قضیه کوشی – به زبان ساده

قضیه کوشی

دو تابع $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ در بازه $$[a , b ]$$ پیوسته و در بازه $$( a , b )$$ مشتق‌پذیر هستند و برای همه $$x \in \left( {a,b} \right)$$، مقدار $$g’\left( x \right) \ne 0$$ را داریم. طبق قضیه کوشی، نقطه $$x = c$$ در این بازه به گونه‌ای وجود دارد که

$$\large { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } } = { \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } . }$$

تابع کمکی زیر را معرفی می‌کنیم:

$$\large F \left ( x \right ) = f \left ( x \right ) + \lambda g \left ( x \right )$$

و $$\lambda$$ را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که شرط $${ F \left ( a \right ) = F \left ( b \right ) }$$ برقرار باشد. در این حالت، خواهیم داشت:‌

$$\large \begin {align*} & f \left ( a \right ) + \lambda g \left ( a \right ) = f \left ( b \right ) + \lambda g \left ( b \right ) , \; \; \\ & \Rightarrow { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) = \lambda \left [ { g \left ( a \right ) – g \left ( b \right ) } \right ] , \; \; } \\ & \Rightarrow { \lambda = – \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } . } \end {align*}$$

و تابع $$F ( x )$$ نیز به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { F \left ( x \right ) } = { f \left ( x \right ) – \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } g \left ( x \right ) . }$$

$$\large F’\left( c \right) = 0.$$

بنابراین، داریم:

$$\large { f’ \left ( c \right ) } - { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } g’ \left ( c \right ) = 0 }$$

یا

$$\large { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } } = { \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } . }$$

با قرار دادن $$g ( x ) = x$$ در فرمول کوشی، فرمول لاگرانژ به دست می‌آید:

$$\large \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { b – a } } = f’ \left ( c \right ) .$$

تعبیر هندسی قضیه مقدار میانگین کوشی را نیز می‌توان بیان کرد. فرض کنید منحنی $$\gamma$$ با معادلات پارامتری $$x = f\left( t \right)$$ و $$y = g \left ( t \right )$$ تعریف شده باشد که در آن، پارامتر $$t$$ در بازه $$[a , b ]$$ قرار دارد. وقتی پارامتر $$t$$ تغییر می‌کند، نقطه روی منحنی شکل ۲ از $$A\left( {f\left( a \right), g\left( a \right)} \right)$$ به $$B\left( {f\left( b \right),g\left( b \right)} \right)$$ جابه‌جا می‌شود.

$$\gamma$$" width="394" height="374">

مثال‌های قضیه کوشی

در این بخش، چند مثال را از قضیه کوشی حل می‌کنیم.

مثال ۱

تابع $$f ( x )$$ در بازه $$[ a , b ]$$ مشتق‌پذیر بوده و $$a b > 0$$ است. نشان دهید تساوی زیر برای این تابع برقرار است ($$c \in \left( {a,b} \right)$$):

$$ \large { \frac { 1 } { { a – b } } \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> a & b \\<br /> { f \left ( a \right ) } & { f \left ( b \right ) }<br /> \end {array} } \right | } = { f \left ( c \right ) – c f’ \left ( c \right ) } $$