چرخ دنده ساده و محاسبات آن – از صفر تا صد

۳۲۵۷۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷ دقیقه
چرخ دنده ساده و محاسبات آن – از صفر تا صد

قبلاً در مجله فرادرس، انواع پرکاربرد چرخ دنده را در مقاله چرخ دنده - به زبان ساده معرفی کردیم. ساده‌ترین نوع آنها چرخ دنده ساده بود. چرخ دنده ساده برای انتقال نیرو بین محورهای موازی به کار می‌رود. این نوع چرخ دنده، به دلیل شکل ظاهری در دسته چرخ دنده‌های استوانه‌ای قرار می‌گیرد. سطح دندانه‌ها در این چرخ دنده، موازی محور است. در نتیجه، هیچ‌گونه نیروی تراستی در جهت محور ایجاد نخواهد شد. به دلیل ساختار ساده، چرخ دنده ساده را می‌توان با بیشترین دقت ممکن ساخت. راندمان چرخ دنده ساده در بازه 9494 تا 9898 درصد تغییر می‌کند. یکی از مهمترین معایب این چرخ دنده‌ها، سر و صدای آنهاست. هنگامی که دو چرخ دنده ساده با یکدیگر درگیر می‌شوند، با برخورد دندانه‌ها به یکدیگر، نویز و تمرکز تنش زیادی ایجاد می‌شود. پیش از محاسبه سرعت و نیروهای وارد به چرخ دنده ساده لازم است برخی اصطلاحات مربوط به هندسه چرخ دنده را تعریف کنیم.

997696

پارامترهای هندسی چرخ دنده ساده

تصویر زیر، یک چرخ دنده ساده را از نزدیک نشان داده است. پارامترهای اصلی چرخ دنده را در شکل می‌بینید. در ادامه به تعریف برخی از این پارامترها خواهیم پرداخت.

چرخ دنده ساده

  • گام: فاصله یک نقطه‌ روی دندانه تا نقطه متناظرش در دندانه مجاور بعدی را گام (Pitch) چرخ دنده می‌نامند. این فاصله با pp نشان داده می‌شود. مجموع کلفتی دنده و فاصله دو دندانه مجاور برابر با گام است.
  • اندازه سر دنده: به فاصله شعاعی بین بالای دندانه تا دایره گام، سر دنده (Addendum) گفته می‌شود و آن را با aa نشان می‌دهند.
  • اندازه پایه دنده: به فاصله شعاعی از ریشه دندانه تا دایره گام، اندازه پایه دنده (Dedendum) گفته می‌شود و آن را با dd نشان می‌دهند.
  • عمق دندانه: به مجموع اندازه سر دنده و پایه دنده، عمق دندانه گفته می‌شود.

شکل زیر، دو چرخ دنده درگیر را نشان می‌دهد. برخی دیگر از پارامترهای اصلی در این شکل نشان داده شده است. آنها را با هم مرور می‌کنیم.

چرخ دنده درگیر

  • دایره مبنا: دایره مبنا (Base Circle) دایره‌ای است که دندانه‌ها روی آن قرار گرفته‌اند.
  • دایره گام: هنگامی که دو چرخ دنده باهم درگیر می‌شوند، دو دایره فرضی وجود دارد که به هم مماس هستند. این دو دایره، دایره گام (Pitch Circle) و قطر آنها نیز، قطر گام (Pitch Diameter) نامیده می‌شوند. برای به دست آوردن گام، محیط دایره گام را به تعداد دندانه‌ها تقسیم می‌کنیم.
  • خط فشار: خطی که به هر دو دایره مبنا مماس است، خط فشار نامیده می‌شود. زاویه بین خط فشار و خط تماس دایره‌های گام، به عنوان زاویه فشار شناخته می‌شود. در طراحی‌ها، زاویه فشار معمولاً 14.514.5، 2020 و 2525 درجه در نظر گرفته می‌شود.
  • مدول چرخ دنده: یکی از مهمترین مشخصه‌های هر چرخ دنده که معیاری از سایز آن چرخ دنده را بیان می‌کند، مدول (Module) چرخ دنده نامیده می‌شود. مدول چرخ دنده به صورت نسبت قطر دایره گام (برحسب میلی‌متر) به تعداد دندانه‌ها و به صورت زیر تعریف می‌شود. مدول چرخ دنده را همچنین می‌توان با تقسیم گام به عدد π\large \pi محاسبه کرد. این مشخصه، عموماً عددی بین 0.30.3 تا 2525 میلی‌متر است. مدول چرخ دنده با اندازه سر دنده برابر است. در بیشتر موارد، اندازه پایه دنده نیز با حاصل‌ضرب عدد 1.251.25 در مدول چرخ دنده برابری می‌کند. شرط اینکه دو چرخ دنده با هم درگیر شوند، این است که مدول یکسان داشته باشند.
  • گام قطری: گام قطری با PP (حرف بزرگ) نشان داده شده و عکس مدول محاسبه می‌شود. تعداد دندانه‌ها تقسیم بر قطر دایره گام، برابر با گام قطری (Diametral Pitch) است. گام (pp) و گام قطری (PP) دو مفهوم مجزا هستند و با رابطه p=πP\large p=\frac{\pi}{P} می‌توان یکی را برحسب دیگری محاسبه کرد.

محاسبه سرعت در چرخ دنده ساده

هنگامی که دو چرخ دنده باهم درگیر می‌شوند، دایره‌های گام آنها بدون لغزش روی هم می‌غلتند. بنا به قرار داد، در نام‌گذاری‌ها عدد ۱ به قاب و چهارچوب ماشین اختصاص داده می‌شود. پس از آن، چرخ دنده‌ها با شروع از عدد ۲ نام‌گذاری می‌شوند. شعاع دایره گام هریک از دو چرخ دنده را r2r_2 و r3r_3 می‌نامیم. هر دو دایره به ترتیب با سرعت زاویه‌ای ω2\omega_2 و ω3\omega_3 در حال چرخش هستند. در این وضعیت، سرعت خطی ذره‌ای که روی دایره گام قرار دارد، به صورت زیر محاسبه می‌شود.

V=r2ω2=r3ω3\large V=|r_2\omega_2|=|r_3\omega_3|

بنابراین، بین نسبت شعاع دو دایره و سرعت زاویه‌ای آنها رابطه زیر برقرار است.

ω2ω3=r3r2\large |\frac{\omega_2}{\omega_3}|=|\frac{r_3}{r_2}|

فرض کنید قرار است یک کاهنده‌ سرعت را طوری طراحی کنیم که سرعت ورودی 1800rev/min1800\:rev/min را به سرعت خروجی 1200rev/min1200\:rev/min تبدیل کند. در اینجا سرعت با نسبت 3:23:2 کم شده است. در نتیجه اگر به عنوان مثال، شعاع دایره گام پینیون 44 سانتیمتر باشد، شعاع دایره گام چرخ دنده باید 66 سانتیمتر در نظر گرفته شود.

چرخ دنده‌های 2 و ۳ را در شکل زیر در نظر بگیرید. با داشتن سرعت چرخ دنده شماره ۲ و تعداد دندانه‌ یا قطر گام هر دو چرخ دنده، سرعت چرخ دنده شماره ۳ به صورت زیر قابل محاسبه است.

نسبت سرعت چرخ دنده

n3=N2N3n2=d2d3n2\large n_3=|\frac{N_2}{N_3}n_2|=|\frac{d_2}{d_3}n_2|

در رابطه بالا، nn سرعت برحسب دور در دقیقه، NN تعداد دندانه و dd هم قطر دایره گام را نشان می‌دهد. این رابطه، برای تمام انواع چرخ دنده (ساده، مارپیچ، مخروطی و حلزونی) قابل استفاده است. در طراحی‌ها پیشنهاد می‌شود نسبت تبدیل سرعت در دو چرخ دنده مجاور، از 10:1\large 10:1 بیشتر نشود. حال آنکه در شرایط عادی، از چرخ دنده ساده برای نسبت‌های سرعت‌ 1:11:1 تا 6:16:1 استفاده می‌شود. همین روش را می‌توان برای به دست آوردن سرعت چرخ دنده‌های بعدی نیز به کار برد. به عنوان مثال در شکل قبل، سرعت چرخ دنده شماره ۶ به صورت زیر به دست می‌آید.

n6=N2N3N3N4N5N6n2\large n_6=|\frac{N_2}{N_3}\frac{N_3}{N_4}\frac{N_5}{N_6}n_2|

مثال ۱

سؤال: مجموعه دنده‌ای را در نظر بگیرید که از یک پینیون و یک چرخ دنده تشکیل شده است. پینیون، 16 دندانه و چرخ دنده ۴۰ دندانه دارد. گام قطری برابر ۲ است. ارتفاع سر دنده و پایه دنده، به ترتیب با 1P\large \frac{1}{P} و 1.25P\large \frac{1.25}{P} به دست می‌آید و زاویه فشار 20 درجه است. الف) گام، فاصله مرکز دو چرخ دنده و شعاع دایره‌های مبنا را محاسبه کنید. ب) هنگام سوار کردن این دو چرخ دنده روی محور، فاصله مرکز آنها به اشتباه، 14in\large \frac{1}{4}\:in بیشتر شده است. زاویه فشار و قطر دایره گام را در حالت جدید به دست آورید.

پاسخ: برای حل قسمت الف، ابتدا گام چرخ دنده را حساب می‌کنیم.

p=πP=1.57in\large p=\frac{\pi}{P}=1.57 in

حال، قطر دایره گام را در پینیون و چرخ دنده به دست می‌آوریم.

dP=NPP=162=8in,      dG=NGP=402=20in\large d_P= \frac{N_P}{P}=\frac{16}{2}= 8\:in,~~~~~~ d_G= \frac{N_G}{P}=\frac{40}{2}= 20\:in

در نتیجه، فاصله بین مرکز دو چرخ دنده به صورت زیر است.

dP+dG2=8+202=14in\large \frac{d_P+d_G}{2}=\frac{8+20}{2}= 14\:in

از آنجایی که زاویه فشار ۲۰ درجه است، شعاع دایره مبنا را از طریق رابطه زیر محاسبه می‌کنیم.

rb=rcosϕ {rbP=82cos20=3.76inrbG=202cos20=9.40in\large r_b=r\:\cos\phi\\~\\ \large \Rightarrow\begin{cases} r_{bP} =\frac{8}{2}\cos20^\circ = 3.76\:in \\ r_{bG} =\frac{20}{2}\cos20^\circ =9.40\:in \end{cases}

برای حل قسمت دوم سؤال، قطرهای جدید دایره گام را dP\large d_P^\prime و dG\large d_G^\prime می‌نامیم. در این حالت، فاصله مرکز دو چرخ دنده به صورت زیر به دست می‌آید.

dP+dG2=14.25in\large \frac{d_P^\prime+d_G^\prime}{2} = 14.25\:in

از طرفی، می‌دانیم نسبت سرعت به شکل رابطه زیر است و تغییر نمی‌کند.

dPdG=1640\large \frac{d_P^\prime}{d_G^\prime} = \frac{16}{40}

با ادغام دو رابطه اخیر، قطر جدید گام به دست می‌آید.

dP=8.14in     dG=20.36in\large d_P^\prime =8.14\:in~~~~~ d_G^\prime =20.36\:in

با قرار دادن مقادیر مربوط به هریک از دو چرخ دنده، زاویه جدید فشار به صورت زیر قابل محاسبه است.

rb=rcosϕ ϕ=cos1rbPdP/2=cos13.768.14/2=22.59\large r_b=r\:\cos\phi\\~\\ \large \Rightarrow \phi^\prime =\cos^{-1}\frac{r_{bP}}{d_P^\prime/2}=\cos^{-1}\frac{3.76}{8.14/2}=22.59^\circ

محاسبه نیروها در چرخ دنده ساده

شکل زیر را در نظر بگیرید. دو چرخ دنده ساده باهم درگیر شده‌اند. پینیون با سرعت n2\large n_2 دور در دقیقه در جهت عقربه‌های ساعت در حال چرخش است. با حرکت پینیون، چرخ دنده نیز با سرعت n3\large n_3 دور در دقیقه می‌چرخد. نیروهای عکس‌العمل بین دندانه‌های این دو چرخ‌دنده ساده، در راستای خط فشار است.

نیرو و گشتاوری که از طرف محور a\large a به پینیون وارد می‌شود را به ترتیب با Fa2F_{a2} و Ta2T_{a2} نشان داده‌ایم. F32F_{32} هم نیرویی است که چرخ دنده به پینیون وارد می‌کند. به طریقی مشابه، نیروها و گشتاور وارد به چرخ دنده نیز در جهت عکس است. مولفه tt نشان دهنده نیرو در جهت مماسی و مولفه rr نشان دهنده نیرو در جهت شعاعی است. نیروی انتقالی برابر با مولفه مماسی نیروی F32F_{32} است و به صورت زیر تعریف می‌شود.

محاسبه نیرو چرخ دنده

Wt=F32t=2Ta2d2\large W_t=F_{32}^t=\frac{2T_{a2}}{d_2}

توجه کنید که مولفه شعاعی نیروی F32F_{32}، هیچ کمکی به انتقال نیرو نمی‌کند. همچنین توان انتقالی را نیز می‌توان با استفاده از رابطه زیر به دست آورد. توان انتقالی را با HH نشان می‌دهیم.

H=Tω=(Wtd/2)ω\large H=T\omega=(W_td/2)\omega

از آنجایی که راندمان چرخ دنده‌ها بالا و اصطکاک بین آنها ناچیز است، رابطه بالا را می‌توان با قرار دادن از dd و ω\omega هر کدام از چرخ دنده‌ها محاسبه کرد. سرعت چرخ دنده را به صورت زیر هم می‌توان بیان کرد. رابطه زیر، سرعت خطی ذره‌ای را نشان می‌دهد که روی محیط دایره گام چرخ دنده قرار دارد.

V=(d/2)ω    V=πdn12\large V=(d/2)\omega~~\rightarrow~~V=\frac{\pi dn}{12}

در رابطه بالا، nn سرعت دوران چرخ دنده را به صورت دور در دقیقه نشان می‌دهد. نیروی انتقالی را می‌توان برحسب سرعت خطی چرخ‌دنده و در سیستم انگلیسی به صورت زیر بازنویسی کرد.

Wt=33,000HV\large W_t=33,000 \:\frac{H}{V}

در این رابطه، WtW_t نیروی انتقالی را با واحد lbflbf نشان می‌دهد. توان انتقالی HH برحسب اسب بخار است و سرعت خطی به صورت فوت در دقیقه اندازه‌گیری می‌شود. سیستم SISI، رابطه بالا را به شکل زیر تبدیل می‌کند. در این رابطه، توان به صورت کیلووات و نیروی انتقالی با واحد کیلو نیوتن محاسبه می‌شوند.

Wt=60,000Hπdn\large W_t=60,000 \:\frac{H}{\pi dn}

مثال ۲

سؤال: به شکل زیر توجه کنید. پینیون شماره ۲ با سرعت 1750rev/min\large 1750\:rev/min می‌چرخد و توانی برابر با 2.5kW\large 2.5\:kW به چرخ دنده شماره ۳ منتقل می‌کند. زاویه فشار ۲۰ درجه و مدول چرخ دنده برابر با m=2.5mm\large m=2.5\:mm است. نیروهای وارد به چرخ دنده شماره ۳ را محاسبه کنید.

مثال حل شده چرخ دنده

پاسخ: ابتدا قطر گام را در چرخ دنده‌های ۲ و ۳ محاسبه می‌کنیم.

d2=N2m=20×2.5=50mm d3=N3m=50×2.5=125mm\large d_2=N_2m=20\times2.5=50\:mm\\~\\ \large d_3=N_3m=50\times2.5=125\:mm

حال، نیروی انتقالی را با کمک رابطه زیر به دست می‌آوریم. در این رابطه، به جای سرعت ω\omega از سرعت nn استفاده شده است که برحسب دور در دقیقه محاسبه می‌شود.

Wt=60,000Hπdn=60,000×2.5π×50×1750=0.546kN=F23t\large W_t=\frac{60,000H}{\pi dn}=\frac{60,000\times2.5}{\pi \times50\times1750}=0.546\:kN=F_{23}^t

اکنون با استفاده از زاویه فشار، به راحتی نیروی شعاعی و برآیند نیرویی که چرخ دنده ۲ به ۳ وارد می‌کند، به دست می‌آید.

F23r=F23t×tan20=0.546×tan20=0.199kN F23=F23tcos20=0.581kN\large F_{23}^r=F_{23}^t\times\tan 20^\circ = 0.546\times\tan 20^\circ = 0.199\:kN\\~\\ \large F_{23}=\frac{F_{23}^t}{\cos20^\circ}=0.581\:kN

چرخ دنده شماره ۳، هرزگرد است و توانی را به محور خود انتقال نمی‌دهد. بنابراین، نیروی مماسی چرخ دنده شماره ۴ به ۳ هم برابر Wt\large W_t است.

F43T=0.546kN,     F43r=0.199kN,     F43=0.581kN\large F_{43}^T =0.546\:kN,~~~~~F_{43}^r =0.199\:kN,~~~~~F_{43} =0.581\:kN

در نهایت، نیروی عکس‌العمل محوری را به صورت زیر به دست می‌آوریم.

Fb3x=(F23t+F43r)=(0.546+0.199)=0.347kN Fb3y=(F23r+F43t)=(0.1990.546)=0.347kN Fb3=(0.347)2+(0.347)2=0.491kN\large F_{b3}^x =-(F_{23}^t +F_{43}^r ) =-(-0.546+0.199) =0.347kN\\~\\ \large F_{b3}^y =-(F_{23}^r +F_{43}^t ) =-(0.199-0.546) =0.347kN\\~\\ \large F_{b3}=\sqrt{(0.347)^2+(0.347)^2}=0.491\:kN

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۱۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
University of WashingtonKohara Gear Industry CoShigley's Mechanical Engineering Design
۱۱ دیدگاه برای «چرخ دنده ساده و محاسبات آن – از صفر تا صد»

سلام
دست شما درد نکنه. خیلی خوب بود. می دونم تقاضای زیادیه ولی اگه یه دکمه ی پرینت هم داشت برای ما پیرمردا که دیگه چشم کامپیوتر نداریم، خیلی عالی می شد!

دمتون گرم

سپاسگزارم از آموزش فوق العادتون.فقط یک سوال دارم.عرض دندانه های پینیون و چرخدنده باید با هم برابر باشند؟؟اگر عرض دندانه یکی مثلا 2.5 اینچ و دیگری 6 اینچ باشه منطقیه؟؟

عرض دو چرخ دنده درگیر باید با هم برابر باشد ولی برای اینکه درگیری حتمی باشد یکی را میتوان کمی بزرگتر انتخاب کرد . ان عرض هایی که نوشته اید ، خیر منطقی نیست.

خیلی خوب و کاربردی

شماره تماس لطفا بگذارید

خیلی ممنون عالی بود فقط یه سوال
برای دوچرخه (یک چرخ دنده)
با بزرگ تر شدن قطر چرخ دنده یعنی با افزایش مساحت چرخ دنده، تعداد دنده ها که زیاد میشن بر اساس زیاد شدن اندازه قطر تعداد دندانه های چرخ دنده با چه فرمولی پیدا میشه؟؟؟

خواهش میکنم اگه میدونید بگید

عالی بود فقط خط تماس دایره‌های گام رو درست متوجه نشدم و اینکه آیا این روابط برای تمام چرخ دنده ها هست چون من یک چرخ دنده دوبل هلیکال (Double helical) یا همون هرینگبون (Herringbone) طراحی کردم ولی توی چرخدنده متناظرش نمیوفته !!!!

توجه کنید دو چرخ دنده مارپیچ درگیر یکی زاویه اش چپ دست است و دیگری راست دست.

بسسسسیییییار عالییییی
اجرتون با امام حسین علیه السلام

در مورد طراحی های دیگر هم اگر ممکنه این مطالب را بگذارید

با سلام. تشکر از مطالب بسیار خوبتون. واقعا ممنونم

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *