نمونه سوال معادلات دیفرانسیل + جواب و راه حل

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مفهوم معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم و انواع معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل آن‌ها را بیان کردیم. در این آموزش، تعدادی نمونه سوال معادلات دیفرانسیل را همراه با جواب آن‌ها بررسی می‌کنیم.

روش حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل

همان‌طور که در آموزش‌های گذشته مجله فرادرس دیدیم، نمونه سوال معادلات دیفرانسیل را می‌توان در دسته‌های مختلفی قرار داد و برای هریک، با توجه به ساختارشان، یک روش حل مناسب ارائه کرد. پیش از حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل بهتر است با انواع آن‌ها و روش حلشان آشنا شویم.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در مجله فرادرس، همه انواع معادلات دیفرانسیل کتاب‌های درسی پوشش داده شده‌اند و با جست‌و جو در مجله فرادرس، می‌توانید موضوع مورد نظرتان را یاد بگیرید. برخی از موضوعات مرتبط با معادلات دیفرانسیل مجله فرادرس که برای حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل می‌توانید از آن‌ها کمک بگیرید، به شرح زیر هستند:‌

• معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده
• معادلات دیفرانسیل مرتبه اول — روش‌های حل به زبان ساده
• معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل برنولی — از صفر تا صد
• معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا — به زبان ساده
• حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش‌ سری توانی — همراه با مثال‌های کاربردی
• دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی — به زبان ساده
• معادلات دیفرانسیل ضمنی — به زبان ساده
• معادلات دیفرانسیل ناهمگن — به زبان ساده
• دستگاه معادلات دیفرانسیل ناهمگن — از صفر تا صد
• معادله دیفرانسیل چبیشف — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل بسل — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل اویلر — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل خطی — از صفر تا صد
• معادلات دیفرانسیل کامل — به زبان ساده
• روش تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد
• کاهش مرتبه معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد
• شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل جداشدنی — به زبان ساده
• معادله ریکاتی — از صفر تا صد
• تبدیل لاپلاس — به زبان ساده
• خواص تبدیل لاپلاس — به زبان ساده

علاوه بر آموزش‌هایی که بیان کردیم، می‌توانید از تقلب‌نامه معادلات دیفرانسیل نیز می‌توانید برای حل نمونه سوال معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. این تقلب‌نامه، به‌ویژه برای مرور فرمول‌ها پیش از امتحان مفید خواهد بود. تقلب‌نامه معادلات دیفراسیل را می‌توانید از این لینک دانلود کنید.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل با جواب

در این بخش، به حل چند نمونه سوال معادلات دیفرانسل می‌پردازیم.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱

معادله دیفرانسیل $${ \frac { { d y } } { { d x } } \normalsize } = y \left ( { y + 2 } \right )$$ را حل کنید.

حل سوال ۱: در معادله بالا، $$p\left( x \right) = 1$$ و $$h \left ( y \right ) = h \left ( y \right ) = y \left ( { y + 2 } \right )$$ است. معادله را بر $$h\left( y \right)$$ تقسیم می‌کنیم و $$dx$$ را به سمت راست انتقال می‌دهیم:

$$\frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = d x .$$

لازم به ذکر است که بعد از تقسیم، می‌توان گفت وقتی $$h(y)$$ صفر می‌شود،‌ $$y=0$$ و $$y=-2$$ جواب‌های معادله هستند. برای مثال، $$y=0$$ را در نظر بگیرید. واضح است که داریم:

$$y = 0,\;\;dy = 0.$$

با جایگذاری روابط بالا در معادله، خواهیم داشت: $$0 = 0$$. بنابراین، $$y=0$$ یکی از جواب‌های معادله است. به‌طور مشابه، می‌توان جواب بودن $$y= -2$$ را نیز بررسی کرد.

به معادله دیفرانسیل برمی‌گردیم و از آن انتگرال می‌گیریم:

$${ \int { \frac { { d y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } } = { \int { d x } + C . }$$

انتگرال سمت چپ را می‌توان با استفاده از تجزیه کسر انتگرالده محاسبه کرد:

$$  { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { A } { y } + \frac { B } { { y + 2 } } , \; \; } \Rightarrow<br /> { \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } = \frac { { A \left ( { y + 2 } \right ) + B y } } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } , \; \; }\\  \Rightarrow<br /> { 1 \equiv A y + 2 A + B y , \; \; } \Rightarrow<br /> { 1 \equiv \left ( { A + B } \right ) y + 2 A , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left \{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { A + B = 0 }\\<br /> { 2 A = 1 }<br /> \end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { A = \frac { 1 } { 2 } } \\<br /> { B = – \frac { 1 } { 2 } }<br /> \end {array} } \right . . } $$

تجزیه انتگرالده به کسرهای جزئی به‌صورت زیر است:

$${ \frac { 1 } { { y \left ( { y + 2 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) . }$$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$${ { \frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { \frac { 1 } { y } – \frac { 1 } { { y + 2 } } } \right ) d y } } = { \int { d x } + C , \;\; } } \Rightarrow { { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \int { \frac { { d y } } { y } } – \int { \frac { { d y } } { { y + 2 } } } } \right ) } = { \int { d x } + C , \;\; } } \\ \Rightarrow { { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \ln \left | y \right | – \ln \left | { y + 2 } \right | } \right ) } = { x + C , \;\; } } \Rightarrow { \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { y } { { y + 2 } } } \right| = x + C,\;\;}\Rightarrow {\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + 2C.}$$

ثابت را به‌صورت $$2C = {C_1}$$ می‌نویسیم. جواب نهایی معادله به‌شکل زیر خواهد بود:

 $${\ln \left| {\frac{y}{{y + 2}}} \right| = 2x + {C_1},\;\;\;}\kern-0.3pt{y = 0,\;\;\;}\kern-0.3pt{y = – 2.}$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

جواب معادله به‌صورت ضمنی است. در این حالت می‌توان عبارت بالا را به‌صورت تابع صریح $$y = f\left( {x,{C_1}} \right)$$ نوشت که $$C_1$$ یک ثابت است. البته این کار برای همه معادلات دیفرانسیل امکان‌پذیر نیست.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۲

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید و بازه اعتبار جواب معادله را بیابید.

$$y' = \frac { { x { y ^ 3 } } } { { \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } \hspace{0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 1$$

حل سوال ۲: ابتدا معادله را جدا می‌کنیم، سپس از دو طرف انتگرال می‌گیریم:

$$\begin {align*} { y ^ { - 3 } } d y & = x { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) ^ { - \frac { 1} { 2 } } } \, d x \\ \int { { { y^ { - 3 } } d y } } & = \int { { x { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \, d x } } \\ - \frac { 1 } { { 2 { y ^ 2 } } } & = \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } + c \end {align*}$$

شرایط اولیه را در معادله اخیر قرار داده و مقدار ثابت $$c$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$- \frac { 1 } { 2 } = \sqrt 1 + c \hspace{0.25in} c = - \frac { 3 } { 2 }$$

جواب ضمنی به‌صورت زیر است:

$$- \frac { 1 } { { 2 { y ^ 2 } } } = \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } - \frac { 3 } { 2 }$$

اکنون، $$y ( x )$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$\begin {align*} \frac { 1 } { { { y ^ 2 } } } & = 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } \\ { y ^ 2 } & = \frac { 1 } { { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } \\ y \left ( x \right ) & = \pm \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^2 } } } } } \end {align*}$$

با اعمال دوباره شرایط اولیه، می‌بینیم که جواب منفی صحیح است. بنابراین، جواب صریح به‌شکل زیر خواهد بود:

$$y \left ( x \right ) = - \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } } } }$$

اکنون باید دامنه اعتبار جواب را بررسی کنیم. این کار آسان‌تر از آن چیزی است که فکر می‌کنید. از آنجا که $$1 + {x^2} \ge 0$$ رادیکال داخلی مشکلی ندارد و برای همه $$x$$ها برقرار است. اکنون باید رادیکال بزرگ‌تر را بررسی کنیم که عبارت زیر آن باید بزرگ‌تر از صفر باشد:

$$\begin {align*} 3 - 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } & > 0\\ 3 & > 2 \sqrt { 1 + { x ^ 2 } } \\ 9 & > 4 \left ( { 1 + { x ^2 } } \right ) \\ \frac { 9 } { 4 } & > 1 + { x ^ 2 } \\ \frac { 5 } { 4 } & > { x ^ 2 } \end {align*}$$

توجه داشته باشید که توانستیم هر دو طرف نامساوی را به توان ۲ برسانیم، زیرا هر دو طرف آن در این حالت مثبت هستند. در نهایت با حل $$x$$ می‌بینیم که تنها محدوده ممکن $$x$$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$- \frac{{\sqrt 5 }}{2} < x < \frac{{\sqrt 5 }}{2}$$

که شامل شرایط اولیه $$x = 0$$ نیز هست. نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کند.

$$\frac { {d y } } { { d t } } = { { \bf { e } } ^ { y \, - \,t } }\sec \left ( y \right ) \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ), \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = 0$$

حل سوال ۳: این مثال به کمی کار نیاز دارد تا آن را جدا کنیم و به شکلی بنویسیم که بتوانیم از آن انتگرال بگیریم:‌

$$\begin {align*} \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { { { { \bf { e } } ^ y } { { \bf { e } } ^ { - t } } } } { { \cos \left ( y \right ) } } \left ( { 1 + { t ^2 } } \right ) \\ { { \bf { e } } ^ { - y } } \cos \left ( y \right ) \, d y & = { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) d t \end {align*}$$

اکنون، با انتگرال‌گیری از دو طرف تساوی، می‌توانیم یک جواب ضمنی معادله را به‌دست آوریم:

$$\begin {align*} \int { {{ { \bf { e } } ^ { - y } } \cos \left ( y \right ) \, d y } } & = \int { { { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) dt } } \\ \frac { { { { \bf { e } } ^ { - \, y } } } } { 2 } \left ( { \sin \left ( y \right ) - \cos \left ( y \right ) } \right ) & = - { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { { t ^ 2 } + 2 t + 3 } \right ) + c \end {align*}$$

با اعمال شرایط اولیه، خواهیم داشت:

$$\frac { 1 } { 2 } \left ( { - 1 } \right ) = - \left ( 3 \right ) + c \hspace {0.25in} c = \frac { 5 } { 2 }$$

در نتیجه، جواب به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$\frac { { { { \bf { e } } ^ { - y } } } } { 2 } \left ( { \sin \left ( y \right ) - \cos \left ( y \right ) } \right ) = - { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { { t ^ 2 } + 2 t + 3} \right ) + \frac { 5 } { 2 }$$

یافتن جواب صریح برای این مسئله ممکن نیست، بنابراین باید جواب را به‌شکل ضمنی آن بیان کنیم. یافتن بازه اعتبار از جواب‌های ضمنی اغلب می‌تواند بسیار دشوار باشد، بنابراین، در این مسئله نیز از آن صرف‌نظر می‌کنیم.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۴

معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را حل کنید.

$$\cos \left ( x \right ) y' + \sin \left ( x \right ) y = 2 { \cos ^ 3 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - 1 \hspace{0.25in} y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = 3 \sqrt 2 ,\hspace {0.25in} \, \,\,\,\,\,0 \le x < \frac { \pi } { 2 }$$

حل سوال ۴: معادله دیفرانسیل را بازنویسی می‌کنیم تا ضریب را به‌دست آوریم:‌

$$\begin {align*} y' + \frac { { \sin \left ( x \right ) } } { { \cos \left ( x \right ) } } y & = 2 { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - \frac { 1 } { { \cos \left ( x \right ) } } \\ y' + \tan \left ( x \right ) y & = 2 { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - \sec \left ( x \right ) \end {align*}$$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را محاسبه می‌کنیم:

$$\mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { \int { { \tan \left ( x \right ) \, d x } } } } = { { \bf { e } } ^ { \ln \left | { \sec \left ( x \right ) } \right | } } = { { \bf { e } } ^ { \ln \, \, \sec \left ( x \right ) } } = \sec \left ( x \right )$$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل ضرب می‌کنیم. توجه داشته باشید که عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل بازنویسی شده ضرب می‌کنیم و نه معادله دیفرانسیل اصلی. مطمئن شوید که این کار را انجام می‌دهید. اگر عامل انتگرال‌ساز را در معادله دیفرانسیل اصلی ضرب کنید، به جواب اشتباهی خواهید رسید.

$$\begin {align*} \sec \left ( x \right ) y' + \sec \left ( x \right ) \tan \left ( x \right ) y & = 2 \sec \left ( x \right ) { \cos ^ 2 } \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { \sec ^ 2 } \left ( x \right ) \\ { \left ( { \sec \left ( x \right ) y } \right ) ^ \prime } & = 2 \cos \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { \sec ^ 2 } \left ( x \right ) \end {align*}$$

اکنون از دو طرف انتگرال می‌گیرم:

$$\begin {align*} \int { { { { \left ( { \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) } \right ) } ^ \prime } \, d x } } & = \int { { 2 \cos \left ( x \right ) \sin \left ( x \right ) - { { \sec } ^ 2 } \left ( x \right ) \, d x } } \\ \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) & = \int { { \sin \left ( { 2 x } \right ) - { { \sec } ^ 2 } \left ( x \right ) \, d x } } \\ \sec \left ( x \right ) y \left ( x \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( { 2 x } \right ) - \tan \left ( x \right ) + c \end {align*}$$

از اتحاد مثلثاتی $$\sin \left( {2\theta } \right) = 2\sin \theta \cos \theta$$ استفاده می‌کنیم و جواب را به‌شکل زیر می‌نویسیم:

$$\begin {align*} y \left ( x \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \cos \left ( x \right ) \tan \left ( x \right ) + c \cos \left ( x \right ) \\ & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \sin \left ( x \right ) + c \cos \left ( x \right ) \end {align*}$$

در نهایت، مقدار ثابت $$c$$ را با استفاده از شرایط اولیه محاسبه می‌کنیم:

$$\begin {align*} 3 \sqrt 2 = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) \cos \left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right) - \sin \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) + c \cos \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) \\ 3 \sqrt 2 & = - \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } + c \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \\ c & = 7 \end {align*}$$

جواب نهایی معادله این‌گونه است:

$$y \left ( x \right ) = - \frac { 1 } { 2 } \cos \left ( x \right ) \cos \left ( { 2 x } \right ) - \sin \left ( x \right) + 7 \cos \left ( x \right )$$

نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۵

معادله دیفرانسیل $$\left( {1 + {y^2}} \right)dx +xydy = 0$$ را حل کنید.

حل سوال ۵: ابتدا کامل بودن معادله دیفرانسیل را آزمایش می‌کنیم:

$${ { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { x y } \right) } = { y,\;\;}}\kern0pt { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { 1 + { y ^ 2 } } \right) }={ 2 y . } }$$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را برای کامل شدن آن پیدا می‌کنیم.

عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم:

$${ \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { 2 y – y = y . }$$

معادله زیر فقط به متغیر $$x$$ وابسته است:

$${ \frac { 1 } { Q }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) } = { \frac { 1 } { { x y } } \cdot y } = { \frac{1}{x}}$$

بنابراین، عامل انتگرال‌ساز نیز فقط بر حسب $$x$$ خواهد بود: $$\mu = \mu \left( x \right)$$. معادله عامل انتگرال‌ساز به‌صورت زیر است:

$$\frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d x } } = \frac { 1 } { x }.$$

با جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

$${ \int { \frac { { d \mu } } { \mu } } = \int { \frac { { d x } } { x } } ,\;\;}\Rightarrow {\ln \left| \mu \right| = \ln \left| x \right|,\;\;}\Rightarrow { \mu = \pm x.}$$

تساوی $$\mu = x$$ را در نظر می‌گیریم. با ضرب معادله دیفرانسیل اصلی در $$\mu = x$$، معادله کامل می‌شود:

$$\left( {x + x { y ^ 2 } } \right) d x + { x ^ 2 } y d y = 0.$$

در واقع، اکنون داریم:

$${ \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } y } \right) } = { 2 x y } = { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { x + x { y ^ 2 } } \right) }={ 2 x y . }$$

معادله حاصل را حل می‌کنیم. تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x + x{y^2}\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2}y \end{array} \right..$$

از معادله اول می‌توان نوشت:

$${u\left( {x,y} \right) = \int {\left( {x + x{y^2}} \right)dx} }={ \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right).}$$

با جایگذاری این معادله در معادله دوم، می‌توانیم $$\varphi \left( y \right)$$ را محاسبه کنیم:‌

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2}y,\;\;}} \\ \Rightarrow { {x^2}y + \varphi’\left( y \right) = {x^2}y,\;\;}\Rightarrow { \varphi’\left( y \right) = 0.}$$

از معادله بالا $$\varphi \left( y \right) = C$$ به‌دست می‌آید که در آن $$C$$ یک ثابت است.

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل اصلی برابر است با:

$${\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} }+{ C }={ 0.}$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۶

جواب معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$t \, y' - 2 y = { t ^ 5 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 4 { t ^ 4 } \hspace {0.25in} y \left ( \pi \right ) = \frac { 3 } { 2 } { \pi ^ 4 }$$

حل سوال ۶: ابتدا دو طرف معادله را بر $$t$$ تقسیم می‌کنیم تا به فرم صحیح درآید:‌

$$y' - \frac { 2 } { t } y = { t ^ 4 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 2 } + 4 { t ^ 3 }$$

اکنون می‌توانیم عامل انتگرال‌ساز را محاسبه کنیم:

$$\mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { \int { { - \frac { 2 } { t } d t } } } } = { { \bf { e } } ^ { - 2 \ln \left | { \, t } \right | } }$$

$$\mu \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { - 2 \ln \left | { \, t } \right | } } = { { \bf { e } } ^ { \ln { { \left | { \, t } \right | } ^ { \, - \, 2 } } } } = { \left | t \right | ^ { - 2 } } = { t ^ { - 2 } }$$

اکنون، عامل انتگرال‌ساز را در معادله بازنویسی‌شده ضرب می‌کنیم:

$${ \left ( { { t ^ { - 2 } } y } \right ) ^ \prime } = { t ^ 2 } \sin \left ( { 2 t } \right ) - 1 + 4 t$$

برای به‌دست آوردن جواب، از دو طرف معادله انتگرال می‌گیریم:

$$\begin {align*} { t ^ { - 2 } } y \left ( t \right ) & = \int { { { t ^ 2 } \sin \left ( { 2 t } \right ) \, d t } } + \int { { - 1 + 4 t \, d t } } \\ { t ^ { - 2 } } y \left ( t \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 }{ 2 } t \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - t + 2 { t ^ 2 } + c \\ y \left ( t \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 2 } { t ^ 3 } \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 4 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 2 { t ^ 4 } + c { t ^ 2 } \end {align*}$$

اکنون با استفاده از شرایط اولیه مقدار ثابت $$c$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$y \left ( t \right ) = - \frac { 1 } { 2 } { t ^ 4 } \cos \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1 } { 2 } { t ^ 3 } \sin \left ( { 2 t } \right ) + \frac { 1} { 4 } { t ^ 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) - { t ^ 3 } + 2 { t ^ 4 } + \left ( {\pi - \frac { 1 } { 4 } } \right ) { t ^ 2 }$$

شکل زیر، نمودار جواب را نشان می‌دهد.

معادله دیفرانسیل $$y^{\prime\prime} = {\frac{1}{{4\sqrt y }}\normalsize}$$ را حل کنید.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۷

معادله دیفرانسیل زیر را با شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ حل کنید:

$${\frac{1}{{{y^2}}}\normalsize} – {\frac{2}{x}\normalsize} ={\frac{{2xy’}}{{{y^3}}}\normalsize}$$

حل سوال ۷: ابتدا معادله را به‌فرم استاندارد می‌نویسیم:

$${\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x} = \frac{{2x}}{{{y^3}}}\frac{{dy}}{{dx}},\;\;}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx = \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy,\;\;}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx – \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy }={ 0.}$$

مشتقات جزئی مربوط به آزمون کامل بوده، به‌صورت زیر هستند:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}},\;\;\;}}\kern-0.3pt {{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}}.}}$$

در نتیجه، معادله کامل است. اکنون دستگاه معادلات زیر را برای یافتن تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ تشکیل می‌دهیم:

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – \frac{{2x}}{{{y^3}}} \end{array} \right..$$

در ادامه، با انتگرال‌گیری از معادله دوم نسبت $$y$$، تابع مورد نظر را محاسبه می‌کنیم:

$${u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right)dy} } = {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right).}$$

با مشتق‌گیری از معادله اخیر نسبت به متغیر $$x$$، داریم:

$$\require {cancel} {{\frac{{\partial u}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right)} \right] }={ \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow<br /> {{\cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} + \psi’\left( x \right) }={ \cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow<br /> {\psi’\left( x \right) = – \frac{2}{x},\;\;}\Rightarrow<br /> {{\psi \left( x \right) = – 2\ln \left| x \right| }={ \ln \frac{1}{{{x^2}}}.}}$$

در نهایت، جواب عمومی معادله دیفرانسیل، به‌فرم ضمنی زیر به‌دست می‌آید:

$$\frac{x}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = C.$$

جواب خصوصی را نیز می‌توان با استفاده از شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ محاسبه کرد. با جایگذاری شرط اولیه، مقدار $$C$$ محاسبه می‌شود:

$${\frac{1}{{{1^2}}} + \ln \frac{1}{{{1^2}}} = C,\;\;}\Rightarrow {1 + 0 = C,\;\;}\Rightarrow {C = 1.}$$

بنابراین، جواب نهایی با در نظر گرفتن شرایط اولیه، به‌صورت زیر است:

$$\frac{1}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = 1.$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۸

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$${e^y}dx +\left( {2y + x{e^y}} \right)dy=0$$

حل سوال ۸: ابتدا کامل بودن معادله را بررسی می‌کنیم:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {2y + x{e^y}} \right) }={ {e^y},\;\;}}\kern-0.3pt {{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^y}} \right) }={ {e^y}.}}$$

می‌بینیم که تساوی $${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize} = {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize}$$ برقرار است، بنابراین، معادله کامل است. اکنون تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را از دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر پیدا می‌کنیم:

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^y}\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2y + x{e^y} \end{array} \right..$$

در نتیجه، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} } = {\int {{e^y}dx} }={ x{e^y} + \varphi \left( y \right).}$$

اکنون، با مشتق‌گیری از $$u$$ نسبت به $$y$$ می‌توانیم مشتق $$\varphi’\left( y \right)$$ را حساب کنیم:

$$\require {cancel}{{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {x{e^y} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ 2y + x{e^y},\;\;}}\\<br /> \Rightarrow<br /> {{\cancel{x{e^y}} + \varphi’\left( y \right) }={ 2y + \cancel{x{e^y}},\;\;}}\\ \Rightarrow<br /> {\varphi’\left( y \right) = 2y.}$$

در نتیجه، تابع $${\varphi \left( y \right)}$$‌ به‌دست می‌آید:

$${\varphi \left( y \right) = \int {2ydy} = {y^2},\;\;}\Rightarrow {u\left( {x,y} \right) = x{e^y} + \varphi \left( y \right) } = {x{e^y} + {y^2}.}$$

در نهایت، پاسخ معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر است:

$$x{e^y} + {y^2} = C.$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۹

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$2x{y^2} + 4 = 2\left( {3 - {x^2}y} \right)y'\hspace{0.25in}y\left( { - 1} \right) = 8$$

حل سوال ۹: ابتدا باید معادله دیفرانسیل را در شکل مناسب قرار دهیم. به یاد داشته باشید که یک طرف معادله باید برابر با $$0$$ باشد و علامت بین دو عبارت نیز مثبت باشد:

$$\begin{align*} 2 x { y ^ 2 } + 4 - 2\left ( { 3 - { x ^ 2 } y } \right ) y' & = 0 \\ 2 x { y ^ 2 } + 4 + 2 \left ( { { x ^ 2 } y - 3 } \right ) y' & = 0 \end {align*}$$

اکنون، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} M & = 2 x { y ^ 2 } + 4 \hspace{0.25in} { M _ y } = 4 x y \\ N & = 2 { x ^ 2 } y - 6 \hspace{0.25in} { N _ x } = 4 x y \end {align*}$$

و بنابراین معادله دیفرانسیل کامل است. می‌توانیم از $$M$$ روی $$x$$ و از $$N$$ روی $$y$$ انتگرال بگیریم. در اینجا، از $$N$$ انتگرال می‌گیریم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\Psi \left ( { x , y } \right ) = \int { { 2 { x ^ 2 } y - 6 \, d y } } = { x ^ 2 } { y ^ 2 } - 6 y + h \left ( x \right )$$

دقت کنید که ثابت انتگرال‌گیری تابعی از $$x$$ است، زیر روی $$y$$ انتگرال گرفته‌ایم. اکنون مشتق تابع اخیر را نسبت به $$x$$ می‌نویسیم و آن را برابر با $$M$$ قرار می‌دهیم:

$${ \Psi _ x } = 2 x { y ^ 2 } + h' \left ( x \right ) = 2 x { y ^ 2 } + 4 = M$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$h' \left ( x \right ) = 4 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,h\left( x \right ) = 4 x$$

بنابراین، $$\Psi\left(x,y\right)$$ به‌صورت زیر در خواهد آمد:

$$\Psi \left( {x,y} \right) = {x^2}{y^2} - 6y + 4x$$

در نتیجه، جواب ضمنی معادله دیفرانسیل به‌شکل زیر خواهد بود:

$${x^2}{y^2} - 6y + 4x = c$$

با اعمال شرایط اولیه، مقدار ثابت $$c$$ به‌دست می‌آید:

$$64 - 48 - 4 = c,\hspace{0.25in}c = 12$$

و جواب به‌صورت زیر است:

$${x^2}{y^2} - 6y + 4x - 12 = 0$$

از رابطه بالا، $$y (x )$$ به‌دست می‌آید:

$$\begin {align*} y \left ( x \right ) & = \frac { { 6 \pm \sqrt { 3 6 - 4 { x ^ 2 } \left ( { 4 x - 1 2 } \right ) } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 6 \pm \sqrt { 3 6 + 4 8 { x ^ 2 } - 1 6 { x ^ 3 } } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 6 \pm 2 \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { 2 { x ^ 2 } } } \\ & = \frac { { 3 \pm \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { { x ^ 2 } } } \end {align*}$$

با اعمال دوباره شرایط اولیه، می‌بینیم که رادیکال مثبت قابل قبول است و جواب صریح معادله به‌شکل نهایی زیر خواهد بود:

$$y \left ( x \right ) = \frac { { 3 + \sqrt { 9 + 1 2 { x ^ 2 } - 4 { x ^ 3 } } } } { { { x ^ 2 } } }$$

اکنون باید دامنه اعتبار جواب را پیدا کنیم. این دامنه شامل $$x$$های مخالف صفر و $$- 4{x^3} + 12{x^2} + 9>0$$ است که با محاسبه آن، به بازه زیر می‌رسیم:

$$- \infty < x < 0$$

نمودار جواب به‌شکل زیر است.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۰

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$y' + \frac { y } { x } = { y ^ 2 }$$

حل سوال ۱۰: این معادله یک معادله برنولی است و از تغییر متغیر زیر برای حل آن استفاده می‌کنیم:

$$z = {y^{1 - m}} = \frac{1}{y}$$

با مشتق‌گیری از معادله بالا، داریم:

$$z' = { \left ( { \frac { 1 } { y } } \right ) ^ \prime } = - \frac { { y' } } { {{ y^ 2 } } }$$

اکنون، معادله اصلی را بر $$y^ 2$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { { y' } } { { { y ^ 2 } } } + \frac { 1 } { { y x } } = 1$$

با این کار، جواب $$y = 0$$ از دست می‌رود (با جایگذاری مستقیم آن می‌توان این مورد را تحقیق کرد).

اکنون معادله را برحسب $$z$$ بازنویسی می‌کنیم:

$$z' - \frac { z } { x } = - 1$$

اکنون یک معادله خطی برای تابع $$z ( x )$$ داریم و می‌توانیم با روش عامل انتگرال‌ساز آن را حل کنیم:

$$u \left ( x \right ) = { e ^ { \int { \left ( { - \frac { 1 } { x } } \right ) d x } } } = e ^ { - \int { \frac { { d x } } { x } } } = { e ^ { - \ln \left | x \right | } } = { e ^ { \ln \frac { 1 } { { \left | x \right | } } } } = \frac { 1 } { { \left | x \right | } }$$

بنابراین، $$\frac 1 x$$ عامل انتگرال‌ساز است. در واقع:

$$z' \cdot \frac { 1 } { x } - \frac { z } { x } \cdot \frac { 1 } { x } = z' \cdot \frac { 1 } { x } - \frac { z } { { { x ^ 2 } } } = { \left ( {z \cdot \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime }$$

می‌بینیم که بعد از ضرب $$\frac 1 x$$، سمت چپ معادله به مشتق حاصل‌ضرب $$z ( x ) u ( x )$$ تبدیل می‌شود.

در نتیجه، جواب عمومی معادله خطی برای به‌صورت زیر خواهد بود:

$$z = \frac { { \int { u \left ( x \right ) f \left ( x \right ) d x } + C } } { { u \left ( x \right ) } } = \frac { { \int { \frac { 1 } { x } \cdot \left ( { - 1 } \right ) d x } + C } } { { \frac { 1 } { x } } } = \frac { { - \ln \left | x \right | + C } } { { \frac { 1 } { x } } } = x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right )$$

با قرار دادن $$y = \frac{1}{z}$$، جواب زیر را خواهیم داشت:

$$y = \frac { 1 } { { x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right ) } }$$

یا به‌فرم ضمنی، جواب به‌صورت زیر است:

$$yx\left( {C - \ln \left| x \right|} \right) = 1$$

در نهایت، جواب معادله دیفرانسیل را با در نظر گرفتن جواب ازدست‌رفته $$y = 0$$، به‌شکل زیر است:

$$y x \left ( { C - \ln \left | x \right | } \right ) = 1,\;\; y = 0$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۱

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$4xyy' = {y^2} + {x^2} , \;\;\; y\left( 1 \right) = 1$$

حل سوال ۱۱: ابتدا معادله را به‌شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$4 x y y' = { y ^ 2 } + { x ^ 2 } , \; \; \Rightarrow \frac { { 4 x y y' } } { { 4 x y } } - \frac { { { y ^ 2 } } } { { 4 x y } } = \frac { { { x ^ 2 } } } { { 4 x y } } , \; \; \Rightarrow y' - \frac { y } { { 4 x } } = \frac { x } { { 4 y } }$$

این معادله یک معادله برنولی است و برای حل آن، می‌توانیم از تغییر متغیر $$z = y ^ {1-(-1)} = y ^ 2$$ استفاده کنیم. مشتق آن نیز $$z' = 2 y y'$$ است. در ادامه، دو طرف معادله دیفرانسیل را در $$2 y$$ ضرب می‌کنیم:

$$2 y y' - \frac { { 2{ y ^2 } } } { { 4 x } } = \frac { { 2 x y } }{ { 4 y } } , \;\; \Rightarrow 2 y y' - \frac { { { y ^ 2 } } }{ { 2 x } } = \frac { x } { 2 }$$

با قرار دادن $$z$$ به‌جای $$y$$، معادله برنولی به یک معادله دیفرانسیل خطی تبدیل می‌شود:

$$z' - \frac { z } { { 2 x } } = \frac { x } { 2 }$$

اکنون عامل انتگرال‌ساز را محاسبه می‌کنیم:

$$u \left ( x \right ) = { e ^ { \int { \left ( { - \frac { 1 } { { 2 x } } } \right ) d x } } } = { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { x } } } } = { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \ln \left | x \right | } } = { e ^ { \ln \frac { 1 } { { \sqrt { \left | x \right | } } } } } = \frac { 1 } { { \sqrt { \left | x \right | } } }$$

تابع $$u\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}$$ را انتخاب می‌کنیم و مطمئن می‌شویم که سمت چپ معادله پس از ضرب $$u ( x )$$ به مشتق حاصل‌ضرب $$z\left( x \right)u\left( x \right)$$ تبدیل می‌شود:

$$\begin {align} \left( {z^\prime - \frac{z}{{2x}}} \right)u\left( x \right) & = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{z}{{2x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - z \cdot \frac{1}{{2{x^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} - z \cdot \frac{{{x^{ - \frac{3}{2}}}}}{2} = z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} + z \cdot \left( {{x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^\prime \\ &= z^\prime \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} + z \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime = \left( {z \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime \end{align}$$

جواب عمومی معادله خطی به‌صورت زیر است:

$$\begin {align} z & = \frac { { \int { u \left ( x \right ) f \left ( x \right ) d x } + C } } { { u \left ( x \right ) } } = \frac { { \int { \frac { 1 } { { \sqrt x } } \cdot \frac { x } { 2 } d x } + C } } { { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } } \\ & = \frac { { \frac { 1 } { 2 } \int { \sqrt x d x } + C } } { { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } } = \sqrt x \left [ { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { { 2 { x ^ { \frac { 3 }{ 2 } } } }} { 3 } + C } \right ] = \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt x \end {align}$$

با در نظر گرفتن $$z = {y^2}$$، به جواب زیر می‌رسیم:

$$y = \pm \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt x }$$

اکنون می‌توانیم $$C$$ را با توجه به شرایط اولیه تعیین کنیم. می‌بینیم که جواب مثبت در این شرایط صدق می‌کند. بنابراین، خواهیم داشت:

$$y = \sqrt { \frac { { { 1 ^ 2 } } } { 3 } + C \sqrt 1 } = \sqrt { \frac { 1} { 3 } + C } = 1$$

که در نتیجه، $$C = \frac { 2 } { 3 }$$. بنابراین، جواب معادله تابع زیر خواهد بود:

$$y = \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } } } { 3 } + \frac { { 2 \sqrt x } } { 3 } }$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۲

جواب معادله دیفرانسیل زیر را به‌دست آورید و دامنه اعتبار جواب را مشخص کنید.

$$y' = 5 y + { { \bf { e } } ^ { - 2 \, x } } { y ^ { - 2 } } \hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = 2$$

حل سوال ۱۲: ابتدا باید دو طرف معادله را در $$y ^ 2$$ ضرب، سپس با کمی بازآرایی، معادله را به‌فرم یک معادله دیفرانسیل خطی بنویسیم:

$${y^2}\,y' - 5{y^3} = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}}$$

از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$v = {y^3}\hspace{0.25in}v' = 3{y^2}y'$$

با قرار دادن متغیر جدید و مشتق آن در معادله، عامل انتگرال‌ساز به‌دست می‌آید:

$$\frac{1}{3}v' - 5v = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v' - 15v = 3{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace {0.25in}\mu \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ { - 1 5 \ , x } }$$

در نتیجه، خواهیم  داشت:

$$v\left( x \right) = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}$$

اکنون جواب را برای $$y$$ می‌نویسیم:

$${y^3} = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}$$

با اعمال شرایط اولیه، مقدار ثابت $$c$$ به‌دست می‌آید:

$$8 = c - \frac{3}{{17}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = \frac{{139}}{{17}}$$

با قرار دادن $$c$$، جواب معادله به‌دست خواهد آمد:

$$y \left ( x \right) = { \left ( { \frac { { 1 3 9 { { \bf { e } } ^ { 1 5 \, x } } - 3 { { \bf { e } } ^{ - 2 \, x } } } } { { 1 7 } } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } }$$

این جواب برای همه مقادیر $$x$$ برقرار است. نمودار جواب در شکل زیر نشان داده شده است.

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۳

معادله دیفرانسیل $$y ^ { \prime } = y + { y ^ 2 } + 1$$ را را حل کنید.

حل سوال ۱۳: همان‌طور که می‌بینیم، ضرایب این معادله ثابت هستند و پس از جداسازی متغیرهای $$x$$ و $$y$$ می‌توان جواب را به‌صورت به‌دست آورد:

$${ {\frac{{dy}}{{dx}} = y + {y^2} + 1,\;\;}\Rightarrow {\int {\frac{{dy}}{{y + {y^2} + 1}}} = \int {dx} ,\;\;}}$$

با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه اخیر، خواهیم داشت:

$${ {{\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\arctan \frac{{y + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} }={ x + C,\;\;}}\Rightarrow {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2y + 1}}{{\sqrt 3 }} }={ x + C}}}$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۴

معادله دیفرانسیل زیر را با در نظر گرفتن جواب خصوصی $$y _ 1 = 2$$ حل کنید.

$$\frac {d y}{d x}=-2-y+y^{2}$$

حل سوال ۱۴: این معادله یک معادله ریکاتی است. پیش از هر چیز، باید مطمئن شویم $$y_1 = 2$$ یک جواب این معادله است. در غیر این صورت، محاسبات اشتباه خواهد بود. با جایگذاری آن می‌بینیم که جواب صحیح است. متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$z=\frac{1}{y-2}$$

در نتیجه، داریم:

$$y=2+\frac{1}{z}$$

که مشتق آن به‌صورت زیر است:

$$y^{\prime}=-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}$$

در نتیجه، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=-2-\left(2+\frac{1}{z}\right)+\left(2+\frac{1}{z}\right)^{2}$$

با کمی عملیات جبری، خواهیم داشت:

$$-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=\frac{3}{z}+\frac{1}{z^{2}}$$

بنابراین، داریم:

$$z'=-3z-1$$

این معادله یک معادله خطی است که جواب عمومی آن به‌صورت زیر است:

$$z=\frac{-1 / 3 e^{3 x}+C}{e^{3 x}}=-\frac{1}{3}+C e^{-3 x}$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$y=2+\frac{1}{-\frac{1}{3}+C e^{-3 x}}$$

نمونه سوال معادلات دیفرانسیل ۱۵

معادله دیفرانسیل زیر را با در نظر گرفتن شرایط اولیه $$y (0)=-1$$ و جواب خصوصی $$y_1=\sin (x)$$ حل کنید.

$$\frac {d y}{d x}=-2-y+y^{2}$$

حل سوال ۱۵: ابتدا بررسی می‌کنیم که $$y _ 1 = \sin (x )$$ جواب معادله باشد:

$$\frac{d y}{d x}=\frac{2 \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)+y^{2}}{2 \cos (x)}$$

با جایگذاری، می‌بینیم که این جواب صحیح است و یک معادله ریکاتی داریم. تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$z=\frac{1}{y-\sin (x)}$$

که در نتیجه آن، داریم:

$$y=\sin (x)+\frac{1}{z}$$

و مشتق زیر حاصل خواهد شد:

$$y ^ {\prime}=\cos (x)-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}$$

با جایگذاری در معادله، خواهیم داشت:

$$\cos (x)-\frac{z^{\prime}}{z^{2}}=\frac{2 \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)+\left(\sin (x)+\frac{1}{z}\right)^{2}}{2 \cos (x)}$$

با کمی عملیات جبری، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$- \frac{ z ^ { \prime } } { z ^ { 2 } } = \frac { \left ( 2 \sin ( x ) \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \right ) } { 2 \cos ( x ) } = \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 \cos ( x ) } \frac { 1 } { z ^ { 2 } }$$

در نتیجه، می‌توانیم بنویسیم:

$$z ^ { \prime } = - \frac { \sin ( x ) } { \cos (x)} z-\frac{1}{2 \cos ( x ) }$$

اکنون یک معادله خطی داریم که برای حل آن از عامل انتگرال‌ساز کمک می‌گیریم:

$$u ( x ) = e ^ { \int \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } } = e ^ { - \ln ( \cos ( x ) ) } = \frac { 1 } { \cos ( x ) } = \sec ( x )$$

جواب عمومی به‌صورت زیر است:

$$\begin {align} z & = \frac { - 1 / 2 \int \sec ^ { 2 } (x ) d x + C } { u ( x ) } \\& = \cos ( x ) \left ( - \frac { 1 } { 2 } \tan ( x ) + C \right ) \\ &= - \frac { 1 } { 2 } \sin ( x ) + C \cos ( x ) \end {align}$$