محیط نیم دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

محیط نیم دایره مجموع نصف محیط دایره با قطر دایره است. برای محاسبه این محیط باید با فرمول محیط دایره آشنا باشید. محیط دایره، حاصل‌ضرب قطر در عدد پی (3/14) است. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی فرمول محیط نیم دایره با شعاع و قطر به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی می‌پردازیم.

محیط دایره چیست ؟

در مطالب پیشین مجله فرادرس در مورد محیط دایره و چگونگی محاسبه آن صحبت کردیم. محیط دایره،، اندازه دور آن است. این تعریف برای محیط تمام شکل‌های هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. در واقع، محیط هر شکل، از جمع اندازه ضلع‌ها (چند ضلعی‌ها) و یا منحنی‌های تشکیل دهنده آن‌ها به دست می‌آید. به عنوان مثال، منحنی بسته سیاه رنگ در تصویر زیر، محیط دایره را نمایش می‌دهد.

محیط دایره چگونه بدست می آید ؟

محیط دایره، به اندازه شعاع و عدد پی بستگی دارد. محیط یک دایره کامل، با استفاده از فرمول‌های زیر به دست می‌آید:

عدد پی × قطر دایره = محیط دایره

عدد پی × شعاع دایره × 2 = محیط دایره

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

نسبت محیط دایره به شعاع آن برابر 2π است. فرمول ریاضی محیط دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$C = 2 \pi r$$

$$C = \pi d$$

• P: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره
• d: قطر دایره (دو برابر شعاع)

محیط دایره کامل، یکی از اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه محیط نیم دایره است.

نیم دایره چیست ؟

اگر یکی از قطرهای دایره را رسم کرده و دایره را به بخش‌های مساوی تبدیل کنیم، دو نیم دایره تشکیل می‌شود. قطر و شعاع نیم دایره برابر با قطر و شعاع دایره کامل تشکیل دهنده آن است. با این وجود، نحوه محاسبه محیط نیم دایره با دایره کامل تفاوت دارد.

محیط نیم دایره چیست و چگونه بدست می آید ؟

محیط نیم دایره، اندازه دور این شکل است. نیم‌دایره از یک قطر و یک کمان تشکیل می‌شود. در نتیجه، اندازه دور این شکل از جمع اندازه قطر و طول کمان به دست می‌آید.

طول کمان نیم دایره برابر نصف محیط دایره کامل است. بنابراین، اندازه محیط نیم دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

مثال 1: محاسبه محیط میز نیم دایره

تصویر زیر، یک میز نیم‌دایره ای شکل به قطر 1/5 متر را نمایش می‌دهد. اگر دو عدد از این میز را کنار هم قرار دهیم، یک میز دایره‌ای شکل تشکیل می‌شود. محیط میزها در حالت دایره کامل و محیط هر میز نیم دایره‌ای را حساب کنید. آیا محیط دایره‌ای کامل بزرگ‌تر از جمع محیط میزهای نیم‌دایره‌ای است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

اگر دو میز نیم دایره‌ای را کنار هم بگذاریم، دایره‌ای به قطر 1/5 متر تشکیل می‌شود. محیط این دایره برابر است با:

عدد پی × قطر دایره = محیط دایره

3 × 1/5 = محیط دایره

4/5 = محیط دایره

محیط دایره بزرگ برابر 4/5 متر است. محیط هر یک از میزهای نیم دایره‌ای با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

در مرحله قبل، محیط دایره کامل را برابر 4/5 متر به دست آوردیم. بنابراین، نصف محیط دایره برابر 2/25 متر است. این عدد را به همراه قطر دایره در رابطه بالا قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

1/5 + 2/25 = محیط نیم دایره

3/75 = محیط نیم دایره

بنابراین، محیط هر میز نیم دایره ای برابر 3/75 متر است. در نتیجه، یک میز نیم دایره‌ای، محیط کمتری نسبت به میز دایره‌ای دارد. اگر محیط دو میز نیم‌دایره‌ای را جمع کنیم، خواهیم داشت:

3/75 + 3/75 = مجموع محیط دو میز

7/5 = محیط نیم دایره

مجموع محیط دو میز برابر 7/5 و بیشتر از محیط یک دایره کامل است.

فرمول محیط نیم دایره چیست ؟

فرمول ریاضی محیط نیم دایره، بر اساس فرمول محیط دایره کامل نوشته می‌شود. اگر بخواهیم این فرمول را بر حسب شعاع بنویسیم، خواهیم داشت:

(شعاع دایره × 2) + (2 ÷ محیط دایره) = محیط نیم دایره

$$C_s = (\frac {1}{2} C) + 2r$$

$$C_s = (\frac {1}{2} \times 2 \pi r) + 2r$$

$$C_s = \pi r + 2r$$

• C_s: محیط نیم دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

فرمول محیط نیم دایره بر حسب قطر نیز برابر است با:

$$C_s = (\frac {1}{2} C) + d$$

$$C_s = (\frac {1}{2} \pi d) + d$$

• C_s: محیط نیم دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

مثال 2: محاسبه محیط نیم دایره با فرمول

دایره‌ای به شعاع 7 سانتی‌متر را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. محیط هر قسمت از دایره را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

با تقسیم دایره به دو شکل مساوی، دو نیم‌دایره تشکیل می‌شود. محیط نیم دایره از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$C_s = \pi r + 2r$$

• C_s: محیط نیم دایره
• π: عدد ثابت 3 (بر اساس فرض مسئله)
• r: شعاع دایره برابر 7

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$C_s = \pi r + 2r$$

$$C_s = (3 \times 7) + (2 \times 7)$$

$$C_s = (21) + (14)$$

$$C_s = 35$$

در نتیجه، محیط نیم دایره‌ای به شعاع 7 سانتی‌متر، تقریبا برابر 35 سانتی‌متر است.

حل مثال های محیط نیم دایره

در این بخش، به حل چند مثال دیگر در رابطه محاسبه محیط نیم دایره می‌پردازیم.

مثال 3: تعیین محیط مرکز نقاله

تصویر زیر، یک نقاله را نمایش می‌دهد. نقاله، معمولا به منظور اندازه‌گیری زاویه در شکل‌های هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. بخش مرکزی این وسیله، به شکل یک نیم دایره است. محیط این نیم دایره را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

برای شروع محاسبه نیم دایره مرکز نقاله، ابتدا رابطه محیط نیم دایره را می‌نویسیم و اندازه‌های مورد نیاز را بررسی می‌کنیم:

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

نقاله نمایش داده شده، دارای یک خط‌کش 10 سانتی‌متری است. با شمارش تعداد خط‌های ابتدا و انتهای نیم دایره می‌توان نتیجه گرفت که اندازه قطر نیم دایره برابر 6 سانتی‌متر است (قطر دایره بین عدد 2 و عدد 8 خط‌کش قرار دارد). با استفاده از این عدد می‌توانیم محیط دایره کامل را حساب کنیم. فرمول محیط دایره برابر است با:

عدد پی × قطر دایره = محیط دایره

3 × 6 = محیط دایره

18 = محیط دایره

بر اساس فرمول محیط نیم دایره، به نصف محیط دایره نیاز داریم. از این‌رو:

2 ÷ 18 = نصف محیط دایره

9 = نصف محیط دایره

نصف محیط دایره برابر 9 سانتی‌متر است. این عدد را به همراه عدد قطر (6) در فرمول محیط نیم دایره قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

6 + 9 = محیط نیم دایره

15 = محیط نیم دایره

در نتیجه، محیط نیم دایره برابر 15 سانتی‌متر است.

مثال 4: تعیین محیط دایره کامل از روی محیط نیم دایره

در یک پارک، یک فضای سبز نیم دایره ای شکل به محیط 50 متر وجود دارد. شهرداری می‌خواهد با اضافه کردن یک بخش دیگر، این فضای سبز را به یک فضای دایره‌ای شکل تبدیل کند. محیط فضای سبز جدید چقدر خواهد بود؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

برای به دست آوردن محیط دایره، به اندازه شعاع یا قطر نیاز داریم. با تبدیل فضای نیم دایره‌ای شکل بالا به یک فضای دایره‌ای شکل، شعاع و قطر تغییری نمی‌کند. بنابراین، این اندازه‌ها را می‌توانیم با استفاده فرمول محیط نیم دایره به دست بیاوریم. فرمول محیط نیم دایره بر حسب قطر برابر است با:

$$C_s = (\frac {1}{2} \pi d) + d$$

• C_s: محیط نیم دایره برابر 50 متر
• π: عدد ثابت 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر دایره

اندازه‌های معلوم را در فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$50 = (\frac {1}{2} \times 3 \times d) + d$$

$$50 = (\frac {3}{2} d) + d$$

$$50 = \frac {5}{2} d$$

$$d = \frac {100}{5}$$

$$d = 20$$

قطر دایره برابر 20 متر است. با داشتن قطر می‌توانیم محیط دایره کامل را توسط فرمول زیر محاسبه کنیم:

$$C = \pi d$$

• P: محیط دایره
• π: عدد ثابت 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر دایره برابر 20 متر

$$C = 3 \times 20$$

$$C = 60$$

در نتیجه، محیط فضای سبز جدید برابر 60 متر خواهد بود.

مثال 5: محاسبه محیط ترکیب نیم دایره با مربع

شکل زیر، ترکیبی از مربعی به ضلع 50 با یک نیم دایره است. محیط این شکل را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

به منظور تعیین محیط شکل بالا، باید توجه داشته باشید که محل اتصال نیم دایره و مربع (خط چین) به عنوان بخشی از محیط در نظر گرفته نمی‌شود؛ چراکه مطابق با تعریف، محیط، اندازه دور هر شکل است. بنابراین، محیط شکل بالا از رابطه زیر به دست می‌آید:

طول کمان نیم دایره + ضلع مربع + ضلع مربع + ضلع مربع = محیط شکل

مربع، شکلی با ضلع‌های مساوی است. از این‌رو، اندازه هر سه ضلع برابر 50 خواهد بود. طول کمان نیم دایره نیز نصف محیط دایره کامل است. برای تعیین این طول، ابتدا فرمول محیط دایره را می‌نویسیم:

عدد پی × قطر = محیط دایره

از آنجایی که نیم دایره به طور کامل بر روی مربع قرار گرفته، قطر آن برابر ضلع مربع (50) است. این عدد را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

3 × 50 = محیط دایره

150 = محیط دایره

محیط دایره برابر 50 است. بنابراین، نصف محیط دایره یا همان طول کمان نیم دایره برابر است با:

2 ÷ 150 = طول کمان نیم دایره

75 = طول کمان نیم دایره

اندازه طول کمان نیم دایره را به همراه اندازه ضلع‌های مربع در رابطه محیط شکل قرار می‌دهیم:

طول کمان نیم دایره + ضلع مربع + ضلع مربع + ضلع مربع = محیط شکل

75 + 50 + 50 + 50 = محیط شکل

225 = محیط شکل

محیط نیم دایره ترکیب شده با مربعی به ضلع 50 برابر 225 است.

سوالات متداول در رابطه با محیط نیم دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با محیط نیم دایره به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

تعریف نیم دایره چیست ؟

نیم دایره، شکلی است که از تقسیم دایره به دو قسمت مساوی تشکیل می‌شود. این شکل دارای یک کمان و یک قطر است.

محیط نیم دایره چیست ؟

محیط نیم دایره، اندازه دور آن است که از جمع طول کمان (نصف محیط دایره کامل) با قطر به دست می‌آید.

فرمول محیط نیم دایره با شعاع چیست ؟

فرمول نیم دایره به صورت (2 × شعاع) + (عدد پی × شعاع) یا πr+2r نوشته می‌شود. عدد پی (π) برابر 3/14 و r، شعاع دایره است.

فرمول محیط نیم دایره با قطر چیست ؟

فرمول نیم دایره به صورت (قطر) + (2 ÷ عدد پی × قطر) یا (2÷πd) + d نوشته می‌شود. عدد پی (π) برابر 3/14 و d، قطر دایره است.