مفاهیم پایداری — از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد حل دستگاه معادلات دیفرانسیل و هم‌چنین سیستم‌های ارتعاشی صحبت کردیم. یک سیستم ارتعاشی می‌تواند پایدار باشد و یا با گذشت زمان ناپایدارتر شود. از طرفی معادله دیفرانسیل حاکم بر یک سیستم می‌تواند نشان دهنده وضعیت پایداری یا ناپایداری چنین سیستمی باشد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفاهیم پایداریِ سیستمی از معادلات دیفرانسیل صحبت کرده و مثال‌هایی را نیز از آن ارائه دهیم.

سیستم دستگاه معادلات

فرض کنید سیستمی با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیلی از مرتبه $$n$$ توصیف شود. شکل کلی این معادلات در ادامه ارائه شده‌اند.

$$\large { \frac { { d { x _i } } } { { d t } } = { f _ i } \left ( { t , { x _ 1 } ,{ x _ 2 } , \ldots , { x _ n } } \right ) \ \ \ , \;\;}\kern0pt{i = 1,2, \ldots ,n }$$

تعداد معادلات فوق برابر با $$n$$ است؛ بنابراین به منظور حل آن نیاز است تا از $$n$$ شرط مرزی یا شرط اولیه استفاده کنیم.

در حقیقت این قیود به صورت شرایط اولیه و مطابق با روابط زیر قابل بیان هستند.

$$\large { x _ i } \left ( { { t _0 } } \right ) = { x _ { i0 } } \ \ \ \ \ , i = 1,2, \ldots ,n$$

فرض بر این است که توابع $${ f _ i } \left ( { t , { x _ 1 } , { x _ 2 } , \ldots , { x _ n } } \right )$$ و مشتقات جزئی آن‌ها پیوسته هستند. هم‌چنین بازه‌ در نظر گرفته شده برای متغیر‌های مستقل $$t$$ و محور‌های $$x _ i$$ برابرند با:

$$\large \left \{ { t \in \left [ { { t _ 0 } , + \infty } \right ) , { x _ i } \in { \Re ^ n } } \right \}$$

بهتر آن است که معادلات فوق را مطابق با عبارت زیر به صورت برداری بنویسیم.

$$\large {\overrightarrow { X ’ } = \overrightarrow { f } \left ( { t , \overrightarrow { X } } \right ) , \;\;\text{where}\;\;}\kern0pt {\overrightarrow { X } = \left( { { x _ 1 } , { x _ 2 }, \ldots ,{x_n}} \right),\;\;}\kern0pt {\overrightarrow { f } = \left ( { { f _ 1 } , { f _ 2 } , \ldots , { f _ n} } \right).}$$

در سیستم‌های واقعی، شرایط اولیه باید با دقت لازم تعیین شوند. این جمله به معنای آن است که آیا تغییرات اندک در شرایط اولیه منجر به تغییراتی بسیار بزرگ در پاسخ‌ها پس از گذشت بازه زمانی می‌شود $$( t \to \infty )$$؟ اگر مسیر حرکت سیستم با اعمال اغتشاشی اندک، به اندازه‌ای کوچک تغییر کند، در این صورت سیستم مذکور پایدار تلقی می‌شود.

تعریف مفهوم پایداری برای اولین بار توسط ریاضیدان روسی، «الکساندر لیاپانوف» (Aleksandr Lyapunov) ارائه شد. او تغییرات را با نماد‌های $$\epsilon-\delta$$ نشان داد. نظریه ارائه شده توسط او تحت عنوان، «پایداری لیاپانوف» شناخته می‌شود.

پایداری لیاپانوف

$$\boldsymbol {\phi} \left ( t \right )$$ را برابر با پاسخ دستگاه معادلات زیر در نظر داشته باشید.

$$\large \overrightarrow { X ’ } = \overrightarrow { f } \left ( { t , \overrightarrow { X } } \right )$$

هم‌چنین شرایط اولیه معادلات فوق را برابر با $$\overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) = { \overrightarrow { X } _ 0 }$$ در نظر بگیرید. در این صورت زمانی پاسخِ $$\boldsymbol {\phi} \left ( t \right )$$ پایدار محسوب می‌شود که به ازای هر مقداری از $$\epsilon > 0$$ مقداری از $$\delta = \delta \left ( \epsilon \right) > 0$$ وجود داشته باشد که گزاره زیر برقرار باشد.

$$\large { \left| { \overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) – \boldsymbol { \phi } \left( 0 \right)} \right| < \delta \;\;} \kern0pt { \text{then}\;\;\left| { \overrightarrow { X } \left ( t \right) – \boldsymbol { \phi } \left( t \right)} \right| < \epsilon }$$

رابطه فوق بیان می‌کند که اگر شرایط اولیه به اندازه‌ای اندک ($$\epsilon$$) تغییر کند، در این صورت تغییرات پاسخ سیستم نیز ($$\delta$$) نیز به سمت صفر میل می‌کند. در غیر این صورت پاسخ $$\boldsymbol { \phi } \left ( t \right )$$ ناپایدار خواهد بود. توجه داشته باشید که به منظور تعیین فاصله نقاط می‌توان از فاصله اقلیدسی ($$\left \| { { \overrightarrow { x }_ e } } \right\|$$) یا فاصله منهتن ($$\left \| { { \overrightarrow { x } _ m } } \right \|$$) استفاده کرد. در ادامه روابط مربوط به هریک از فواصل ارائه شده‌اند.

$$\large \left\| { { \overrightarrow { x }_ e } } \right\| = \sqrt { \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { { { \left| { { x _ i} } \right| } ^ 2 } } } ,\;\;\left\| { { \overrightarrow { x }_ m } } \right\| = \sum\limits_{i = 1} ^ n { \left| { { x _ i } } \right|}$$

به منظور درک بهتر، حالت $$n = 2$$ را در نظر بگیرید. در حقیقت در این حالت دو معادله دیفرانسیل در نظر گرفته شده‌اند. به طور دقیق‌تر، پایداری به معنای آن است که اگر مسیر حرکت به اندازه $$δ ( ε )$$ از $$φ ( 0 )$$ منحرف شود، در این صورت پاسخِ $$X ( t )$$ در استوانه‌ای به شعاعِ $$\epsilon$$ باقی مانده و از آن فراتر نمی‌رود. در شکل زیر محدوده پاسخ در زمان‌های $$t > 0$$ نشان داده شده‌اند.

پایداری نمایی و مجانبی

حالتی را در نظر بگیرید که در آن سیستم دستگاه معادلات از نظر لیاپانوف پایدار نباشد، ولی پاسخ‌های $$\phi(t)$$ در رابطه زیر صدق می‌کنند.

$$\large \lim \limits _ { t \to \infty } \left| { \overrightarrow { X } \left ( t \right ) – \boldsymbol { \phi } \left ( t \right ) } \right| = 0$$

بنابراین می‌توان در لحظه $$t = 0$$ عبارت زیر را بیان کرد:

$$\large \left| { \overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) – \boldsymbol { \phi } \left( 0 \right)} \right| \lt \delta$$

به این حالت، پایداری مجانبی گفته می‌شود. در حقیقت پایداری مجانبی حالتی است که پاسخ‌های به اندازه کافی نزدیک به $$\boldsymbol { \phi } \left ( 0 \right )$$، پس از گذشت زمانِ کافی، به حالتی پایدار نزدیک شده و واگرا نمی‌شوند. این حالت از پاسخ در شکل زیر نشان داده شده است.

در حالتی دیگر که تحت عنوان پایداری نمایی شناخته می‌شود، پاسخ به صورتی نمایی به حالت پایدار می‌رسد. در حقیقت فرض کنید:

$$\large \left| { \overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) – \boldsymbol { \phi } \left ( 0 \right ) } \right| \lt \delta$$

در این صورت پاسخ در بازه زیر قرار می‌گیرد.

$$\large \left| {\overrightarrow{ X } \left( t \right ) – \boldsymbol{\phi} \left ( t \right ) } \right| \le \alpha \left| {\overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) – \boldsymbol { \phi } \left( 0 \right ) } \right| { e ^ { – \beta t } }$$

بنابراین به ازای تمامی مقادیرِ $$t \ge 0$$، پاسخِ $$\boldsymbol {\phi} \left ( t \right )$$، پایدار تلقی می‌شود. در شکل زیر نمودار خطا در این حالت از پایداری نشان داده شده است.

تئوری پایداری در حالت کلی شامل بسیاری از مفاهیم است. با این حال مهم‌ترین این مفاهیم، پایداری‌های دایره‌ای و سازه‌ای هستند.

پایداری دایره‌ای

پایداری دایره‌ای نحوه تغییر حرکت دایره‌ای با وارد شدن اغتشاش به آن را مورد بررسی قرار می‌دهد. در ابتدا سیستمی با $$n$$ درجه آزادی را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large { \frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { f _ i } \left ( { { x _ 1}, { x _2 } , \ldots ,{x_n}} \right ) ,\;\;} \kern0pt { { x _ i } \left ( { { t_ 0} } \right ) = { x _ { i 0 } } , } \;\; {i = 1,2, \ldots ,n }$$

معادلات فوق را می‌توان مطابق با رابطه زیر به صورت برداری بیان کرد:

$$\large {\overrightarrow { X ^ { \prime } } \left( t \right) = \overrightarrow { f } \left( \overrightarrow{X} \right),\;\;\text{where}\;\;} \kern0pt {\overrightarrow{X} = \left( { { x _1 } , { x _2 } , \ldots ,{x_n}} \right),\;\;}\kern0pt {\overrightarrow { f } = \left ( { { f _1 } , { f _ 2 } , \ldots , { f _ n } } \right) }$$

ابتدا به ساکن فرض کنید $$\boldsymbol{\phi} \left( t \right)$$ نشان دهنده تابعی متناوب باشد که معادل با مسیر بسته حرکت یک سیستم است. اگر به ازای هر مقداری مثبت از $$\epsilon > 0$$ ثابتی هم‌چون $$\delta = \delta \left( \epsilon \right) > 0$$ وجود داشته باشد به نحوی که اگر مسیرِ $$X ( t )$$ به فاصله $$\delta$$ از $$\boldsymbol{\phi} \left( t \right)$$ شروع به حرکت کرده باشد و نهایتا در فاصله $$\epsilon$$ از $$\phi(t)$$ باقی بماند، در این صورت به مسیر $$\boldsymbol{\phi} \left( t \right)$$، مسیری با پایداری دایره‌ای گفته می‌شود. در شکل زیر نمونه‌ای از چنین مسیری نشان داده شده است.

پایداری ساختاری

فرض کنید با دو سیستم مجزا با ویژگی‌هایی مشابه روبرو هستیم. در حقیقت نقاط تکین مسیر‌های دو سیستم و شکل مسیر این دو سیستم، مشابه هستند. به چنین سیستم‌هایی، سیستم‌هایی با پایداری ساختاری گفته می‌شود. در تعریفی دقیق می‌توان گفت، این دو سیستم از نظر توپولوژی متناسب هستند.

در ابتدا سیستمی مستقل را در نظر بگیرید که حالت بدون اغتشاش و با اغتشاش آن به صورت زیر بیان می‌شوند.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = \overrightarrow { f } \left ( \overrightarrow { X } \right )$$

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = \overrightarrow { f } \left ( \overrightarrow { X } \right ) + \epsilon \overrightarrow { g } \left ( \overrightarrow { X } \right)$$

اگر به ازای هر تابع پیوسته و محدودِ $$\overrightarrow { g } \left ( \overrightarrow { X } \right )$$، عددی هم‌چون $$\epsilon > 0$$ به نحوی وجود داشته باشد که مسیر سیستم منحرف شده و منحرف نشده به صورت دایره‌ای پایدار باشند، در این صورت سیستم از پایداری ساختاری برخوردار است.

تبدیل به مسئله پایداری با پاسخ صفر

سیستمی از معادلات را به شکل زیر در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = \overrightarrow { f } \left ( {t , \overrightarrow { X } } \right )$$

هم‌چنین شرایط اولیه سیستم فوق برابرند با:

$$\large \overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) = { \overrightarrow { X } _ 0 }$$

توجه داشته باشید که تابع برداری $$f$$ روی بازه زیر تعریف شده است.

$$\large \left \{ { t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right ) ,{ x _ i } \in { \Re ^ n } } \right\}$$

فرض کنید پاسخ معادله فوق برابر با $$\phi ( t )$$ باشد. بدیهی است که نحوه پایداری سیستم با استفاده از این تابع تعیین می‌شود. بدین منظور اغتشاش را به شکل زیر فرض می‌کنیم.

$$\large \overrightarrow { Z } \left ( t \right ) = \overrightarrow { X } \left ( t \right ) – \boldsymbol {\phi} \left ( t \right )$$

بنابراین معادله دیفرانسیل اغتشاش نیز برابر خواهد بود با:

$$\large \overrightarrow { Z ^ { \prime } } \left ( t \right ) = \overrightarrow { f } \left ( { t , \overrightarrow { Z } } \right)$$

بدیهی است که عبارت زیر برای $$Z$$ برقرار است.

$$\large \overrightarrow { Z } \left ( { t , \overrightarrow { 0 } } \right ) \equiv \overrightarrow { 0 }$$

عبارت فوق معادل با رابطه زیر برای $$X$$ است.

$$\large \overrightarrow { X } \left ( t \right ) \equiv \boldsymbol { \phi } \left ( t \right )$$

لذا به منظور بررسی پایداری $$\boldsymbol{\phi} \left( t \right)$$ می‌توان پایداری $$Z$$ در نزدیکی نقطه $$\overrightarrow { Z } = \overrightarrow { 0 }$$ را بررسی کرد.

پایداری سیستم‌های خطی

سیستمی از معادلات دیفرانسیل خطی را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = A \left ( t \right ) \overrightarrow { X } + \overrightarrow { f } \left ( t \right )$$

سیستم فوق زمانی پایدار تلقی می‌شود که تمامی پاسخ‌های آن از نظر لیاپانوف پایدار باشند. در حقیقت سیستم ناهمگن فوق با هر عبارت دلخواهی از $$f ( t )$$ زمانی پایدار است که سیستم همگن مرتبط با آن نیز پایدار باشد. توجه داشته باشید که سیستم همگن به صورت زیر است.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = A \left ( t \right ) \overrightarrow { X }$$

بنابراین به منظور بررسی پایداری سیستمی از معادلات ناهمگن کافی است تنها سیستم همگن مرتبط با آن را بررسی کرد. در ساده‌ترین حالت، در زمانی که ضریب $$A$$ مقداری ثابت باشد، شرایط پایداری در قالب مقادیر ویژه این ماتریس مورد بررسی قرار می‌گیرد. به منظور توضیح بیشتر سیستمی از معادلات خطی و همگن را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = A \overrightarrow { X }$$

در رابطه بالا $$A$$ ماتریسی $$n × n$$ است. یکی از پاسخ‌های بدیهی چنین سیستمی، برابر با $$\overrightarrow { X } \left ( t \right ) = \overrightarrow { 0 }$$ است. در ادامه چند قضیه ارائه شده‌اند که پایداری سیستم‌ را با استفاده از آن‌ها بیان خواهیم کرد. بدین منظور در ابتدا مقادیر ویژه ماتریس $$A$$ را برابر با $$\lambda _ i$$ در نظر می‌گیریم.

قضیه ۱

یک سیستم همگن خطی با ضرایب ثابت زمانی از دیدگاه لیاپانوف پایدار است که تمامی مقادیر ویژه $$\lambda _ i$$ شرایط زیر را ارضا کنند.

$$\large \text {Re} \left[ { { \lambda _ i } } \right] \le 0\;\;\left ( { i = 1 , 2 , \ldots ,n} \right )$$

قضیه ۲

یک سیستم همگن خطی با ضرایب ثابت، زمانی پایدار است که بخش حقیقی مقادیر ویژه $${ \lambda _ i }$$، منفی باشند. در ادامه این گزاره در قالب ریاضیات بیان شده است.

$$\large \text{Re} \left[ {{\lambda _i } } \right] \lt 0\;\;\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right )$$

قضیه ۳

یک سیستم همگن خطی با ضرایب ثابت زمانی ناپایدار است که حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشند:

• ماتریس $$A$$ دارای مقادیر ویژه‌ای با بخش حقیقی منفی باشد.
• ماتریس $$A$$ دارای مقادیر ویژه‌ای با بخش حقیقی صفر بوده و چندگانگی هندسی، کمتر از چندگانگی جبری مقادیر ویژه باشد.

ویژگی‌های فوق این امکان را فراهم می‌آورد تا وضعیت پایداری سیستم‌های خطی با ضرایب ثابت را مورد بررسی قرار داد. با این حال در بسیاری از موارد، مشخصه پایداری را می‌توان با استفاده از شروط پایداری و بدون حل سیستم، تعیین کرد. یکی از این شروط، معیار پایداری راث هرویتز است. به طور دقیق‌تر می‌توان گفت تنها با دانستن ضرایب ثابت معادله مشخصه، وضعیت همگرایی سیستم قابل بررسی است.

پایداری مرتبه اول

سیستمی غیر خطی با معادله کلی زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = f \left ( \overrightarrow { X } \right )$$

یکی از پاسخ‌های بدیهی معادله فوق برابر با $$\overrightarrow { X } = \overrightarrow { 0 }$$ بوده که به منظور بررسی پایداری سیستم می‌توان از آن استفاده کرد. بدین منظور در ابتدا فرض کنید مشتقات اول و دوم توابع $${ f _ i } \left ( \overrightarrow { X } \right )$$ در نزدیکی مبدا پیوسته باشند. در این صورت سمت راست معادله را می‌توان به صورت زیر در قالب بسط مک لوران بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \frac { { d {x _ 1 }} } { { d t } } & = \frac { { \partial { f _1 } } } { { \partial { x _ 1 } } } \left( 0 \right ) { x _ 1 } + \frac { { \partial { f _ 1} } } { { \partial { x _ 2 } } } \left( 0 \right ) { x _ 2 } \\ & + \cdots + { \frac { { \partial { f _ 1} } } { { \partial { x _ n } } } \left( 0 \right) { x_ n } } \\ & + { { R _1 } \left ( { { x_ 1 } , { x _ 2}, \ldots ,{x_n}} \right) } \end {align*}$$

$$\\~\\ \large \begin {align*} \frac { {d {x _ 2 } } } { { d t } } & = \frac { { \partial { f _2 } } } { { \partial { x _ 1} } } \left ( 0 \right ) { x_1 } + \frac { { \partial { f _2 } } } { { \partial { x _2 } } } \left( 0 \right ) { x _2 } \\ & + \cdots + { \frac { { \partial { f _2 } } } { { \partial { x _ n } } } \left( 0 \right ) { x_ n } } \\ & + { { R _2 } \left ( { {x _ 1 } , { x_ 2 } \ldots ,{x_n}} \right ) } \end {align*}$$

$$\cdots \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \cdots\cdots\cdots \cdots \cdots\cdots$$

$$\large { \frac { { d { x _n }} } { { dt } } = \frac{{\partial { f _n } } }{ { \partial {x_1 } } } \left( 0 \right){x_1} + \frac { { \partial { f_ n } } } { { \partial {x_2 } } } \left( 0 \right) {x_2} + \cdots } + {\frac{{\partial { f _n} } } { { \partial { x _n } } } \left( 0 \right){x_n} } + {{R_n}\left( { { x _1 } , { x_ 2 } , \ldots , { x_ n } } \right ) }$$

توجه داشته باشید که کوچکی ترم‌های $$R _ i$$ نسبت به مختصات‌های $${ {x _ 1 }, { x _2 } , \ldots ,{ x _n } }$$ از مرتبه دوم است. با استفاده از بسط فوق، شکل ماتریسی برداری معادله به صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$\large \overrightarrow { X ^ { \prime } } = J \overrightarrow { X } + \overrightarrow { R } \left( \overrightarrow { X } \right )$$

ژاکوبین ماتریس فوق برابر است با:

$$\large J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\frac { { \partial { f _ 1 } } } { { \partial {x_1} } } } & { \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x _ 2} } } } & \vdots & { \frac { { \partial {f _ 1} } } { { \partial {x_n}}}}\\<br /> {\frac{{\partial { f _2 } } } { { \partial { x _ 1 } } } } & { \frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2} } }} & \vdots & { \frac{{\partial {f_2 } } } { {\partial { x _ n } } } } \\<br /> \cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\<br /> {\frac{{\partial { f _ n} } } { {\partial { x _ 1 }} } } & { \frac { { \partial { f _n } } }{{\partial { x _ 2 }} }} & \vdots & { \frac{{\partial { f _ n } }} { { \partial { x _ n }} } }<br /> \end{array}} \right] $$

مقادیر مشتقات جزئی ارائه شده در ماتریس فوق، در نقطه‌‌ای محاسبه شده که بسط مک‌لوران حول آن نوشته شده است. در این مسئله، این نقطه $$x=0$$ است. در بسیاری از موارد می‌توان به جای بررسی پایداری سیستم اصلی، سیستم ساده شده در نتیجه استفاده از بسط مک‌لوران را مورد بررسی قرار داد. پایداری چنین سیستم‌هایی مطابق با قوانین زیر قابل بررسی هستند.

• اگر تمامی مقادیر ویژه ژاکوبینِ $$J$$ دارای بخشِ حقیقی منفی باشند، در این صورت پاسخِ $$\overrightarrow { X } = \overrightarrow { 0 }$$، پایدار محسوب می‌شوند.
• اگر حداقل یکی از مقادیر ویژه ماتریس $$J$$ دارای بخش حقیقی مثبت باشد، در این صورت پاسخِ $$\overrightarrow { X } = \overrightarrow { 0 }$$، ناپایدار خواهد بود.

در مواردی بحرانی، اگر بخش حقیقی مقادیر ویژه برابر با صفر باشند، باید از تحلیل پایداری بیان شده در بالا استفاده کرد. در مطلبی به طور جداگانه در مورد پایداری با دقت مرتبه اول صحبت خواهیم کرد.

توابع لیاپانوف

یکی از ابزار‌های قدرتمند به منظور بررسی پایداری سیستم‌های معادلات دیفرانسیل، توابع لیاپانوف هستند. این روش را به طور اختصاصی و در مطلبی جداگانه توضیح خواهیم داد. البته در ادامه مثال‌هایی ارائه شده‌اند که با استفاده از آن می‌توانید با مفهوم پایداری به صورتی کمی‌تر آشنا شوید.

مثال ۱

با استفاده از مفهوم پایداری لیاپانوف، نشان دهید که پاسخ صفرِ معادله دیفرانسیل زیر پایدار است.

$$\large \frac { { dx } } { { dt } } = – x – y \;\; ,\;\;\frac { { d y } } { { d t } } = – x + y$$

در ابتدا باید مقادیر ویژه ماتریس ضرایب را محاسبه کرد. در ادامه این مقادیر بدست آمده‌اند.

$$\large \begin {align*} A & = \left[ {\begin {array} {*{20} { r } }<br /> { – 1 } & { – 1 } \\ 1 &1 \end {array} } \right], \det \left( {A – \lambda I} \right ) = 0 \\\\ & \Rightarrow { \left| {\begin{array} {*{20} { c } } { – 1 – \lambda } & { – 1 } \\ 1 & {1 – \lambda } \end {array}} \right| = 0 \;\;} \\\\ & \Rightarrow {{\left ( { – 1 – \lambda } \right ) ^ 2 } + 1 = 0 \;\;} \\\\ & \Rightarrow { { \lambda ^2} + 2 \lambda + 2 = 0 \;\;}\Rightarrow { { \lambda _ { 1 , 2 } } = – 1 \pm i } \end {align*} $$

بردار ویژه $${ \overrightarrow { V } _ 1 } = { \left ( { { V_ { 11 } } , { V _ { 21 } } } \right ) ^ T }$$ مرتبط با مقدار ویژه $${ \lambda _ 1 } = – 1 + i$$، با استفاده از دستگاه معادلات بدست آمده در ادامه، قابل محاسبه هستند.

$$\large \begin {gather*} \left ( {A – {\lambda _1}I} \right ) { \overrightarrow { V } _ 1 = \overrightarrow { 0 } \;} \\\\ \Rightarrow \kern0pt {\left[ {\begin{array}{*{20} { c } }<br /> { – 1 – \left( { – 1 + i} \right ) } & { – 1} \\ 1&{ – 1 – \left( { – 1 + i} \right)}<br /> \end{array}} \right]\cdot}\kern0pt{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { V _ {11 } } } \\<br /> { { V _ { 21 } } } \end {array} } \right] = \overrightarrow{0}\;\;} \\\\ \Rightarrow<br /> {\left[ {\begin {array} {*{20}{c}} { – i} & { – 1 } \\ 1&{ – i} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { { V _{ 11 } } } \\ { { V _ { 21 } } } \end{array}} \right] = \overrightarrow { 0 } } \;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array} {*{20}{l}} { – i { V _ { 11 } } – { V _{ 21 } } = 0 } \\ { { V _ {11 } } – i { V _ { 21 } } = 0 } \end{array}} \right.} \end {gather*} $$

معادلات حاصل شده به صورت خطی به یکدیگر وابسته هستند. از این رو تنها با فرضِ $${ V _ { 21 } } = t$$ داریم:

$$\large { V _ { 11 } } = i { V _ { 21 } } = it$$

از این رو بردار ویژه $$V _ 1$$ نیز برابر است با:

$$\large { { \overrightarrow { V } _ 1 } = \left[ {\begin {array} {*{20}{c}}<br /> { { V _ { 11 } } } \\ { { V _ { 21 } } }<br /> \end {array} } \right] = \left[ {\begin{array} {*{20} { c } } {it} \\ t<br /> \end{array}} \right] } = {t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> i\\ 1 \end{array}} \right] }<br /> \sim {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i\\ 1 \end{array}} \right] } $$

در نتیجه پاسخِ $${ \overrightarrow { X } _ 1 } \left ( t \right )$$ مربوط به مقدار ویژه $${\lambda _1} = – 1 + i$$ برابر است با:

$$ \large { { \overrightarrow { X } _ 1 } \left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20} { c } } x \\ y<br /> \end {array} } \right] = { e ^ { { \lambda _1}t}}{\overrightarrow{V}_1} } = { { e ^ { \left( { – 1 + i} \right)t}}\left[ {\begin {array}{*{20} { c } } i \\ 1 \end {array}} \right] } $$

با استفاده از فرمول اویلر، تابع نمایی را می‌توان به صورت زیر بسط داد.

$$\large { { e ^ { \left ( { – 1 + i } \right) t } } = { e ^ { – t } } { e ^{ i t } } } = { { e ^ { – t } } \left ( { \cos t + i \sin t } \right ) }$$

در نتیجه نهایتا پاسخ $$X _ 1 ( t )$$ برابر با ماتریس زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} { \overrightarrow { X } _ 1 } \left ( t \right ) & = \left[ { \begin {array} {*{20} { c } } x \\ y \end{array}} \right] \\ & = { { e ^ { – t } } \left ( {\cos t + i\sin t} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} i \\ 1 \end {array}} \right] } \\ & = { { e ^ { – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { \left( {\cos t + i\sin t} \right ) i } \\<br /> { \cos t + i\sin t} \end {array} } \right] } \\ & = { { e ^ { – t } } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – \sin t + i\cos t}\\ {\cos t + i\sin t} \end{array}} \right] }<br /> \\ & = {{e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> { – \sin t}\\ {\cos t} \end{array}} \right] + i{e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {\cos t } \\ {\sin t} \end {array}} \right] } \end {align*} $$

پاسخ فوق نشان می‌دهد که بخش‌های حقیقی و موهومی بردار، برابرند با:

$$ \large \begin {gather*} { \text {Re} \left[ { { \overrightarrow { X } _ 1 } \left ( t \right ) } \right] = { e ^ { – t } } \left[ {\begin {array} {*{20} { r } } { – \sin t } \\ {\cos t} \end{array}} \right] \;\;} \\\\ \kern0pt {\text {Im} \left[ { { \overrightarrow { X } _ 1 } \left ( t \right ) } \right] = { e ^ { – t } } \left[ {\begin {array} {*{20} { c } } {\cos t } \\ {\sin t} \end{array}} \right] } \end {gather*} $$

توجه داشته باشید که شکل پاسخ عمومی به صورت زیر است:

$$\large {\overrightarrow { X } \left ( t \right ) = \left[ {\begin {array} {*{20} { c } } x \\<br /> y \end {array}} \right] } = { { C _1 }{ e ^ { – t } } \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} { – \sin t } \\<br /> {\cos t } \end{array}} \right] } + {{C_2}{e^{ – t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos t}\\ {\sin t} \end{array}} \right]}$$

البته معادله ماتریسی فوق را می‌توان به صورت زیر نیز باز کرد.

$$\large \left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = – {C_1}{e^{ – t}}\sin t + {C_2}{e^{ – t}}\cos t\\ y\left( t \right) = {C_1}{e^{ – t}}\cos t + {C_2}{e^{ – t}}\sin t \end{array} \right.$$

با فرض این که در زمان $$t=0$$ سیستم در شرایط $$x_0$$ و $$y_0$$ باشد، می‌توان ضرایب ثابت را به صورت زیر محاسبه کرد.

$$\large \left \{ \begin {array} { l } x \left ( 0 \right ) = { C _ 2 } = { x _ 0 } \\ y \left ( 0 \right ) = { C _ 1 } = { y _0 } \end {array} \right.$$

با در نظر گرفتن شرایط اولیه، شکل نهایی دو معادله $$y,x$$ برابرند با:

$$\large \begin {align*} \left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = – {y_0}{e^{ – t}}\sin t + { x _ 0 } { e ^ { – t } } \cos t \\ y\left( t \right) = { y _ 0 } { e ^ { – t } } \cos t + { x _ 0 } { e ^ { – t } } \sin t \end{array} \right. \end {align*}$$

حال می‌خواهیم پایداری پاسخ صفر را تعیین کنیم. بدین منظور این پاسخ را با $$\boldsymbol{\phi} \left( t \right) \equiv 0$$ نشان می‌دهیم. طبق تعریف لیپانوف از شرایط پایداری، به ازای هر مقداری از $$\epsilon$$ باید $$\delta = \delta \left ( \epsilon \right ) \gt 0$$ را به نحوی یافت که اگر:

$$\large \left| { \overrightarrow { X } \left ( 0 \right ) – \boldsymbol { \phi } \left ( 0 \right ) } \right| \lt \delta$$

آن‌گاه نامساوی زیر نیز باید به ازای تمامی مقادیر $$t \ge 0$$ برقرار باشد.

$$\large \left| { \overrightarrow { X } \left ( t \right) – \boldsymbol { \phi } \left ( t \right ) } \right| \lt \epsilon$$

در ابتدا فرض کنید $$X(t)$$ پاسخی است که به آن اغتشاش وارد شده است. هم‌چنین در لحظه اولیه، مختصات آن در $$( x _ 0 , y _ 0 )$$ قرار دارند. در ادامه نیز فرض بر این است که انحراف پاسخ از صفر بیشتر از $$\frac { \delta } { 2 }$$ نیست. حال با استفاده از نامساوی مثلثی، می‌توان عبارت زیر را بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \left\| { \overrightarrow { X } \left ( 0 \right) – \boldsymbol { \phi } \left ( 0 \right ) } \right\| & = { \sqrt { { { \left| { { x _ 0 } } \right| } ^ 2 } + { { \left| { { y _ 0 } } \right| } ^2 } } \le \left| { { x _ 0 } } \right| + \left| { { y _0 } } \right| \\ = { \frac {\delta } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } = \delta } } \end {align*}$$

در مرحله بعدی باید رابطه‌ای میان $$\epsilon$$ و $$\delta$$ یافت. بدین منظور با فرض $$\overrightarrow { X } \left ( t \right ) = \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right )$$ و استفاده از نامساوی مثلثی می‌توان به صورت زیر این ارتباط را ایجاد کرد.

$$\large \begin {align*} { \left\| { \overrightarrow { X } \left( t \right) – \boldsymbol{\phi} \left( t \right)} \right\| } & = { { e ^ { – t } } \sqrt { { { \left| { – {y_0}\sin t + {x_0}\cos t} \right|} ^ 2 } + { { \left| { { y _ 0 } \cos t + { x _0 } \sin t} \right|}^2}} } \\ & \le {{e^{ – t}}\sqrt { { { \left( {\left| { { y_ 0 } } \right| + \left| { { x _0 } } \right|} \right)}^2} + { { \left( {\left| { { y_ 0 } } \right| + \left| {{x_0}} \right|} \right ) } ^ 2 } } } \\ & = { { e^ { – t}}\sqrt { 2 { { \left( {\left| { { y _0 } } \right| + \left| { { x _0 } } \right|} \right ) } ^ 2 } } } = { { e ^ { – t}}\sqrt { 2 { { \left ( { \frac { \delta } { 2 } + \frac { \delta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } \\ & = {{e^{ – t}}\sqrt {2{\delta ^ 2 } } } = {\sqrt 2 { e ^ { – t } } \delta \le \sqrt 2 \delta = \epsilon } \end {align*}$$

از این رو اگر مقدار $$\delta$$ را برابر با $$\delta = { \large \frac { \epsilon } { { \sqrt 2 } } \normalsize }$$ در نظر بگیریم، در این صورت تمامی مسیر‌های اغتشاشی که از $$( x _ 0 , y _ 0 )$$ شروع می‌شوند، در بازه $$\left| {{x_0}} \right| \lt { \large \frac { \delta } { 2 } \normalsize } \; , \; \left| { { y _ 0 } } \right| \lt { \large \frac { \delta } { 2 } \normalsize }$$ قرار خواهند گرفت که نشان دهنده محدود بودن حرکت در استوانه‌ای به شعاع $$\epsilon$$ است. از این رو می‌توان گفت سیستم از دیدگاه لیاپانوف پایدار است. البته با محاسبه حد زیر می‌توان گفت سیستم از نظر مجانبی نیز پایدار است.

$$\lim \limits _ { t \to \infty } \left| { \overrightarrow { X } \left ( t \right) – \boldsymbol { \phi } \left ( t \right ) } \right| = \lim \limits _ { t \to \infty } \left ( { \sqrt 2 { e ^ { – t } } \delta } \right) = 0$$

مثال ۲

پایداری سیستمی با پاسخ صفر زیر را بررسی کنید.

$$\large \left \{ \begin {array} { l } x \left ( t \right ) = 3 {C _ 1 } + { C _2 } { e^ { – t } } \\ y \left ( t \right ) = 2 { C _ 1 }{ t^ 2 } {e ^ { – t } } – { C _ 2 } \cos t \end{array} \right.$$

در ابتدا شرایط اولیه را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$\large x \left ( 0 \right ) = { x _ 0 } \ \ , \ \ y \left ( 0 \right ) = { y _0 }$$

در این صورت ضرایب $$C$$ را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}<br /> x \left( 0 \right) = 3 { C _ 1 } = { x _0 } \\<br /> y \left( 0 \right) = – {C_2} = {y_0}<br /> \end{array} \right. } \;\;<br /> {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20 } { l }}<br /> { { C_ 1 } = \frac { { {x _ 0 }} } { 3 } }\\<br /> { {C _ 2 } = – { y_ 0 } }<br /> \end{array}} \right.}$$

بنابراین یکی از پاسخ‌ها را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large \left\{ \begin{array}{l} x\left ( t \right) = { x _ 0 } – { y _ 0 } { e^ { – t } } \\ y\left ( t \right) = \frac {2 } { 3 } { x _ 0 } { t ^ 2} { e ^ { – t}} + {y_0}\cos t \end{array} \right.$$

فرض کنید که پاسخ‌های $$x ( t ) , y ( t )$$ به ازای تمامی مقادیر $$t \ge 0$$، نامساوی زیر را ارضا می‌کنند.

$$\large \left| { x \left( t \right)} \right| \lt \epsilon \; ,\;\;\left| { y \left ( t \right ) } \right| \lt \epsilon$$

در نامساوی بالا $$\epsilon$$ عددی مثبت است. طبق این نامساوی لیاپانوف، عددی همچون $$δ ( ε )$$ باید به نحوی انتخاب شود که بتوان نامساوی زیر را بیان کرد:

$$\large { \left| {x\left( 0 \right ) } \right| = \left| { { x _0 } } \right| \lt \delta \left( \epsilon \right),\;\;}\kern0pt { \left| { y \left ( 0 \right)} \right| = \left| { { y_ 0 } } \right| \lt \delta \left ( \epsilon \right ) }$$

با توجه به فرضیات بالا، نامساوی زیر را می‌توان نوشت.

$$\large \begin {align*} { \left| { x \left ( t \right)} \right| = \left| { { x _0 } – { y_ 0 } { e ^ { – t } } } \right| } \le {\left| { { x _ 0 } } \right| + \left| { { y _0 } } \right| < \epsilon } \end {align*}$$

$$\\\\ \large {\left| { y \left( t \right)} \right| = \left| {\frac { 2} { 3 } { x_ 0 } {t ^ 2 } { e ^ { – t}} + { y_ 0 } \cos t } \right| } \le {\frac { 2} {3 } \left| {{x_0}} \right|{ t ^2 } { e ^ { – t}} + \left| {{y_0}} \right| \lt \epsilon }$$

بدیهی است که تابع $$g \left ( t \right ) = { t ^ 2 } { e ^ { – t } }$$ به ازای مقادیر مثبت $$t$$ محدود است. از طرفی مشتق تابع برابر است با:

$$\large \begin {align*} g ^ { \prime } \left( t \right) & = {\left( { { t^ 2 } { e ^ { – t}}} \right)^\prime } = { 2 t {e ^ { – t } } – { t ^2 } { e ^ { – t } } } \\ & = { \left( {2t – {t^2}} \right){e^{ – t}} } = {t\left( { 2 – t } \right ) { e ^ { – t } } \;\;} \\ & {\Rightarrow g ^ { \prime } \left( t \right) = 0\;\;\text{at}\;\;t = 0,2 } \end {align*}$$

در لحظه $$t=2$$، مقدار $$g(t)$$ ماکزیمم می‌شود. این مقدار برابر است با:

$$\large { { g _ { \max } } = g \left ( { t = 2 } \right ) } = { {2 ^ 2 }{ e ^ { – 2 } } } \approx {0.54 \lt 1 }$$

از این رو نامساوی $$\left| { y \left ( t \right ) } \right|$$ را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

$$\large \left| { y \left ( t \right ) } \right| \le \frac { 2 } { 3 } \left| { { x_ 0 } } \right| + \left| {{y_0}} \right| \lt \epsilon$$

حال اگر مقدار $$\delta = {\large\frac{\epsilon }{2}\normalsize}$$ در نظر گرفته شود، نامساوی‌ها به صورت زیر در خواهند آمد.

$$\large { \left| { { x_ 0 } } \right| \lt \delta = \frac{ \epsilon } { 2 } \;\;\text{and}}\;\; {\left| { { y _ 0 } } \right| \lt \delta = \frac{\epsilon } { 2 } }$$

در نتیجه نهایتا پاسخ‌های $$x(t)$$ و $$y(t)$$ را می‌توان به صورت زیر و در قالب نامساوی بیان کرد:

$$\large \begin {align*} \left| { x \left( t \right ) } \right| & = \left| { { x _ 0 } } \right| + \;\left| { { y _0 } } \right| \lt \frac { \epsilon } { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } \\ & = \epsilon \;\; \kern0pt {\left| { y \left ( t \right ) } \right| \le \frac { 2 } { 3 } \left| { { x _ 0 } } \right| + \left| { { y _ 0 } } \right| \lt \frac {2 } { 3 } \cdot \frac { \epsilon } { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } } \\ & = { \frac { { 5 \epsilon } } { 6 } \lt \epsilon } \end {align*}$$

بنابراین برای پاسخ‌های صفر نیز کران بالایی بدست آمد. از این رو می‌توان گفت این پاسخ‌ها پایدار هستند. البته توجه داشته باشید که پاسخ‌ها به صورت مجانبی پایدار نیستند. چراکه $$x ( t )$$ و $$y ( t )$$ با افزایش $$t$$ به سمت صفر میل نمی‌کنند.

مثال ۳

پارامتر‌های $$a , b$$ را به نحوی تعیین کنید که پاسخ‌های صفرِ سیستم معادلات زیر به صورت مجانبی پایدار باشند.

$$\large \frac { {d x } }{ { d t }} = a x + y \; \; ,\;\;\frac {{ d y } }{ { dt } } = x + by$$

همانند مثال‌های قبل در این مثال نیز باید در ابتدا مقادیر ویژه یا همان $$\lambda_i$$های ماتریس ضرایبِ معادلات را تعیین کرد.

$$ \large \begin {align*} { A = \left[ { \begin {array}{*{20} { c } } a &1 \\ 1&b<br /> \end {array}} \right],\;\;} & \kern0pt {\det \left( {A – \lambda I } \right ) = 0\;\;} \Rightarrow {\left| {\begin{array}{*{20} { c } } {a – \lambda } & 1 \\ 1 & { b – \lambda } \end{array}} \right| = 0\;\;} \\ & \Rightarrow {\left( {a – \lambda } \right)\left( {b – \lambda } \right) – 1 = 0}\;\; \\ & \Rightarrow { { \lambda ^2} – \left ( {a + b} \right)\lambda + ab – 1 = 0} \end {align*} $$

عبارت فوق نشان دهنده معادله‌ای درجه دو است که دلتای آن نیز مثبت است.

$$\large \begin {align*} D & = {\left( {a + b} \right)^2} – 4\left( {ab – 1} \right) \\ & = { { a ^ 2 } + 2 a b + { b ^ 2 } – 4 a b + 4 } \\ & = { { a ^ 2 } – 2 a b + { b ^ 2 } + 4 } = { { \left ( { a – b } \right ) ^ 2 } + 4 > 0 } \end {align*}$$

همان‌طور که دیده می‌شود دلتا همواره مثبت است. بنابراین نهایتا مقادیر ویژه برابرند با:

$$\large { \lambda _ { 1 , 2 } } = \frac { { a + b \pm \sqrt { { { \left ( { a – b } \right) } ^ 2 } + 4} } } { 2 }$$

بنابراین مجموعه‌ای از اعداد $$a , b$$ به نحوی یافت خواهند شد که مقادیر ویژه $${ \lambda _ 1 } , { \lambda _ 2 }$$ منفی باشند. در ادامه این کار انجام شده است.

$$ \large \left\{ \begin{array}{l}<br /> { \lambda _ 1 } \lt 0\\<br /> {\lambda _ 2 } \lt 0<br /> \end{array} \right. \;\; \Rightarrow \left\{ {\begin{array} {*{20}{c}}<br /> {a + b + \sqrt { { { \left ( { a – b } \right ) } ^ 2 } + 4 } \lt 0}\\<br /> {a + b – \sqrt { { { \left( { a – b } \right ) } ^ 2 } + 4 } \lt 0}<br /> \end{array}} \right. $$

با اضافه کردن دو نامساوی بالا به یکدیگر، به نامساوی $$a + b \lt 0$$ خواهیم رسید. بنابراین نامساوی دوم که در زیر آمده به ازای $$a + b \lt 0$$، به طور اتوماتیک منفی خواهد بود و نیازی به اثبات نیست. هم‌چنین نامساوی اول را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large \begin {align*} {\left\{ \begin{array} { l } \sqrt { { { \left ( { a – b } \right ) } ^ 2 } + 4 } \lt – \left ( { a + b } \right ) \\ a + b \lt 0 \end{array} \right. \;\;} & \Rightarrow { \left \{ \begin{array}{l} {\left( {a – b} \right)^2} + 4 \lt {\left( { a + b } \right ) ^ 2 } \\ a + b \lt 0 \end{array} \right. \;\;} \\\\ & \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} – {\left( {a + b} \right)^2} \gt 4\\ a + b \lt 0 \end{array} \right. \;\;} \\\\ & \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} \left( {a + b – a + b} \right)\left( {a + b + a – b} \right) \gt 4 \\ a + b \lt 0 \end{array} \right.\;\;} \\\\ & \Rightarrow {\left\{ \begin {array} { l } 4ab \gt 4\\ a + b \lt 0 \end{array} \right. \;\;} \\\\ & \Rightarrow { \left\{ \begin{array}{l} ab \gt 1 \\ a + b \lt 0 \end{array} \right. } \end {align*}$$

در شکل زیر محدوده پایداری با رنگ زرد و سبز نشان داده شده است.

ناحیه سبز رنگ محل پایداری سیستم را نشان می‌دهد. در حقیقت در این ناحیه هر دو شرط $$a b > 1$$ و $$a +b <0$$ به طور همزمان برقرار هستند.

^^