مفهوم الاستیسیته (Elasticity) — الاستیسیته خطی و محدود

به مقاومت یک جسم در برابر تغییر شکل‌های ناشی از اعمال نیرو و بازگشت به شکل و اندازه اولیه پس از حذف نیرو، خاصیت «الاستیسیته» (Elasticity) گفته می‌شود. نام این خاصیت، از واژه یونانی «الاستوس» (elastós) به معنای ماده قابل کشش (ارتجاعی) گرفته شده است. الاستیسیته، با عناوین دیگری نظیر خاصیت کشسانی، ارتجاعی یا کشایندی نیز شناخته می‌شود. در این مقاله، شما را با این مفهوم مهم آشنا خواهیم کرد.

آشنایی با الاستیسیته

اگر به یک جسم جامد به اندازه کافی نیرو وارد شود، مقداری تغییر شکل در آن رخ خواهد داد. در صورت «الاستیک» (Elastic) یا اصطلاحاً کشسان بودن ماده، شکل و اندازه جسم پس از حذف نیرو به حالت اولیه خود بازمی‌گردد. دلایل فیزیکی رفتار الاستیک در مواد مختلف تقریباً متفاوت است. هنگام اعمال نیرو بر روی فلزات، اندازه و شکل ماده از طریق شبکه اتمی آن‌ها تغییر می‌کند (افزایش سطح انرژی). با حذف نیرو، شبکه به سطح انرژی پایین‌تر بازمی‌گردد. برای مواد لاستیکی و دیگر پلیمرها، کشش زنجیره‌های پلیمری در هنگام اعمال نیرو باعث ایجاد خاصیت الاستیسیته می‌شود.

فیلم آموزش تئوری الاستیسیته 1 – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

«الاستیسیته کامل» (Perfect Elasticity)، معیاری برای تخمین الاستیسیته مواد در دنیای واقعی است. فیبر کوارتز، بیشترین خاصیت الاستیک در میان مواد مختلف را دارد. با این وجود، حتی این ماده یک جسم الاستیک کامل نیست. از این‌رو، ماده کاملاً الاستیک تنها یک تعریف ایدئال در نظر گرفته می‌شود. اکثر مواد دارای الاستیسیته، تنها در صورت ایجاد تغییر شکل‌های بسیار کوچک رفتار کاملاً الاستیک را از خود بروز می‌دهند. در علوم مهندسی، میزان الاستیسیته یک ماده با استفاده از دو نوع پارامتر محاسبه می‌شود:

• «مدول» (Modulus): این نوع پارامتر، میزان نیروی مورد نیاز در واحد سطح برای رسیدن به یک تغییر شکل مشخص را تعیین می‌کند. واحد اندازه‌گیری مدول پاسکال (Pa) است. معمولاً در مدول بالاتر، تغییر شکل ماده دشوارتر می‌شود.
• «حد الاستیک» (Elastic Limit): این پارامتر، بیانگر حداکثر تنشی است که ماده می‌تواند پیش از شروع تغییر شکل دائمی تحمل کند. مقدار حد الاستیک نیز با واحد پاسکال (Pa) بیان می‌شود.

برای مقایسه نسبی دو ماده از نظر الاستیسیته، باید هر دو پارامتر مدول و حد الاستیک را در نظر گرفت. مواد لاستیکی معمولاً دارای مدولی با مقادیر پایین هستند و همچنین تمایل زیادی به کشیده شدن دارند. این موضوع، بالا بودن حد الاستیک این مواد را نشان می‌دهد. الاستیسیته مواد لاستیکی از فلزات بالاتر است. فلزات دارای مدول بالا و حد الاستیک پایین هستند. از بین دو ماده لاستیکی با حد الاستیک برابر، به نظر می‌رسد که ماده‌ای با مدول کمتر، خاصیت الاستیسیته بیشتری خواهد داشت اما این‌گونه نیست.

مفهوم الاستیسیته کاربرد گسترده‌ای در طراحی و تحلیل سازه‌هایی نظیر تیرها، صفحات، ورق‌ها و کامپوزیت‌های ساندویچی دارد. این تئوری مبنای بسیاری از مباحث حوزه مکانیک شکست است. علاوه بر این، خاصیت هایپر الاستیسیته نیز به منظور ارزیابی واکنش مواد الاستومری مانند درزبندها و مواد بیولوژیکی مانند بافت‌های نرم و غشاهای سلولی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مفهوم الاستیسیته در مواد مختلف

هنگامی که یک ماده الاستیک به دلیل وجود نیروی خارجی تغییر شکل می‌دهد، مقداری مقاومت داخلی در برابر این تغییر درون ماده به وجود می‌آید. در صورت توقف اعمال نیروی خارجی، ماده به حالت اولیه خود بازمی‌گردد. مدول‌های الاستیک عبارت‌اند از: مدول یانگ، مدول برشی و مدول حجمی. این مدول‌ها، معیاری برای نمایش خواص الاستیک ذاتی مواد و مقاومت آن‌ها در برابر تغییر شکل‌های ناشی از بارگذاری هستند. هر یک از مدول‌های الاستیک برای یک نوع تغییر شکل مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عنوان مثال، مدول یانگ برای بیان کشش یا تراکم یک جسم و مدول برشی برای بیان برش آن جسم استفاده می‌شود.

الاستیسیته مواد مختلف توسط منحنی تنش-کرنش آن‌ها تعیین می‌شود. این منحنی، رابطه بین تنش (میانگین نیروی داخلی بر واحد سطح) و کرنش (تغییر شکل نسبی) ماده را نمایش می‌دهد. منحنی تنش-کرنش معمولاً به صورت غیر خطی است اما برای تغییر شکل‌های نسبتاً کوچک (قابل اغماض بودن عبارت‌های مرتبه بالا) می‌توان آن را با استفاده از بسط تیلور به صورت یک منحنی خطی تخمین زد. به رابطه خطی تنش-کرنش در مواد همسانگرد، قانون هوک گفته می‌شود.

فیلم آموزش تئوری الاستیسیته 1 – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

در اغلب موارد، این قانون تا قبل از حد الاستیک در منحنی تنش-کرنش مواد بلوری و فلزات قابل اعمال است. در حالی که برای تعیین رفتار الاستیسیته غیر خطی حتی در محدوده الاستیک باید از مدل‌سازی تغییر شکل‌های بزرگ مواد لاستیکی استفاده کرد. در تنش‌های بالا، مواد به صورت پلاستیک رفتار می‌کنند. در این حالت، تغییر شکل ایجاد شده برگشت‌پذیر نخواهد بود و ماده پس از باربرداری به شکل اولیه خود بازنمی‌گردد.

برای مواد شبه لاستیکی نظیر الاستومرها، شیب منحنی تنش-کرنش در تنش‌های بالا افزایش می‌یابد. این موضوع نشان می‌دهد که با افزایش تنش، کشش مواد لاستیکی به تدریج دشوارتر می‌شود. در طرف مقابل، شیب منحنی تنش-کرنش اکثر فلزات در تنش‌های بالا کاهش می‌یابد. به این ترتیب، با افزایش تنش در این مواد، کشش آن‌ها به تدریج آسان‌تر می‌شود.

خاصیت الاستیسیته، تنها برای جامدات نیست. برخی از سیالات غیر نیوتونی مانند سیالات ویسکو الاستیک نیز در شرایط خاص این خاصیت را از خود بروز می‌دهند. رفتار الاستیک سیالات با استفاده از «عدد دبورا» (Deborah Number) نمایش داده می‌شود. سیالات ویسکو الاستیک در مواجه با کرنش‌های کوچک یا بارگذاری و باربرداری سریع تغییر شکل می‌دهند و سپس به حالت اولیه خود بازمی‌گردند. از سوی دیگر، هنگام ایجاد کرنش‌های بزرگ یا اعمال کرنش در دوره‌های طولانی مدت، این سیالات مانند یک مایع ویسکوز جریان می‌یابند.

الاستیسیته مواد با توجه به رابطه بین تنش و کرنش آن‌ها تعریف می‌شود. از این‌رو، ارائه یک تعریف واضح برای تنش و کرنش از اهمیت بالایی برخوردار است. معمولاً دو نوع رابطه در این حوزه وجود دارد:

1. رابطه موادی که فقط در کرنش‌های کوچک به صورت الاستیک رفتار می‌کنند.
2. رابطه موادی که رفتار الاستیک آن‌ها به کرنش‌های کوچک محدود نمی‌شود (این رابطه تعریف کلی‌تری دارد و رابطه اول به عنوان یک حالت خاص از آن به حساب می‌آید).

در کرنش‌های کوچک، «تنش کوشی» (Cauchy Stress) به عنوان معیار تنش و «تانسور کرنش بسیار کوچک» (Infinitesimal Strain Tensor) به عنوان معیار کرنش مورد استفاده قرار می‌گیرند. رفتار (قابل انتظار) مواد در این حالت، «الاستیسیته خطی» (Linear Elasticity) نام دارد که برای مواد همگن با عنوان قانون هوک تعمیم‌یافته شناخته می‌شود. مواد الاستیک کوشی و مواد هایپو الاستیک مدل‌هایی هستند که امکان تعمیم قانون هوک به منظور در نظر گرفتن احتمال وجود چرخش‌های بزرگ، اعوجاج‌های بزرگ و ناهمسانگردی ذاتی یا القایی را فراهم می‌کنند.

در شرایط کلی‌تر، می‌توان هر یک از معیارهای تنش را مورد استفاده قرار داد. با این وجود، توصیه می‌شود که رابطه بین تنش و کرنش الاستیک با توجه به معیار کرنش محدودی نوشته شود که مزدوج کارِ معیار تنش انتخابی است. به عبارت دیگر، انتگرال ضرب داخلی معیار تنش و نرخ معیار کرنش نسبت به زمان باید با تغییرات انرژی داخلی تمام فرآیندهای بی در رو پایین‌تر از حد الاستیک برابر باشد.

الاستیسیته خطی

همان گونه که در بخش قبلی اشاره شد؛ در تغییر شکل‌های کوچک، اکثر مواد الاستیک مانند فنرها دارای خاصیت الاستیسیته خطی هستند. این خاصیت را می‌توان توسط یک رابطه خطی بین تنش و کرنش نمایش داد که با عنوان قانون هوک شناخته می‌شود. قانون هوک، رابطه بین نیروی کششی (F) و جابجایی کششی ناشی از این نیرو (x) را نمایش می‌دهد:

در معادله بالا، k، ثابتی است که با عنوان نرخ یا ثابت فنر شناخته می‌شود.

فیلم آموزش الاستیسیته ۱ – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

قانون هوک را می‌توان به صورت رابطه بین تنش و کرنش نیز بیان کرد:

E: مدول الاستیک یا مدول یانگ

ثابت تناسب بین تنش و کرنش در سه بعد، یک تانسور مرتبه چهار به نام «سختی» (Stiffness) است. با این وجود، برای سیستم‌های دارای تقارن مانند یک میله یک‌بعدی، امکان کاهش مرتبه سختی و بهره‌گیری از قانون هوک وجود دارد.

الاستیسیته محدود

رفتار الاستیک موادی که تحت تغییر شکل‌های محدود هستند، توسط مدل‌هایی نظیر الاستیک کوشی، هایپو الاستیک و هایپرالاستیک توصیف می‌شود. گرادیان تغییر شکل (F)، اولین معیار تغییر شکلی است که در تئوری کرنش محدود مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مدل رفتاری الاستیک کوشی

در مواد الاستیک کوشی، تانسور تنش کوشی (σ) تنها تابعی از گرادیان تغییر شکل است:

به طور کلی، تنش کوشی صرفاً تابعی از یک تانسور کرنش نیست زیرا چنین مدلی فاقد اطلاعات مهم راجع به چرخش ماده است. این اطلاعات برای به دست آوردن نتایج صحیح در محیط‌های ناهمسانگرد ضروری هستند. در صورت اعمال یک کشش عمودی به یک ماده ناهمسانگرد یا اعمال همان کشش به صورت افقی و دوران 90 درجه‌ای ماده، تانسور کرنش در هر دو حالت با هم برابر می‌شود اما مقادیر تانسور تنش کوشی متفاوت خواهند بود.

با اینکه تنش مواد الاستیک کوشی تنها به حالت تغییر شکل بستگی دارد، کار انجام شده توسط تنش‌ها به مسیر تغییر شکل وابسته است. از این‌رو، الاستیسیته کوشی، هم مدل‌های غیر محافظه‌کارانه غیر هایپرالاستیک (وابستگی کار ناشی از تغییر شکل به مسیر) و هم مدل‌های محافظه‌کارانه هایپرالاستیک (محاسبه تنش از طریق مشتق یک تابع اسکالر پتانسیل الاستیک) را دربرمی‌گیرد.

مدل رفتاری هایپو الاستیک

اگر بتوان ماده‌ای را با استفاده از یک معادله مشخصه صادق در معیارهای زیر مدل‌سازی کرد، به آن ماده هایپو الاستیک گفته می‌شود:

1. مقدار تنش کوشی (σ) در زمان t، صرفاً به ترتیب شکل‌گیری پیکربندی‌های قبلی جسم بستگی داشته و هیچ ارتباطی با مدت زمان تغییر این پیکربندی‌های ندارد. مواد الاستیک کوشی، یکی از موارد بخصوص در این معیار هستند که تنش فعلی آن‌ها به پیکربندی فعلی وابسته بوده و به پیکربندی‌های قبلی مرتبط نیست.
2. برای مواد هایپو الاستیک، یک تابع تانسوری G در نظر گرفته می‌شود که در رابطه σ˙=G(σ,L) مورد استفاده قرار می‌گیرد. ˙σ، نرخ تانسور تنش کوشی ماده و L، تانسور گرادیان سرعت است.

در صورت تعریف خاصیت هایپو الاستیسیته با استفاده از دو معیار بالا، هایپر الاستیسیته را می‌توان به عنوان یک حالت خاص از رفتار هایپو الاستیک در نظر گرفت. این موضوع منجر به تعیین معیار سومی برای ایجاد تمایز بین مدل‌های هایپو الاستیک و هایپر الاستیک می‌شود (در هایپو الاستیسیته، پارامتر تنش از طریق مشتق انرژی پتانسیل قابل محاسبه نیست). اگر معیار سوم اتخاذ شود، ماده هایپو الاستیک می‌تواند از مسیرهای بارگذاری بی در رو (غیر محافظه‌کارانه) پیروی کند. گرادیان تغییر شکل در ابتدا و انتهای این مسیرها یکسان است اما انرژی داخلی در طی آن‌ها تغییر می‌کند.

مدل رفتاری هایپر الاستیک

مواد هایپر الاستیک با عنوان «مواد الاستیک گرین» (Green Elastic Materials) نیز شناخته می‌شوند. این مواد، مدل‌های محافظه‌کارانه‌ای هستند که از تابع چگالی انرژی کرنشی (W) به دست می‌آیند. یک مدل هایپر الاستیک است؛ اگر و تنها اگر امکان تعریف تانسور تنش کوشی آن به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل وجود داشته باشد. رابطه این مدل به صورت زیر بیان می‌شود:

که در آن:

در رابطه بالا، انرژی پتانسیل (W) به عنوان تابعی از گرادیان تغییر شکل (F) در نظر گرفته می‌شود. با استفاده از یک رویکرد دیگر می‌توان انرژی پتانسیل را به صورت تابعی از تانسور تغییر شکل کوشی-گرین (C:=F^TF) بیان کرد. در این حالت، رابطه معرف مدل هایپر الاستیک به صورت زیر است:

که در آن

عوامل مؤثر بر الاستیسیته

عوامل مؤثر در الاستیسیته مواد به دو دسته عوامل ماکروسکوپی و میکروسکوپی تقسیم می‌شوند. حضور شکستگی‌ها در مواد همسانگرد باعث تغییر مدول یانگ و مدول برشی در راستای عمود بر سطح گسستگی می‌شود. با افزایش چگالی شکستگی‌ها، مقدار هر یک از این مدول‌ها کاهش می‌یابد. این مسئله بیانگر شکننده‌تر شدن یک جسم در اثر حضور ناپیوستگی است (عوامل ماکروسکوپی).

فیلم آموزش تئوری الاستیسیته 1 – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

به طور کلی، رابطه بین تنش و کرنش مواد در مقیاس میکروسکوپی توسط یک کمیت ترمودینامیکی به نام «انرژی آزاد هلمولتز» (Helmholtz Free Energy) کنترل می‌شود. جای‌گیری مولکول‌ها در پیکربندی در جهت به حداقل رساندن انرژی آزاد است. نحوه جای‌گیری مولکول‌ها به محدودیت‌های ناشی از ساختار آن‌ها و غالب بودن انرژی یا آنتروپی بر انرژی آزاد بستگی دارد. با توجه به این موارد، مواد به دو دسته کلی «انرژی-الاستیک» (Energy-Elastic) و «آنتروپی-الاستیک» (Entropy-Elastic) تقسیم‌بندی می‌شوند. به این ترتیب، عوامل میکروسکوپی مؤثر بر انرژی آزاد نظیر فاصله تعادلی بین مولکول‌ها می‌توانند بر روی الاستیسیته مواد تأثیرگذار باشند. به عنوان مثال، با افزایش فاصله تعادلی بین مولکول‌های مواد معدنی در دمای 0 کلوین، مدول حجمی آن‌ها کاهش می‌یابد.

دما، یکی دیگر عوامل مهم در الاستیسیته مواد به حساب می‌آید. نادیده گرفتن تأثیر دما بر روی این خاصیت کار دشواری است زیرا عوامل زیادی با این پارامتر در ارتباط هستند. به عنوان مثال، مدول حجمی یک ماده به شکل شبکه، رفتار آن در هنگام انبساط و همچنین ارتعاش مولکول‌ها وابسته است و تمام این عوامل به دما بستگی دارند.

امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد. اگر به فراگیری موضوعات مشابه علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• مجموعه آموزش های مهندسی عمران
• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
• آموزش مقاومت مصالح
• مجموعه مقالات آشنایی با مفاهیم مقاومت مصالح و خصوصیات رفتاری مواد
• تئوری الاستیسیته خطی — راهنمای جامع
• تئوری پلاستیسیته جریان (Flow Plasticity Theory) — آشنایی با فرضیات پلاستیسیته

^^