معادلات دیفرانسیل ضمنی — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، درباره معادلات دیفرانسیل بحث کردیم. همچنین، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، مرتبه دوم، مرتبه بالا و ناهمگن را بررسی کردیم. در این آموزش، «معادلات دیفرانسیل ضمنی» (Implicit Differential Equations) مرتبه اول را معرفی و روش حل آن‌ها را ارائه می‌کنیم.

تعریف

معادله دیفرانسیل ضمنی مرتبه اول به‌صورتِ زیر تعریف می‌شود:

$$F\left( {x,y,y’} \right) = 0$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$F$$ تابعی پیوسته است. اگر این معادله را برای $$y’$$ حل کنیم، یک یا چند معادله دیفرانسیل صریح به‌شکلِ زیر به دست می‌آوریم:

$$y’ = f\left( {x,y} \right)$$

در صورتی که معادله دیفرانسیل به‌شکل صریح حل نشود، باید از روش‌های دیگری استفاده کنیم. روش اصلی حل معادله دیفرانسیل ضمنی، روش استفاده از پارامتر است. در ادامه، با استفاده از این روش، چهار نوع معادله دیفرانسیل ضمنی مرتبه اول را حل خواهیم کرد.

حالت اول: معادلات دیفرانسیل ضمنی $$x = f\left( {y,y’} \right)$$

در این حالت، متغیر $$x$$ صریحاً برحسب $$y$$ و $$y’$$ نوشته می‌شود. برای اینکه این معادله را حل کنیم از پارامتری به‌صورت $$p = y’= {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}$$ استفاده می‌کنیم. ابتدا از طرفین معادله نسبت به $$y$$ مشتق می‌گیریم، بنابراین خواهیم داشت:

$${\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left[ {f\left( {y,p} \right)} \right] }={ \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dy}}.}$$

از آن‌جایی که $${\large\frac{{dx}}{{dy}}\normalsize} = {\large\frac{1}{p}\normalsize}$$ است، سمت راست تساوی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\frac{1}{p} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dy}}.$$

معادله به‌دست آمده یک معادله دیفرانسیل صریح است و جواب عمومی آن با تابعی به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$g\left( {y,p,C} \right) = 0$$

که در آن $$C$$ یک ثابت است. بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل اصلی با مجموعه‌ای از دو معادله جبری به‌شکل پارامتری زیر تعریف می‌شود:

$$\left\{ \begin{array}{l}
g\left( {y,p,C} \right) = 0\\
x = f\left( {y,p} \right)
\end{array} \right..$$

اگر بتوانیم پارامتر $$p$$ را از این معادلات حذف کنیم، جواب عمومی معادله به‌شکل صریح $$x = f\left( {y,C} \right)$$ نوشته می‌شود.

حالت دوم: معادلات دیفرانسیل ضمنی $$y = f\left( {x,y’} \right)$$

در اینجا متغیر $$y$$ تابع صریحی از $$x$$ و $$y’$$ است و برای حل آن مانند حالت اول، از پارامتر $$p = y’= {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}$$ استفاده می‌کنیم. ابتدا از طرفین معادله نسبت به $$x$$ مشتق می‌گیریم:

$${{\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( {x,p} \right)} \right] }={ \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dx}}\;\;}}$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

یا

$${\;\;p = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dx}}.}$$

با حل این معادله، معادله جبری $$g\left( {x,p,C} \right)$$ به‌دست می‌آید. این معادله و معادله اصلی، مجموعه معادلات زیر را تشکیل می‌دهند:

$$\left\{ \begin{array}{l}
g\left( {x,p,C} \right) = 0\\
y = f\left( {x,p} \right)
\end{array} \right.,$$

که جواب عمومی معادله دیفرانسیل به‌صورت پارامتری است. در برخی موارد، اگر بتوانیم پارامتر $$p$$ را حذف کنیم، جواب عمومی به‌شکل صریح $$y = f\left( {x,C} \right)$$ خواهد بود.

حالت سوم: معادلات دیفرانسیل ضمنی $$x = f\left( {y’} \right)$$

در این حالت، معادله دیفرانسیل شامل متغیر $$y$$ نیست. با استفاده از پارامتر $$p = y’= {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}$$ به‌راحتی می‌توان جواب عمومی معادله را به‌دست آورد. از آن‌جایی که $$dy = pdx$$ است و

$${dx = d\left[ {f\left( p \right)} \right] }={ \frac{{df}}{{dp}}dp}$$

رابطه زیر برقرار است:

$$dy = p\frac{{df}}{{dp}}dp.$$

با انتگرال‌گیری از این رابطه، جواب عمومی به‌شکل زیر خواهد بود:

$$\left\{ \begin{array}{l}
y = \int {p\frac{{df}}{{dp}}dp} + C\\
x = f\left( p \right)
\end{array} \right..$$

حالت چهارم: معادلات دیفرانسیل ضمنی $$y = f\left( {y’} \right)$$

همان‌گونه که مشاهده می‌کنیم، این معادله متغیر $$x$$ را شامل نمی‌شود و برای حل آن، مشابه حالت‌های قبل، از پارامتر $$p$$ استفاده می‌کنیم. از آن‌جایی که $$p = y’= {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}$$، می‌توان نوشت: $$dx = \large\frac{{dy}}{p}\normalsize$$. در نتیجه خواهیم داشت:

$${dx = \frac{{dy}}{p} }={ \frac{1}{p}\frac{{df}}{{dp}}dp.}$$

فیلم آموزش ریاضی فیزیک ۱ در فرادرس

کلیک کنید

اگر از این رابطه انتگرال بگیریم، جواب عمومی معادله ضمنی به‌شکل زیر خواهد بود:

$$\left\{ \begin{array}{l}
x = \int {\frac{1}{p}\frac{{df}}{{dp}}dp} \\
y = f\left( p \right)
\end{array} \right..$$

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$9{\left( {y’} \right)^2} – 4x = 0.$$

حل: این معادله به‌شکل $$x = f\left( {y’} \right)$$ است (حالت سوم). ابتدا با استفاده از پارامتر $$p = y’$$، معادله را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$x = \frac{9}{4}{p^2}.$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

با گرفتن مشتق از طرفین داریم:

$${dx = \frac{9}{4} \cdot 2pdp }={ \frac{9}{2}pdp.}$$

از آن‌جایی که $$dy = pdx$$ است، خواهیم داشت:

$${\frac{{dy}}{p} = \frac{9}{2}pdp,\;\;} \Rightarrow {dy = \frac{9}{2}{p^2}dp.}$$

با انتگرال‌گیری از طرفین معادله اخیر می‌توان $$y$$ را به‌صورت تابعی $$p$$ از به‌دست آورد:

$${y = \int {\frac{9}{2}{p^2}dp} }={ \frac{9}{2}\int {{p^2}dp} }
= {\frac{9}{2} \cdot \frac{{{p^3}}}{3} + C }
= {\frac{3}{2}{p^3} + C,}$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت اختیاری است.

بنابراین، جواب معادله دیفرانسیل برحسب پارامتر $$p$$ به این صورت است:

$$\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{3}{2}{p^3} + C\\
x = \frac{9}{4}{p^2}
\end{array} \right..$$

در این‌جا می‌توانیم پارامتر $$p$$ را حذف کنیم. از معادله دوم داریم:

$${{p^2} = \frac{4}{9}x,\;\;}\Rightarrow
{p = \pm \frac{2}{3}{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}.}$$

با جایگذاری مقدار به‌دست آمده در معادله، جواب عمومی تابعی از $$x$$ خواهد بود:

$$y = f\left( x \right):$$

$${y = \frac{3}{2}{\left( { \pm \frac{2}{3}{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^3} + C }
= { \pm \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{{27}}{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} + C }
= { \pm \frac{4}{9}{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} + C.}$$

مثال ۲

جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$y = \ln \left[ {25 + {{\left( {y’} \right)}^2}} \right].$$

حل: این معادله مطابق حالت اول است، زیرا $$y$$ برحسب $$y’$$ بیان شده است. برای حل، ابتدا با استفاده از پارامتر $$p$$، معادله را به‌صورت زیر بازنویسی می‌­کنیم:

$$y = \ln \left( {25 + {p^2}} \right).$$

با گرفتن مشتق از طرفین داریم:

$$dy = \frac{{2pdp}}{{25 + {p^2}}}.$$

از آن‌جایی که $$dy = pdx$$ است، خواهیم داشت:

$${pdx = \frac{{2pdp}}{{25 + {p^2}}},\;\; }\Rightarrow {dx = \frac{{2dp}}{{25 + {p^2}}}.}$$

با انتگرال­‌گیری از طرفین می‌­توان $$x$$ را به‌صورت تابعی از $$p$$ به‌دست آورد:

$${x = \int {\frac{{2dp}}{{25 + {p^2}}}} }
= {2\int {\frac{{dp}}{{25 + {p^2}}}} }
= {2 \cdot \frac{1}{5}\arctan \frac{p}{5} + C }
= {\frac{2}{5}\arctan \frac{p}{5} + C.}$$

بنابراین، جواب معادله­ دیفرانسیل برحسب پارامتر $$p$$ به‌صورت زیر است:

$$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{2}{5}\arctan \frac{p}{5} + C\\
y = \ln \left( {25 + {p^2}} \right)
\end{array} \right.,$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت اختیاری است.

مثال ۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$2y = 2{x^2} +4xy’ +{\left( {y’} \right)^2}.$$

حل: معادله فوق، شبیه مورد دوم است. با قرار دادن $$y’ = p$$، معادله را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$2y = 2{x^2} + 4xp + {p^2}.$$

با مشتق‌گیری از طرفین معادله و قرار دادن $$dy = pdx$$، خواهیم داشت:

$${{2dy = 4xdx + 4pdx + 4xdp }+{ 2pdp,\;\;}}\\
\Rightarrow
{{dy = 2xdx + 2pdx }+{ 2xdp + pdp,\;\;}}\\
\Rightarrow
{{\underline {pdx} = 2xdx + \underline {2pdx} }+{ 2xdp + pdp,\;\;}}\\
\Rightarrow
{{0 = 2xdx + pdx }+{ 2xdp + pdp,\;\;}}\\
\Rightarrow
{{\left( {2x + p} \right)dx }+{ \left( {2x + p} \right)dp = 0,\;\;}}\\
\Rightarrow
{\left( {2x + p} \right)\left( {dx + dp} \right) = 0.}$$

همان‌گونه که می‌بینیم برای معادله اخیر، دو جواب وجود دارد:

$$\left. 1 \right)\;\;2x + p = 0$$

بنابراین:

$${2x + y’ = 0,\;\; }\Rightarrow {y’ = – 2x,\;\;}\Rightarrow {dy = – 2xdx.}$$

با انتگرال‌گیری از این رابطه به جواب زیر می‌رسیم:

$${y_1} = – {x^2} + C$$

در این‌جا $$C$$ یک ثابت است و برای تعیین مقدار آن کافی است جواب را در معادله اصلی قرار دهیم:

$${{y_1} = – {x^2} + C,\;\;}\Rightarrow
{{y_1}^\prime = – 2x,\;\;}\\\Rightarrow
{{2\left( { – {x^2} + C} \right) }={ 2{x^2} }+{ 4x \cdot \left( { – 2x} \right) }+{ {\left( { – 2x} \right)^2},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{ – 2{x^2} + 2C }={ 2{x^2} – 8{x^2} }+{ 4{x^2},\;\;}}\\ \Rightarrow
{2C = 0,\;\;}\Rightarrow
{C = 0.}$$

پس مقدار $$C$$ باید صفر باشد تا جواب در معادله صدق کند:

$${y_1} = – {x^2}.$$

جواب دوم معادله، به‌شکل زیر است:

$$\left. 2 \right)\;\;dx + dp = 0.$$

انتگرال معاله فوق منجر به رابطه زیر می‌شود:

$${\int {dx} = – \int {dp} ,\;\; }\Rightarrow {x = – p + C.}$$

با جایگذاری این جواب در معادله، داریم:

$$2y = 2{x^2} + 4xp + {p^2}.$$

بنابراین، جواب دوم برحسب پارامتر $$p$$ به این صورت است:

$$\require{cancel}
{{2y = 2{\left( { – p + C} \right)^2} }+{ 4\left( { – p + C} \right)p }+{ {p^2},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{2y = 2\left( {{p^2} – 2pC + {C^2}} \right) }-{ 4{p^2} }+{ 4pC }+{ {p^2},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{2y = 2{p^2} – \cancel{4pC} }+{ 2{C^2} – 3{p^2} }+{ \cancel{4pC},\;\;}}\\ \Rightarrow
{2y = 2{C^2} – {p^2},\;\;}\Rightarrow
{y = {C^2} – \frac{{{p^2}}}{2}.}$$

بنابراین، جواب دوم معادله به‌صورت پارامتری زیر است:

$$\left\{ \begin{array}{l}
x = – p + C\\
y = {C^2} – \frac{{{p^2}}}{2}
\end{array} \right.,$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت است. با حذف پارامتر $$p$$، جواب نهایی معادله به‌دست می‌آید:

$${p = C – x,\;\;}\Rightarrow
{y = {C^2} – \frac{{{{\left( {C – x} \right)}^2}}}{2} }
= {{C^2} – \frac{{{{\left( {x – C} \right)}^2}}}{2}.}$$

جواب نهایی معادله به‌صورت زیر است:

$${y = {C^2} – \frac{{{{\left( {x – C} \right)}^2}}}{2},\;\;}\kern-0.3pt{y = – {x^2}.}$$