انتگرال e و محاسبه آن | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با انتگرال و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم و در مطلبی، نمونه سوال‌هایی از مبحث انتگرال را ارئه و حل کردیم. همچنین، در آموزش‌هایی به انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال توابع کسری، انتگرال توابع هیپربولیک، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال توابع گنگ، انتگرال رادیکالی و انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی پرداختیم. در این آموزش با انتگرال e و روش محاسبه آن آشنا شده و مثال‌هایی از حل آن را بررسی می‌کنیم.

فرمول محاسبه انتگرال e

تابع نمایی یکی از توابع مهم است که در ریاضی بسیار با آن سر و کار داریم. مشتق و انتگرال e برابر با خودش است.

با استفاده از فرمول زیر می‌توان از تابع نمایی انتگرال گرفت:

$$\large \int e ^ x \, d x = e ^ x + C .$$

اگر به جای e عدد دیگری داشته باشیم، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large ∫ a ^ x \, d x = \dfrac { a ^ x } { \ln a } + C .$$

چند فرم متداول از انتگرال e

حالت ۱: فرض کنید یک تابع نمایی به شکل زیر در انتگرال داشته باشیم:

$$\large \int e ^ x \big ( f ( x ) + f' ( x ) \big ) \, d x$$

در این حالت، حاصل انتگرال برابر خواهد بود با:

$$\large e ^ x f ( x ) + C .$$

حالت ۲: فرض کنید انتگرال به فرم $$\displaystyle I = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c )$$ باشد. در این صورت، حاصل آن برابر است با:

$$\large I = \dfrac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } .$$

اثبات: انتگرال بالا را به کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء حل می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} I & = \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \ d x \\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \sin ( b x + c ) \ d x\\\\ & = \cos ( b x + c ) \frac { e ^ { a x } } { a } + \frac { b } { a } \left ( \frac { e ^ { a x } } { a } \sin ( b x + c ) - \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \cos ( b x + c ) \right ) \ d x \\\\ & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } - \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } I . \end {aligned}$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} I \left ( 1 + \frac { b ^ 2 } { a ^ 2 } \right ) & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 } \\ \Rightarrow I & = \frac { e ^ { a x } \big ( a \cos ( b x + c ) + b \sin ( b x + c ) \big ) } { a ^ 2 + b ^ 2 } . \end {aligned}$$

حالت ۳: اگر انتگرال به فرم $$\displaystyle \int \frac { a e ^ x + b e ^ { - x } } { p e ^ x + q e ^ { - x } } d x$$ باشد، می‌توانیم از تساوی $$\text {(NUM)} = \alpha \text {(DEN)} + \beta \frac { d } { d x } \text {(DEN)}$$ استفاده کنیم که در آن، $$\text{NUM}$$ صورت کسر انتگرالده و $$\text{DEN}$$ مخرج آن است. در این صورت، می‌توانیم انتگرال را با روش‌های معمول حل کنیم.

مثال‌های حل انتگرال e

در این بخش، مثال‌هایی را از انتگرال e حل می‌کنیم.

مثال ۱ انتگرال e

انتگرال تابع $$e^{−x}$$ را بیابید.

حل: از تغییر متغیر $$u = - x$$ و در نتیجه، $$d u = - 1 d x$$ استفاده می‌کنیم. با ضرب معادله $$du$$ در $$-1$$ تساوی $$-du=dx$$ را خواهیم داشت. در نتیجه، انتگرال e به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large ∫ e ^ { − x } \, d x = − ∫ e ^ u \, d u = − e ^ u + C = − e ^ { − x } + C . \nonumber$$

مثال ۲ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$\large \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x$$

حل: حاصل این انتگرال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {aligned} \int ( 3 e ^ x + 2 ^ x ) \, d x & = 3 \int e ^ x d x + \int 2 ^ x \, d x \\ & = 3 e ^ x + \frac { 2 ^ x } { \ln 2 } + C , \end {aligned}$$

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۳ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\large \int e ^ { x + 2 } \, d x$$

حل: برای حل انتگرال، داریم:

$$\large \begin {aligned} \int e ^ { x + 2 } \, d x & = \int e ^ x e ^ 2 \, d x \\ & = e ^ 2 \int e ^ x \, d x \\ & = e ^ 2 e ^ x + C \\ & = e ^ { x + 2 } + C , \end {aligned}$$

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۴ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را حل کنید:

$$\large \int e ^ x \big ( \sin ( x ) + \cos ( x ) \big ) \, d x$$

حل: این انتگرال به فرم $$\displaystyle \int e ^ x \big ( f ( x ) + f' ( x ) \big ) \, d x$$  است که در آن، $$f ( x ) = \sin ( x )$$. بنابراین، انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\large e ^ x \sin ( x ) + C .$$

مثال ۵ انتگرال e

انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$\large \int e ^ { 2 x } \cos ( 5 x + 3 ) \, d x$$

حل: با توجه به حالت دوم که معرفی کردیم، خواهیم داشت:

$$\large \frac { e ^ { 2 x } \big ( 2 \cos ( 5 x + 3 ) + 5 \sin ( 5 x + 3 ) \big ) } { 2 9 } + C .$$

مثال ۶ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } \, d x$$

حل: با توجه به آنچه در حالت سوم گفتیم، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$\large 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } = \alpha ( e ^ x - 5 e ^ { - x } ) + \beta ( e ^ x + 5 e ^ { - x } ) .$$

با مقایسه ضرایب $$e ^ x$$ و $$e ^ { - x }$$، روابط $$\alpha + \beta = 2$$ و $$\alpha - \beta = -\frac 35$$ را خواهیم داشت که منجر به $$\alpha = \frac {7}{10}$$ و $$\beta = \frac { 13}{10}$$ می‌شود. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$\large \int \frac { 2 e ^ x + 3 e ^ { - x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } d x = \alpha \int d x + \beta \int \frac { e ^ x + 5 e ^ { -x } } { e ^ x - 5 e ^ { - x } } d x . \quad (*)$$

با قرار دادن $$e ^ x - 5 e ^ {-x } = t$$ و در نتیجه، $$(e ^ x + 5 e ^ {-x} ) d x = d t$$، عبارت بالا برابر خواهد بود با:

$$\large \begin {aligned} (*) & = \frac 7 { 1 0 } \int d x +\frac { 1 3 } { 1 0 } \int \frac { d t } { t } \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln | t | + C \\ & = \frac { 7 x } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 0 } \ln \big | e ^ x - 5 e ^ { - x } \big | + C , \end {aligned}$$

که در آن، $$C$$ ثابت انتگرال‌گیری است.

مثال ۷ انتگرال e

انتگرال تابع $$e^x\sqrt{1+e^x}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرالده را بازنویسی می‌کنیم:

$$\large ∫ e ^ x \sqrt { 1 + e ^ x } \, d x = ∫ e ^ x ( 1 + e^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x .$$

با استفاده از تغییر متغیر $$u = 1 + e ^ x$$ و در نتیجه، $$d u = e ^ x d x$$، خواهیم داشت:

$$\large ∫ e ^ x ( 1 + e ^ x ) ^ { 1 / 2 } \, d x = ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u .$$

در نتیجه:

$$\large ∫ u ^ { 1 / 2 } \, d u = \dfrac { u ^ { 3 / 2 } }{ 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } + C = \dfrac { 2 } { 3 } ( 1 + e ^ x ) ^ { 3 / 2 } + C$$

مثال 8 انتگرال e

انتگرال $$\displaystyle ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x^ 3 } \, d x$$ را محاسبه کنید.

حل: توان $$e$$ را برابر با $$u$$ قرار داده و در نتیجه، $$u=2x^3$$ و $$du=6x^2\,dx$$ را خواهیم داشت. بنابراین، انتگرال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large ∫ 3 x ^ 2 e ^ { 2 x ^ 3 } \, d x = \frac { 1 } { 2 }∫ e ^ u \, d u .$$

در نتیجه، حاصل انتگرال e برابر خواهد بود با:

$$\large \frac { 1 } { 2 } ∫ e ^ u \, d u = \frac { 1 }{ 2 } e ^ u + C = \frac { 1 } { 2 } e ^ 2 x ^ 3 + C .$$

مثال 9 انتگرال e

حاصل انتگرال معین زیر را به دست آورید.

$$\large ∫ ^ 1 _ 0 x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x .$$

حل: از تغییر متغیر $$u = 4 x ^ 3 + 3$$ و در نتیجه، $$d u = 8 x d x$$ استفاده می‌کنیم. در این صورت، باید حدود انتگرال‌گیری را اصلاح کنیم: وقتی $$x = 0$$ باشد، $$u = 3$$ و وقتی $$x = 1$$ باشد، $$u = 7$$ خواهد بود. بنابراین، جواب انتگرال e به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} ∫ ^ 1 _ 0x e ^ { 4 x ^ 2 + 3 } \, d x & = \dfrac { 1 } { 8 } ∫ ^ 7 _ 3 e ^ u \, d u \\[5pt] & = \dfrac { 1 } { 8 } e ^u | ^ 7 _ 3 \\[5pt] & = \dfrac { e ^ 7 − e ^ 3 }{ 8 } \\[5pt] & ≈ 1 3 4.568 \end {align*}$$

مثال 10 انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } } { x ^ 2 } \, d x . \nonumber$$

حل: مسئله را بازنویسی می‌کنیم. ابتدا $$e ^ \frac 1 x$$ را به صورت $$e ^ {x ^ {- 1 }}$$ و $$\frac { 1 } { x ^ 2 }$$ را به صورت $$x ^ { - 2 }$$ می‌نویسیم. بنابراین، انتگرال e به فرم زیر در می‌آید:

$$\large ∫ ^ 2 _ 1 \dfrac { e ^ { 1 / x } }{ x ^ 2 } \, \, d x = ∫ ^ 2 _ 1 e ^ { x ^ { − 1 } } x^ { − 2 } \, d x .$$

با در نظر گرفتن $$u=x^{−1}$$ و در نتیجه، $$du=−x^{−2}\,dx$$. بنابراین، انتگرال e به صورت زیر در می‌آید:

$$\large −∫e^u\,du. \nonumber$$

در ادامه، حدود انتگرال‌گیری را تغییر می‌دهیم:

$$\large u=(1)^{−1}=1 \nonumber$$

$$\large u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber$$

بنابراین، جواب انتگرال e برابر است با:

$$\large − ∫ ^ { 1 / 2 } _ 1 e ^ u \, d u = ∫ ^ 1 _ { 1 /2 } e ^ u \, d u = e ^ u \big | ^ 1 _{ 1 / 2 } = e − e ^ { 1 / 2 } = e − \sqrt { e } .\nonumber$$

مثال 1۱ انتگرال e

انتگرال $$\displaystyle { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x }$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا از $$e ^ { 9 x }$$ فاکتور می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 1 2 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x & = \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x + 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x \\ & = { \int \big ( 2 7 e ^ { 9 x } + e ^ { 3 x} e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\ & = { \int \big ( \big ( e ^ { 9 x } \big ) \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\ & = { \int \big ( e ^ { 9 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3} \, d x } \\ & = { \int e ^ { ( 9 x ) ( 1 / 3 ) } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \\ & = { \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x } \end {align*}$$

از تغییر متغیر $$u = 27 + e ^ { 3 x }$$ و در نتیجه، $$d u = 3 e ^ { 3 x } d x$$ استفاده می‌کنیم و با توجه به انتگرال e خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \int e ^ { 3 x } \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, d x & = { \int \big ( 2 7 + e ^ { 3 x } \big ) ^ { 1 / 3 } \, e ^ { 3 x } d x } = { \int u ^ { 1 / 3 } \, ( 1 / 3 ) d u } \\ & = { ( 1 / 3 ) \int u ^ { 1 / 3 } \, d u } = { ( 1 / 3 ) { u ^ { ( 1 / 3 ) + 1 } \over ( 1 / 3 ) + 1 } } + C \\ & = { ( 1 / 3 ) { u ^ { 4 / 3 } \over 4 / 3 } } + C = { ( 1 / 3 ) ( 3 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C \\ & = { ( 1 / 4 ) ( 2 7 + e ^ { 3 x } ) ^ { 4 / 3 } } + C \end {align*}$$

مثال 1۲ انتگرال e

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\large { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x }$$

حل: از تغییر متغیر $$u = e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1$$ و در نتیجه، $$d u = 2 e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x$$ استفاده می‌کنیم. با استفاده از فرمول انتگرال e می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} { \int { 8 e ^ x ( 3 + e ^ x ) \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, d x } & = \displaystyle { 8 \int { 1 \over \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } \, e ^ x ( 3 + e ^ x ) d x } \\ & = { 8 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, ( 1 / 2) d u } = 8 ( 1 / 2 ) \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u \\ & = { 4 \int { 1 \over \sqrt { u } } \, d u } = { 4 \int u ^ { - 1 / 2 } \, d u } = { 4 { u ^ { ( - 1 / 2 ) + 1 } \over { ( - 1 / 2 ) + 1} } } + C \\ & = { 4 { u ^ { 1 / 2 } \over { 1 / 2 } } } + C = { 4(2) u^{1/2} } + C = { 8 ( e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 ) ^ { 1 / 2 } } + C \\ & = { 8 \sqrt { e ^ { 2 x } + 6 e ^ x + 1 } } + C \end {align*}$$

فهرست انتگرال‌های نمایی e

در این بخش، فهرستی از انتگرال‌های توابع نمایی مختلف را ارائه می‌کنیم.

انتگرال نامعین

انتگرال‌های نامعین، توابع پادمشتق هستند و یک عدد ثابت (ثابت انتگرال‌گیری) به سمت راست فرمول آن‌ها افزوده می‌شود. برای سادگی، ثابت انتگرال‌گیری را در فرمول‌ها نیاورده‌ایم.

انتگرال‌هایی که چندجمله‌ای دارند

$$\large \int x e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { c x - 1 }{ c ^ { 2 } } \right )$$

$$\large \int x ^ 2 e ^ { c x } \, d x = e ^ { c x } \left ( \frac { x ^2 } {c } - \frac { 2 x } { c ^ 2 } + \frac { 2 } { c ^ 3 } \right )$$

$$\large \begin {align} \int x ^ n e ^ { c x } \, d x & = \frac { 1 } { c } x ^ n e ^ { c x } - \frac { n } { c } \int x ^ { n - 1 } e ^ { c x } \, d x \\ & = \left ( \frac { \partial } { \partial c } \right ) ^ n \frac { e ^ { c x } } { c } \\ & = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( - 1 ) ^ i \frac { n ! }{ ( n - i ) ! c ^ { i +1 } }x ^ { n - i } \\ & = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ n ( - 1 ) ^ { n - i } \frac { n ! } { i! c ^ { n - i + 1} } x^ i \end {align}$$

$$\large \int \frac { e ^ { c x } } { x } \, d x = \ln | x | + \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac { ( c x ) ^ n } { n \cdot n ! }$$

$$\large \int \frac { e ^ { c x } } { x ^ n } \, d x = \frac { 1 } { n- 1 } \left ( - \frac { e ^ { c x } } {x ^ { n - 1 } } + c \int \frac { e ^{ c x } } { x ^ { n - 1} } \, d x \right ) \qquad \text{(for } n \neq 1 \text {)}$$

انتگرال‌هایی که فقط تابع نمایی دارند

$$\large \int f' ( x ) e ^ { f ( x ) } \, d x = e ^ { f ( x ) }$$

$$\large \int e ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c } e ^ { c x }$$

$$\large \int a ^ { c x } \, d x = \frac { 1 } { c \cdot \ln a } a ^ { c x } \qquad \text{ for } a > 0 , \ a \ne 1$$

انتگرال‌هایی که توابع نمایی و مثلثاتی دارند

$$\large \begin {align} \int e ^ { c x } \sin b x \, d x & = \frac { e ^ { c x } } { c^ 2 + b ^ 2 } ( c \sin b x - b \cos b x ) \\ & = \frac { e ^ { c x} } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } } \sin ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b ^ 2 } } \end {align}$$

$$\large \begin {align} \int e ^ { c x } \cos b x \, d x & = \frac { e ^ { c x} } { c ^ 2 + b ^2 } ( c \cos b x + b \sin b x ) \\ & = \frac { e ^ { c x } } { \sqrt { c ^ 2+ b ^ 2 } } \cos ( b x -\phi ) \qquad \text {where } \cos ( \phi ) = \frac { c } { \sqrt { c ^ 2 + b^ 2 }} \end {align}$$

$$\large \int e ^ { c x } \sin ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \sin ^ { n - 1 } x } { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \sin x - n \cos x) + \frac { n ( n - 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \sin ^ { n - 2 } x \, d x$$

$$\large \int e ^ { c x } \cos ^ n x \, d x = \frac { e ^ { c x } \cos ^ { n - 1 } x} { c ^ 2 + n ^ 2 } ( c \cos x + n \sin x ) + \frac { n ( n - 1 ) } { c ^ 2 + n ^ 2 } \int e ^ { c x } \cos ^ { n - 2 } x \, d x$$

انتگرال‌هایی که تابع خطا دارند

در فرمول‌های زیر، $$\text{erf}$$ تابع خطا و $$\text{Ei}$$ انتگرال نمایی است.

$$\large \int e ^ { c x } \ln x \, d x = \frac { 1 }{ c } \left ( e ^ { c x } \ln | x | - \operatorname { E i } ( c x ) \right )$$

$$\large \int x e ^ { c x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 c } e ^ { c x ^ 2 }$$

$$\large \int e ^ { - c x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { 4 c } } \operatorname {erf} ( \sqrt { c } x )$$

$$\large \int x e ^ { - c x ^ 2 } \, d x = - \frac { 1 } { 2 c } e ^ { - c x ^ 2 }$$

$$\large \int \frac { e ^ {- x^ 2 } } { x ^ 2 } \, d x = -\frac { e ^ {- x ^ 2 } } {x } - \sqrt { \pi } \operatorname {erf} ( x )$$

$$\large \int { \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { -\frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { x - \mu } { \sigma } \right ) ^ 2 }} \ , d x = \frac { 1 } {2 } \operatorname {erf} \left ( \frac { x - \mu }{ \sigma \sqrt { 2 } } \right )$$

سایر انتگرال‌ها

$$\large \int e ^ { x ^ 2 } \, d x = e ^ { x ^ 2 } \left ( \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } c _ { 2 j } \frac { 1 } { x ^ { 2 j + 1 } } \right ) + ( 2 n - 1 ) c _ { 2 n- 2 } \int \frac { e ^{ x ^ 2 } } { x ^ {2 n }} \, d x \quad \text {valid for any } n > 0 ,$$

که در آن، $$c _ { 2 j } = \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 j - 1) }{ 2 ^ { j + 1 } } = \frac { ( 2 j ) ! } {j ! 2 ^ { 2 j + 1 } }$$.

$$\large { \int \underbrace { x ^ { x ^ { \cdot ^ { \cdot ^ { x } } } }} _ m d x = \sum _ { n = 0 } ^ m \frac { ( - 1) ^ n ( n + 1 ) ^{ n - 1 } }{ n ! } \Gamma ( n + 1 , - \ln x ) + \sum _ { n = m + 1 } ^ \infty ( - 1) ^ n a _ { m n } \Gamma ( n + 1 , - \ln x ) \qquad \text{(for }x> 0\text{)}}$$

که در آن،

$$\large a _ { m n } = \begin {cases} 1 & \text {if } n = 0, \\ \\ \dfrac { 1 } { n ! } & \text {if } m = 1 , \\ \\ \dfrac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } j a _ { m , n -j } a _ {m - 1 , j - 1 } & \text {otherwise} \end{cases}$$

و $$\Gamma(x,y)$$ تابع گاما است.

$$\large \int \frac { 1 } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { x } { b } - \frac { 1 } { b \lambda } \ln \left ( a e ^ { \lambda x } + b \right )$$

$$\large \int \frac { e ^ { 2 \lambda x } } { a e ^ { \lambda x } + b } \, d x = \frac { 1 } { a ^ 2 \lambda } \left [ a e ^ { \lambda x } + b - b \ln\left ( a e ^ {\lambda x} + b \right) \right]$$

$$\large \int \frac { a e ^ { c x} - 1 } { b e ^ { c x } - 1 } \, d x = \frac { ( a - b ) \log ( 1 - b e^ { c x} ) } { b c} + x .$$

انتگرال‌های معین

$$\large \begin {align} \int _ 0 ^ 1 e ^ { x \cdot \ln a + ( 1 - x ) \cdot \ln b } \, dx & = \int_0^1 \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ { x} \cdot b\,dx \\ & = \int _ 0 ^ 1 a ^ { x} \cdot b ^ { 1 - x } \, d x \\ & = \frac { a - b } { \ln a - \ln b } \qquad\text{for } a > 0,\ b > 0,\ a \neq b \end{align}$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x } \, d x = \frac { 1 } { a } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 )$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a } \quad (a>0)$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \sqrt { \pi \over a } \quad ( a > 0 )$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \sqrt { \pi \over a } e^ { \tfrac { b ^ 2 } { 4a } } \quad(a > 0)$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - a x ^ 2 } e ^ { - 2b x } \, d x = \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^2 } { a } } \quad ( a > 0 )$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x e ^ { - a ( x - b ) ^ 2 } \, d x = b \sqrt { \frac { \pi } { a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) >0 )$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x e ^ { - a x ^2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } b } { 2 a^ { 3 / 2 } } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4 a } } \quad ( \operatorname { R e } ( a ) > 0 )$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty} x ^ 2 e ^ { - a x ^ 2 } \, d x = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \pi \over a ^ 3 } \quad ( a > 0 )$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ 2 e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 2a + b ^ 2) }{ 4 a^ { 5 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 }{ 4a } } \quad ( \operatorname{Re}(a)>0)$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ 3 e ^ { - a x ^ 2 + b x } \, d x = \frac { \sqrt { \pi } ( 6 a + b ^2 ) b} { 8 a ^ {7 / 2} } e ^ { \frac { b ^ 2 } { 4a } } \quad (\operatorname{Re}(a)>0)$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ { n } e ^ {- a x ^ 2 } \, d x = \begin {cases} \dfrac { \Gamma \left ( \frac { n + 1 } { 2 } \right ) }{ 2 \left ( a ^ \frac { n + 1 } { 2 } \right ) } & ( n >- 1 , \ a > 0) \\ \\ \dfrac { ( 2 k - 1 ) ! ! } {2 ^ { k +1 } a ^ k } \sqrt { \dfrac { \pi } { a } } & ( n = 2 k , \ k \text { integer} , \ a > 0 ) \ \text {(!! is the double factorial)} \\ \\ \dfrac{k!}{2(a^{k+1})} & (n=2k+1,\ k \text{ integer},\ a>0) \end{cases}$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } x ^ n e ^ { - a x } \, d x = \begin {cases} \dfrac { \Gamma ( n + 1 )} { a ^ { n+ 1 } } & ( n > - 1 , \ a > 0 ) \\ \\ \dfrac { n ! } { a ^ { n + 1 }} & (n = 0 , 1 , 2 ,\ldots,\ a>0) \end{cases}$$

$$\large \int _ 0 ^ { 1 } x ^n e ^ {- a x } \, d x = \frac { n ! }{ a ^{ n + 1 } } \left[ 1 - e^ { - a } \sum _ { i = 0 } ^{ n } \frac{a^i}{i!} \right]$$

$$\large \int _ 0 ^ \infty e ^ { - a x ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { - \frac { 1 } { b } } \Gamma \left ( \frac { 1 } { b } \right )$$

$$\large \int _ 0 ^ \infty x ^ n e ^ { -ax ^ b } d x = \frac { 1 } {b } \ a ^ { - \frac { n +1 } { b} } \Gamma \left ( \frac { n +1 } { b } \right )$$

$$\large \int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } e ^ { - a x } \cos b x \, d x = \frac { a } {a ^ 2 + b ^2 } \quad ( a > 0 )$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { - a x } \sin b x \, d x = \frac { 2 ab } { ( a ^ 2 + b ^2 ) ^ 2} \quad ( a > 0 )$$

$$\large \int _ 0 ^ { \infty } x e ^ { - a x } \cos b x \, d x = \frac { a ^2 - b ^ 2 }{ ( a^ 2 + b ^ 2 ) ^ 2 } \quad (a>0)$$

$$\large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta } d \theta = 2 \pi I_0(x)$$

$$\large \int _ 0 ^ { 2 \pi } e ^ { x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I _ 0 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$$