیر به‌دست می‌آید:

$${\frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {\sqrt y + {C_1}} \right)}^3}} }-{ 4{C_1}\sqrt {\sqrt y + {C_1}} }={ {C_2} \pm x,}$$

معادله اخیر، جواب عمومی معادله دیفرانسیل است که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ثابت‌های انتگرال‌گیری هستند.

دانش آموز خندان در کلاس خالی (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال معادلات دیفرانسیل)

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۰

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{30 - 5t}},\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = - 3\,\,\,y'\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,y''\left( 0 \right) = 4$$

حل سوال ۳۰: ابتدا باید بررسی کنیم جابه‌جایی زمانی تابع پله $$u(t)$$ صحیح باشد:

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{ - 5\left( {t - 6} \right)}}$$

می‌بینیم که جابه‌جایی $${{\bf{e}}^{ - 5t}}$$ به‌درستی انجام شده است. اکنون باید از معادله تبدیل لاپلاس بگیریم. همان‌طور که می‌دانیم، تبدیل لاپلاس معادله مرتبه سوم به صورت زیر است:

$$\mathcal{L}\left\{ {y'''} \right\} = {s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right)$$

بنابراین، داریم:

$$\begin{align*}{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right) - 4\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) + 3{s^2} - 13s & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} - 3{s^2} + 13s + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s +
5} \right)}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\end{align*}$$

اکنون تبدیل لاپلاس جواب مورد نظر را در اختیار داریم. برای به‌دست آوردن جواب، باید $$F(s)$$ و $$G(s)$$ را به کسرهای جزئی تجزیه کرده و عکس تبدیل لاپلاس آن‌ها را محاسبه کنیم:

$$\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} = \frac{{\frac{{17}}{{64}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{{209}}{{64}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{16}}}}{{{s^2}}} - \frac{{\frac{1}{4}\left( {\frac{{2!}}{{2!}}} \right)}}{{{s^3}}} - \frac{{1\left( {\frac{{3!}}{{3!}}} \right)}}{{{s^4}}}\\ f\left( t \right) & = \frac{{17}}{{64}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{{209}}{{64}} - \frac{1}{{16}}t - \frac{1}{8}{t^2} - \frac{1}{6}{t^3}\end{align*}$$

$$\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s + 5} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{144}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{1}{{225}}}}{{s + 5}} - \frac{{\frac{1}{{400}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{20}}}}{{{s^2}}}\\ g\left( t \right) & = \frac{1}{{144}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{1}{{225}}{{\bf{e}}^{ - 5t}} - \frac{1}{{400}} - \frac{1}{{20}}t\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم جواب معادله دیفرانسیل را به‌صورت زیر بنویسیم که در آن، $$f(t)$$ و $$g(t)$$ مطابق روابط اخیر هستند:

$$Y\left( s \right) = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = f\left( t \right) + 3{u_6}\left( t \right)g\left( {t - 6} \right)$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۱

معادله دیفرانسیل $$yy^{\prime\prime} + {\left( {y’} \right)^2} =2x + 1$$ را حل کنید.

حل سوال ۳۱:‌ با در نظر گرفتن $$z = yy’$$، معادله دیفرانسیل زیر به‌دست می‌آید:

$${{\left( {yy’} \right)^\prime } = 2x + 1,\;\; }\Rightarrow{ z’ = 2x + 1.}$$

معادله اخیر را می‌توان به‌سادگی و با استفاده از جداسازی متغیرها حل کرد:

$${\frac{{dz}}{{dx}} = 2x + 1,\;\;}\Rightarrow
{dz = \left( {2x + 1} \right)dx,\;\;}\\ \Rightarrow
{\int {dz} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} ,\;\;}\Rightarrow
{z = {x^2} + x + {C_1}.}$$

با یادآوری تغییر متغیری که در نظر گرفتیم، تابع $$y(x)$$ به‌دست می‌آید:

$${yy’ = {x^2} + x + {C_1},\;\;}\\ \Rightarrow
{{\int {ydy} }={ \int {\left( {{x^2} + x + {C_1}} \right)dx} ,\;\;}}\\\Rightarrow
{{\frac{{{y^2}}}{2} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} }+{ {C_1}x + {C_2},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{3{y^2} = 2{x^3} + 3{x^2} }+{ {C_1}x + {C_2},}}$$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ثابت‌های اختیاری هستند.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۲

دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$${{x’_1} = 2{x_1} + 3{x_2},\;\;\;}\kern-0.3pt{{x’_2} = 4{x_1} – 2{x_2}.}$$

حل سوال ۳۲: ابتدا، از معادله نخست مشتق می‌گیریم، سپس $${x’_2}$$‌ را از معادله دوم در این معادله قرار می‌دهیم:

$${{x^{\prime\prime}_1} = 2{x’_1} + 3{x’_2},\;\;}\Rightarrow
{{x^{\prime\prime}_1} = 2{x’_1} + 3\left( {4{x_1} – 2{x_2}} \right),\;\;}\\
\Rightarrow
{{x^{\prime\prime}_1} = 2{x’_1} + 12{x_1} – 6{x_2}.}$$

مقدار $$3{x_2}$$ را از معادله اول در معادله فوق جایگذاری می‌کنیم:

$$3{x_2} = {x’_1} – 2{x_1}.$$

بنابراین، داریم:

$$\require{cancel}
{{{x^{\prime\prime}_1} = 2{x’_1} + 12{x_1} }-{ 2\left( {{x’_1} – 2{x_1}} \right),\;\;}}\\
\Rightarrow
{{{x^{\prime\prime}_1} = \cancel{2{x’_1}} + 12{x_1} }-{ \cancel{2{x’_1}} + 4{x_1},\;\;}}\\
\Rightarrow
{{x^{\prime\prime}_1} – 16{x_1} = 0.}$$

ریشه‌های معادله مشخصه به‌صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$${{\lambda ^2} – 16 = 0,\;\; }\Rightarrow{ {\lambda _{1,2}} = \pm 4.}$$

در نتیجه، حل معادله مرتبه دوم متغیر $$x_1$$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$${{x_1}\left( t \right) }={ {C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ – 4t}},}$$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ضرایبی اختیاری هستند.

اکنون باید $${x’_1}$$ را محاسبه کنیم و با کمک آن، $$x_2$$ را به‌دست آوریم:

$${{x’_1}\left( t \right) = 4{C_1}{e^{4t}} – 4{C_2}{e^{ – 4t}},\;\;}\\
\Rightarrow
{4{C_1}{e^{4t}} – 4{C_2}{e^{ – 4t}} }={ 2{C_1}{e^{4t}} + 2{C_2}{e^{ – 4t}} + 3{x_2},\;\;}\\
\Rightarrow
{3{x_2} = 2{C_1}{e^{4t}} – 6{C_2}{e^{ – 4t}},\;\;}\\
\Rightarrow
{{x_2} = \frac{2}{3}{C_1}{e^{4t}} – 2{C_2}{e^{ – 4t}}.}$$

برای آنکه ضرایب را از حالت کسری در بیاوریم، به‌جای $$C_1$$ از $$3C_1$$ استفاده می‌کنیم که البته تأثیری در پاسخ نخواهد داشت.

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1}\left( t \right) = 3{C_1}{e^{4t}} + {C_2}{e^{ – 4t}}\\
{x_2}\left( t \right) = 2{C_1}{e^{4t}} – 2{C_2}{e^{ – 4t}}
\end{array} \right..$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۳

جواب دستگاه معادلات زیر را با روش تغییر ثوابت به‌دست آورید.

$$  {\frac{{dx}}{{dt}} = 2x – y + {e^{2t}},\;\;}\kern-0.3pt
{{\frac{{dy}}{{dt}} = 6x – 3y }+{ {e^t} + 1.}} $$

حل:‌ این دستگاه معادلات ناهمگن است. قبل از هر چیز، جواب عمومی دستگاه همگن را محاسبه می‌کنیم. مقادیر ویژه ماتریس $$A$$ به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ {\det \left( {A – \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\\
6&{ – 3}
\end{array}} \right| = 0,\;\;}\Rightarrow
{\left( {2 – \lambda } \right)\left( { – 3 – \lambda } \right) + 6 = 0,\;\;} \\ \Rightarrow
{\left( {\lambda – 2} \right)\left( {\lambda + 3} \right) + 6 = 0,\;\;}\Rightarrow
{{\lambda ^2} – 2\lambda + 3\lambda – \cancel{6} + \cancel{6} = 0,\;\;} \\ \Rightarrow
{{\lambda ^2} + \lambda = 0,\;\;} \Rightarrow
{\lambda \left( {\lambda + 1} \right) = 0,\;\;}\Rightarrow
{{\lambda _1} = 0,\;{\lambda _2} = – 1.} $$

بردار ویژه $$ {\mathbf{V}_1} = {\left( {{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T} $$ متناظر با مقدار ویژه $$ {\lambda _1} = 0 $$ برابر است با:

$$ {\left( {A – {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\;\;}\Rightarrow
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\\
6&{ – 3}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right] = \mathbf{0},\;\;} \\ \Rightarrow
{2{V_{11}} – {V_{21}} = 0,\;\;}\Rightarrow
{{V_{11}} = t,}\;\;
{{V_{21}} = 2{V_{11}} = 2t,\;\;} \\ \Rightarrow
{{\mathbf{V}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right] }
= {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
{2t}
\end{array}} \right] }
= {t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2
\end{array}} \right] }
\sim {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2
\end{array}} \right].} $$

به طور مشابه، بردار ویژه $$ {\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T} $$ متناظر با مقدار ویژه $$ {\lambda _2} = -1 $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ {\left( {A – {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},\;\;}\Rightarrow
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ – 1}\\
6&{ – 2}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right] = \mathbf{0},\;\;} \\ \Rightarrow
{3{V_{12}} – {V_{22}} = 0,\;\;}\Rightarrow
{{V_{12}} = t,}\;\;
{{V_{22}} = 3{V_{12}} = 3t,\;\;} \\ \Rightarrow
{{\mathbf{V}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right] }
= {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
{3t}
\end{array}} \right] }
= {t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right] }
\sim {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right].} $$

بنابراین، جواب عمومی دستگاه معادلات همگن برابر است با

$$ {{\mathbf{X}_0}\left( t \right) }={ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0}\left( t \right)}\\
{{y_0}\left( t \right)}
\end{array}} \right] }
= {{C_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2
\end{array}} \right] + {C_2}{e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right]} $$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ اعداد ثابتی هستند.

اکنون دستگاه ناهمگن اصلی را در نظر گرفته و جواب آن را با استفاده از تغییر پارامترها به دست می‌آوریم. بدین منظور $$C_1$$ و $$C_2$$ را به ترتیب، با $$C_1(t)$$ و $$C_2(t)$$ جایگزین می‌کنیم؛ یعنی جواب را به فرم زیر می‌نویسیم:

$$  {\mathbf{X}\left( t \right) }={ {C_1}\left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2
\end{array}} \right] }+{ {C_2}\left( t \right){e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right]} $$

یا

$$ \left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){e^{ – t}}\\
y\left( t \right) = 2{C_1}\left( t \right) + 3{C_2}\left( t \right){e^{ – t}}
\end{array} \right.. $$

مشتق این توابع برابر است با:

$$  \left\{ \begin{array}{l}
{x’\left( t \right) }={ {C’_1} + {C’_2}{e^{ – t}} – {C_2}{e^{ – t}} }\\
{y’\left( t \right) }={ 2{C’_1} + 3{C’_2}{e^{ – t}} – 3{C_2}{e^{ – t}} }
\end{array} \right.. $$

در ادامه، عبارات بالا را در دستگاه ناهمگن قرار می‌دهیم:

$$ {\left\{ \begin{array}{l}
{{C’_1} + {C’_2}{e^{ – t}} – \cancel{{C_2}{e^{ – t}}} }={ \cancel{2{C_1}} + \cancel{2{C_2}{e^{ – t}}} }-{ \cancel{2{C_1}} – \cancel{3{C_2}{e^{ – t}}} }+{ {e^{2t}} }\\
{2{C’_1} + 3{C’_2}{e^{ – t}} – \cancel{3{C_2}{e^{ – t}}} }={ \cancel{6{C_1}} + \cancel{6{C_2}{e^{ – t}}} }-{ \cancel{6{C_1}} – \cancel{9{C_2}{e^{ – t}}} }+{ {e^t} + 1}
\end{array} \right.,\;\;} \\ \Rightarrow
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{C’_1} + {C’_2}{e^{ – t}} = {e^{2t}}}\\
{2{C’_1} + 3{C’_2}{e^{ – t}} = {e^t} + 1}
\end{array}} \right.} $$

اکنون دو معادله جبری برای $$ {C’_1} $$ و $$ {C’_2} $$ داریم. با حل این دستگاه معادلات، می‌توان توابع $$C_1(t)$$ و $$C_2(t)$$ را نیز به دست آورد.

$$  {\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{{e^{ – t}}}\\
2&{3{e^{ – 2t}}}
\end{array}} \right| }
= {3{e^{ – t}} – 2{e^{ – t}} = {e^{ – t}},} $$

$$  {{\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{2t}}}&{{e^{ – t}}}\\
{{e^t} + 1}&{3{e^{ – 2t}}}
\end{array}} \right| }
= {3{e^{2t}}{e^{ – t}} – {e^{ – t}}\left( {{e^t} + 1} \right) }
= {3{e^t} – {e^{ – t}} – 1,} $$

$$  {{\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{{e^{2t}}}\\
2&{{e^t} + 1}
\end{array}} \right| }
= {{e^t} – 2{e^{2t}} + 1,} $$

$$  \Rightarrow{ {C’_1} = \frac{{{\Delta _1}}}{\Delta } }={ \frac{{3{e^t} – {e^{ – t}} – 1}}{{{e^{ – t}}}} }
= {3{e^{2t}} + {e^t} – 1,} $$

$$  \Rightarrow{ {C’_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta } }={ \frac{{{e^t} – 2{e^{2t}} + 1}}{{{e^{ – t}}}} }
= {{e^{2t}} – 2{e^{3t}} + {e^t}.} $$

با انتگرال‌گیری، عبارات مورد نظر محاسبه می‌شود:‌

$$  {{C_1}\left( t \right) }={ \int {\left( {3{e^{2t}} + {e^t} – 1} \right)dt} }
= {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} – t + {A_1},} $$

$$  {{C_2}\left( t \right) }={ \int {\left( {{e^{2t}} – 2{e^{3t}} + {e^t}} \right)dt} }
= {\frac{1}{2}{e^{2t}} – \frac{2}{3}{e^{3t}} + {e^t} + {A_2}.} $$

در نتیجه، توابع $$x(t) $$ و $$y(t)$$ به فرم زیر خواهند بود:‌

$$ {x\left( t \right) = {C_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){e^{ – t}} } \\
= {{\left( {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} – t + {A_1}} \right) }
+ {\left( {\frac{1}{2}{e^{2t}} – \frac{2}{3}{e^{3t}} }\right.}+{\left.{ {e^t} + {A_2}} \right){e^{ – t}} }} \\
= {{A_1} + {A_2}{e^{ – t}} + \frac{5}{9}{e^{2t}} }
+ {\frac{3}{2}{e^t} – t + 1} $$

و

$$ {y\left( t \right) = 2{C_1}\left( t \right) + 3{C_2}\left( t \right){e^{ – t}} } \\
= {{2\left( {\frac{3}{2}{e^{2t}} + {e^t} – t + {A_1}} \right) }
+ {3\left( {\frac{1}{2}{e^{2t}} – \frac{2}{3}{e^{3t}} }\right.}+{\left.{ {e^t} + {A_2}} \right){e^{ – t}} }} \\
= {2{A_1} + 3{A_2}{e^{ – t}} + {e^{2t}} }
+ {\frac{7}{2}{e^t} – 2t + 3.} $$

جواب نهایی را می‌توان به صورت زیر نوشت:‌

$$  {\mathbf{X}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x\left( t \right)}\\
{y\left( t \right)}
\end{array}} \right] }
= {{A_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2
\end{array}} \right] }+{ {A_2}{e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right] }
+ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{5}{9}{e^{2t}} + \frac{3}{2}{e^t} – t + 1}\\
{{e^{2t}} + \frac{7}{2}{e^t} – 2t + 3}
\end{array}} \right].} $$

دانش آموزان در حال راه رفتن در کوچه (تصویر تزئینی مطلب نمونه سوال معادلات دیفرانسیل)

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۴

جواب معادله زیر را به‌دست آورید.

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{30 - 5t}},\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = - 3\,\,\,y'\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,y''\left( 0 \right) = 4$$

حل سوال ۳۴: ابتدا باید بررسی کنیم جابه‌جایی زمانی تابع پله $$u(t)$$ صحیح باشد:

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{ - 5\left( {t - 6} \right)}}$$

می‌بینیم که جابه‌جایی $${{\bf{e}}^{ - 5t}}$$ به‌درستی انجام شده است. اکنون باید از معادله تبدیل لاپلاس بگیریم. همان‌طور که می‌دانیم، تبدیل لاپلاس معادله مرتبه سوم به صورت زیر است:

$$\mathcal{L}\left\{ {y'''} \right\} = {s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right)$$

بنابراین، داریم:

$$\begin{align*}{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right) - 4\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) + 3{s^2} - 13s & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} - 3{s^2} + 13s + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s +
5} \right)}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\end{align*}$$

اکنون تبدیل لاپلاس جواب مورد نظر را در اختیار داریم. برای به‌دست آوردن جواب، باید $$F(s)$$ و $$G(s)$$ را به کسرهای جزئی تجزیه کرده و عکس تبدیل لاپلاس آن‌ها را محاسبه کنیم:

$$\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} = \frac{{\frac{{17}}{{64}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{{209}}{{64}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{16}}}}{{{s^2}}} - \frac{{\frac{1}{4}\left( {\frac{{2!}}{{2!}}} \right)}}{{{s^3}}} - \frac{{1\left( {\frac{{3!}}{{3!}}} \right)}}{{{s^4}}}\\ f\left( t \right) & = \frac{{17}}{{64}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{{209}}{{64}} - \frac{1}{{16}}t - \frac{1}{8}{t^2} - \frac{1}{6}{t^3}\end{align*}$$

$$\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s + 5} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{144}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{1}{{225}}}}{{s + 5}} - \frac{{\frac{1}{{400}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{20}}}}{{{s^2}}}\\ g\left( t \right) & = \frac{1}{{144}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{1}{{225}}{{\bf{e}}^{ - 5t}} - \frac{1}{{400}} - \frac{1}{{20}}t\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم جواب معادله دیفرانسیل را به‌صورت زیر بنویسیم که در آن، $$f(t)$$ و $$g(t)$$ مطابق روابط اخیر هستند:

$$Y\left( s \right) = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = f\left( t \right) + 3{u_6}\left( t \right)g\left( {t - 6} \right)$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۵

جواب عمومی معادله بسل زیر را محاسبه کنید.

$${x^2}y^{\prime\prime} + 2xy’+ \left( {{x^2} – 1} \right)y= 0.$$

حل سوال ۳۵: از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:

$${y = {x^{ \frac{{1 – 2}}{2}\normalsize}}z = {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z,\;\;}\\
\Rightarrow
{ y’ = – \frac{1}{2}{x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z + {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z’,\;\;}\\
\Rightarrow
{y^{\prime\prime} = \frac{3}{4}{x^{ – \frac{5}{2}\normalsize}}z
– \frac{1}{2}{x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z’ – \frac{1}{2}{x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z’ }+{ {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z^{\prime\prime} } \\
= {\frac{3}{4}{x^{ – \frac{5}{2}\normalsize}}z – {x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z’ }+{ {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z^{\prime\prime}.}$$

با قرار دادن عبارت بالا در معادله، خواهیم داشت:

$${x^2}y^{\prime\prime} + 2xy’ + \left( {{x^2} – 1} \right)y = 0,\;\Rightarrow \\
{{x^2}\left( {\frac{3}{4}{x^{ – \frac{5}{2}\normalsize}}z – {x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z’ }+{ {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z^{\prime\prime}} \right) }
+ {2x\left( { – \frac{1}{2}{x^{ – \frac{3}{2}\normalsize}}z }+{ {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z’} \right) } + {\left( {{x^2} – 1} \right){x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z = 0,} \\
{\Rightarrow \color{blue}{\frac{3}{4}{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z} }
– {\color{red}{{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z’} + {x^{ \frac{3}{2}\normalsize}}z^{\prime\prime} }
– {\color{blue}{{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z} + \color{red}{2{x^{ \frac{1}{2}\normalsize}}z’} }
+ {\color{blue}{{x^{ \frac{3}{2}\normalsize}}z} – \color{blue}{{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z} = 0,} \\
\Rightarrow {{x^{ \frac{3}{2}\normalsize}}z^{\prime\prime} + \color{red}{{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z’} }+{\color{blue}{\left( { – \frac{5}{4}{x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}} + {x^{ \frac{3}{2}\normalsize}}} \right)z} }={ 0}, \\
\Rightarrow {{x^2}z^{\prime\prime} + xz’ }+{ \left( {{x^2} – \frac{5}{4}} \right)z }={ 0.}$$

در نتیجه، داریم:

$${{n^2} = {v^2} + \frac{1}{4}{\left( {a – 1} \right)^2} }
= {1 + \frac{1}{4}{\left( {2 – 1} \right)^2} }
= {1 + \frac{1}{4} }
= {\frac{5}{4}.}$$

بنابراین، جواب عمومی تابع $$z\left( x \right)$$ را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:

$${y\left( x \right) = {x^{ – \frac{1}{2}\normalsize}}z\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\sqrt x }}\left[ {{C_1}{J_{ \frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize}}\left( x \right) }\right.}+{\left.{ {C_2}{Y_{ \frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize}}\left( x \right)} \right],}$$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ثابت‌های اختیاری هستند.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳۶

جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را برای $$\left| x \right| \lt 1$$ به‌دست آورید.

$$\left( {1 – {x^2}} \right)y^{\prime\prime} – xy’ + 4y=0$$

حل سوال ۳۶: این معادله یک معادله چبیشف و پارامتر چبیشف آن، $$n = 2$$ است. در نتیجه،، می‌توان جواب عمومی را به‌صورت زیر بیان کرد:

$${y\left( x \right) }={ {C_1}\cos \left( {2\arccos x} \right) }+{ {C_2}\sin\left( {2\arccos x} \right)}$$

که در آن، $$C_1$$ و $$C_2$$ ثابت‌هایی اختیاری هستند.

جواب را با چندجمله‌ای چبیشف نوع اول قابل بیان است. از آنجا که:

$${\cos \left( {2\arccos x} \right) = {T_2}\left( x \right) }={ 2{x^2} – 1}$$

جواب نهایی به‌شکل زیر خواهد بود:

$${y\left( x \right) }={ {C_1}\cos \left( {2\arccos x} \right) }+{ {C_2}\sqrt {1 – {\cos^2}\left( {2\arccos x} \right)} } \\
= {{C_1}{T_2}\left( x \right) + {C_2}\sqrt {1 – T_2^2\left( x \right)} } \\
= {{{C_1}\left( {2{x^2} – 1} \right) }+{ {C_2}\sqrt {1 – {{\left( {2{x^2} – 1} \right)}^2}} }} \\
= {{{C_1}\left( {2{x^2} – 1} \right) }+{ 2{C_2}x\sqrt {1 – {x^2}} .}}$$

جمع‌بندی نمونه سوال معادلات دیفرانسیل

در این آموزش، با تعدادی نمونه سوال معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. برای تسلط بیشتر بر حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ، می‌توانید مجموعه آموزش‌های فرادرس را تهیه کنید که در آن‌ها، نمونه سوال معادلات دیفرانسیل کنکور کارشناسی ارشد نیز حل شده است.

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۲ دیدگاه برای «نمونه سوال معادلات دیفرانسیل + جواب و راه حل»

با سلام
احتراماً به استحضار میرساند که طی مطالعه معادلات دیفرانسل و تمارین مربوطه متاسفانه در سیستم تمام فرمول های مربوطه و صورت سوال دارای خطا Math Processing Error نمایش می دهد. لطفا جهت مطالعه متن، راهنمایی لازم جهت رفع خطا Error را بازگو نمایید.
با تشکر از پیگیری و راهنمایی شما

با سلام؛

این مورد پیگیری و اصلاح شد.

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *