در مقاله «میدان مغناطیسی جریان — از صفر تا صد» با قانون بیوساوار (Biot Savart law) آشنا شدیم. دیدیم که قانون مذکور در واقع معادله‌ای در فیزیک الکترومغناطیس است که میدان مغناطیسی حاصل از جریان $$I$$ را محاسبه می‌کند. قانون بیوساوار به فرم زیر است:

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

$$\large {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{l}\times \mathbf {{\hat {r}}’} }{|\mathbf {r’} |^{2}}}}$$
(1)

همان‌طور که در معادله فوق مشخص است، میدان مغناطیسی حاصل از جریان به مقدار و جهت جریان و فاصله از سیم حامل جریان بستگی دارد. $$\mu_{0}$$ نیز ضریب گذردهی (تراوایی) مغناطیسی خلأ با مقدار $$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\ \ \ (\frac{ H }{ m })$$ است. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید تا با زبانی ساده با روند ریاضی استخراج معادله قانون بیوساوار از معادلات ماکسول آشنا شوید.

محاسبه میدان مغناطیسی
شکل (۱): ایجاد میدان مغناطیسی $$dB$$ توسط بار الکتریکی گذرنده از جزء دیفرانسیلی طول $$ds = dl$$

قانون بیوساوار

در ادامه نحوه به دست آوردن معادله قانون بیوساوار (رابطه ۱) را در چند مرحله بیان می‌کنیم.

Jean Baptiste Biot
تصویر (۲): بیوت (1862 – 1774)

قانون بیوساوار در حدود سال 1820 توسط بیون (Jean-Baptiste Biot) و ساوار (Félix Savart) جهت محاسبه میدان مغناطیسی ناشی از جریان الکتریکی که درون یک سیم جاری است، ارائه شد.

Félix Savart
تصویر (۳): ساوار (1841 – 1791)

تعریف پتانسیل برداری

در مقاله «فرم دیفرانسیلی معادلات ماکسول — به زبان ساده» دیدیم که فرم دیفرانسیلی قانون گاوس در مغناطیس به شکل زیر است.

$$\large \triangledown . B = 0$$
(2)

رابطه فوق بیان می‌کند که تک قطبی مغناطیسی نمی‌تواند وجود داشته باشد. در مباحث هندسه تحلیلی یا ریاضیات کاربردی دیدیم که که برای هر میدان برداری دلخواه $$F$$ رابطه زیر برقرار است.

$$\large \triangledown . (\triangledown \times F) = 0$$
(3)

رابطه فوق بیان می‌کند که دیورژانسِ کرل یک میدان برداری برابر با صفر است. با توجه به رابطه فوق، می‌توانیم میدان مغناطیسی را به صورت کرل یک میدان برداری به شکل زیر بنویسیم.

$$\large B = \triangledown \times A$$
(4)

در فیزیک الکترومغناطیس، پارامتر $$A$$ به پتانسیل برداری موسوم است.

پتانسیل برداری مغناطیسی
شکل (۴): شمایی از پتانسیل برداری مغناطیسی. کرل این بردار برابر با میدان مغناطیسی $$B$$ می‌شود.

نوشتن قانون آمپر برحسب پتانسیل برداری

در مقاله «قانون آمپر — به زبان ساده» دیدیم که معادله ریاضی بیانگر قانون مذکور به فرم زیر است.

$$\large \oint_{C} B.dl = \mu_{0} I$$
(5)

حال با استفاده از قضیه استوکس (Stokes’ theorem) می‌توانیم رابطه فوق را به صورت دیفرانسیلی زیر بنویسیم.

$$\large Stokes’\ theorem\ :\ \oint_{C} F.dl = \oint_{S} (\triangledown \times F).dS$$
(6)

$$\large \Rightarrow \triangledown \times B = \mu_{0}I$$
(7)

با نوشتن میدان مغناطیسی برحسب پتانسیل برداری (رابطه ۴) داریم:

$$\large \triangledown \times (\triangledown \times A) = \mu_{0}I$$
(8)

از مباحث روش‌های ریاضی در فیزیک می‌دانیم که حاصل جمله سمت چپ رابطه فوق به صورت زیر در می‌آید:

$$\large \triangledown \times (\triangledown \times A) = \triangledown (\triangledown . A) – \triangledown^{2} A$$
(9)

André Marie Ampère
تصویر (۵): آندره مری آمپر (1836-1775)

از آنجایی که پتانسیل برداری تعریف شده منحصر به فرد نیست، می‌توانیم به طور دلخواه دیورژانس آن را بدون آنکه تاثیری بر میدان مغناطیسی $$B$$ داشته باشد، صفر در نظر بگیریم. این امر به پیمانه کولن (Coulomb Gauge) موسوم است. در واقع ما پتانسیلی را انتخاب می‌کنیم که برایمان مناسب‌تر باشد و راه حل ریاضی را کوتاه کند. پس داریم:

$$\large \triangledown.A = 0$$
(10)

با توجه به عبارت فوق، معادله (8) به فرم زیر در می‌آید:

$$\large \triangledown^{2} A = -\mu_{0}J$$
(11)

رابطه فوق به معادله پواسون برای پتانسیل برداری معروف است.

حل معادله پواسون

حل معادله پواسون ($$\triangledown^{2} A = \mu_{0}J$$) بسیار شبیه به راه حل معادله پواسون در الکترواستاتیک ($$\triangledown^{2} \phi = \rho$$) است. معادله پواسون در الکترواستاتیک که پتانسیل ناشی از توزیع بار را نتیجه می‌دهد، راه حلی جهت کاهش محاسبات از طریق قانون کولن است. جهت آشنایی با حل معادله پواسون در فیزیک الکتریسیته و مغناطیس به دو مقاله «پتانسیل مغناطیسی — به زبان ساده» و «حل مسائل الکتریسیته ساکن — به زبان ساده» مراجعه فرمایید.

در اینجا نیز قصد داریم تا از حل این معادله پواسون برای پتانسیل برداری مغناطیسی به قانون بیوساوار برسیم که توصیف کننده میدان مغناطیسی ناشی از جریان بار الکتریکی است.

با حل معادله (11)، به پاسخ زیر برای پتانسیل برداری می‌رسیم.

$$\large A = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int \frac{ J (x^{‘}) }{ | x – x^{‘} | } d^{3} x^{‘}$$
(12)

محاسبه کرل پتانسیل برداری

پیش‌تر بیان کردیم که میدان مغناطیسی $$B$$ برابر با کرل پتانسیل برداری $$A$$ است. پس می‌توانیم با گرفتن کرل از رابطه (12) به میدان مغناطیسی $$B$$ برسیم. در نتیجه داریم:

$$\large B = \triangledown \times A = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int \triangledown \times \frac{ J (x^{‘}) }{ | x – x^{‘} | } d^{3} x^{‘}$$
(13)

کرل
شکل (۶): نمایشی از مفهوم کرل

با استفاده از رابطه ریاضی زیر:

$$\large \triangledown \times ( f v) = \triangledown f \times v + ( \triangledown \times v) f$$
(14)

نتیجه می‌شود:

$$\large B (x) = \triangledown \times A = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int \triangledown (\frac{ 1 }{ | x – x^{‘} | }) \times J (x^{‘}) d^{3} x^{‘}$$
(15)

دقت داشته باشید که عملگر $$\triangledown$$ در اینجا روی متغیر $$x$$ اثر می‌کند. از آنجایی که $$J (x^{‘})$$ برحسب $$x^{‘}$$ است، حاصل $$\triangledown \times J (x^{‘})$$ صفر می‌شود. در نتیجه داریم:

$$\large B (x) = \triangledown \times A = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int (\frac{ – ( x – x^{‘} ) }{ | x – x^{‘} |^{3} }) \times J (x^{‘}) d^{3} x^{‘}$$
(16)

$$\large \Rightarrow B (x) = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int \frac{ J (x^{‘}) \times ( x – x^{‘} ) }{ | x – x^{‘} |^{3} } d^{3} x^{‘}$$
(17)

در بالا از رابطه ریاضی $$A \times B = -\ B \times A$$ استفاده کردیم. می‌دانیم که تعریف چگالی جریان الکتریکی به صورت زیر است:

$$\large J = \frac{ I }{ A }\ \Rightarrow\ J = \frac{ I d l }{ A d l} = \frac{ I d l }{ dV \equiv d^{3} x} \Rightarrow J ( x^{‘} ) d^{3} ( x^{‘} ) = I d l$$
(18)

در نتیجه می‌توانیم عبارت $$J (x^{‘}) d^{3} x^{‘}$$ را به صورت $$I dl$$ بنویسیم. با جایگذاری مقدار مذکور در رابطه (17) و همچنین تعریف $$r = x – x^{‘}$$، قانون بیوساوار به فرم زیر نتیجه می‌شود.

$$\large B (x) = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \int \frac{ I dl \times r }{ | r |^{3} }$$
(19)

همان‌طور که پیش‌تر بیان کردیم، کاربرد معادله قانون بیوساوار در محاسبه میدان مغناطیسی ناشی از جریان الکتریکی در اطراف ساختاری است که بتوان آن را به صورت جز‌های دیفرانسیلی طولی $$d l$$ درنظر گرفت.

اگر برایتان سوال است که که چرا مخرج رابطه فوق دارای توان ۳ بوده، درحالی که قانون بیوساوار معرفی شده در رابطه (۱) در ابتدای مقاله دارای توان ۲ است؛ با استفاده از تعریف بردار یکه می‌توانید به راحتی رابطه (۱) را به فرم رابطه (19) تبدیل کنید.

$$\widehat{r} = \frac{ \overrightarrow{r} }{ |r| }\ \Rightarrow {\displaystyle \mathbf {\overrightarrow{B}} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\overrightarrow{l}}\times \mathbf {{\hat {r}}’} }{|\mathbf {r’} |^{2}}}} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{C} \frac{Id\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r}}{|r|^{3}}$$
(20)

در ادامه در نظر داریم تا بررسی دو مثال و استفاده از قانون بیوساوار بپردازیم.

مثال

سیم نامحدودی را در نظر بگیرید که جریان الکتریکی $$i$$ از آن می‌گذرد. مطابق با شکل (7) در نظر داریم تا با استفاده از قانون بیوساوار به محاسبه میدان مغناطیسی ناشی از جریان الکتریکی از جزء دیفرانسیلی طول $$ds$$ بپردازیم.

میدان مغناطیسی
شکل (۷): محاسبه میدان مغناطیسی سیم حامل جریان بی‌نهایت توسط قانون بیوساوار

با توجه به حاصل ضرب $$d\overrightarrow{s} \times \widehat{r}$$ یا قانون دست راست، جهت بردار میدان مغناطیسی به سمت داخل صفحه است. با نوشتن قانون بیوساوار برای ساختار شکل فوق، روند محاسبه میدان مغناطیسی را شروع می‌کنیم.

$$\large d B = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \frac{ i d s \sin \theta }{ r^{2} }$$
(21)

$$\large \Rightarrow B = 2 \int_{0}^{\infty} d B = \frac{ \mu_{0} i }{ 2 \pi } \int_{0}^{\infty} \frac{ \sin \theta d s}{ r^{2} }$$
(22)

با توجه به شکل (7)، متغیر $$r$$ و $$\sin \theta$$ به جزء دیفرانسلی طول $$ds$$ وابسته‌اند. در نتیجه باید معادل آن‌ها در رابطه انتگرالی (22) جایگذاری کنیم. در نتیجه:

$$\large r = \sqrt{ s^{2} + R^{2} }$$
(23)

$$\large \sin \theta = \sin ( \pi – \theta ) = \frac{ R }{ \sqrt{ s^{2} + R^{2} } }$$
(24)

با توجه به دو رابطه فوق، معادله (22) به فرم زیر در می‌آید:

$$\large \begin{equation} \begin{aligned} B &= \frac{ \mu_{0} i }{ 2 \pi } \int_{0}^{\infty} \frac{ R d s }{ \left(s^{2} + R^{2} \right )^{3 / 2}} \\ &= \frac{ \mu_{0} i }{ 2 \pi R } \left[ \frac{s}{\left(s^{2} + R^{2}\right)^{1 / 2}}\right]_{0}^{\infty} = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi R} \end{aligned} \end{equation}$$
(25)

با توجه به رابطه فوق، میدان مغناطیسی ناشی از حرکت بار الکتریکی (جریان) در اطراف یک سیم حامل حریان بی‌نهایت برابر با مقدار $$B = \frac{ \mu_{0} i }{ 2 \pi R }$$ است. اگر سیم را شبه نامحدود فرض کنیم، به دلیل تغییر در حدود انتگرال، میدان به مقدار $$B = \frac{ \mu_{0} i }{ 4 \pi R }$$ کاهش پیدا می‌کند.

همان‌طور که در فوق مشاهده کردید، محاسبه میدان مغناطیسی به وسیله قانون بیوساوار نیازمند حل انتگرال‌های زمان‌بر است. یک راه حل ساده و کوتاه‌تر جهت محاسبه میدان مغناطیسی، استفاده از قانون آمپر است. جهت آشنایی با قانون آمپر و مدل تعمیم یافته آن، به مقاله «قانون آمپر — به زبان ساده» مراجعه فرمایید.

مثال

در اینجا قصد داریم تا با استفاده از قانون بیوساوار به محاسبه میدان مغناطیسی ناشی از سیمی خم شده حامل جریان الکتریکی که قطاعی از دایره را تشکیل می‌دهد (شکل ۸)، بپردازیم.

میدان مغناطیسی سیم خم شده
شکل (۸): محاسبه میدان مغناطیسی سیم خم شده حامل جریان توسط قانون بیوساوار

با توجه به شکل فوق و زاویه بین دو بردار $$ds$$ و یکه $$r$$ داریم ( در اینجا $$r = R$$ است):

$$\large d B = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \frac{ i d s \sin \theta }{ r^{2} }$$
(26)

$$\large \Rightarrow d B = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \frac{ i d s \sin 90 }{ R^{2} } = \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \frac{ i d s }{ R^{2} }$$
(27)

با توجه به شکل می‌توانیم تعریف کنیم:

$$\large ds = R d \phi$$
(28)

$$\large \Rightarrow B = \int d B = \int_{0}^{\phi} \frac{ \mu_{0} }{ 4 \pi } \frac{ i R d \phi }{ R^{2} } = \frac{ \mu_{0} i }{ 4 \pi R } \int_{0}^{\phi} d \phi $$

$$\large \Rightarrow B = \frac{ \mu_{0} i \phi }{ 4 \pi R } $$
(29)

با توجه به رابطه فوق، میدان در مرکز یک سیم دایره کامل ($$\phi = 2 \pi$$) حامل جریان برابر با $$B = \frac{ \mu_{0} i }{ 2 R }$$ می‌شود.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش قانون بیوساوار (Biot Savart law) — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی قانون بیوساوار

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از قانون بیوساوار

دانلود ویدیو

اشکان ابوالحسنی (+)

«اشکان ابوالحسنی» دانشجو مقطع دکتری واحد علوم و تحقیقات تهران در رشته مهندسی برق مخابرات، گرایش میدان و امواج است. علاقه خاص او به فرکانس‌های ناحیه اپتیکی و مکانیک کوانتومی باعث شده که در حال حاضر در دو زمینه‌ مخابرات نوری و محاسبات کوانتومی تحقیق و پژوهش کند. او در حال حاضر، آموزش‌هایی را در دو زمینه فیزیک و مهندسی برق (مخابرات) در مجله فرادرس می‌نویسد.

بر اساس رای 4 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *