مشتق گیری عددی — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم. در این آموزش، فرمول‌های مشتق گیری عددی را معرفی می‌کنیم. این فرمول‌ها، تفاضل رو به جلو، تفاضل رو به عقب و تفاضل مرکزی هستند. پیاده‌سازی این فرمول‌ها در پایتون نیز ارائه شده است.

تعریف مشتق

مشتق تابع $$ f (x ) $$ در نقطه $$ x = a $$ با حد زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large f ^ \prime ( a ) = \lim _ { h \to 0 } \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } $$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک

اینجا کلیک کنید

فرمول‌های تفاضل

سه فرمول اصلی برای مشتق‌گیری تقریبی عددی وجود دارد:

۱) فرمول تفاضل رو به جلو (Forward Difference Formula) با اندازه گام $$h $$:

$$ \large f ^ \prime ( a ) \approx \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } $$

۲) فرمول تفاضل رو به عقب (Backward Difference Formula) با اندازه گام $$h $$:

$$ \large f ^ \prime ( a ) \approx \frac { f ( a ) - f ( a - h ) } { h } $$

۳) فرمول تفاضل مرکزی (Central Difference Formula) با اندازه گام $$h$$، میانگین فرمول‌های تفاضل رو به جلو و تفاضل رو به عقب است:

$$ \large \begin {align*}
f ^ \prime ( a ) & \approx \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } + \frac { f ( a ) - f ( a - h ) } { h } \right ) \\ & = \frac { f ( a + h ) - f ( a - h ) } { 2 h }
\end {align*} $$

پیاده‌سازی مشتق گیری عددی در پایتون

ابتدا کتابخانه‌های لازم را فراخوانی می‌کنیم:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
            

                
                    

                        

                            
                        
                        

                            

                                فیلم آموزش برنامه نویسی پایتون Python – تکمیلی – بخش یکم                            
                        
                        

                            
اینجا کلیک کنید
                        
                    
                
            
        

برای پیاده‌سازی فرمول‌های مشتق‌‌گیری عددی در پایتون، تابعی به نام derivative را می‌نویسیم که ورودی‌های آن method ،a ،f و h هستند (با مقادیر پیش‌فرض 'method='central و h=0.01). خروجی تابع مورد نظر، متناظر با خروجی فرمول تفاضل برای $$ f'(a) $$ با اندازه گام $$h$$ است.

def derivative(f,a,method='central',h=0.01):
    '''Compute the difference formula for f'(a) with step size h.

    Parameters
    ----------
    f : function
        Vectorized function of one variable
    a : number
        Compute derivative at x = a
    method : string
        Difference formula: 'forward', 'backward' or 'central'
    h : number
        Step size in difference formula

    Returns
    -------
    float
        Difference formula:
            central: f(a+h) - f(a-h))/2h
            forward: f(a+h) - f(a))/h
            backward: f(a) - f(a-h))/h            
    '''
    if method == 'central':
        return (f(a + h) - f(a - h))/(2*h)
    elif method == 'forward':
        return (f(a + h) - f(a))/h
    elif method == 'backward':
        return (f(a) - f(a - h))/h
    else:
        raise ValueError("Method must be 'central', 'forward' or 'backward'.")

برنامه بالا را برای چند تابع ساده بررسی می‌کنیم. به عنوان مثال، برای تابع کسینوس، داریم:

$$ \large \left . \frac { d } { d x } \left ( \cos x \right ) \, \right | _ { x = 0 } = - \sin ( 0 ) = 0 $$

اگر از تابع پایتون زیر نیز استفاده کنیم، خروجی صفر را خواهد داد:

derivative(np.cos,0)

خروجی:

0.0

برای روش رو به جلو نیز داریم:

derivative(np.cos,0,method='forward',h=1e-8)

خروجی:

0.0

به عنوان مثالی دیگر، برای تابع نمایی نیز می‌دانیم:

$$ \large \left . \frac { d } { d x } \left ( e ^ x \right) \, \right | _ { x = 0 } = e ^ 0 = 1 $$

با استفاده از تابع پایتون نیز داریم:‌

derivative(np.exp,0,h=0.0001)

خروجی:

1.0000000016668897

اگر بخواهیم از روش رو به عقب استفاده کنیم، دستور زیر را می‌نویسیم:

derivative(np.exp,0,method='backward',h=0.0001)

خروجی:

0.9999500016666385

تابعی که نوشتیم، آرایه‌ای از ورودی‌ها را برای $$ a $$ می‌گیرد و مقدار مشتق را برای آن مقدار $$a $$ محاسبه و به عنوان خروجی ارائه می‌کند. برای مثال، مشتق $$ \sin (x) $$ را می‌توانیم به صورت زیر رسم کنیم:

x = np.linspace(0,5*np.pi,100)
dydx = derivative(np.sin,x)

dYdx = np.cos(x)

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.plot(x,dydx,'r.',label='Central Difference')
plt.plot(x,dYdx,'b',label='True Value')

plt.title('Central Difference Derivative of y = cos(x)')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

اکنون می‌خواهیم مشتق تابع نسبتاً پیچیده زیر را محاسبه و رسم کنیم:‌

$$ \large y = \left ( \frac { 4 x ^ 2 + 2 x + 1 } { x + 2 e ^ x } \right ) ^ x $$

x = np.linspace(0,6,100)
f = lambda x: ((4*x**2 + 2*x + 1)/(x + 2*np.exp(x)))**x
y = f(x)
dydx = derivative(f,x)

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.plot(x,y,label='y=f(x)')
plt.plot(x,dydx,label="Central Difference y=f'(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.show()

فرمول‌های خطا

پرسشی که هنگام تقریب زدن پیش می‌آید، این است که دقت مناسب فرمول‌های تفاضل رو به جلو، رو به عقب و مرکزی چقدر است؟ به همین دلیل، فرمول‌های خطا را با استفاده از سری تیلور پیدا می‌کنیم.

فیلم آموزش محاسبات عددی در پایتون Python

اینجا کلیک کنید

قضیه

چندجمله‌ای تیلور مرتبه $$n$$ تابع $$ f (x ) $$ در $$ x = a $$ با جمله باقیمانده به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
f ( x ) & = f ( a ) + f ^ \prime ( a ) ( x - a ) + \frac { f ^ {\prime \prime } ( a ) } { 2 } ( x - a ) ^ 2 \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + \cdots + \frac { f ^ { ( n ) } ( a ) } { n ! } ( x - a ) ^ n + \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( c ) } { ( n + 1 ) ! } ( x - a ) ^ { n + 1 }
\end {align*} $$

که در آن، $$c $$ مقداری بین $$ x $$ و $$ a $$ است.

قضیه

خطای فرمول تفاضل رو به جلو برابر است با:

$$ \large \left | \, \frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } - f ^ \prime ( a ) \, \right | \leq \frac { h K _ 2 } { 2 } $$

که در آن، برای همه $$ x \in [a,a+h] $$ رابطه $$ \left| \, f ^ {\prime \prime }(x) \, \right| \leq K_2 $$ برقرار است. فرمول خطای مشابهی برای روش تفاضل رو به عقب برقرار است.

اثبات: فرمول تیلور مرتبه اول را در نظر بگیرید:

$$ \large f ( x ) = f ( a ) + f ^ \prime ( a ) ( x - a ) + \frac { f ^ { \prime \prime } ( c ) } { 2 } ( x - a ) ^ { 2 } $$

با فرض $$ x = a+h $$ و جایگذاری آن در فرمول بالا، داریم:

$$ \large \begin {align}
f ( a + h ) & = f ( a ) + f ^ \prime ( a ) h + \frac { f ^ { \prime \prime } ( c ) } { 2 } h ^ { 2 } \\
f ( a + h ) - f ( a ) & = f ^ \prime ( a ) h + \frac { f ^ {\prime \prime } ( c ) } { 2 } h ^ { 2 } \\
\frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } & = f ^ \prime ( a ) + \frac { f ^ {\prime \prime } ( c ) } { 2 } h \\
\frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } - f ^ \prime ( a ) & = \frac { f ^ { \prime \prime } ( c ) } { 2 } h \\
\end{align} $$

$$ K_2 $$ را به گونه‌ای در نظر بگیرید که برای همه $$ x \in [a,a+h] $$، رابطه $$ | f ^ { \prime \prime  } ( x ) | \leq K _ 2 $$ برقرار باشد.

قضیه

خطای فرمول تفاضل مرکزی، برابر است با:

$$ \large \left | \frac { f ( a + h ) - f ( a - h ) } { 2 h } - f' ( a ) \right | \leq \frac { h ^ 2 K _ 3 } { 6 } $$

که در آن، برای همه $$ x \in [a-h,a+h] $$، رابطه $$ | f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) | \leq K _ 3 $$ برقرار است.

اثبات: چندجمله‌ای مرتبه دوم تیلور را در نظر بگیرید:

$$ \large f ( x ) = f ( a ) + f' ( a ) ( x - a ) + \frac { f ^ { \prime \prime } ( a ) } { 2 } ( x - a ) ^ 2 + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } ( c ) } { 6 } ( x - a ) ^ { 3 } $$

تساوی‌های $$ x = a + h $$ و $$ x = a - h $$ را در نظر بگیرید. روابط زیر را داریم:

$$ \large \begin {align}
f ( a + h ) & = f ( a ) + f ^ \prime ( a ) h + \frac { f ^ {\prime \prime } ( a ) } { 2 } h ^ 2 + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 1 ) } { 6 } h ^ { 3 } \\
f ( a - h ) & = f ( a ) - f ^ \prime ( a ) h + \frac { f ^ {\prime \prime } ( a ) } { 2 } h ^ 2 - \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 2 ) } { 6 } h ^ { 3 } \\
f ( a + h ) - f ( a - h ) & = 2 f ^ \prime ( a ) h + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 1 ) } { 6 } h ^ { 3 } + \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 2 ) } { 6 } h ^ { 3 } \\
\frac { f ( a + h ) - f ( a - h ) } { 2 h } - f ^ \prime ( a) & = \frac { f ^ {\prime \prime \prime } ( c _ 1 ) + f ^ {\prime \prime \prime } ( c _ 2 ) } { 1 2 } h ^ { 2 } \\
\end{align} $$

توجه کنید که $$ f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) $$ پیوسته است (طبق فرض) و $$ ( f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 1 ) + f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 2 ) ) / 2 $$ بین $$ f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 1 ) $$ و $$ f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 2 ) $$ قرار دارد. بنابراین، طبق قضیه مقدار میانی، یک $$ c $$ بین $$ c _ 1 $$ و $$ c _ 2$$ به گونه‌ای وجود دارد که رابطه زیر برقرار باشد:

$$ \large f ^ { \prime \prime \prime } ( c ) = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 1 ) + f ^ { \prime \prime \prime } ( c _ 2 ) } { 2 } $$

$$K_3$$ به گونه‌ای است که برای همه $$ x \in [a-h,a+h] $$ رابطه $$ \left | \, f ^ { \prime \prime \prime } ( x ) \, \right | \leq K _ 3 $$ برقرار باشد.

مثال‌

در این مثال می‌خواهیم چندجمله‌ای تیلور مرتبه سوم $$ T_3(x) $$ تابع $$ f(x) = \frac{3e^x}{x^2 + x + 1} $$ را با مرکز $$ x = 0 $$ و در بازه $$ x \in [-3,3] $$ رسم کنیم. ابتدا نمودار $$ y = f (x ) $$ را رسم می‌کنیم:

x = np.linspace(-3,3,100)
f = lambda x: 3*np.exp(x) / (x**2 + x + 1)
y = f(x)
plt.plot(x,y);
plt.show()

اکنون ضرایب $$ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} $$ را برای $$ n=0,1,2,3 $$ محاسبه می‌کنیم:

a0 = f(0)
a1 = derivative(f,0,dx=0.001,n=1)
a2 = derivative(f,0,dx=0.001,n=2) / 2
a3 = derivative(f,0,dx=0.001,n=3,order=5) / 6
# The parameter order specifies the number of points to use
# The value order must be odd and at least n + 1

print(a0,a1,a2,a3)

خروجی:

3.0 1.99999838912e-06 -1.50000037502 1.99999209786

در نهایت، $$ f (x ) $$ و $$ T_3 (x ) $$ را با هم در یک شکل رسم می‌کنیم:

T3 = a0 + a1*x + a2*x**2 + a3*x**3
plt.plot(x,y,x,T3), plt.xlim([-3,3]), plt.ylim([0,5]);
plt.show()

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد
• مشتق زنجیره ای — به زبان ساده
• مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد

^^