رتبه ماتریس – به زبان ساده

در جبر خطی، رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با بعد فضای برداری تولید شده (یا اسپن شده) توسط ستون‌های آن است. این «رتبه» (Rank) متناظر با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی $$ A $$ است. بنابراین، رتبه سنجه‌ای از «ناتباهیدگی» (Nondegenerateness) دستگاه معادلات خطی و تبدیل خطی است که با $$A$$ رمزگذاری شده است. تعاریف معادل متعددی برای رتبه $$ A $$ وجود دارد که در ادامه آن‌ها را  بررسی می‌کنیم. رتبه ماتریس یک از اساسی‌ترین مشخصات آن است.

رتبه معمولاً با $$ \mathrm { rank} ( A ) $$ یا $$ \mathrm { r k } ( A) $$ یا $$ \rho ( A) $$ نمایش داده می‌شود. گاهی نیز بدون پرانتز و به صورت $$ \mathrm { rank}\, A $$ نوشته می‌شود.

رتبه ماتریس چیست؟

رتبه ستونی ماتریس $$ A $$ بعد فضای ستونی $$ A $$ است، در حالی که رتبه سطری $$ A $$ بعد فضای سطری آن است.

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

یک نتیجه اساسی در جبر خطی این است که رتبه ستونی و رتبه سطری همیشه با هم برابر هستند. این عدد (یعنی تعداد سطرها یا ستون‌های مستقل خطی) رتبه $$ A$$ نامیده می‌شود.

ماتریسی را رتبه کامل (Full Rank) می‌گوییم که رتبه آن برابر با حداکثر مقدار ممکن برای ماتریسی با آن ابعاد باشد، که کمتر از تعداد سطرها و ستون‌ها است. یک ماتریس را دارای کمبود رتبه (Rank Deficient) می‌نامیم، اگر رتبه آن کامل نباشد.

رتبه، همچنین بعد تصویر تبدیل خطی است که با ضرب در $$ A $$ به دست می‌آید. به طور عمومی‌تر، اگر یک عملگر یا همان اپراتور خطی روی فضای برداری (شاید با بعد بی‌نهایت) تصویری با بعد متناهی داشته باشد (یعنی اپراتور با رتبه محدود)، آنگاه رتبه اپراتور به عنوان بعد تصویر تعریف می‌شود.

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$ \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 3 & 1 \\ 3 & 3 & 0 \end {bmatrix} $$

رتبه این ماتریس ۲ است. دو ستون اول این ماترس مستقل خطی هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس، حداقل ۲ است، اما از آنجا که ستون سوم یک ترکیب خطی از دو ستون اول است (دومی منهای اولی)، سه بردار وابسته خطی هستند و به همین دلیل، رتبه ماتریس کمتر از ۳ است.

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$ A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ - 1 & - 1 & 0 & - 2 \end {bmatrix} $$

رتبه این ماتریس ۱ است. ستون‌ها غیرصفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس مثبت است، اما هر جفت ستون وابسته خطی هستند.

به طور مشابه، ترانهاده این ماتریس را در نظر بگیرید:

$$ A ^ { \mathrm T } = \begin {bmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 2 & - 2 \end {bmatrix} $$

رتبه این ماتریس نیز ۱ است.

در واقع، از آنجا که بردارهای ستونی $$ A$$ بردارهای سطری ترانهاده $$ A $$ هستند، رتبه ستونی یک ماتریس برابر با رتبه سطری ترانهاده آن است، یعنی $$ \mathrm {rank }( A) = \mathrm {rank} ( A ^ \mathrm {T}) $$.

محاسبه رتبه ماتریس

در این بخش، روش‌های محاسبه رتبه ماتریس را ارائه خواهیم کرد.

محاسبه رتبه ماتریس $$\Large 2 \times 2 $$

رتبه یک ماتریس $$A$$ با ابعاد $$ 2 \times 2 $$ را می‌توان به صورت زیر تعیین کرد:

• رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۲ است، اگر دترمینان آن مخالف صفر باشد.
• رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۱ است، اگر دترمینان آن صفر باشد و $$ A \neq 0 $$
• رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۰ است، اگر دترمینان آن صفر باشد و $$ A = 0 $$

محاسبه رتبه ماتریس با استفاده از روش حذفی گاوس

یک روش رایج برای پیدا کردن رتبه یک ماتریس، کاهش آن به یک فرم ساده‌تر، معمولاً فرم سطری پلکانی با استفاده از عملیات سطری مقدماتی است. عملیات سطری فضای سطری را تغییر نمی‌دهد (بنابراین، رتبه ماتریس تغییری نمی‌کند) و وارون‌پذیر است، بدین معنا که وقتی سطر به فرم پلکانی در آید، رتبه سطری و ستونی با هم برابر خواهند بود و برابر با تعداد لولاها (یا ستون‌های پایه‌ای) و همچنین تعداد سطرهای غیرصفر است.

مثال ۱

برای مثال، فرض کنید ماتریس $$ A $$ به صورت زیر باشد:

$$ A = \begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ - 2 & - 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end {bmatrix} $$

با استفاده از عملیات سطری مقدماتی می‌توان این ماتریس را به فرم سطری پلکانی کاهش یافته در آورد:

$$ \begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ - 2 & - 3 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end {bmatrix} R _ 2 \rightarrow 2 r _ 1 + r _ 2 \begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \end {bmatrix} R _ 3 \rightarrow - 3 r _ 1 + r _ 3 \begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & - 1 & - 3 \end {bmatrix} \\ R _ 3 \rightarrow r _ 2 + r _ 3 \begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} R _ 1 \rightarrow - 2 r _ 2 + r _ 1 \begin {bmatrix}1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} $$

ماتریس نهایی (به فرم سطری کاهش یافته) دارای دو سطر غیرصفر است و بنابراین، رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۲ است.

مثال ۲

رتبه ماتریس زیر را به دست آورید.

$$ A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 2 & 1
\end {bmatrix} $$

حل: با استفاده از عملیات سطری مقدماتی، داریم:

$$ A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 2 & 1
\end {bmatrix} \to
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 2 \\
0 & 0 & -2 & -1
\end {bmatrix} $$

از انجا که فرم کاهش یافته دارای لولا در سه ستون اول است، رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۳ است. سه ستون اول مستقل خطی هستند.

محاسبه رتبه ماتریس با استفاده از دترمینان

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$ m \times n $$ باشد. یک کهاد از $$ A $$ با اندازه $$ k $$ دترمینان یک زیرماتریس $$ k \times k $$ از ماتریس $$ A $$ است. بدین ترتیب، رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با بیشینه مرتبه یک کهاد غیرصفر از ماتریس $$ A $$ است. به عبارت دیگر، اگر کهاد مرتبه $$k$$ یک ماتریس غیرصفر باشد، آنگاه ستون‌های متناظر با $$ A $$ مستقل خطی خواهند بود.

برای محاسبه رتبه ماتریس با اسن روش، کهادهای مرتبه $$k$$ بیشینه ماتریس $$ A $$ را با حذف $$ m - k $$ و $$ n - k $$ ستون به دست می‌آوریم. اگر یک کهاد غیرصفر وجود داشته باشد، مرتبه ماتریس $$ k $$ خواهد بود. در غیر این صورت، عملیات را برای $$ k - 1 $$ تکرار می‌کنیم و این کار را تا جایی ادامه می‌دهیم که یک کهاد غیرصفر به دست آید. اگر همه کهادهای مرتبه یک $$ A $$ (یعنی درایه‌های آن) صفر باشند، آنگاه رتبه این ماتریس صفر است.

مثال ۳

رتبه ماتریس زیر را محاسبه کنید.

$$ A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 2 & 1
\end {bmatrix} $$

حل: ابتدا کهادهای مرتبه ۳ ماتریس را می‌یابیم. اگر این کار را انجام دهیم، در می‌یابیم که حداقل یک کهاد غیرصفر مرتبه ۳ وجود دارد. بنابراین، رتبه این ماتریس ۳ است.

ویژگی‌های رتبه ماتریس

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$ m \times n $$ باشد و تصویر خطی $$ f ( \mathbf { x } ) = A \mathbf { x } $$ را تعریف می‌کنیم.

فیلم آموزش ماتریس ها و جبر خطی – حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

• رتبه یک ماتریس $$ m \times n $$ یک عدد صحیح نامنفی است و نمی‌تواند بزرگ‌تر از $$ m $$ یا $$ n $$ باشد. به عبارت دیگر، می‌توان نوشت:

$$ \mathrm { rank } ( A ) \le \min ( m , n ) $$

• ماتریسی که رتبه آن برابر با $$ \min ( m , n ) $$ باشد، یک ماتریس با «رتبه کامل» (Full Rank) نامیده می‌شود. در غیر این صورت رتبه ماتریس «کمبود رتبه» (Rank Deficient) دارد.
• تنها رتبه ماتریس صفر برابر با صفر است.
• $$ f $$ یک به یک است اگر و تنها اگر رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با $$ n $$ باشد (در این حالت، می‌گوییم $$ A $$ دارای رتبه ستونی کامل است).
• $$ f $$ پوشا است اگر و تنها اگر رتبه $$ A $$ برابر با $$ m $$ باشد (در این حالت می‌گوییم $$ A $$ دارای رتبه سطری کامل است).
• اگر $$ A $$ یک ماتریس مربعی باشد، یعنی $$ m = n $$، آنگاه $$ A$$ وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر رتبه آن $$ n$$ باشد. در این صورت رتبه $$ A $$ کامل است.
• اگر $$ A $$ یک ماتریس مربعی باشد، آنگاه وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر دترمینان آن غیرصفر باشد.
• اگر $$ B $$ یک ماتریس دلخواه $$ n \times k $$ باشد، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( A B ) \leq \min ( \operatorname {rank}( A ) , \operatorname {rank} ( B ) ) . $$

• اگر $$ B $$ یک ماتریس $$ n \times k $$ با رتبه $$ n $$ باشد، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( A B ) = \operatorname {rank} ( A ) . $$

• اگر $$ C $$ یک ماتریس $$ I \times m $$ با مرتبه $$ m $$ باشد، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( C A ) = \operatorname {rank} ( A ) . $$

• رتبه $$ A $$ برابر با $$ r $$ است اگر و تنها اگر یک ماتریس وارون‌پذیر $$X$$ با اندازه $$ m \times m $$ و یک ماتریس وارون‌پذیر $$ Y$$ با اندازه $$ n \times n $$ وجود داشته باشد به گونه‌ای که ($$ I _ r $$ یک ماتریس همانی $$ r \times r $$ است):

$$ X A Y =
\begin {bmatrix}
I _ r & 0 \\
0 & 0 \\
\end {bmatrix} $$

• نامساوی رتبه سیلوستر (Sylvester’s Rank Inequality): اگر $$ A $$ یک ماتریس $$ m \times n $$ و $$ B $$ یک ماتریس $$ n \times k $$ باشد، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( A ) + \operatorname {rank} ( B ) - n \leq \operatorname {rank} ( A B ) . $$

• نامساوی گرفته شده از فروبنیوس: اگر $$ AB$$، $$ ABC $$ و $$ B C $$ تعریف شده باشند، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( A B ) + \operatorname {rank} ( B C ) \le \operatorname {rank} ( B ) + \operatorname {rank} ( A B C ) . $$

• زیرجمعی ($$ A $$ و $$ B $$ ابعاد مشابهی دارند):

$$ \operatorname {rank} ( A + B ) \le \operatorname {rank} ( A ) + \operatorname {rank} ( B ) $$

در نتیجه، یک ماتریس با مرتبه $$ k$$ را می‌توان به عنوان مجموع $$ k$$ ماتریس با رتبه ۱ (نه کمتر) نوشت.

• رتبه یک ماتریس به علاوه پوچی آن برابر است با تعداد ستون‌های ماتریس (قضیه رتبه-پوچی).
• اگر $$ A $$ یک ماتریس در فضای اعداد حقیقی باشد، آنگه رتبه $$ A $$ و رتبه ماتریس گرامیان آن برابر هستند. بنابراین، برای ماتریس‌های حقیقی، داریم:

$$ \operatorname {rank} ( A ^ \mathrm { T } A ) = \operatorname {rank} ( A A ^ \mathrm { T } ) = \operatorname {rank} ( A ) = \operatorname {rank} ( A ^ \mathrm { T } ) . $$

• اگر $$ A $$ یک ماتریس در فضای مختلط باشد و $$ \overline { A } $$ مزدوج مختلط $$ A $$ و $$ A ^ * $$ ترانهاده مزدوج $$ A $$ باشد، آنگاه:

$$ \operatorname {rank} ( A ) = \operatorname {rank}( \overline { A } ) = \operatorname {rank} ( A ^ \mathrm { T } ) = \operatorname {rank} ( A ^ * ) = \operatorname {rank} ( A ^ * A ) = \operatorname {rank} ( A A ^ * ) . $$

محاسبه رتبه ماتریس در متلب

برای محاسبه رتبه ماتریس در متلب، دستور آماده rank وجود دارد.

برای مثال، فرض کنید ماتریس زیر را در متلب تعریف کرد‌ایم:

1A = [3 2 4; -1 1 2; 9 5 10]

این ماتریس به صوت زیر است:

A = 3×3

     3     2     4
    -1     1     2
     9     5    10

حال رتبه آن را این‌گونه محاسبه می‌کنیم:

1rank(A)

که منجر به نتیجه زیر می‌شود:

ans = 2