انتگرال مختلط — به زبان ساده

روش‌های آنالیز مختلط کاربردهای زیادی در گستره وسیعی از زمینه‌های مهندسی دارند. نظریه میدان‌های مغناطیسی، دینامیک سیالات،‌ آیرودینامیک و الاستیسیته از بارزترین این زمینه‌ها هستند. در سال‌های اخیر، با پیشرفت‌های سریع در فناوری رایانه و در نتیجه، استفاده از الگوریتم‌های پیشرفته برای تحلیل و طراحی در مهندسی، تأکید بر استفاده از روش‌های آنالیز مختلط کاهش یافته و گرایش به سمت روش‌های عددی که مستقیماً به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی اعمال شده و شرایط را الگوبرداری می‌کنند، بیشتر شده است. با وجود این، داشتن یک راه حل تحلیلی برای یک مدل ایده‌آل به منظور ایجاد درک بهتر از راه حل و حصول اطمینان از تخمین عددی جوابِ مدل‌های پیچیده مفید است.  طراحی ماهی‌واره (ایرفویل) برای هواپیما یکی از زمینه‌هایی است که تئوری آن با استفاده از تکنیک‌های آنالیز مختلط ارائه شده است. انتگرال مختلط نقش مهمی در تحلیل و طراحی مهندسی دارد. استفاده از تکنیک‌های آنالیز مختلط به ما این امکان را می‌دهد که معیارهایی برای پایداری سیستم‌ها ارائه کنیم.

انتگرال مختلط

اگر $$f ( z )$$ یک تابع تک‌مقداره پیوسته در ناحیه $$R$$ از صفحه مختلط باشد، انتگرال $$f ( z )$$ در طول مسیر $$C$$ در $$R$$ (شکل ۱) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

$$\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u + { i } v ) ( d x + { i } d y )$$

$$R$$ و مسیر $$C$$" width="343" height="181">

در فرمول بالا، $$f ( z )$$ و $$d z$$ را به ترتیب به شکل مجموع بخش‌های حقیقی و موهومی $$f ( z ) = u + i v$$ و $$d z = d  x+ d y$$ نوشته‌ایم. در نتیجه، انتگرال را می‌توانیم به صورت مجموع دو بخش حقیقی و موهومی بنویسیم:

$$\large \int _ { C } f ( z ) d z = \int _ { C } ( u d x - v d y ) + { i } \int _ { C } ( v d x + u d y )$$

ما اغلب انتگرال‌های حقیقی را برای مساحت تفسیر می‌کنیم. در اینجا، انتگرال مختلط را به عنوان انتگرال خطی در مسیرهایی در صفحه مختلط تعریف می‌کنیم.

مثال ۱

انتگرال مختلط زیر را حساب کنید که در آن، $$C$$ مسیر خط راستی از $$z = 1 + i$$ تا $$z = 3 + i$$ است:

$$\large \int _ C z d z .$$

حل: از آنجا که $$y$$ ثابت است ($$y = 1$$)، $$z = x + i$$ را خواهیم داشت و در نتیجه، $$u = x$$ و $$v = 1$$ است. همچنین، از آنجا که $$y$$ ثابت است،‌ $$d y = 0$$ خواهد بود. بنابراین، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C } z d z & = \int _ { C } ( u d x - v d y ) + { i } \int _ { C } ( v d x + u d y ) \\ & = \int _ { 1 } ^ { 3 } x d x + { i } \int _ { 1 } ^ { 3 } 1 d x \\ & = \left [ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 1 } ^ { 3 } + { i } [ x ] _ { 1 } ^ { 3 } \\ & = \left ( \frac { 9 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \right ) + { i } ( 3 - 1 ) = 4 + 2 { i } \end {aligned}$$

مثال ۲

انتگرال $$\int _ { C_ 1 } z d z$$ را حساب کنید که در آن، $$C _ 1$$ خط راستی از $$z = 3 + i$$ به $$z = 3 + 3 i$$ است (شکل 2).

حل: معادله مسیر $$z = 3 + i y$$ است که $$u = 3$$ و $$v = y$$ است. همچنین، $$d z = 0 + i d y$$. مقدار $$y$$ از $$y = 1$$ تا $$y = 3$$ تغییر می‌کند. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C _ { 1 } } z d z & = \int _ { C _ { 1 } } ( u d x - v d y ) + { i } \int _ { C _ { 1 } } ( v d x + u d y ) \\ & = \int _ { 1 } ^ { 3 } - y d y + { i } \int _ { 1 } ^ { 3 } 3 d y \\ & = \left [ \frac { - y ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 1 } ^ { 3 } + { i } [ 3 y ] _ { 1 } ^ { 3 } = \left ( - \frac { 9 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right ) + i ( 9 - 3 ) \\ = - 4 + 6 { i } & \end {aligned}$$

مثال ۳

انتگرال $$\int _ { C_ 2 } z d z$$ را حساب کنید که در آن، $$C _ 2$$ خط راستی از $$z = 1 + i$$ به $$z = 3 + 3 i$$ است (شکل 2).

حل: ابتدا باید معادله مسیر $$C_ 2$$ را پیدا کنیم. هر دو نقط روی خط راست $$y = x$$ قرار دارند. معادله مختلط این خط $$z = x + i x$$ است و بنابراین، $$u =x$$ و $$v = x$$. همچنین، $$d z = d x + i d x = ( 1 + i ) d x$$. در نتیجه، انتگرال به شکل زیر در می‌آید:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C _ { 2 } } z d z & = \int _ { C _ { 2 } } ( x d x - x d x ) + { i } \int _ { C _ { 2 } } ( x d x + x d x ) \\ & = { i } \int _ { C _ { 2 } } ( 2 x d x ) \end {aligned}$$

همان‌طور که می‌دانیم، $$x$$ از $$x = 1$$ تا $$x = 3$$ تغییر می‌کند و انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \int _ { C _ { 2 } } z d z = { i } \int _ { 1 } ^ { 3 } 2 x d x = { i } \left [ x ^ { 2 } \right ] _ { 1 } ^ { 3 } = { i } ( 9 - 1 ) = 8 { i }$$

حاصل این انتگرال برابر با مجموع انتگرال‌های مسیرهای $$C$$ و $$C_ 1$$ است.

مثال ۴

انتگرال $$\int _{C_1} z ^ 2 d z$$ را حساب کنید که در آن، $$C _ 1$$ بخشی از دایره واحد است که به صورت پادساعتگرد از $$z = 1$$ تا $$z = i$$ تغییر می‌کند (شکل ۳).

حل: ابتدا، با توجه به $$z ^ 2 = ( x + i y ) ^ 2 = x ^ 2 - y ^ 2 + 2 x y i$$ و $$d z  = d x + i d y$$ انتگرال را به شکل زیر می‌نویسیم:

$$\large \int _ { C _ { 1 } } z ^ { 2 } d x = \int _ { C _ { 1 } } \left \{ \left ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) d x - 2 x y d y \right \} + { i } \int _ { C _ { 1 } } \left \{ 2 x y d x + \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) d y \right \}$$

برای حل انتگرال، آن را برحسب یک متغیر می‌نویسیم. روی دایره واحد، $$x = \cos \theta$$ و $$y = \sin \theta$$ است. بنابراین، $$d x = - \sin \theta d \theta$$ و  $$d y = \cos \theta d \theta$$. عبارت‌های $$( x ^ 2 - y ^ 2 )$$ و $$2 x  y$$ را برحسب $$2 \theta$$ می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} x ^ { 2 } - y ^ { 2 } & = \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta \equiv \cos 2 \theta \\ 2 x y & = 2 \cos \theta \sin \theta \equiv \sin 2 \theta \end {align*}$$

وقتی $$z$$ در مسیر $$C _ 1$$ از $$z = 1$$ تا $$z = i$$ تغییر می‌کند، پارامتر $$\theta$$ از $$\theta = 0$$ تا $$\theta = \pi / 2$$ تغییر خواهد کرد. بنابراین، انتگرال زیر را داریم:

$$\large \begin {align*} \int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z & = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \{ - \cos 2 \theta \sin \theta d \theta -\sin 2 \theta \cos \theta d \theta \} \\ & \;\;\;\;+ i \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \{ - \sin 2 \theta \sin \theta d \theta + \cos 2 \theta \cos \theta d \theta \} \end {align*}$$

با کمک اتحادهای مثلثاتی زیر می‌توانیم انتگرال را ساده‌تر کنیم:

$$\large \begin {align*} \sin (A+B) & \equiv \sin A \cos B+\cos A \sin B \\ \cos (A+B) & \equiv \cos A \cos B-\sin A \sin B \end {align*}$$

با قرار دادن $$A = 2 \theta$$ و $$B = \theta$$ در هر دو عبارت، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \begin {array} { c } - \cos 2 \theta \sin \theta - \sin 2 \theta \cos \theta \equiv - ( \sin \theta \cos 2 \theta + \cos \theta \sin 2 \theta ) \equiv - \sin 3 \theta \\ \quad - \sin 2 \theta \sin \theta + \cos 2 \theta \cos \theta \equiv \cos 3 \theta \end {array} \end {align*}$$

اکنون می‌توانیم انتگرال را محاسبه کنیم:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d x & = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi }{ 2 } } ( - \sin 3 \theta ) d \theta + { i } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos 3 \theta d \theta \\ & = \left [ \frac { 1 } { 3 } \cos 3 \theta \right ] _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } + { i } \left [ \frac { 1 } { 3 } \sin 3 \theta \right ] _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = \left ( 0 -\frac { 1 } { 3 } \right ) + { i } \left ( - \frac { 1 } { 3 } - 0 \right ) \\ & = - \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } { i } \equiv -\frac { 1 } { 3 } ( 1 + { i } ) \end {aligned}$$

مثال ۵

انتگرال $$\oint _ C \frac { 1 } { z } d z$$ را حساب کنید که در آن، $$C$$ دایره واحد است (از نماد $$\oint$$ به این دلیل استفاده می‌شود که مسیر بسته است.).

حل: ابتدا نقطه $$z$$ را به صورت $$z = e ^ { i \theta }$$ نشان می‌دهیم. بنابراین، $$\frac { d z } { d \theta} = i e ^ { i \theta}$$ و $$d z = i e ^ { i \theta } d \theta$$ است. همچنین، $$x = \cos \theta$$ و $$y = \sin \theta$$ است و در نتیجه، $$z = \cos \theta + i \sin \theta$$.

در نهایت، انتگرال به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

$$\large \oint _ { C } \frac { 1 } { z } d z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { { e } ^ { { i } \theta } } { i } { e } ^ { i \theta } d \theta = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi} { i } d \theta = 2 \pi { i }$$

نکته: اگر $$n$$ یک عدد صحیح و $$z = z _ 0$$ مرکز دایره‌ای به شعاع $$r$$، یعنی با معادل $$| z - z _ 0 | = r$$ باشد، آنگاه، داریم:

$$\large \oint _ { C } \frac { d z } { \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^ { n } } = \left \{ \begin {array} { c l } 0 , & n \neq 1 \\ 2 \pi { i } , & n = 1 \end {array} \right .$$

دقت کنید که نتیجه مستقل از مقدار $$r$$ است.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۶

توابع مختلط نقش مهمی در مدل‌سازی ریاضیاتی جریان سیال دو بعدی دارند. برای مثال، می‌خواهیم نیروها و گشتاورهای ناشی از جریان سیال در یک سیلندر را پیدا کنیم. شکل ۴ سطح مقطع (نه لزوماً دایره) یک سیلندر را نشان می‌دهد که مرز آن $$C$$ است. از این سیلندر، جریان غیرویسکوز مانای یک سیال ایده‌آل عبور می‌کند. جریان از صفحات موازی $$xy$$ عبور می‌کند و به سمت خارج از صفحه کاغذ است. این جریان به سیلندر نیور و گشتاور چرخشی اعمال می‌کند. فرض کنید $$X$$ و $$Y$$، به ترتیب، مؤلفه‌های نیرو در جهت $$x$$ و $$y$$، و همچنین، $$M$$ گشتاور (روی سیلند) حول مبدأ باشد.

«قضیه بلازیوس» (Blasius Theorem) در دینامیک سیالات، بیان می‌کند:

$$\large \begin {aligned} & X - { i } Y = \frac { 1 } { 2 } { i } \rho \oint _ { C } \left ( \frac { d w } { d z } \right ) ^ { 2 } d z \; \text { ,} & M = \operatorname { R e } \left \{ - \frac { 1 } { 2 } \rho \oint _ { C } z \left ( \frac { d w } { d z } \right ) ^ { 2 } d z \right \} \end {aligned}$$

که در آن، $$\mathrm {Re}$$ بخش حقیقی، $$\rho$$ (ثابت) چگالی سیال و $$w = u + i v$$ پتانسیل مختلط جریان است. فرض می‌کنیم هر دو مقدار $$\rho$$ و $$w$$ از قبل معلوم هستند.

اگر سطح مقطع سیلندر دایره‌ای بوده و مرز آن با $$| z | = a$$ مشخص شده باشد، مقادیر $$X$$، $$Y$$ و $$M$$ را محاسبه می‌کنیم. فرض می‌کنیم جریان سیال یکنواخت با سرعت $$U$$ باشد.

اکنون، پتانسیل مختلط این وضعیت، به صورت زیر است:

$$\large w = U \left ( z + \frac { a ^ { 2 } } { z } \right )$$

به طوری که

$$\large \frac { d w } { d z } = U \left ( 1 - \frac { a ^ {2 }} { z ^ { 2 } } \right )$$  و  $$\large \left ( \frac { d w } { d z } \right ) ^ { 2 } = U ^ { 2 } \left ( 1 - \frac { 2 a ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 4 } } { z ^ { 4 } } \right )$$

با توجه به نکته بالا و با در نظر گرفتن $$z _ 0 = 0$$، داریم:

$$\large \begin {align*} X - { i } Y & = \frac { 1 } { 2 } { i } \rho \oint _ { C } \left ( \frac { d w } { d z } \right ) ^ { 2 } d z \\ & = \frac { 1 } { 2 } { i } \rho U ^ { 2 } \oint \left ( 1 - \frac { 2 a ^ { 2 } }{ z ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 4 } } { z ^ { 4 } } \right ) d z = 0 \end {align*}$$

در نتیجه، $$X = Y = 0$$ است.

همچنین:

$$\large z \left ( \frac { d w } { d z } \right ) ^ { 2 } = U ^ { 2 } \left ( z - \frac { 2 a ^ { 2 } } { z} + \frac { a ^ { 4 } } { z ^ { 3 } } \right )$$

تنها جمله‌ای که برای محاسبه $$M$$ به کار می‌رود، $$\frac { - 2 a ^ 2 U ^ 2 } { z }$$ است. باز هم با استفاده از نکته بالا، مقدار $$- 4 \pi a ^ 2 U ^ 2 i$$ را داریم که مؤلفه حقیقی ندارد و در نتیجه، $$M = 0$$ است.

تعبیر نتایج این است که نیرو و گشتاوری به سیلندر اعمال نمی‌شود. البته در عمل این‌گونه نیست و علت این تفاوت، چشم‌پوشی از ویسکوزیته سیال است.

مثال ۷

انتگرال $$\int _ C z d z$$ را برای مسیرهای خط مستقیم زیر حساب کنید:

(الف) از $$z = 2 + 2 i$$ تا $$z = 5 + 2 i$$

(ب) از $$z = 5 + 2 i$$ تا $$z = 5 + 5 i$$

(ج) از $$z = 2 + 2 i$$ تا $$z = 5 + 5 i$$

حل الف: در اینجا، $$y$$ در مسیر $$z = x + 2 i$$ ثابت است و $$u = x$$ و $$v = 2$$. همچنین، $$d y = 0$$ است، بنابراین، داریم:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C } z d z & = \int _ { C } ( u d x - v d y ) + i \int _ { C } ( v d x + u d y ) = \int _ { 2 } ^ { 5 } x d x + i \int _ { 2 } ^ { 5 } 2 d x \\ & = \left [ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 2 } ^ { 5 } + i [ 2 x ] _ { 2 } ^ { 5 } = \left ( \frac { 2 5 } { 2 } - \frac { 4 } { 2 } \right ) + i ( 1 0 - 4 ) = \frac { 2 1 } { 2 } + 6 i \end {aligned}$$

حل ب: در اینجا، $$d x = 0$$، $$v = y$$ و $$u = 5$$. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} \int _ { C } z d z & = \int _ { 2 } ^ { 5 } ( - y ) d y + { i } \int _ { 2 } ^ { 5 } 5 d y \\ & = \left [ - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right ] _ { 2 } ^ { 5 } + { i } [ 5 y ] _ { 2 } ^ { 5 } = \left ( - \frac { 2 5 } { 2 } + \frac { 4 } { 2 } \right ) + { i } ( 2 5 - 1 0 ) = - \frac { 2 1 } { 2 } + 1 5 { i } \end {aligned}$$

حل ج: در اینجا، $$z = x + i x$$، $$u = x$$، $$v = x$$ و $$d z = ( 1 + i ) d x$$ است. بنابراین، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} \int _ { C } z d z & = \int _ { C } ( x d x - x d x ) + { i } \int _ { C } ( x d x + x d x ) \\ & = { i } \int _ { C } 2 x d x = 2 { i } \left [ \frac { x ^ { 2 } }{ 2 } \right ] _ { 2 } ^ { 5 } = 2 1 { i } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، نتیجه حاصل از بخش ج، برابر با مجموع نتایج الف و ب است.

مثال ۸

انتگرال $$\int _ C ( z ^ 2 + z ) d z$$ را بیابید که در آن، $$C$$ بخشی از یک دایره واحد است که برخلاف جهت عقربه‌های ساعت از $$z = 1$$ تا $$z = i$$ حرکت می‌کند.

حل: حاصل انتگرال به سادگی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} \int _ { C } \left ( z ^ { 2 } + z \right ) d z & = \left [ \frac { z ^ { 3 } } { 3 } + \frac { z ^ { 2 } }{ 2 } \right ] _ { 1 } ^ { i } = \left ( \frac { 1 } { 3 } i ^ { 3 } + \frac { i ^ { 2 } } { 2 } \right ) - \left ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \right ) \\ & = -\frac { 4 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } i \end {align*}$$

مثال ۹

مقدار $$\oint _ C f ( z ) d z$$ را برای موارد زیر پیدا کنید که در آن، $$C$$ دایره $$| z - z _ 0 | = r$$ است.

(الف) $$f ( z ) = \frac { 1 } { z ^ 2 }$$ و $$z _ 0 = 1$$.

(ب) $$f ( z ) = \frac { 1 } { (z - 1 ) ^ 2 }$$ و $$z _ 0 = 1$$.

(ج) $$f ( z ) = \frac { 1 } { z - 1 - i }$$ و $$z _ 0 = 1 + i$$.

حل: با توجه به نکته گفته شده بالا، جواب‌ها به ترتیب، $$0$$، $$0$$ و $$2 \pi i$$ است. لازم به یادآوری است که این جواب‌ها مستقل از $$r$$ هستند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات مهندسی
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضیات مهندسی (مرور – تست کنکور ارشد)
• فراکتال چیست؟ — به زبان ساده
• توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد
• فرم نمایی و قطبی اعداد مختلط — به زبان ساده

^^