شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
ریشه واحد عددی مختلط است که وقتی به توان یک عدد صحیح مثبت میرسد، حاصل آن برابر با یک خواهد شد. ریشههای واحد در زمینههای مختلف ریاضیات، از قبیل هندسه چندضلعیهای منتظم، نظریه گروهها و نظریه اعداد کاربرد دارند.
قضیه: اگر n زوج باشد، ۲ جواب حقیقی برای معادله xn=1 وجود دارد که 1 و −1 هستند؛ اگر n فرد باشد، یک جواب حقیقی خواهد بود که 1 است.
مثال: ریشههای سوم واحد را به دست آورید.
حل: طبق تعریف، ریشههای سوم واحد همان جوابهای معادله x3=1 هستند. در نگاه اول، میبینیم که x=1 یکی از جوابهای این معادله است. بنابراین، میتوان گفت که 1 یک ریشه سوم واحد است. با این حال، دو جواب مختلط نیز داریم که لازم است آنها را به دست آوریم. این جوابها x=2−1+i3 و x=2−1−i3 هستند.
بنابراین، به صورت مجموعه، ریشههای سوم واحد به شکل زیر هستند:
U3={1,2−1+i3,2−1−i3}.
جوابها را میتوان با استفاده از محاسبات اعداد مختلط تأیید کرد. برای مثال، میتوانیم بنویسیم:
قضیه:n را به عنوان یک عدد صحیح مثبت و Un را به عنوان همه ریشههای nاُم واحد در نظر بگیرید. در نتیجه، خواهیم داشت:
Un={e2kπi/n∣k∈{1,2,…,n}}.
لازم به ذکر است که مجموعه همه ریشههای nاُم واحد همیشه شامل n عضو هستند. هر یک از این چند ریشههای واحد را میتوان با تغییر مقدار k در عبارت e2kπi/n به دست آورد.
اثبات: طبق فرمول اویلر، داریم:
e2πi=cos(2π)+isin(2π)=1.
فرض کنید k یک عدد صحیح مثبت باشد. در نتیجه، میتوان نوشت:
(e2πi)k=e2kπi=1k=1.
که نتیجه آن، xn=1 خواهد بود و x یک عدد مختلط و n یک عدد صحیح مثبت است. اکنون، داریم:
xn=1=e2πi=e4πi=e6πi=…=e2kπi.
با به توان n1 رساندن عبارت بالا، خواهیم داشت:
(xn)1/n=x=e2πi/n=e4πi/n=e6πi/n=…=e2kπi/n.
توجه کنید که اگر k>n باشد، آنگاه زاویه n2kπ متقابل به رأس n2(k−n)π خواهد بود.
بنابراین، n جواب مجزا برای xn=1 وجود دارد که هر کدام با x=e2kπi/n برای k=1,2,3,…,n مشخص میشود.
مثال ۱: معادله x3=1 را برای همه xها به دست آورید.
حل: طبق قضیه بالا، جوابها به صورت زیر هستند:
x=e2iπ/3,e4iπ/3,e6iπ/3.
طبق فرمول اویلر، این جوابها، به ترتیب، برابرند با:
مثال ۲: فرض کنید z هفتمین ریشه هفتم واحد باشد. به عبارت دیگر، z یک عدد مختلط است که در معادله z7=1 صدق میکند. اگر z=a+bi باشد، که در آن، a و b اعدادی حقیقی هستند، آنگاه حداکثر مقدار a+b چقدر خواهد بود؟ جواب را تا سه رقم اعشار بنویسید.
حل: ریشههای هفتم واحد را میتوان به صورت زیر به دست آورد:
z=e2kπi/7, k=1,2,3,4,5,6,7
هدف، بیشینه کردن a+b است، به طوری که زاویه 72kπ باید در ربع اول صفحه مختلط، روی محور حقیقی مثبت یا روی محور موهومی مثبت باشد. تنها زاویههایی که در این معیار صدق میکنند، 2π و 72π هستند.
ریشههای هشتم واحد و ریشههای دوازدهم واحد همراه با یکدیگر همه زاویههای ویژه روی دایره واحد مختلط را مشخص میکنند.
از آنجا که این مقادیر را میتوان به سادگی محاسبه کرد یا به خاطر سپرد، در انجام دوران در صفحه مختلط بسیار مفید هستند. با تعمیم، آنها را میتوان برای انجام دوران در هر فضای دوبعدی و حتی سهبعدی انجام داد.
مثال ۱: نقطه (2,3) به اندازه 43πرادیان به صورت پادساعتگرد یا در خلاف جهت عقربههای ساعت حول مبداء دوران یافته است. تصویر حاصل چه خواهد بود؟
حل: نقطه متناظر در صفحه مختلط، 2+3i است. همچنین، e3πi/4 یک ریشه هشتم واحد بوده و مقدار آن، −22+i22 خواهد بود.
دوران در صفحه مختلط را میتوان با ضرب در اعداد مختلط به دست آورد. این تصویر حاصل در صفحه مختلط برابر است با:
این تساوی مشابه مشخصات ریشه واحد است و میتوان از آن برای یافتن جوابهای معادلات چندجملهای مشخص استفاده کرد.
مثال: همه جوابهای مختلط معادله x3+x62+x+1=0 را به دست آورید.
حل: طبق تساوی بالا، معادله به صورت زیر در میآید:
x−1x4−1=0
یا به شکل سادهتر، داریم:
x4=1,x=1.
جوابها ریشههای چهارم واحد (به جز x=1) خواهند بود:
x=e2πi/4,e4πi/4,e6πi/4,e8πi/4.
با استفاده از بسط اویلر، داریم:
x=0+i,0−i,−1+0i,1+0i.
جواب آخر قابل قبول نیست، زیرا x=1. بنابراین، جوابها i، −i و −1 هستند.
معادله زیر را در نظر بگیرید:
x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0.
فرض کنید xk یک ریشه و kاُمین ریشه معادله بوده و ℜ(xk) بخش حقیقی ریشه باشد. آنگاه، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:
k=1∑7[ℜ(xk)]2
چندجملهای داده شده یک تصاعد هندسی متناهی است که میتوان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد:
x−1x8−1=0
و به عبارت دیگر، خواهیم داشت:
x8−1=0, x=1
در نتیجه، جوابهای معادله همه هشت ریشه واحد به جز برای ۱ خواهد بود.
این جوابها با xk=e2kπi/8 برای k=1,2,...,7 به دست میآیند.
در صفحه مختلط، این جوابها روی دایره واقع در 4π قرار دارند.
در مسئله مجموع مربعات بخشهای حقیقی را پیدا میکنیم. چهار جواب وجود دارد که در آنها مربع بخش حقیقی 21، و یک جواب وجود دارد که مربع بخش حقیقی ۱ است. دو جواب باقیمانده بخش حقیقی ندارند. بنابراین، مجموع مربعات بخشهای حقیقی، ۳ است.
ویژگیهای ریشه واحد
ریشه واحد ویژگیها و کاربردهای خاصی دارد. برخی از آنها عبارتند از:
اگر x ریشه nاُم واحد باشد، آنگاه xk نیز ریشه nاُم واحد است.
اگر x ریشه nاُم واحد باشد، آنگاه xn=1 است.
مجموع همه ریشههای nاُم واحد همیشه برای n=1 برابر با صفر است.
ضرب همه ریشههای nاُم واحد همیشه (−1)n+1 است.
1 و −1 تنها ریشههای حقیقی واحد هستند.
اگر یک عدد ریشه واحد باشد، آنگاه مزدوج مختلط آن نیز ریشه واحد خواهد بود.
مجموع همه توانهای kاُم ریشههای nاُم واحد، برای همه اعداد صحیح k به طوری که k بر nبخشپذیر نباشد، صفر است.
مجموع قدر مطلقهای همه ریشههای nاُم واحد برابر با n است.
اگر x یک ریشه nاُم واحد باشد که برابر با ۱ نیست، آنگاه، رابطه k=0∑n−1xk=0 برقرار است.
قضیه: اگر x ریشه nاُم واحد باشد، آنگاه xk نیز ریشه nاُم واحد است که در آن، k هر عدد صحیحی میتواند باشد.
اثبات: با استفاده از قانون اندیس، میتوانیم (xk)n=(xn)k را بنویسیم. از آنجا که x ریشه nاُم واحد است، xn=1 بوده و در نتیجه، (xn)k=1 و (xk)n=1 است. بنابراین، xk نیز ریشه nاُم واحد است.
ضرب همه ریشههای 2016اُم واحد در یکدیگر را بیابید.
حل: طبق تعریف، ضرب ریشه واحد مشابه ضرب ریشههای معادله زیر خواهد بود:
x2016−1=0.
طبق فرمول ویتا، ضرب ریشهها با جمله ثابت چندجملهای مرتبط است. درجه چندجملهای زوج است، بنابراین ضرب ریشهها مشابه جمله ثابت −1 خواهد بود.
مثال ۲ ریشه واحد
مجموع همه ریشههای 1729ُم واحد را بیابید.
حل: میخواهیم مجموع ریشههای معادله زیر را بیابیم:
x1729−1=0.
طبق فرمول ویتا، مجموع ریشهها قرینه ضریب جمله درجه یک است. ضریب جمله درجه یک برابر با صفر بوده و بنابراین، مجموع ریشهها برابر با صفر است.
مثال ۳ ریشه واحد
مجموع همه توانهای هزارم ریشههای هفدهم واحد را بیابید.
حل: معادله با ریشهها به صورت زیر است:
x17−1x17(x17)58x986x1000=0=1=158=1=1=x14.
بنابراین، به دنبال مجموع همه توانهای چهاردهم خواهیم بود. طبق جمع نیوتن، تساوی s1=s2=s3=s4=...=s14=0 را خواهیم داشت. بنابراین، نتیجه میگیریم که جمع مورد نظر برابر با صفر است.
این مسئله برای هر توان kاُم (k یک عدد صحیح است و بر n بخشپذیر نیست) صحیح است (مجموع توان kاُم ریشههای nاُم واحد).
مثال ۴ ریشه واحد
مجموع قدر مطلق ریشههای معادله زیر را بیابید:
x172920152016=1.
حل: اگر جمع معمولی را میخواستیم، حاصل آن برابر با صفر میشد. اما مسئله مجموع قدر مطلق ریشهها است. بنابراین، از این موضوع استفاده میکنیم که میتوان هر ریشه را به صورت eki نمایش داد که در آن، k یک عدد حقیقی است. با استفاده از اتحاد اویلر، میتوانیم بنویسیم:
eki=cosk+isink=cos2k+sin2k=1=1.
بنابراین، قدر مطلق یا اندازه هر ریشه برابر با یک است. در نتیجه، مجموع اندازههای 172920152016 ریشه برابر با 172920152016 است.
مثال ۵ ریشه واحد
اگر α یکی از هفت ریشه واحد باشد، آنگاه مبیّن معادله درجه دوم مونیک با ریشههای α+α2+α4 و α3+α5+α6 را بیابید. مبین معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 برابر با b2−4ac است.
حل: معادله درجه دوم که ریشههای آن a و b هستند، به صورت زیر است:
از آنجا که 1729≡1(mod6)، جواب برابر با 3 خواهد بود.
مثال ۷ ریشه واحد
معادله زیر را در نظر بگیرید:
f(x)=x13+2x12+3x11+4x10+⋯+13x+14
عبارت زیر نیز داده شده است:
f(x)=x13+2x12+3x11+4x10+⋯+13x+14
که در آن، a=cos(152π)+isin(152π) .
مقدار M را به گونهای محاسبه کنید که NM1=15 باشد.
حل: معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
f(x)=n=0∑14((14−n)xn)=14n=0∑14(xn)−n=0∑14(nxn)
با استفاده از فرمول جمع تصاعد هندسی، خواهیم داشت:
n=0∑14(xn)=x−1x15−1
با مشتقگیری از رابطه بالا و سپس ضرب x در آن، داریم:
n=0∑14(nxn)=x−115x15−(x−1)2x16−x
بنابراین، معادله به صورت زیر است:
f(x)=14x−1x15−1−x−115x15+(x−1)2x16−x
میبینیم که a یکی از پانزده ریشه واحد است. جهت یادآوری، اگر y ریشه nاُم واحد باشد، آنگاه:
yn=1oryn−1+yn−2+⋯+y+1=0
همچنین، اگر y ریشه nاُم واحد باشد، yk با k صحیح دارای این ویژگی است.
a15=1p(a)=a14+a13+...+a+1=0
بنابراین، f به صورت زیر خواهد بود:
f(a)=14a−1a15−1−a−115a15+(a−1)2a16−a=1−a15
در نتیجه، باید عبارت زیر را بیابیم:
(1−a)(1−a2)(1−a3)(1−a4)...(1−a14)1514
میدانیم یک چندجملهای را میتوان به صورت حاصلضرب عبارات آرگومان منهای ریشه نوشت. از آنجا که a، a2 و... ریشههای p هستند، داریم:
p(1)1514=151514=1513
بنابراین، M=15 است.
مثال ۸ ریشه واحد
با در نظر گرفتن w=eπi/11، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:
k=0∏11(wk−2w−k).
حل: ابتدا میدانیم که w22=e2πi=1. از آنجا که توانهای زوج w ریشه واحد یازدهم واحد هستند، داریم: z11−1=k=0∏10(z−w2k). مقدار z=2 را قرار میدهیم و خواهیم داشت:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.