شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به معادلات دیفرانسیل را توضیح دادیم. اگر مطالب مذکور را مطالعه کرده باشید، متوجه خواهید شد که در پاسخ‌ها ضرایب ثابتی نیز وجود دارند. این ضرایب ثابت با توجه به مقادیر تابع در مرز یا مقادیر تابع در شرایط اولیه بدست می‌آیند. از این رو در این مطلب قصد داریم تا مسئله مقدار مرزی یا اصطلاحا شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل را توضیح دهیم.

مقدمه

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، معمولا پاسخ‌های یک معادله دیفرانسیل دارای ضرایب ثابتی هستند. به منظور بدست آوردن این ضرایب بایستی رابطه‌ای برای تابع در حالت اولیه و یا در مرز تعریف شده باشد. این رابطه می‌تواند بر حسب مقدار تابع و یا بر حسب مشتقات آن باشد.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

برای نمونه معادله دیفرانسیلی از مرتبه ۲ را در نظر بگیرید. در پاسخ این معادله دو ضریب ثابت ظاهر خواهند شد. بنابراین به دو شرط به منظور یافتن این ضرایب نیاز خواهد بود. در ادامه مقدار تابع و مشتق آن در یک زمان خاص (t₀) ارائه شده است.

$$ \large y \left ( { { t _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { t _ 0 } } \right ) = { y ^ { \prime } _ 0 } $$

حال همان معادله دیفرانسیل مرتبه ۲ را در نظر بگیرید. می‌توان برای بدست آوردن ضرایب ثابت، از مقادیر در مرز‌ها نیز استفاده کرد. در حقیقت در این حالت هریک از حالات زیر قابل استفاده هستند.

$$ \large y \left( { { x _ 0 } } \right) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \\ \large \begin {equation} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \end {equation} \\ \large y ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \\ \large y \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } $$

توجه داشته باشید که «مسئله مقدار مرزی» (Boundary Value Problem) را معادله BVP نیز می‌نامند. در این مطلب معادلاتی به صورت زیر را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

$$ \large \begin {equation} y ^ { \prime \prime } + p \left ( x \right ) y ^ { \prime } + q \left ( x \right ) y = g \left ( x \right ) \end {equation} $$

در مطلب معادلات ناهمگن، نحوه حل این گونه از معادلات توضیح داده شده است. در رابطه فوق اگر (g(x برابر با صفر باشد، معادله همگن نامیده شده و در غیر این صورت آن را ناهمگن می‌نامند.

حل مسئله مقدار مرزی

توجه داشته باشید که در مطلب، مفهوم جدیدی عنوان نمی‌شود. ما پیش‌تر با نحوه حل معادلات دیفرانسیل آشنا شده‌ایم. در این مطلب تنها تفاوت در اعمال شرایط مرزی به منظور یافتن ثابت‌ها است. در ادامه نحوه حل مسئله مقدار مرزی در قالب چندین مثال توضیح داده شده است.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

معادله BVP زیر را حل کنید.

$$ \large y ^ { \prime \prime } + 4 y = 0 \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 2 \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = 1 0 $$

در مطلب معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم نحوه بدست آوردن پاسخ چنین معادلاتی بیان شده است. پاسخ این معادله نیز برابر است با:

$$ \large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 2 x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 x } \right ) $$

تنها قدم مورد نیاز، اعمال شرایط مرزی است. بنابراین می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*} - 2 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \\ 1 0 & = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = { c _ 2 } \end {align*} $$

در نتیجه پاسخ نهایی برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} - 2 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \\ 1 0 & = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = { c _ 2 } \end {align*} $$

مثال ۲

پاسخ مسئله مقدار اولیه زیر را بدست آورید.

$$ \large y ^ { \prime \prime } + 4 y = 0 \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 2 \hspace {0.25in} y \left ( { 2 \pi } \right ) = ۳ $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که می‌بینید صورت این معادله نیز مشابه با مثال ۱ است. بنابراین پاسخ آن نیز مشابه با حالت قبل به صورت زیر قابل بیان است.

$$ \large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 2 x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 x } \right ) $$

با اعمال شرایط مرزی، ضریب c₁ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} - 2 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \\ 3 & = y \left ( { 3 \pi } \right ) = { c _ 1 } \end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینید در این حالت دو شرط مرزی، دو مقدار مختلف را برای مقدار c₁ نتیجه می‌دهد؛ لذا معادله مذکور با این شرایط مرزی پاسخی ندارد. همان‌طور که در مثال ۱ و ۲ نشان داده شد، تغییراتی اندک در شرایط مرزی می‌تواند پاسخ‌های متفاوتی را منجر شود. توجه داشته باشید که در ۳ مثالِ ارائه شده، معادله دیفرانسیل یکسان اما شرایط مرزی آن‌ها متفاوت هستند.

مثال ۳

معادله دیفرانسیل زیر را با توجه به شرایط مرزی ارائه شده حل کنید.

$$ \large y ^ { \prime \prime } + 4 y = 0 \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 2 \hspace {0.25in} y \left ( { 2 \pi } \right ) = -2 $$

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، پاسخ سوال برابر است با:

$$ \large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 2 x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 x } \right ) $$

با اعمال شرایط مرزیِ ارائه شده، مقدار c_۱ برابر است با:

$$ \large \begin {align*} - 2 & = y \left ( 0 \right) = { c _ 1 } \\ - 2 & = y \left ( { 2 \pi } \right) = { c _ 1 } \end{align*} $$

همان‌طور که می‌بینید با توجه به شرایط مرزی ارائه شده، فارغ از این‌که مقدار c₂ چقدر باشد، به بینهایت پاسخ می‌رسیم. در حقیقت پاسخ معادله دیفرانسیل در این حالت برابر است با:

$$ \large y \left ( x \right ) = - 2 \cos \left ( { 2 x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 x } \right ) $$

رابطه فوق به ازای هر مقدار دلخواهی از c₂ در معادله اصلی صدق می‌کند.

مثال ۴

پاسخ معادله دیفرانسیل BVP زیر را بیابید.

$$ \large y ^ { \prime \prime } + 3 y = 0 \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = 7 \hspace {0.25in} y \left( { 2 \pi } \right ) = 0 $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ عمومی معادله فوق، برابر است با:

$$ \large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { \sqrt 3 \, x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { \sqrt 3 \, x } \right ) $$

شرایط مرزی را نیز می‌توان به صورت زیر اعمال کرد.

$$ \large \begin {align*} 7 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \end {align*} , $$

$$ \large \begin {align*} 0 & = y \left ( { 2 \pi } \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 2 \sqrt 3 \, \pi } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 \sqrt 3 \, \pi } \right ) \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} { c _ 2 } = - 7 \cot \left ( { 2 \sqrt 3 \, \pi } \right ) \end {align*} $$

لذا در این حالت، هم‌چون مثال ۱ به پاسخی واحد می‌رسیم که در ادامه ارائه شده است.

$$ \large y \left ( x \right ) = 7 \cos \left ( { \sqrt 3 \, x } \right ) - 7 \cot \left ( { 2 \sqrt 3 \, \pi } \right ) \sin \left ( { \sqrt 3 \, x } \right ) $$

در ادامه مثالی از حل مسئله شرط مرزی ارائه شده که معادله دیفرانسیل در آن ناهمگن است.

مثال ۵

پاسخ معادله زیر را با توجه به شرایط مرزی ارائه شده برای آن بیابید.

$$ \large y ^ { \prime \prime } + 9 y = \cos x \ \ , \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( 0 \right ) = 5 \hspace {0.25in} y \left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right ) = - \frac { 5 } { 3 } $$

پاسخ عمومی این معادله که برابر با پاسخ معادله همگن مرتبط با آن است، برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$ \large { y _ c } \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 3 \, x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 3 \, x } \right ) $$

با استفاده از روش ضرایب نامعین که در مطلب معادله ناهمگن ارائه شده، پاسخ خصوصی نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large { Y _ P } \left ( x \right ) = \frac { 1 } { 8 } \cos x $$

بنابراین پاسخ معادله و مشتق آن برابر هستند با:

$$ \large \begin {align*} y \left ( x \right ) & = { c _ 1 } \cos \left ( { 3 \, x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 3 \, x } \right ) + \frac { 1 } { 8 } \cos x \\ y ^ { \prime } \left ( x \right ) & = - 3 { c _ 1 } \sin \left ( { 3 \, x } \right ) + 3 { c _ 2 } \cos \left ( { 3 \, x } \right ) - \frac { 1 } { 8 } \sin x \end {align*} $$

با اعمال شرایط مرزی، c₂ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} 5 & = y ^ { \prime } \left ( 0 \right) = 3 { c _ 2 } \hspace {0.25in} \ \Rightarrow \hspace {0.25in} { c _ 2 } = \frac { 5 } { 3 } \\ - \frac { 5 } { 3 } & = y \left ( { \frac { \pi }{ 2 } } \right ) = - { c _ 2 } \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} { c _ 2 } = \frac { 5 } { 3 } \end{align*} $$

بنابراین شرایط مرزی به ما مقدار c₂ را می‌دهد. لذا مقدار c_۱ می‌تواند هر عددی باشد. نهایتا پاسخ معادله برابر است با:

$$ \large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 3 \, x } \right ) + \frac { 5 } { 3 } \sin \left ( { 3 \, x } \right ) + \frac { 1 } { 8 } \cos x $$

لذا این معادله با توجه به شرایط مرزی ارائه شده برای آن، دارای بینهایت پاسخ است.