معادلات مثلثاتی — به زبان ساده

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به مثلثات و دایره مثلثاتی ارائه شدند. در این مطلب قصد داریم تا روش حل، اصول و نکات حلِ معادلات مثلثاتی را توضیح دهیم.

روش حل

همان‌طور که احتمالا شما نیز حدس زده‌اید، برای حل معادلات مثلثاتی بایستی با مفهوم دایره مثلثاتی به خوبی آشنا باشید. بنابراین پیشنهاد می‌شود، ابتدا به ساکن مطلب مذکور را به دقت مطالعه فرمایید. به منظور حل معادلات مثلثاتی بهتر است در ابتدا معادله را تا حد ممکن ساده کنید.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

پس از آن به رابطه‌ای خواهید رسید که در یک سمت سینوس، کسینوس یا دیگر توابع مثلثاتی و در سمت دیگر تابعی چند جمله‌ای از متغیرِ موجود در معادله است. روش حل معادلات در قالب مثال‌های زیر توضیح داده شده.

مثال ۱

پاسخ معادله $$2 \cos \left ( t \right ) = \sqrt 3$$ را بیابید.

همان‌طور که در بالا بیان شد روشی کلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود ندارد. اگر طرفین معادله به ۲ تقسیم شوند،‌ خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} 2 \cos \left ( t \right ) & = \sqrt 3 \\ \cos \left ( t \right ) & = \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } \end {align*}$$

بنابراین پاسخ معادله، تمامی tهایی هستند که کسینوس آن‌ها برابر با $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$$ باشد. می‌دانید که به ازای $$t = \frac { \pi } { 6 }$$ مقدار کسینوس برابر با $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$$ است. حال اگر به اندازه π این زاویه را کم یا زیاد کنید، همچنان مقدار کسینوس $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$$ خواهد بود؛ البته علامت آن ممکن است تغییر کند. با توجه به دایره مثلثاتی، مقدار کسینوس در ربع اول و ربع چهارم مثبت است.

به منظور یافتن پاسخِ سوال، در ابتدا دایره‌ای مثلثاتی را رسم کنید. زاویه $$\frac { \pi } { 6 }$$ در ربع اول قرار گرفته است. برای نمونه اگر این مقدار را با ۲π جمع کنید به زاویه اولیه خواهید رسید. هم‌چنین با قرینه کردن زاویه، اندازه و علامت کسینوس تغییر نمی‌کند. تغییر دادن زاویه به اندازه 2π معادل با آن است که دایره را یک دور بزنید. هم‌چنین اگر دایره را n دور بزنید و دوباره آن را با $$\frac { \pi } { 6 }$$ جمع کنید، به موقعیت اولیه می‌رسید. بنابراین پاسخ را می‌توان به‌صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$

البته زاویه $$2 \pi - \frac { \pi } { 6 } = \frac { 1 1 \pi } { 6 }$$ را نیز می‌توان به اندازه n بار دور زد و به موقعیت اولیه رسید. لذا پاسخ زیر نیز در معادله فوق صدق می‌کند.

$$\large \frac { { 1 1 \pi } } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$

بنابراین مجموعه پاسخ‌های صادق در معادله برابر هستند با:

$$\large \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$
$$\large \frac { { 1 1 \pi } } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$

در مثال ۱ بازه‌ی پاسخ مشخص نشده بود. در برخی از موارد، بازه‌ای که معادله در آن حل می‌شود، نیز مشخص می‌شود.

مثال ۲

پاسخ مثال ۱ را در بازه $$[ - 2 \pi , 2 \pi ]$$ بیابید.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ معادله ارائه شده در مثال ۱ برابر با عبارت زیر بدست آمد.

$$\large \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$

$$\large \frac { { 1 1 \pi } } { 6 } + 2 \pi \, n \, , \; \; n = 0 , \, \pm 1 , \, \pm 2 , \, \pm 3 , \, \ldots$$

پس از بدست آوردن پاسخ عمومی، بایستی پاسخ را به ازای n‌های مختلف بررسی کرده و در صورت قرار گرفتن جواب در بازه‌ تعریف شده، آن را به عنوان پاسخ در نظر بگیرید. به ازای n=0 داریم:

$$\large \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \,\left ( 0 \right ) \, = \frac { \pi } { 6 } < 2 \pi$$

$$\large \ \frac { {11 \pi } } { 6 } + 2 \pi \, \left ( 0 \right ) = \frac { { 11 \pi } } { 6 } < 2 \pi$$

هر دو عدد در بازه $$[ - 2 \pi , 2 \pi ]$$ قرار دارند، بنابراین می‌توان آن‌ها را به عنوان پاسخ در نظر گرفت. اگر از عدد ۱ یا بیشتر به جای n استفاده شود، پاسخ بدست آمده بیشتر از ۲π خواهد شد. حال با جایگذاری n=-1 داریم:

$$\large \enspace \enspace \enspace \enspace \frac{\pi }{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right) = - \frac{{11\pi }}{6} > - 2\pi$$

$$\large \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right) = - \frac{\pi }{6} > - 2\pi$$

هر دو مقدار بدست آمده بیشتر از $$- 2 \pi$$ هستند؛ بنابراین آن‌ها نیز جزء پاسخ‌های سوال محسوب می‌شوند. نهایتا مجموعه پاسخ‌های سوال برابرند با:

$$\large \frac { \pi } { 6 } , \; \frac { { 11 \pi } } { 6 } , \; - \frac { \pi } { 6 } , \; - \frac { { 1 1 \pi } } { 6 }$$

در برخی از موارد ممکن است کمان قرار گرفته در تابع مثلثاتی، ضریب داشته باشد.

مثال ۳

پاسخ معادله $$2 \sin \left ( { 5 x } \right ) = - \sqrt 3$$ را در بازه $$[ - \pi , 2 \pi ]$$ بیابید. در ابتدا معادله را به صورت زیر ساده می‌کنیم.

$$\large \begin{align*} 2 \sin ( 5 x ) = - \sqrt 3 \ \rightarrow \ \sin ( 5 x ) = \frac { { - \sqrt 3 } } { 2 } \end {align*}$$

مطابق با شکل زیر مقدار سینوس در ربع سوم و چهارم منفی است. به طور دقیق‌تر سینوس دو زاویه $$\pi + \frac { \pi } { 3 } = \frac { 4 \pi } { 3 }$$ و $$2 \pi - \frac { \pi } { 3 } = \frac { 5 \pi } { 3 }$$ برابر با $$- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$$ است.

توجه داشته باشید که در نظر گرفتن پاسخ نهایی به صورت زیر اشتباه است. چرا که کل کمان درون سینوس بایستی برابر با زاویه باشد.

$$\large{ { \begin {align*} x & = \frac{ { 4 \pi } } { 3 } + 2 \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac { { 5 \pi } } { 3 } + 2 \pi n, \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2 , \ldots \end {align*}}}$$

در حقیقت مقادیر بالا پاسخ‌های معادله $$\sin \left ( x \right ) = - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 }$$ هستند. در نتیجه مقادیر ۵x در معادله $$\sin \left ( { 5 x } \right ) = - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 }$$ برابرند با:

$$\large \begin{align*} 5 x & = \frac { { 4 \pi } } { 3 } + 2 \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 5 x & = \frac { { 5 \pi } } { 3 } + 2 \pi n , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2 , \ldots \end {align*}$$

مجهول مسئله x است؛ بنابراین با تقسیم طرفین پاسخ بالا به ۵ داریم:

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { {2 \pi n } } { 5 } , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi n } } { 5 } , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end {align*}$$

برای صحت سنجی پاسخ بدست آمده در بالا، در زیر پاسخ به ازای n=1 محاسبه شده و در معادله قرار داده شده است.

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi } } { 5 } = \frac { { 1 0 \pi } } { { 1 5 } } = \frac { { 2 \pi } } { 3 } & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace {0.5in} \sin \left ( { 5 \left ( { \frac { { 2 \pi } } { 3 } } \right ) } \right ) = \sin \left ( { \frac { { 1 0 \pi } }{ 3 } } \right ) = - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } \\ x & = \frac{ \pi } { 3 } + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{11\pi } } { { 1 5 } } & \hspace {0.25in} & \Rightarrow \hspace {0.5in} \sin \left ( { 5 \left ( { \frac { { 1 1 \pi } } { { 1 5 } } } \right ) } \right ) = \sin \left ( { \frac { { 1 1 \pi } } { 3 } } \right ) = - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } \end {align*}$$

بنابراین پاسخ عمومی بدست آمده درست است. حال بایستی مقادیر مختلف n در پاسخ قرار داده شود. در ادامه این کار برای nهای مثبت انجام شده است.

n=0

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 0 \right) } } { 5 } = \frac{{4\pi } } { { 15 } } < 2\pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( 0 \right ) } } { 5 } = \frac { \pi } { 3 } < 2 \pi \end {align*}$$

n=۱

$$\large \begin{align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 1 \right ) } } { 5 } = \frac { { 2 \pi } } { 3 } < 2\pi \\ x & = \frac{\pi } { 3 } + \frac{{2\pi \left ( 1 \right ) } } { 5 } = \frac { { 1 1 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \end {align*}$$

n=۲

$$\large \begin {align*}x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 2 \right ) } } { 5 } = \frac { { 1 6 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( 2 \right ) } } { 5 } = \frac { { 1 7 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \end {align*}$$

n=3

$$\large \begin{align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 3 \right ) } } { 5 } = \frac { { 2 2 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( 3 \right ) } } { 5 } = \frac { { 2 3 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \end {align*}$$

n=۴

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 4 \right ) } } { 5 } = \frac { { 2 8 \pi } } { { 1 5 } } < 2\pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( 4 \right ) } } { 5 } = \frac { { 2 9 \pi } } { { 1 5 } } < 2 \pi \end {align*}$$

n=۵

$$\large \begin{align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( 5 \right ) } } { 5 } = \frac { { 3 4 \pi } } { { 1 5 } } > 2 \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( 5 \right ) } } { 5 } = \frac { { 3 5 \pi } } { { 1 5 } } > 2 \pi \end {align*}$$

به همین صورت با قرار دادن nهای منفی در پاسخ عمومی، مقادیر زیر بدست خواهد آمد.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

n=-۱

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( { - 1} \right ) } } { 5 } = - \frac { { 2 \pi } } { { 1 5 } } > - \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( { - 1 } \right ) } }{ 5 } = - \frac { \pi } { { 1 5 } } > - \pi \end {align*}$$

n=-۲

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 4 \pi } } { { 1 5 } } + \frac { { 2 \pi \left ( { - 2 } \right ) } } { 5 } = - \frac{{8\pi }}{ { 1 5 } } > - \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( { - 2 } \right ) } } { 5 } = - \frac { { 7 \pi } } { { 1 5 } } > - \pi \end {align*}$$

n=-۳

$$\large \begin {align*}x & = \frac{ { 4 \pi } } { { 15 } } + \frac { { 2\pi \left( { - 3} \right)} } { 5 } = - \frac{{14\pi } } { { 1 5 } } > - \pi \\ x & = \frac { \pi } { 3 } + \frac { { 2 \pi \left ( { - 3} \right ) } } { 5 } = - \frac { { 1 3 \pi } } { { 1 5 } } > - \pi \end {align*}$$

n=-4

$$\large \begin{align*}x & = \frac{{4\pi } } { { 15} } + \frac{{2\pi \left( { - 4} \right) } } { 5 } = - \frac{{4\pi }}{3} < - \pi \\ x & = \frac{\pi } { 3 } + \frac{{2\pi \left( { - 4} \right)} } { 5 } = - \frac{{19\pi } } { { 1 5 } } < - \pi \end {align*}$$

اگر n=-5 را در پاسخ عمومی قرار دهیم، پاسخ، خارج از بازه $$[ - \pi ,2\pi ]$$ قرار خواهد گرفت. در مواردی یک معادله مثلثاتی می‌تواند هم سینوس و هم کسینوس در خود داشته باشد.

مثال ۴

پاسخ معادله $$\sin \left ( { 2 x } \right ) = - \cos \left( { 2 x } \right )$$ را در بازه $$\displaystyle \left[ { - \frac { { 3 \pi } } { 2 },\frac { { 3 \pi } } { 2 } } \right]$$ بیابید.

معادله مطرح شده نسبت به مثال‌های قبلی اندکی متفاوت است. با بازنویسی معادله به صورت زیر داریم:

$$\large \begin {align*} \sin ( 2 x ) & = - \cos ( 2 x ) \\ \frac { { \sin ( 2 x ) } } { { \cos ( 2 x ) } } & = - 1 \\ \tan \left ( { 2 x } \right ) & = - 1 \end {align*}$$

بنابراین سوال، به حل معادله $$\tan ( 2 x ) = - 1$$ تبدیل می‌شود. مطابق با دایره مثلثاتی نشان داده شده در زیر، در دو زاویه $$\frac { { 3 \pi } } { 4 }$$ و $$\frac { { 3 \pi } } { 4 } + \pi = \frac { { 7 \pi } } { 4 }$$ مقدار تانژانت برابر با ۱- است.

اگر دایره را به اندازه ۲π دور بزنید، مقادیر سینوس و کسینوس تغییر نکرده، در نتیجه مقدار تانژانت نیز ثابت خواهد بود. بنابراین مقادیر کمانِ درون تانژانت برابرند با:

$$\large \begin {align*} 2 x & = \frac { { 3 \pi } } { 4 } + 2 \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots \\ 2 x & = \frac { { 7 \pi } } { 4 } + 2 \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots \end {align*}$$

مجهول مسئله، x است. در نتیجه پاسخ نهایی سئوال برابر است با:

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac { { 7 \pi } } { 8 } + \pi n , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots \end {align*}$$

حال با انتخاب مقادیر n، پاسخ‌های قرار گرفته در بازه را بدست می‌آوریم.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

n=0

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \pi \left ( 0 \right ) = \frac { { 3 \pi } } { 8 } < \frac { { 3 \pi } } { 2 } \\ x & = \frac { { 7 \pi } } { 8 } + \pi \left ( 0 \right ) = \frac { { 7 \pi } } { 8 } < \frac { { 3 \pi } } { 2 } \end {align*}$$

n=1

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \pi \left ( 1 \right ) = \frac { { 1 1 \pi } } { 8 } < \frac { { 3 \pi } } { 2 } \\ x & = \frac { { 7 \pi } } { 8 } + \pi \left ( 1 \right ) = \frac { { 1 5 \pi } } { 8 } > \frac { { 3 \pi } } { 2 } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید یکی از ۴ پاسخ بدست آمده، در بازه $$\displaystyle \left[ { - \frac { { 3 \pi } } { 2 },\frac { { 3 \pi } } { 2 } } \right]$$ قرار نمی‌گیرد. توجه داشته باشید که پاسخ به ازای n=2 نیز بایستی چک شود که آن را به شما واگذار می‌کنیم. حال پاسخ‌ها را به ازای nهای منفی بررسی می‌کنیم.

n=-1

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \pi \left ( { - 1} \right ) = - \frac { { 5 \pi } } { 8 } > - \frac { { 3 \pi } } { 2 } \\ x & = \frac { { 7 \pi } } { 8 } + \pi \left ( { - 1 } \right ) = - \frac { \pi } { 8 } > - \frac { { 3 \pi } } { 2 } \end {align*}$$

n=-۲

$$\large \begin {align*} x & = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \pi \left ( { - 2 } \right ) = - \frac { { 1 3 \pi } } { 8 } < - \frac { { 3 \pi } } { 2 } \\ x & = \frac { { 7 \pi } } { 8 } + \pi \left ( { - 2 } \right ) = - \frac { { 9 \pi } } { 8 } > - \frac { { 3 \pi } }{ 2 } \end {align*}$$

در این حالت نیز یکی از پاسخ‌ها کمتر از $$- \frac { 3 \pi } { 2 }$$ بوده، بنابراین در بازه قرار نمی‌گیرد. نهایتا پاسخ‌های بدست آمده برابرند با:

$$\large - \frac { { 9 \pi } } { 8 } , - \frac { { 5 \pi } } { 8 } , - \frac { \pi } { 8 } , \frac { { 3 \pi } } { 8 } , \frac { { 7 \pi } } { 8 } , \frac { { 1 1 \pi } } { 8 }$$

لازم است بدانید که پاسخ عمومی بیان شده را می‌توان به صورتی کوتاه‌تر نیز ارائه داد. اگر توجه داشته باشید، پاسخ دوم به اندازه π از پاسخ اول جلوتر است. لذا پاسخ عمومی را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

$$\large 2 x = \frac { { 3 \pi } } { 4 } + \pi n , \quad n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots$$

بنابراین پاسخ نهایی برابر است با:

$$\large x = \frac { { 3 \pi } } { 8 } + \frac { { \pi n } } { 2 } , \quad n = 0, \pm 1, \pm 2 , \ldots$$

توجه داشته باشید که معادله ارائه شده ممکن است، پاسخی نداشته باشد. برای نمونه معادله $$\cos \left ( { 3 x } \right ) = 2$$ را در نظر بگیرید. بدیهی است که مقادیر مثلثاتی نمی‌توانند بیشتر از ۱ باشند. در نتیجه معادله مذکور پاسخی ندارد. در این مطلب روش حل معادلات مثلثاتی توضیح داده شد. توجه داشته باشید که معادلات پیچیده‌تری نیز وجود دارند که با استفاده از اصول بیان شده قابل حل هستند.