خفگی جریان – از صفر تا صد

۴۸۶۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۱ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵ دقیقه
خفگی جریان – از صفر تا صد

خفگی جریان، یکی از مهمترین موضوعات مطرح در بسیاری از کاربردهای صنعتی، تولید توان و فرآیندهای شیمیایی است. بدون در نظر گرفتن دقیق این پدیده، ایمنی و عملکرد یک سیستم، با خطر مواجه خواهد شد. خفگی جریان (Choked Flow)‌ پدیده‌ایست که دبی جرمی یک سیال تراکم‌پذیر را در عبور از نازل یا اوریفیس، با محدودیت مواجه می‌کند. در شرایط عادی، لازمه جاری شدن بین دو سیال، اختلاف فشار بین آنهاست. هرچه اختلاف فشار بین بالا دست و پایین دست جریان، بیشتر باشد دبی هم افزایش می‌یابد. ولی هنگامی که پدیده خفگی رخ می‌دهد، کاهش بیشتر فشار در پایین‌دست، قادر به افزایش بیشتر دبی جرمی نخواهد بود. پدیده‌ خفگی در برخی از متون فنی به اشتباه با جریان بحرانی، یکسان در نظر گرفته می‌شود. حال آنکه در حالت خفگی، عدد ماخ (Mach Number) برابر یک است ولی در جریان بحرانی، عدد فرود (Froude Number) یک خواهد بود. از این رو، این دو حالت لزوماً یکسان نیستند. در این مقاله، معادلات خفگی جریان را بررسی خواهیم کرد و در انتها نشان خواهیم داد که در این حالت، دبی جرمی، مستقل از شرایط پایین دست جریان به دست می‌آید.

جریان بدون حالت خفگی

هنگامی که یک سیال تراکم‌پذیر از میان عاملی محدودکننده عبور می‌کند، هم سرعت و هم فشار آن، دستخوش تغییر می‌شود. مطابق شکل زیر، جریان در بالا دست، فشار بیشتری دارد. با شروع جریان، سرعت سیال بیشتر می‌شود و با بیشتر شدن سرعت، فشار آن کاهش می‌یابد.

پس از عبور جریان از مقطع فشرده (Vena Contracta)، سیال تمایل دارد دوباره سطح مقطع لوله را پر کند. به مقطع فشرده، نقطه شکست هم گفته می‌شود. به این ترتیب، سیال بخشی از انرژی از دست رفته خود را باز می‌یابد و سرعت آن کم می‌شود.

جریان در اوریفیس

فرض کنید فشار ورودی ثابت باشد. در این حالت، کاهش فشار خروجی، افت فشار را بیشتر می‌کند. در نتیجه، دبی و سرعت سیال افزایش می‌یابد. این روند، آن‌قدر ادامه پیدا می‌کند تا جایی که سیال در گلوگاه به سرعت صوت برسد. در این مرحله، خفگی جریان رخ می‌دهد.

جریان در حالت خفگی

هنگامی که سیال تراکم‌پذیر به سرعت صوت برسد، دیگر خبرِ تغییرات فشار در پایین دست به بالا دست نمی‌رسد. در این حالت عدد ماخ برابر یک است و خفگی رخ می‌دهد. در نازل یا هر محدودکننده دیگری، این اتفاق موجب ایزوله شدن بالا دست از پایین دست جریان می‌شود. به همین دلیل، دیگر کاهش فشار پایین دست، تأثیری بر نرخ دبی نخواهد داشت. به شکل زیر توجه کنید.

خفگی جریان

باید به این نکته توجه داشت که اگرچه تغییرات فشار در پایین دست، تأثیری روی نرخ دبی جریان ندارد، ولی فشار بالادست هنوز هم مؤثر است. فشار بالا دست می‌تواند روی سرعت صوت محلی در گلوگاه اثر بگذارد. در نتیجه نرخ دبی جرمی که سیستم در آن، به خفگی می‌رسد، تغییر می‌کند. در مایعات، خفگی جریان زمانی رخ می‌دهد که فشار استاتیک از فشار بخار مایع کمتر شود.

در جریان برگشت‌پذیر آیزنتروپیک، چهار معادله اصلی برای پیوستگی، انرژی، حالت و آیزنتروپیک تعریف می‌شود. در ادامه، با کمک این روابط، حالت خفگی جریان را بررسی خواهیم کرد.

معادله پیوستگی

مطابق قانون پیوستگی، عبارت $$\large \rho uA$$ همواره ثابت است. با علم به اینکه عدد ماخ به صورت نسبت سرعت سیال به سرعت صوت تعریف می‌شود، معادله پیوستگی را می‌توان به صورت زیر نوشت.

$$\large \rho uA = \rho McA = \rho MA\sqrt{\gamma RT}$$

معادله انرژی

در این فرایند تغییرات آنتالپی صفر است. در نتیجه، عبارت $$\large c_p T + \frac {u^2} {2}$$ ثابت می‌ماند. با استفاده از رابطه عدد ماخ و با کمک نسبت گرمای ویژه $$\large \gamma$$ نسبت زیر برای دما به دست می‌آید.

$$\large \frac {T}{T_0} = \frac {1}{1+\frac {(\gamma - 1)}{2}M^2}$$

معادلات حالت و آیزنتروپیک

می‌دانیم معادله حالت گاز ایده‌آل به صورت $$\large p = \rho RT$$ تعریف می‌شود. از طرفی در فرآیند آیزنتروپیک، مقدار $$\large p\rho^{-\gamma}$$ ثابت است. بنابراین، نسبت فشار و چگالی را می‌توان به صورت زیر نوشت.

$$\large \frac {p}{p_0} = [\frac {1}{1+\frac {(\gamma - 1)}{2}M^2}]^{\Large{\frac {\gamma}{\gamma-1}}}\\~\\
\large \frac {\rho}{\rho_0} = [\frac {1}{1+\frac {(\gamma - 1)}{2}M^2}]^{\Large{\frac {1}{\gamma-1}}}$$

در رابطه‌های بالا، پارامتر $$\large \gamma$$، نسبت گرمای ویژه $$\large \frac {c_p}{c_v}$$ در گاز ایده‌آل است. سرعت صوت را با نماد $$\large c$$ و عدد ماخ را با نماد $$\large M$$ معرفی کرده‌ایم. زیرنویس‌های صفر، مشخصات گاز را در حالت سکون نشان می‌دهد. اکنون حالتی را بررسی می‌کنیم که سرعت سیال با سرعت صوت برابر و عدد ماخ، یک می‌شود. در این حالت، جریان آیزنتروپیک فروصوت، به $$\large M=1$$ رسیده است. به شکل زیر نگاه کنید.

جریان آیزنتروپیک

می‌توانیم نسبت‌های بالا را با عدد ماخ جدید بازنویسی کنیم. نسبت فشار بحرانی $$\large P_c$$ در محل خفگی جریان به فشار ورودی $$\large P_0$$ را نسبت فشار بحرانی $$\large \frac {P_c}{P_0}$$ می‌نامیم. برای گازهای ایده‌آل، نسبت فشار، دما و چگالی بحرانی به ترتیب به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \frac {P_c}{P_0} = (\frac {2}{\gamma + 1})^\frac{\gamma}{\gamma -1}\\~\\
\large \frac {T_c}{T_0} = \frac {2}{\gamma + 1}\\~\\
\large \frac {\rho_c}{\rho_0} = (\frac {2}{\gamma + 1})^{\frac {1}{\gamma -1}}$$

با توجه به رابطه‌های بالا، فشار بحرانی برای هوا با نسبت گرمای ویژه $$\large \gamma = 1.4$$، به صورت زیر به دست می‌آید.

$$\large P_c = 0.528 P_0$$

ضریب گرمای ویژه برای سایر گازها، در بازه $$\large 1.09$$ برای بوتان تا $$\large 1.67$$ برای گازهای تک‌اتمی تغییر می‌کند. در نتیجه، نسبت فشار بحرانی در دامنه $$\large 0.487 < \frac {P_c}{P_0} < 0.587$$ قرار می‌گیرد.

جریان پیش از رسیدن به نازل، فروصوت فرض می‌شود. با عبور جریان از ناحیه همگرا، سرعت و عدد ماخ رفته رفته بیشتر می‌شود. در مقابل، فشار، چگالی و دما هم کاهش می‌یابد. با مشتق‌گیری از نسبت‌های دما، فشار و چگالی، استفاده از قانون پایستگی جرم و ادغام آنها، به رابطه زیر می‌رسیم.

$$\large \frac {dA}{A} = -\frac {du}{u}(1 - M^2)$$

با توجه به رابطه اخیر و با فرض برقراری $$\large dA = 0$$ در گلوگاه، می‌توان نتایج به دست آمده را به صورت زیر فهرست کرد.

نازل و شیپوره

  • در حالت اول باید $$\large du = 0$$ برقرار باشد. در این صورت عدد ماخ مخالف صفر است. تا زمانی که فرآیند، آیزنتروپیک باشد، جریان هم در ناحیه همگرا و هم در ناحیه واگرا، فروصوت خواهد ماند و مطابق شکل بالا رفتار می‌کند.
  • در حالت دوم، عدد ماخ در گلوگاه، یک است و $$\large du$$ ممکن است صفر نباشد. در این حالت، دو وضعیت زیر ممکن است رخ دهد:
    • در وضعیت اول، $$\large du$$ هم صفر است. در نتیجه جریان پس از ورود به ناحیه واگرا باز هم فروصوت است و خود به خود حالت اول برقرار می‌شود.
    • در وضعیت دوم، $$\large du>0$$ است. در این وضعیت، جریان پس از ورود به ناحیه واگرا، مافوق صوت می‌شود و تا زمانی که فرآیند آیزنتروپیک باشد، مافوق صوت خواهد ماند. در هر یک از دو وضعیت اخیر، خفگی جریان اتفاق افتاده است.

محاسبه دبی در حالت خفگی جریان

در حالت خفگی جریان، سرعت سیال به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \begin{cases} \rho uA = \rho MA\sqrt{\gamma RT} \\ u = cM \end{cases}~~\Rightarrow ~~u_c=c=\sqrt{\gamma RT_c}$$

در نتیجه، دبی جرمی به راحتی و با کمک رابطه زیر به دست می‌آید.

$$\large \dot{m}=\rho_cA_cu_c = \rho_cA_c\sqrt{\gamma RT_c}$$

حال با کمک نسبت‌های بحرانی، می‌توانیم نسبت دبی جرمی به سطح مقطع گلوگاه را به صورت زیر بنویسیم.

$$\large \frac {\dot{m}}{A_c} = \rho_0\sqrt{\gamma RT_0}(\frac {2}{\gamma +1})^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$

اگر گاز عبوری را هوا فرض کنیم، با فرض $$\large \gamma = 1.4$$، رابطه بالا به صورت زیر ساده می‌شود.

$$\large \frac {\dot{m}}{A_c} = 0.685 \sqrt{p_0\rho_0}$$

همچنین می‌توان دبی را برحسب ضریب تخلیه و به شکل زیر نوشت.

$$\large \dot{m} = C_d A_c \sqrt{\gamma \rho_0p_0(\frac {2}{\gamma + 1})^{\frac {\gamma + 1}{\gamma -1}}}$$

در رابطه بالا، دبی جرمی با $$\large \dot{m}$$ نشان داده شده و برحسب کیلوگرم بر ثانیه است. ضریب $$\large C_d$$‌، ضریبی بدون بُعد است و ضریب تخلیه نامیده می‌شود. در نازل یا سایر محدودکننده‌ها،‌ ضریب تخلیه به عنوان نسبت تخلیه واقعی به تخلیه تئوری، تعریف شده است. پارامتر $$\large A$$ مساحت مقطع سوراخ تخلیه را به صورت متر مربع نشان می‌دهد. چگالی گاز در فشار و دمای مطلق $$\large P_0$$ و $$\large T_0$$ با پارامتر $$\large \rho_0$$ نشان داده شده و واحد آن کیلوگرم بر متر مکعب است. فشار و دمای مطلق هم به ترتیب با $$\large kg/m.s^2$$ و $$\large K$$ اندازه‌گیری می‌شوند.

به معادلاتی که برای نرخ دبی جرمی به دست آمد، توجه کنید. همان‌طور که می‌بینید، دبی جرمی فقط به وضعیت جریان در بالا دست وابسته است و تغییر مشخصه‌های جریان پایین دست، هیچ تأثیری بر آن ندارد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۲۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
ThermopediaCalifornia Institute of TechnologyEngsoft Power LabNeutrium
۲ دیدگاه برای «خفگی جریان – از صفر تا صد»

عالی بود

ببخشید راه های جلوگیری از بروز این پدیده چیه؟اگه رخ داد چه راهکارایی واسه رفعش وجود داره؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *